lý thuyết và bài tập đường tròn

Đường tròn
A.Tóm tắt lí thuyết
1, Định nghĩa
Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là quĩ tích của tất cả
những điểm trên một mặt phẳng , cách đều một điểm cho trước bằng một
khoảng cách cho trước. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn
khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.
2, Các định lí, tính chất cơ bản cần nhớ
a. Qua 3 điếm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn
b. Đường tròn là hình có tâm đối xứng, đó chính là tâm của đường tròn
c. Đường tròn là hình có tâm đối xứng, bất kì đường kính nào cũng là trục
đối xứng của đường tròn
d. Quan hệ giữa đường kính và dây cung:
- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm
thì vuông góc với dây ấy.
e. Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm:
Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng
cách đều tâm.
Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung
lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn
f. Tiếp tuyến của đường tròn
-Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông
góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
-Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc
với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường
tròn.
- Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp
tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán
kính qua 2 tiếp điểm.
g.Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây
chung.
h.Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm của chúng nằm trên
đường nối tâm.
3 Phương trình đường tròn

*
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a,b) bán kính R có
phương trình :
(C): (x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2




*
Nếu a
2
+ b
2
– c > 0 thì phương trình x
2
+ y
2

- 2ax – 2by + c =0 là
phương tình của đường tròn tâm I(a,b), bán kình R =

*
Nếu a
2
+ b
2
– c = 0 thì chỉ có một điểm I(a,b) thoả mãn phương trình x
2

+ y
2
- 2ax – 2by + c =0

*
Nếu a
2
+ b
2
– c < 0 thì không có điểm M(x,y) nào thoả mãn phương
trình x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0
Chú ý: ta có
- Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x
2
+ y

2
= R
2
-
Đường tròn đơn vị có phươnh trình x
2
+ y
2
=1
4, Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x
0;
y
0
)
của đường tròn (C): (x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

có phương trình: (x –a)(x
0
- a) + (y –b)(y
0
- b) = R
2
(6)

Chú ý:
a, Phương trình (6) được gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo qui tắc
(x –a)
2
= (x –a).(x –a) thay bằng (x –a)(x
0
- a)
(y –b)
2
= (y –b).(y –b) thay bằng (y –b)(y
0
- b)
b, Nếu ( C) có phương trình tổng quát
( C) : x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0 , với a
2
+ b
2
– c ≥ 0
thì tiếp tuyến (d) có phương trình:
(d) : x.x
0
+ y.y
0
– a(x + x
0
) – b(y + y

0
) + c = 0
dựa theo qui tắc : x
2
= x.x thay bằng x.x
0
y
2
= y.y thay bằng y.y
0

2ax = a( x + x) thay bằng a( x + x
0
)
2by = b( y + y) thay bằng b(y + y
0
)
c, Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc ( là tiếp tuyến)
với đường tròn ( C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:
d(I;(d)) =R
B,Vận dụng
1, Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm
và bán kính đường tròn.

*
Phương pháp
Cách 1: - đưa phương trình về dạng : x
2
+ y
2

- 2ax – 2by + c =0 (1)
- xét dấu biểu thức m = a
2
+ b
2
– c
- nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a,b),
bán kính R=
Cách 2: - đưa phương trình về dạng : (x –a)
2
+ (y – b)
2
= m (2)
- nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán
kính R =

*
Các ví dụ :
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào niểu diễn
đường tròn? Xác định tâm và bán kính nếu có:
a)x
2
+ y
2
- 6x +8y +100 = 0; (1)
b)x
2
+ y
2
- 2x - 6y + 6 = 0; (2)

c)x
2
+ 2y
2
- 2x + 5y + 2 = 0; (3)
Giải
a, (1) có dạng x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0, với a = 3, b = 4, c = 100.
Ta có a
2
+ b
2
– c = 9 + 16 -100 < 0
Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn.
b, (2) có dạng x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0, với a = 1, b = 3, c = -6 .
Ta có a
2
+ b
2
– c = 1 + 9 - 6 > 0
Vậy (2) là phương trình đường tròn có tâm là điểm (1;3), bán kính bằng
2 2
a b c

