BÀI BĐT TRONG ĐỀ THI A 2013

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
4h sáng ngày 06.07.2013
“ Trích trong tập giải bộ đề thi đại học bằng nhiều cách “ 1


BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐH KHỐI A+A
1
NĂM 2013

Câu 6: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
( )( ) 4
a c b c c
   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 2 2
3 3
32 32
( 3 ) ( 3 )
a b a b
P
cb c a c

  
 

Bình luận: Đây là một câu khó nhất trong đề thi năm nay (lấy điểm 10), rất nhiều học sinh không làm được
vì thứ nhất biểu thức điều kiện và biểu thức tìm min không phải là biểu thức đối xứng nên rất khó đánh giá.
Nhưng nếu chú ý một tí thì chỉ cần biến đối biểu thức ban đầu và biểu thức điều kiện ta sẽ thấy đối xứng
ngay từ đó có thể đưa về tổng và tích …
Giải:

Cách 1: (Sưu tầm của các thầy cô trên mạng)
Giả thiết
0
2
( )( ) 4 1 1 4
c
a b
a c b c c
c c

  
      
  
  

Đặt ;
a b
x y
c c
 
thì




1 1 4
3 3 ( )
, 0
x y
xy x y xy x y

x y
  


       





Mặt khác
 
 
 
   
2 2
cos
2
3 4 12 0
4 4
i
x y x y
xy x y x y x y
 
          

2
2
6
x y

x y
x y
 

   

  

vì
0
x y
 

Khi đó ta biến đổi biểu thức như sau
3 3
3
2 2 3
2 2
3 3
32 32
32
3 3
3 3
a b
a b x y
c c
P x y
c c y x
b a
c c

   
   
 
 
     
   
       
 
      
 
     
 
 
   
 
 
   
   

Áp dụng BĐT phụ: Với
, 0
u v
 
ta có
 


   
     
 

 
2
3 3 2 2
3
cos
2 2
3
3
*
4 4
i
u v u v u uv v u v u v uv
u v
u v u v u v
 
        
 

 
     
 
 

Dấu “=” xảy ra
u v
 

Áp dụng BĐT (*) ta có
 
3

3
2
2 2 2
( ) 3( ) 2
8 8 ( ) 2 **
3 3 3( ) 9
x y x y x y xy
P x y x y xy
y x xy x y
 
 
   
       
 
 
    
 
 

3
2
( ) 3( ) 2
8
3( ) 9
2
x y x y xy x y
xy x y
 
    
 

 
  
 
vì
   
2 2
cos
2
4 2
i
x y x y
xy xy
 
   
Đặt
2
S x y
  
và thay 3 ( ) 3
xy x y S
    
vào P ta được
3
2
3 2(3 )
8
3 (3 ) 9
2
S S S S
P

S S
 
  
 
 
  
 
=
3
3
2
5 6 1
8 8
2 12 2
2 2
S S S S S
S
 
  
 
  
 
 

 
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
4h sáng ngày 06.07.2013
“ Trích trong tập giải bộ đề thi đại học bằng nhiều cách “ 2

=
 
3
( 1)
2
S
S f S
  

Ta có
   
2
1
' 3 –1 – 0, 2
2
f S S S
   
nên


f S
là một hàm đồng biến trên


2,






min
2 1 – 2
P f  . Dấu “=” xảy ra
3 3
1
x y
y x
x y a b c
x y



 
      





Chú ý: (Đánh giá theo đáp án của Bộ giáo dục)
Từ (**) nếu không đánh giá tiếp thì sau khi đặt ẩn phụ ta được và rút gọn ta được
 
3
2
1 2 6
P S S S
    

Ta có

   
2
2
1
' 3 –1
2 6
S
f S S
S S

 
 
. Ta sẽ chứng minh


' 0, 2
f S S
  
. Thật vậy
 
2
3 –1 3
S

và
 
 
2 2
2
1 1 1 3 2

2
7
2 6
1 7
1
1
S S
S S
S
S
 
  
 
 



Nên
 
3 3
' 3 0, 2
2
f S S
    
. nên


f S
là một hàm đồng biến trên



2,





min
2 1 – 2
P f  . Dấu “=” xảy ra
3 3
1
x y
y x
x y a b c
x y



 
      





