Đề thi vào 10 THPT Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi 2013-2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Toán (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
2 2
2
1
1 1
x x x x
A x
x x x x
− +
= + + +
+ + − +
, với x ≥ 0.
2) Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng
( )
1 (2 1) 4 5m x m y m− + + = +
luôn đi qua một
điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5 điểm)
1) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành
cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x
2
+ xy +y

2
= 3x + y - 1
Bài 3: (2,5 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phương trình
2
( 2) 1 0x m x m
+ + − + =
có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức
1 2
1 1 3
.
10x x
− =
2) Giải hệ phương trình
( 1) 2
.
( 1) 2
x x y
y y x

+ =


+ =



3) Giải phương trình
2 3
3( 6) 8( 1 3).x x− = − −
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đó. Tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC tại điểm M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1) Chứng minh rằng: BC = 2RsinBAC
2) Điểm N chuyển động trên cạnh BC (N khác B và C). Gọi E. F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm N
lên AB, AC. Xác định vị trí của điểm N để độ dài đoạn EF ngắn nhất.
3) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a, b, c.
4) Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng MA lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng
HA là tia phân giác của góc PHQ.
Bài 5: (1,0 điểm)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8, đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193
điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá
3
3
.
HẾT
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên và chữ ký của giám thị 1………………………………………………………………………………………
Họ tên và chữ ký của giám thị 2………………………………………………………………………………………