+ −
= 4
m
c, phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x
2

và y
2
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
+ y
2
- 2mx + 4my + 6m - = (1)
a, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?
b, Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính
đó theo m.
Giải
a, (1) có dạng x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0 với a = m, b = -2m,
c = 6m -
(1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a
2
+ b
2
– c > 0, mà
a

2
+ b
2
– c > 0 m
2
+ 4m
2
– 6m + > 0
5m
2
- 6m + > 0

m >
b, khi m > thì (1) là phương trình đường tròn tâm I( m; -2m) và có bán
kính R =
2, Lập phương trình đường tròn

*
Phương pháp:
Cách 1: - Tìm toạ độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của (C)
- Viết phương trình (C) theo dạng (x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

Cách 2: Gọi phương trình của đường tròn (C) x
2

+ y
2
- 2ax – 2by + c =0 (2)
Từ điều kiện đề bài đ ưa đến hệ phương trình với ẩn số là a,b,c
⇔
⇔
5
9
5
9
5
9
5
9
⇔
5
3
5
3
5
9
65
2
+− mm
Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình
đường tròn (C)

*
Chú ý: Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kĩ để lựa chọn dạng
phương trình thích hợp .

(C) đi qua A, B IA
2
= IB
2
= R
2

(C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng tại A IA =d(I, )
(C) tiếp xúc với 2 đường thẳng d
1
và d
2
d(I,(d
1
)) = d(I, (d
2
)) = R
*
Các ví dụ
Ví dụ 1:Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a, (C) có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; -3).
b, (C) có tâm I(-2 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0
c, (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ;5).
Giải.
a, (C) có tâm I và đi qua M => bán kính R = IM
=
=>(C) có phương trình : (x + 2)
2
+ (y – 3)
2

= 52
b, (C) tiếp xúc đường thẳng Δ => : bán kính

=> (C) có phương trình : (x + 1)
2
+ (y – 3)
2
= 4/5
c, (C) có đường kính AB => tâm I(x ;y) là trung điểm AB :

=> I(4;3)
(C) => bán kính R = IA =
Vậy (C) có phương trình : (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 13.
Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm : A(1 ;2),
B(5 ;2) và C(1 ;-3)
Giải.
Phương trình đường tròn (C) dạng : x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
(C) đi qua điểm A(1 ;2), nên : 5 -2a -2b + c = 0 (1).
⇔
∆
⇔
∆

⇔
(C) đi qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = 0 (2).
(C) đi qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) : a = 3 ; b = -1/2 ; c = -1
=> Đường tròn (C) dạng : x
2
+ y
2
– 6x – y – 1 = 0
3, Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn

*
Các dạng bài và phương pháp:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M
0
(x
0
, y
0
) thuộc đường tròn.
Ta dùng công thức tách đôi tọa độ.
- Nếu phương trình đường tròn là: x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
thì phương trình tiếp tuyến là: xx
0
+ yy
0

- a(x + x
0
) - b(y + y
0
) + c = 0
- Nếu phương trình đường tròn là: (x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2

thì phương trình tiếp tuyến là: (x - a)(x
0
- a) + (y - b)(y
0
- b) = R
2
Dạng 2: Tiếp tuyến xuất phát từ A(x
A
;y
A
) cho sẵn ở ngoài đường tròn
B1: Xác định tâm I và bán kính R
B2: Lập phương trình đường thẳng qua A có dạng:
a(x – x
A
) + b( y – y
A
) = 0 , a

2
+ b
2
khác 0 (1)
B3: Để là tiếp tuyến của (C) d(I, )= R a, b
B4: Thế a,b vào (1) =>
• Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.
· Dạng 3: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của D có phương cho trước (phương trình chứa
tham số t).
– Dựa vào điều kiện: , ta tìm được t. Từ đó suy ra
phương trình của Δ
Dạng 4: tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
- Giả sử (d) : Ax + By + C = 0, A
2
+ B
2
> 0 là tiếp tuyến chung của (C)
và (C’)
- Thiết lập điều kiện tiếp xúccủa (d) với (C) và (C’)
d(I
1
,(d)) = R
1
d(I
2
,(d)) = R
2