Cách 2: (Sưu tầm của các thầy cô trên mạng)
Làm tương tự như trên đến
3 3
3

2 2 3
2 2
3 3
32 32
32
3 3
3 3
a b
a b x y
c c
P x y
c c y x
b a
c c
   
   
 
 
     
   
       
 
      
 
     
 
 
   
 
 

   
   

Ta có:
3 3
3
3 3
3
1 1 1 1 3
3 . .
3 64 64 64 64 3 16 ( 3)
1 1 1 1 3
3 . .
3 64 64 64 64 3 16 ( 3)
x x x
y y y
y y y
x x x
   
   
   
  
   
   
   
   
  
   

2 2

3 1 3 1
32
16 ( 3) 32 16 ( 3) 32
x y
P x y
y x
 
      
 
 
 

2
6 2 ( ) 2
( 3) ( 3)
x y
P x y xy
y x
 
      
 
 
 

2
2
( ) 3( ) 2
6 ( ) 2 2
3( ) 9
x y x y xy

P x y xy
xy x y
 
   
     
 
  
 

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
4h sáng ngày 06.07.2013
“ Trích trong tập giải bộ đề thi đại học bằng nhiều cách “ 3

2
2
5 6
6 2 6 2
2 12
S S
P S S
S
 
 
     
 

 

 
2

3 2 6 5
P S S S f S
      
Xét
 
2
( ) 3 2 6 5 2
f S S S S S
     

' 2
2 2
1 1
'( ) 3 ; ( ) 0 3 0 3 2 6 1
2 6 2 6
S S
f S f S S S S
S S S S
 
          
   

 
 
2
2 2
4 3 14
9 2 6 1 8 16 55 0
4
S S S S S S

 
           (loại vì
2
S

)
Lập bảng biến thiên suy ra:

S


4 3 14
4
 

4 3 14
4
 
2


'( )
f S

+ 0 - 0 + +

( )
f S

1 2



Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy


min
2 1– 2
P P  . Dấu “=” xảy ra 1
x y a b c
     

Nhận xét: Cách giải này cũng hay nhưng có hai nhược điểm là: Trong chương trình phổ chỉ áp dụng BĐT
cosi và hệ quả cho hai số thực không âm. Mặt khác khi chuyển về hàm


f S
, sử dụng đạo hàm và giải phức
tạp nên cách này chỉ dùng để tham khảo
Cách 3: (Cách giải của Nguyễn Thành Long) Áp dụng BĐT cosi hai số và hoàn toàn sử dụng kiến thức
lớp 9

Làm tương tự như trên đến
3 3
3
2 2 3
2 2
3 3
32 32
32
3 3
3 3
a b
a b x y
c c
P x y
c c y x
b a
c c
   
   
 
 
     
   
       
 
      
 
     
 
 

   
 
 
   
   

Áp dụng BĐT phụ:


3 3
u v uv u v
  
. Thật vậy ta có
   


    
2
3 3 2 2
0
u v uv u v u v u uv v uv u v u v u v
            

Dấu “=” xảy ra
u v
 
.
Khi đó
  
 

2
32
2
3 3 3 3
xy x y
P x y xy
y x y x
 
    
 
   
 

   
 
2
2
32 3 2
2
3 9
xy x y x y xy
x y
xy x y
 
   

 
 
   
 

vì
   
2 2
cos
2
4 2
i
x y x y
xy xy
 
   
Đặt
2
S x y
  
và thay 3 ( ) 3
xy x y S
    
vào P ta được
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
4h sáng ngày 06.07.2013
“ Trích trong tập giải bộ đề thi đại học bằng nhiều cách “ 4





 





 
  
 
 
22
2 2
2
2
32 3 5 6
32 3 3 2 3
2 2
2 12
3 3 9
8 2 1
8 4 3
8 3 1
6 6 6
2 2 2
S S S
S S S S
S S
P
S
S S
S
S S
S S
S S S

S S S
 
  
   
 
   

  
 
 
 
  
  
 
 
     
  

Chứng minh
1 2, 2
P S
   
. Thật vậy
 
2
8
2 1 1; 1; 2 1 2
6
2
S

S P
S

         


Vậy
min
2
1 2 2 1
1
x y
P S x y a b c
xy
 

          




Lời giải trên chỉ mang tính chất tham khảo: Nếu có sai sót thì mong các thầy cô bỏ qua cho và cho
nhận xét để tôi rút kinh nghiệm. Cám ơn