CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T
Vỡ cht lng tht trong giỏo dc

727 583 TRN CAO VN NNG *T: 3759.389 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 39- Ths. Nguyn Vn By





TCH PHN
A. TOẽM TếT LYẽ THUYT
A. TOẽM TếT LYẽ THUYTA. TOẽM TếT LYẽ THUYT
A. TOẽM TếT LYẽ THUYT VAè
VAè VAè
VAè Vấ DU MINH HOĩA
Vấ DU MINH HOĩAVấ DU MINH HOĩA
Vấ DU MINH HOĩA:
::
:
I.

AO HAèM
AO HAèMAO HAèM
AO HAèM


1. QUY TếC TấNH AO HAèM:
1. QUY TếC TấNH AO HAèM: 1. QUY TếC TấNH AO HAèM:
1. QUY TếC TấNH AO HAèM:

(u + v) = u + v (u.v) = u v + v u








v
u
=
2
v
uvvu




2
1
v
v
v

=

( v = v(x) 0)
HQ: Nu k l hng s thỡ (k.u) = k. u
2. BANG AO HAèM CAẽC HAèM S THặèNG GP:
2. BANG AO HAèM CAẽC HAèM S THặèNG GP:2. BANG AO HAèM CAẽC HAèM S THặèNG GP:
2. BANG AO HAèM CAẽC HAèM S THặèNG GP:



AO HAèM CAẽC HAèM S CP
AO HAèM CAẽC HAèM S CPAO HAèM CAẽC HAèM S CP
AO HAèM CAẽC HAèM S CP

AO HAèM HAèM S HĩP: u = u(x)
AO HAèM HAèM S HĩP: u = u(x)AO HAèM HAèM S HĩP: u = u(x)
AO HAèM HAèM S HĩP: u = u(x)


(x
n
) = n.x
n - 1
(
x
) =
x2
1

(sinx) = cosx, x R.
(cosx) = - sinx, x
R
(tanx) =
x
2
cos
1

(cotx) =
x
2
sin
1


(u
n
) = n.u.u
n - 1

(
)
u '
=
u
u
2

'


(sinu) = u.cosu
(cosu) = - u.sinu
(tanu) =
u
u
2
cos
'

(cotu) =
u
u
2
sin
'





(e
x
) = e
x

(a
x

) = a
x
.lna
(ln
x
) =
x
1

(log
a
x) =
a
x
ln
1

(x

) = n.x
1

(
)
n
n
n
xn
x
1

1
'

=

(e
u
) = u.e
u


(a
u
) = u.a
u
.lna

(lnu) =
u
u'

(log
a
u) =
a
u
u
ln
'

(u

) = n.u
- 1
.u
(
)
n
n
n
un
u
u
1
'
'

=


Cụng thc cn nh:
22
2
2
2
)'''(
'')''(2)''(
'
''' cxbxa
cbbcxcaacxbaab

y
cxbxa
cbxax
y
++
++
=
++
++
=

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 40- Ths. Nguyễn Văn Bảy

2
22
)''(
'''2'
'
''
cxb
cbbcxacxab
y
cxb
cbxax
y
+
−++

=⇒
+
++
=

2
)(
'
dcx
bcad
y
dcx
bax
y
+
−
=⇒
+
+
=

II. NGUYÃN HAÌM:
II. NGUYÃN HAÌM:II. NGUYÃN HAÌM:
II. NGUYÃN HAÌM:


1. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:

Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp
tương ứng
(dưới ñây u = u(x))
∫
+= Cxdx

∫
+
+
=
+
C
x
dxx
1
1
α
α
α
( α ≠ –1)
∫
+= Cxdx
x
ln
1
(x ≠ 0)
∫
+= Cedxe
xx

∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln
(0 < a ≠ 1)
∫
+= Cxxdx sincos