Kết luận

*
Các ví dụ:

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3;4) thuộc đường tròn
(C):(x-1)
2
+(y-2)
2
=8
Giải
(C) có tâm I(a;b), vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(3;4) là:

V í d ụ 2 : Cho đường tròn (C) dạng : x
2
+ y
2
+ 4x – 8y – 5 = 0
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A(-1 ;0)
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc
d : 3x - 4y +5 = 0.
Giải.
a, ta có : -2a = -4, -2b = 8 và c = -5
=> a = 2, b = -4 và c = -5
Tâm I(2, -4)
bán kính R = = 5
b, Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A :
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0
Hay (-1 – 2)(x + 1) + (4)(y) = 0
=> 3x – 4y + 3 = 0

c, tiếp tuyến vuông góc d : 3x -4y +5 = 0 => tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0
(C) tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0 => : bán kính R = d( M, Δ)
<=> = 5
<=> |c – 4| = 25
<=> c – 4 = 25 hoặc c – 4 = -25
<=> c = 29 hoặc c = -21
tiếp tuyến : 4x + 3y + 29 = 0 ; 4x + 3y -21 = 0.
Ví dụ 3: cho (C) : x
2
+ y
2
+ 2x – 4x – 4= 0, A(3;5). Tìm phương trình tiếp
tuyến kẻ từ A đén đường tròn.
Giải:
Gọi đường thẳn (d) qua A có dạng : a( x – 3) +b(y – 5) = 0 , a
2
+ b
2
0
(C) có tâm I(-1; 2), R = 3
(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d(I,(d)) = R = 3
=> = 3
)5(42
22
−−+
22
34
|128|
+
+− c

≠
22
|34|
ba
ba
+
−−
| 4a + 3b| = 3
16a
2
+ 24ab + 9b
2
= 9( a
2
+ b
2
)
7a
2
+ 24ab = 0
a = 0 và 7a = - 24b
+, với a = 0 => (d) : y – 5= 0
+, với 7a = - 24b
chọn a = 24, b = -7 => (d) : 24x – 7y -37 = 0
C, Bài tập tự luyện
Bài 1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a, Đường kính AB với A(1;1) và B(3;5)
b, Đi qua (3;4) và tâm là gốc toạ độ
(Đ/s: a, (C) : x
2

+ y
2
– 2x – 6y + 8=0 b, (C) : x
2
+ y
2
= 25)
Bài 2: lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh trên 3
đường thẳng sau: x – 5y – 2 = 0; x – y +2 = 0; x + y – 8 = 0
(Đ/s: x
2
+ y
2
– 4x – 22 = 0)
Bài 3: cho 2 đường thẳng : (d
1
): 2x + y – 1 = 0; (d
2
) : 2x - y – 2
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng (d
1
), (d
2
) và có tâm
thuộc đường thẳng (d) : x – y -1 = 0
(Đ/s: (C
1
) : ( x - )
2
+ ( y - )

2
= ; (C
2
) : (x + )
2
+ (y + )
2
=
Bài 4: cho 2 điểm A(4;0) , B(0;3). lập phương trình đường tròn nội tiếp
(Đ/s: (x – 1)
2
+ ( y – 1)
2
= 1
Bài 5: cho biết B(0;1), C(1;0) và trực tâm H(2;1). lập phương trình
đường tròn ngoại tiếp (Đ/s: x
2
+ y
2
= 1)
⇔
22
ba +
⇔
⇔
⇔
2
5
2
3

20
121
4
1
4
5
80
121
AOB∆
AOB
∆
AOB∆
Bài 6: Cho điểm M(-4;-6) và đường tròn (C) có phương trình :
x
2
+ y
2
– 2x - 8y – 8 = 0
Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua M (Đ/s: (d): x + 4 = 0
(d’): 3x – 4y -12 =0)
Bài 7: Cho 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình:
(C): (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1
(C): (x – 2)
2
+ (y + 1)
2