∫
+−= Cxxdx cossin

∫
+= Cxdx
x
tan
cos
1
2

∫
+−= Cxdx
x
cot
sin
1
2

∫
+= Cudu

∫
+
+
=
+
C
u
duu
1
1
α
α
α
( α ≠ –1)
∫
+= Cudu
u
ln
1
(u ≠ 0)
∫
+= Cedue
uu

∫

+= C
a
a
dua
u
u
ln
(0 < a ≠ 1)

∫
+= Cuudu sincos

∫
+−= Cuudu cossin

∫
+= Cudu
u
tan
cos
1
2

∫
+−= Cudu
u
cot
sin
1
2

Hệ quả:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

∫
+
+
+
=+
+
C
1
)bax(
.
a
1
dx)bax(
1
α
α
α
(α ≠ –1)

∫
++=
+
Cbaxln

a
1
dx
b
ax
1


∫
++=+ C)baxsin(
a
1
dx)baxcos(

∫
++−=+ C)baxcos(
a
1
dx)baxsin(

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 41- Ths. Nguyễn Văn Bảy

∫
+=
++
Ce
a

1
dxe
baxbax

∫
+=
+
+
C
a
ln
a
.
m
1
dxa
nmx
nmx


∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
)tan(
1
)(cos

1
2

∫
++−=
+
Cbax
a
dx
bax
)cot(
1
)(sin
1
2


III. TÊCH PHÁN
III. TÊCH PHÁNIII. TÊCH PHÁN
III. TÊCH PHÁN



I. ðịnh nghĩa tích phân: ∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(

Trong ñó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), a gọi là cận dưới của
tích phân và b gọi là cận trên của tích phân.

III. DÙNG ðỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN:
1. Áp dụng các công thức nguyên hàm và hệ quả:

Ví dụ 1: Tính tích phân : I =
2
x x x
cos sin cos dx
2 2 2
0
π
 
+
 
 
∫

Giải:
2 2
2
0 0
2
0
x x x 1
I (cos sin .cos )dx (1 cosx sinx)dx
2 2 2 2
1

(x sinx cosx) 2
2 4
π π
π
= + = + +
π
= + − = +
∫ ∫


Ví dụ 2: Tính tích phân :
3
2
2
4
1 sin
sin
x
I dx
x
π
π
+
=
∫

Giải:
3
2 2 2
2 2

2 2
4 4
4 4 4
1 sin 1 2
sin cot cos 1
2
sin sin
x
I dx dx xdx x x
x x
π π π
π π
π π
π π π
+
= = + = − − = +
∫ ∫ ∫

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 42- Ths. Nguyễn Văn Bảy


Ví dụ 5: Tính tích phân :
2
2
0
sin
I xdx

π
=
∫

Giải:
4
)2sin
4
1
2
1
(
)2cos
2
1
2
1
(
2
2cos1
sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2

π
π
πππ
=−=
−=
−
==
∫∫∫
xx
dxxdx
x
dxxI

Ví dụ : Tính các tích phân:
2 1
0 0
1
) ) 3 1
2 1

a I dx b x dx
x
= +
+
∫ ∫

Giải
2
2
0

0
1 1
) ln | 2 1| ln2
2 1 2
a I dx x
x
= = + =
+
∫

( )
1
1
1 1
3
2
2
0 0
0
2 15
) 3 1 (3 1) 3 1
9 9
b x dx x dx x
+ = + = = + =
∫ ∫

2. Tính tích phân hữa tỷ:
a) Mẫu là nhị thức bậc nhất:
Dạng 1:

( )
ax
f x
B dx
b
β
α
=
+
∫


PP:
Cách 1:
Ta th
ự
c hi
ệ
n phép chia
ñ
a th
ứ
c
ñể
vi
ế
t tích phân v
ề
d
ạ

ng:

( )
( ( ) )
ax ax
f x c
B dx g x dx
b b
β β
α α
= = +
+ +
∫ ∫

Cách 2:

ðổ
i bi
ế
n b
ằ
ng cách
ñặ
t t = ax + b

Dạng 2:
C =
dx
bax
k

∫
+
β
α
)(
1
( k ≠ 1)
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 43- Ths. Nguyễn Văn Bảy

Cách 1:
∫∫∫
++=
+
+
=
+
−
β
α
β
α
β
α
)()(
1
)(
)(1

)(
1
baxdbax
a
bax
baxd
a
dx
bax
k
kk


1
1 1 1
.
1 (ax )
k
a k b
β
α
−
=
− +

Cách 2: ðổi biến bằng cách ñặt: t = ax + b
II. Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:
TH1: Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x = x

1
và x = x
2
.
Dạng 1:
∫
++
β
α
dx
bxax ))((
1

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

∫∫∫






+
−
+−
=
++
+−+
−
=

++
β
α
β
α
β
α
dx
bxaxab
dx
bxax
axbx
ab
dx
bxax
111
))((
)()(1
))((
1


Dạng 2:
dx
cbxax
nmx
∫
++
+
β

α
2

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
dx
xx
B
xx
A
a
dx
xxxxa
nmx
dx
cbxax
nmx
∫∫∫
−
+
−
=
−−
+
=
++
+
β
α
β
α

β
α
)(
1
))((
2121
2


Dạng 3:
dx
c
bx
ax
)x(f
2
∫
+
+

với f(x) là ña thức bậc lớn hơn 1.

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
2
1 2 1 2
( ) ' ' 1
( ( ) ) ( ) ( )
( )( )
f x m x n A B
dx h x dx h x dx dx

ax bx c a x x x x a x x x x
β β β β
α α α α
+
= + = + +
+ + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫


TH2: Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm kép x = x
0
.

Bằng cách viết lại: ax
2
+ bx + c = a(x - x
0
)
2
. Ta có:
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 44- Ths. Nguyễn Văn Bảy


2
( )f x

I dx
ax bx c
β
α
=
+ +
∫

2
0
1 ( )
( )
f x
dx
a x x
β
α
=
−
∫

Dùng phương pháp ñổi biến ñặt t = x – x
0


Ví dụ 1: Tính tích phân:
a)
1
0
2 3

2 1
x
dx
x
−
∫
+
b)
2
1
4
0
2 1
( 1)
x
J dx
x
+
=
∫
+
c)
1
3
0
2 2
(2 1)
x
K dx
x

+
=
∫
+

Giải
a)
1 1
1
0
0 0
2 3 4
(1 ) ( 4ln | 2 1|) 1 4ln2
2 1 2 1
x
I dx dx x x
x x
−
= = − = − + = −
∫ ∫
+ +

b)
2
1
4
0
2 1
( 1)
x

J dx
x
+
=
∫
+

ðặt t = x + 1
⇒
x = t – 1
⇒
dt = dx
ðổi cận: x = 0
⇒
t = 1 và x = 1
⇒
t = 2

2 2
2 2 2
4 4 2 3 4
1 1 1
2
2 3
1
2( 1) 1 2 4 3 2 4 3
2 2 1 3
8
t t t
J dt dt dt

t t t t t
t t t
− + − +
 
⇒ = = = − +
∫ ∫ ∫
 
 
 
= − + − =
 
 

c)
1
3
0
2 2
(2 1)
x
K dx
x
+
=
∫
+

ðặt
1
2 1 2

2
t x dt dx dx dt
= + ⇒ = ⇒ =
ðổi cận:
0 1 và 1 3
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

3
3 3
3 2 3 2
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 5
2 2 2 2 9
t
K dt dt
t t t t t
+
   
⇒ = = + = − − =
∫ ∫
   
   


Ví dụ 2: Tính tích phân:
a)
2
1

2
0
2 3
9
x
I dx
x
−
=
∫
−
b)
1
2
0
3 4
6
x
J dx
x x
+
=
∫
+ −
c)
2
1
2
0
4

5 6
x
K dx
x x
+
=
∫
+ +

Giải
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 45- Ths. Nguyễn Văn Bảy

2
1 1 1
2 2
0 0 0
1
1
0
0
2 3 15 15 ( 3) ( 3)
a) 2 2
9 9 6 ( 3)( 3)
15 1 1 15 3 15
2 2 ln 2 ln2
6 3 3 6 3 6
x x x

I dx dx dx
x x x x
x
dx x
x x x
 
− + − −
 
= = + = +
∫ ∫ ∫
 
 
− − − +
 
 
−
   
 
= + − = + = −
∫
 
 
 
− + +
 
   

b)
1 1
2

0 0
3 4 3 4
6 ( 2)( 3)
x x
I dx dx
x x x x
+ +
= =
∫ ∫
+ − − +

3 4 ( 3) ( 2)
Ta có
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
( ) 3 2

( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
A B x A B
x x
+ + + −
= + =
− + − + − +
+ + −
=
− +

ðồng nhất 3x + 4 với (A + B)x + 3A – 2B ta có:
3 2

3 2 4 1
A B A
A B B
+ = =
 
⇒ ⇔
 
− = =
 

( )
1 1
0 0
1
0
3 4 2 1
( 2)( 3) 2 3
2ln | 2| ln | 3| ln3
x
I dx dx
x x x x
x x
+
 
⇒ = = +
∫ ∫
 
− + − +
 
= − + + = −

Ví dụ 3: Tính tích phaân:
∫
−+
=
1
0
2
)9)(1(
8
dx
xx
x
I

Giải:
∫
∫∫
−
+
−
+
+
=
+−+
=
−+
=
1

0
1
0
1
0
2
)
331
(
]
)3)(3)(1(
8
[
)9)(1(
8
dx
x
C
x
B
x
A
dx
xxx
x
dx
xx
x
I

Xét
)3)(3)(1(
)3)(1()3)(1()3)(3(
331)3)(3)(1(
8
+−+
−++++++−
=
+
+
−
+
+
=
+−+
xxx
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 46- Ths. Nguyễn Văn Bảy

)3)(3)(1(
339)24()(
)3)(3)(1(
)32()34()9(
2
222
+−+
−+−−+++
=
+−+
−−++++−
=
xxx
CBAxCBxCBA
xxx
xxCxxBxA

0 1
4 2 8 1
9 3 3 0 2
A B C A
B C B
A B C C
+ + = =
 
 
⇒ − = ⇔ =
 
 

− + − = = −
 

⇒
1
1
0
0
1 1 2
( ) (ln | 1| ln | 3| 2ln | 3|)
1 3 3
I dx x x x
x x x
= + − = + + − − −
+ − −
∫

= – ln3



IV.
IV. IV.
IV. PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁN
PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁNPHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁN
PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁN:
::
:

1. Phương pháp ñổi biến số: Giả thiết rằng các hàm số dưới dấu tích
phân liên tục trên ñoạn lấy tích phân.
Dạng : Tính tích phân:
( ). '
b
a
I f u u dx
=
∫


+ ðặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ ðổi cận: x = a
⇒
t =
α
và x = b
⇒
t =
β

Khi ñó:
∫
=
β
α
dttfI )(

a) Tích phân của hàm vô tỷ:
Số thứ tự

Dạng Cách giải
1
( , )
n
I f x ax b dx
β
α
= +
∫

ðặt t =
n
bax +

2
1
( , ).
k n k k
I f x ax b x dx
β
α
−
= +
∫

ðặt t =

n k
ax b
+

3
1
( , ).
m k n k k
I f ax b ax b x dx
β
α
−
= + +
∫

ðặt t =
mn k
ax b
+

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 47- Ths. Nguyễn Văn Bảy

Các dạng toán phải nhân thêm lượng liên hiệp:
Dạng 1. I =
∫
+±+
β

α
dx
b)x(pa)x(p
1


Dạng 2. I =
[ ]
∫
+±
β
α
dx
b)x(p)x(p
1
2


b) Tích phân của hàm lượng giác
Số thứ
tự
Dạng Cách giải
1
(sinx).cos
f xdx
β
α
∫