= 4
Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
(Đ/s: (d): x = 0 ; (d’) : 3x + 4y -12 = 0
Bài 8: cho đường tròn (C) c ó phương trình: (x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= 10
lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với : 2x + y – 4 = 0
một góc 45 . (Đ/s: d
1
:
:
x + 3y – 8 = 0; d
2
:
:
3x - y – 14 = 0; d
3
:

x + 3y +12 =0
d
4
: 3x - y+ 6 = 0
Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) qua A(-4;2) và tiếp xúc với hai trục
tọa độ. (Đ/s:
1
C
: (x + 2)

2
+ (y – 2)
2
= 4 ;
2
C
: (x + 10)
2
+ (y – 10)
2
= 100
Bài 10: Cho đường tròn (C) :
2 2
2 4 2 0x y x y+ − + + =
. Viết phương trình đường
tròn (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) tại các điểm A,B sao cho AB=
3
.
(Đ/s: (C’) : (x - 5)
2
+ (y - 1)
2
= 0 ).
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương
trình:
2 2
4 3 4 0x y x+ + − =
. Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn
(C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
(Đ/s: (C’):

( )
( )
2
2
3 3 4x y− + − =
)
D, Bài tập tự sáng tạo
Bài 1: Cho phương trình:
∆

(C): x
2
+ y
2
+ 2(m – 1)x – 2(m – 3)y + 2 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) là đường tròn tâm I(1; -3). Viết phương trình (C) tương ứng.
b) Tìm m để (1) là đường tròn có R=
5 2
. Viết phương trình (C) tương ứng.
Giải:
I( 1 – m ; m – 3), R
2
= 2(m – 2)
2
.
a, Vì (1) có tâm I(1; -3).
=>
1 1
0
3 3

m
m
m
− =

⇒ =

− = −

và R
2
= 8
(C) :
2 2
2 6 2 0x y x y+ − + + =
b) R =
2
7
5 2 2( 2) 50
3
m
m
m
=

→ − = ⇔

= −

Vậy (C

1
): x
2
+ y
2
+ 12x – 8y +2 = 0
(C
2
): x
2
+ y
2
-8x +12y + 2 = 0
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0) , đường cao từ
đỉnh B có phương trình x + y + 1 = 0 trung tuyến từ đỉnh (C) có phương trình
2x – y – 2 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải:
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :
2 2
2 8 8 0x y x y+ + − − =
. Viết phương trình đường thẳng song song với đường
thẳng d: 3x + y – 2 = 0 và cắt đường tròn theo 1 dây cung có độ dài bằng 6.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
2 2
4 2 1 0x y x y+ − − − =
và đường thẳng d: x + y + 1 = 0. Tìm những điểm M
thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp
với nhau góc 90 độ.

Bài 5: Cho đường tròn (C):
2 2
2 4 20 0x y x y+ − + − =
và hai đường thẳng
1 2
: 2 5 0, : 2 0d x y d x y+ − = + =
. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C)
tại A và cắt
1 2
,d d
lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng
AC.
Giải: (h.1) lấy đối xứng đường thẳng
2
d
qua
1
d
ta được đường thẳng
3
: 2 10 0d x y+ − =
.

Do
1
d
song song với
2
d
nên suy ra

3
A d∈
. Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ PT
2 2
2 10 0
2 4 20 0
x y
x y x y
+ − =


+ − + − =

4, 2
6, 2
x y
x y
= =

⇔

= = −

(4;2)A⇒
hoặc
(6; 2).A −
•
Với A(4;2) thì pt tiếp tuyến tại A là 3x + 4y – 20 = 0.
•
Với A(6;-2) thì pt tiếp tuyến tại A là x – 6 = 0.