ðặt t = sinx

2
(cos ).sin
f x xdx
β
α
∫

ðặt t = cosx
3
2
1
(t anx).
os
f dx
c x
β
α
∫

ðặt t = tanx
4
2
1
(cot x).
sin
f dx
x
β
α
∫

ðặt t = cotx
5
(sin 2x,sinx cos )(sinx cos )
f x x dx
β
α
+ −
∫

ðặt t = sinx + cosx
và thay sin2x = t
2
– 1

6
(sin 2x,sinx-cos )(sinx+cos )
f x x dx
β
α
∫

ðặt t = sinx – cosx
và thay sin2x = 1– t
2



c) Tích phân của hàm mũ:

Số thứ tự

Dạng Cách giải
1
1
( ).
x x
I f e e dx
β
α
=
∫

ðặt t = e
x

2
ax
2
( , ).
ax ax
I f e e c e dx
β
α
= +
∫

ðặt t =
ax
e c

+

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 48- Ths. Nguyễn Văn Bảy

3
2
( ).( ' )
u u
I f e u e dx
β
α
=
∫

ðặt t = e
u


d) Tích phân của hàm lôgarit:

Số thứ tự

Dạng Cách giải
1
1
(ln ).
∫

f x dx
x
β
α

ðặt t = lnx
2
1
(ln , ln ).
n
f x a x b dx
x
β
α
+
∫

ðặt
ln
n
t a x b
= +

3
∫
−
=
β
α
dx

x
x
xfI
k
k
1
1
ln
).(ln

ðặt t = ln
k
x

Ví dụ 1:
Tính tích phân: I =
∫
+
+
3
7
0
3
13
1
dx
x
x

Giải :

ðặt t =
3
13 +x
⇒
⇒⇒
⇒ t
3
= 3x + 1 ⇒
⇒⇒
⇒ xdx = t
2
dt
x = 0 ⇒
⇒⇒
⇒ t = 1 và x =
3
7
⇒
⇒⇒
⇒ t = 2
Ta có I
tdt
t
.
3
2
2
1
3
∫

+
−=
15
46
)
5
(
3
1
)2(
3
1
2
1
2
1
2
5
4
=+=+=
∫
t
t
dttt

Ví dụ 2: Tính tích phân:
4
0
2x 1
I dx

1 2x 1
+
=
∫
+ +

ðặt
2
t 2x 1 t 2x 1 2tdt 2dx dx tdt
= + ⇒ = + ⇔ = ⇔ =

ðổi cận x = 0 ⇒ t = 1 và x = 4 ⇒ t = 3
Vậy
4 3 3
2
0 1 1
2x 1 t 1
I dx dt t 1 dt
1 t t 1
1 2x 1
+
 
= = = − +
 
+ +
+ +
 
∫ ∫ ∫

=

3
2
1
t
t ln t 1 2 ln2
2
 
− + + = +
 
 
 

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 49- Ths. Nguyễn Văn Bảy

Ví dụ 3: Tính tích phân:
I =
∫
++
−
2
0
cos41
2sinsin
π
dx
x
xx

Giải
ðặt t =
xcos4 +
⇒
⇒⇒
⇒ cos x = t
2
- 4 ⇒
⇒⇒
⇒ sinxdx = - 2tdt
x = 0 ⇒
⇒⇒
⇒ t =
5
và x =
2
π
⇒
⇒⇒
⇒ t =2
Ta có I =
∫ ∫∫
+
−−−−=
+
−
5
2
5

2
2
2
5
1
1
14)722(2
1
92
2
3
dt
t
dtttdt
t
tt


3
15
ln14
3
46522 +
−
−
=


Ví dụ 4: Tính tích phân
3

2
0
sin tan
I x xdx
π
=
∫
.
π π
= =
∫ ∫
/3 /3
2 2
0 0
sinx
I sin xtgxdx sin x. dx
cosx

⇒
(
)
2
/3
0
1 cos x sinx
I dx
cosx
π
−
=

∫
,
ðặt
u cosx
=
⇒
du sinxdx
− =

ðổi cận
2
1
3
10 =⇒==⇒= uxvàux
π

(
)
( )
2
1/2
1
1 u du
I
u
− −
=
∫
=
1

1
2
1/ 2
1/ 2
1 u 3
u du lnu ln2
u 2 8
 
 
− = − = −
 
 
 
 
∫

Ví dụ 5: Tính các tích phân:
ln2 ln13
0 ln4
1
) )
6 1
12
x
x x
x x
e
a I dx b J dx
e e
e e

−
= =
∫ ∫
− −
+ +

Giải
ln2 ln2
2
0 0
1
)
6 1 6
x
x x x x
e
a I dx dx
e e e e
−
= =
∫ ∫
− + + −

ðặt
x x
t e dt e dx
= ⇒ =

ðổi cận:
0 1; ln2 2

x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 50- Ths. Nguyễn Văn Bảy

( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
2
1
1 1 1 1 1
6 ( 3)( 2) 5 3 2
1
ln | 3| ln | 2| ln3 3ln2 .
5
I dt dt dt
t t t t t t
t t
 
= = = −
∫ ∫ ∫
 
− − − + − +
 
− − + = −

ln13
ln4
)
12
x
x x
e
b J dx
e e
=
∫
+ +

ðặt
2
12 12 2
x x x
t e e t tdt e dx
= + ⇒ = − ⇒ =
ðổi cận:
ln4 4; ln13 5
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

5
5 5
2
4 4
4
2 8 6 8 6

ln | 4| ln | 3|
12 7( 4) 7( 3) 7 7
16 18
ln3 ln2
7 7
t
dt dt t t
t t t t
 
 
= + = + + −
∫ ∫
 
 
+ − + −
 
 
= −

Ví dụ 3: Tính các tích phân:
( )
( )
2
7
3
2
1
3
1 1
1 ln 1

) )
ln
9 ln
1 ln 1
) )
1 ln
1 4 3ln
e e
e
e e
x
a I dx b J dx
x x
x x
x
c K dx d L dx
x x
x x
+
= =
−
+
= =
+
+ −
∫ ∫
∫ ∫

Giải

2
3
1 ln
)
ln
e
e
x
a I dx
x x
+
=
∫

ðặt
1
ln
t x dt dx
x
= ⇒ =

ðổi cận:
2
1; 2
x e t x e t
= ⇒ = = ⇒ =

2
3
2 2

2 3
1 1
1
1 1 1 7
ln | | ln2.
3 3
t
J dt t dt t t
t t
+
   
= = + = + = −
∫ ∫
   
   

( )
2
1
1
)
9 ln
e
b J dx
x x
=
∫
−

ðặt

1
ln
t x dt dx
x
= ⇒ =

ðổi cận:
1 0; 1
x t x e t
= ⇒ = = ⇒ =

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 51- Ths. Nguyễn Văn Bảy

( )
1 1 1
2
0 0 0
1
0
1 1 1 1 1
( 3)( 3) 6 3 3
9
1 1
ln | 3| ln | 3| ln 2.
6 6
dt dt dt
t t t t

t
t t
 
= − = − −
∫ ∫ ∫
 
− + − +
−
 
= + − − =

2. Phương pháp tích phân từng phần:

a) Công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
= −
∫ ∫

b) Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần:
Tính tích phân:
∫
=
b
a
dxxgxfI )]()([

+ ðặt:



=
=
⇒



=
=
)(
)('
)(
)(
xGv
dxxfdu
dxxgdv
xfu

+ Khi ñó:
∫∫
−==
b
a
b
a
b
a

vduvudxxgxfI .)().(


∫
−=
b
a
b
a
dx
xfxGxGxf )(')()().(

c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần:
Xét P(x) là một ña thức biến x, ta có các dạng toán áp dụng công
thức tích phân tứng phần sau ñây
II. Phương pháp nguyên hàm từng phần:
a) Công thức tổng quát:

∫ ∫
−= vduuvudv

b) Dạng tường minh của phương pháp tích phân từng phần:
Trong thực hành ta thường gặp bài toán dạng sau:

∫
= dx)]x(g)x(f[I

Trong ñó g(x) là hàm dễ tìm nguyên hàm.
Cách giải:
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT

“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 52- Ths. Nguyễn Văn Bảy

ðặt:



=
=
⇒



=
=
)(
)('
)(
)(
xGv
dxxfdu
dxxgdv
xfu
, G(x) là một nguyên hàm của g(x).
Khi ñó:

∫∫
−== vduuvdx)x(g).x(fI

Các dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần cụ thể như
sau:
Số TT Dạng Cách giải
1
( ).sin
I f x xdx
=
∫

ðặt
{
( )
sin
u f x
dv xdx
=
=

2
( ).cos
I f x xdx
=
∫

ðặt
{
( )
cos
u f x
dv xdx

=
=

3
( ).
x
I f x e dx
=
∫

ðặt
( )
x
u f x
dv e dx
=


=


4
( ).ln
k
I f x xdx
=
∫

ðặt
ln

( )
k
u x
dv f x dx
=


=


5
.sinx
x
I e dx
=
∫

ðặt
sinx
x
u e
dv dx
=


=


6
.cos

x
I e xdx
=
∫

ðặt
cos
x
u e
dv xdx
=


=




Ví dụ 1: Tính tích phân:
2
0
cos
x xdx
π
∫

Giải
ðặt




=
=
⇒



=
=
xsinv
dxdu
xdxcosdv
xu

Ta có:
( )
1
2
xcos
2
xdxsinxsinxxdxcosxI
2
2
2
2
0
0
0
0
−=+=

−==
∫∫
ππ
π
π
π
π


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 53- Ths. Nguyễn Văn Bảy


Ví dụ 2: Tính tích phân:
1
0
x
I xe dx
=
∫

Giải
ðặt



=
=

⇒



=
=
xx
ev
dxdu
dxedv
xu

( ) ( ) ( )
( )
11ee
exedxexedxxeI
1
0
x
1
0
x
1
0
x
1
0
x
1
0

x
=−−=
−=−==
∫∫

Ví dụ 3: Tính tích phân: I =
∫
+
+
3
0
1
1ln
dx
x
x

Giải
ðặt t =
1+x
⇒
⇒⇒
⇒ dt =
12 +x
dx
⇒
⇒⇒
⇒ 2dt =
1+x
dx

x = 0 ⇒
⇒⇒
⇒ t = 1 và x = 3 ⇒
⇒⇒
⇒ t =2
Ta có I =
dtt
∫
2
1
ln2
= 2
dtt
∫
2
1
ln
= 2.J
Tính J =
dtt
∫
2
1
ln

ðặt




=
=
dtdv
tu ln
⇒
⇒⇒
⇒





=
=
tv
t
dt
du
.
⇒ J =
∫
−
2
1
2
1
ln. dttt
= 2ln2 - 1
Vậy I = 2.J = 4ln2 – 2
Ví dụ 2: Tính các tích phân:

2 1
2
1 0
) ln ) (2 1)ln( 1)
a I x xdx b J x x dx= = + +
∫ ∫

Giải
2
2
1
) ln
a I x xdx
=
∫

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 54- Ths. Nguyễn Văn Bảy

ðặt
2
3
1
ln
1
3
du dx

u x
x
dv x dx
v x

=

=


⇒
 
=


=



2 2
2 2
2 3 2 3
1 1
1 1
1 1 8 1 8 7
ln ln ln2 ln2
3 3 3 9 3 9
I x xdx x x x dx x
= = − = − = −
∫ ∫