Bài 6: Cho đường tròn (A) có phương trình
2 2
( 1) ( 2) 9x y+ + − =
(1) và điểm
M(2;3). Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M cắt (A) tại P và Q sao cho
MP
2
+ MQ
2
= 18.
Giải : Đường tròn (A) có tâm I(-1;2) và R=3.
Thay M(2;3) vào (1) ta được 10 > 9 => M nằm ngoài đường tròn nên MP.MQ
= MI
2
– R
2
= 10 – 9 = 1.
2
2 2
18
( ) 16 4
. 1
: ( 2) ( 3) 0
MP MQ
MP MQ PQ
MP MQ
PT a x b y


+ =
⇒ − = ⇒ =

=

∆ − + − =

(a
2
+ b
2
> 0 ).
Từ
2
2
( ; ) 5
4
PQ
d I R∆ = − =
, suy ra
2 2
2 2
2
3 2
5 2 3 2 0
2
a b
a b
a ab b
a a

a b
= −
+

= ⇔ + − = ⇔

=
+

PT hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2x – y – 1 = 0
và x + 2y – 8 = 0.
Bài 7: Cho hai đường thẳng
1 2
: 4 3 14 0, :3 4 8 0d x y d x y− + = + − =
và điểm
M(-2;2). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua M tiếp xúc
1
d
và cắt
2
d

theo dây cung AB = 8.
Giải:
Vì
1
M d∈
nên M là tiếp điểm của (C) và
1
d

. Do
1 2 2 1
6 8 13
( ; ) ( ; ) 3
9 16
d d d I d d M d
− + +
⊥ ⇒ = = =
+
,
2
2 2 2
4 3 5.
2
AB
R IA IH
 
= = + = + =
 ÷
 
Đường thẳng IM đi qua M và vuông góc với
1
d
có PT
2 4
: ( 2 4 ;2 3 ).
2 3
x t
IM I t t
y t

= − +

⇒ − + −

= −

Ta có
2 2
5 16 9 5.IM t t= ⇒ + =
Tìm được t = 1 hoặc t = -1 suy ra I(2;-1) hoặc
I(-6;5).
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn với phương trình là
2 2 2 2
( 2) ( 1) 25;( 6) ( 5) 25x y x y− + + = + + − =
Bài 8: Cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
6 2 6 0x y x y+ + + + =
và điểm
A(1;3)
a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) từ đỉnh A.
Bài 9: Cho đường tròn có phương trình là
2 2
4 4 17 0x y x y+ + + − =
. Viết
phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)
b) d đi qua A(3;6)
c) d song song với đường thẳng 3x – 4y – 2008 = 0
Bài 10: Cho đường tròn

2 2
2 2 6 0x y x y+ − − + =
và điểm M(2;4)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B
sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.
Bài 11: Cho đường tròn (C):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + − − =
và điểm A(2;5). Lập
phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp xúc với đường
tròn tại hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.
Giải: I( -1; 2) , R = 3
Giả sử phương trình tiếp tuyến kẻ từ A có dạng :
: a( x – 2) + b(y- 5)= 0 với a
2
+ b
2
khác 0
Để là tiếp tuyến của (C) d(I, )= R
=> = 3
-2a
2
+ b
2
-4ab + 64 = 0
+) a= 0 => b = 8 . vậy : y = 5
+) b= 0 => a = . vậy : x = 2
ba
ba

+
−+− |82|
⇔
1
∆
32
2
∆
5 2MN⇒ =
Bài 12: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2mx -
3
2
my + 25m – 100 = 0
a,Tìm tập hợp (
∆
) tâm các đường tròn khi M thay đổi
b,Xét A(8;6). Lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A.
c,Nhận xét gì về các đường tròn (C).
Giải:
a)
( )
2
2 2 2
3
; .
4

9 1
25 100 5 40
16 16
I m m
R m m m m
 
 ÷
 
= + − + = −
Điều kiện
8m
≠
Tập hợp tâm I là đường thẳng (
∆
): 3x – 4y = 0, loại điểm A(8;6).
b) nhận xét A(8;6) thuộc (C) với mọi M
phương trình tiếp tuyến với (C) tại A(8;6) là:
8x + 6y – m(x + 8) -
3
4
m
(y + 6) + 25m – 100 = 0
⇔
4x + 3y – 50 = 0 (do m
≠
8)
c)
( ) à(d)v∆
cố định đều đi qua A(8;6) và
( ) ( )

d∆ ⊥
nên suy ra các đường tròn
(C) tiếp xúc với đường thẳng (d) cố định tại điểm A(8;6) cố định
( )
8m∀ ≠