1
0
) (2 1)ln( 1)
b J x x dx
= + +
∫

ðặt
2
1
ln( 1)
1
(2 1)
u x
du dx
x
dv x dx
v x x

= +
=


⇒
+
 
= +



= +


1
1 1
1
2 2
0
0 0
0
1
(2 1)ln( 1) ( )ln( 1) 2ln2
2
1
2ln2
2
J x x dx x x x xdx x
= + + = + + − = −
∫ ∫
= −


B
BB
B. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG:
. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG:. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG:
. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG:

Bài 1:
Tính các tích phân:
1.
∫
−
+
3
2
1
12
dx
x
x
2.
∫
−
1
0
2
4
2
dx
x
3.
∫
−
+−
+
0
1

2
23
3
dx
xx
x

4.
∫
−
−
+−
0
1
2
)3(
)2)(1(
dx
x
xx
5.
∫
+−
2
0
2
dx|2x3x|
6.
∫
−

2
2
2
xdxcos.|xsin|
π
π

7.
dxx
∫
+
2
0
2
)2cos1(
π
8.
2
0
sin3 (1 cos )
x x dx
π
+
∫
9.
∫
+
4
6
)cot1(sin

π
π
dxgxx

10.
∫
2
0
23
cossin
π
xdxx

11.
∫
2
0
2
2cossin
π
xdxx
12.
2
3
0
sin cos2
x xdx
π
∫

Bài 2:
Tính các tích phân:

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 55- Ths. Nguyễn Văn Bảy

1.
11
12
12
dx
x x
−
−
+ +
∫
2.
5
1
. 3 1
dx
x x
+
∫
3.
dx
x
x

∫
−
−+
++
62
2
3
92
22

4. ∫
+
7
0
3
2
3
1
dx
x
x
5.
∫
−
1
0
2
2
dx
x

x
6.
∫
−
1
0
2
1 dxx


Bài 3: Tính các tích phân:
1.
∫
−
+
6
0
33
cossin
cossin
π
dx
xx
xx
2.
∫
−
+
4
0

3
12cos
)tan1(
π
dx
x
x
3.
∫
+−
6
0
2
sinsin56
cos
π
dx
xx
x

4.
∫
−
2
0
2
sin41
cos
π
dx

x
x
5.
2
2
0
2
(1 s cos )
os
inx+
c x
dx
x
π
∫
+
6.
∫
+
4
3
cos.sin41
π
π
xdxx


Bài 4: Tính các tích phân:
1.
∫

+
1
0
1
dx
e
e
x
x
2.
ln5
0
1 3
x
x
e
dx
e+
∫
3.
dx
ee
x
∫
−
−+
2ln
0
121
1

4.
∫
+
e
dx
xx
1
ln1
1
5.
∫
+
e
dx
x
xx
1
ln.ln1
6.
3
2 ln
ln
e
e
x
dx
x x
−
∫

Bài 5. Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phần:
1.
∫
+
4
0
sin)12(
π
xdxx
2.
∫
4
0
cos
π
xdxx
3.
∫
−
2
0
2
sin)1(
π
xdxx

4.
∫
1
0
3
ln xdxx
5.
∫
−
+
1
0
)1ln(
e
dxxx
6.
∫
4
0
2
cos
π
dx
x
x

7.
∫
e
dx

x
x
1
5
ln
8.
∫
+
1
0
)1ln( dxx
9.
∫
+
1
0
)1( dxex
x

10.
∫
1
0
2
dxxe
x
11.
∫
2
0

.sin
π
dxex
x
12.
∫
+
2
0
22
)cos2(
π
dxex
x

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 56- Ths. Nguyễn Văn Bảy

13.
∫
+
1
0
32
)3( dxex
x
14.
∫

−
π
0
2
3cos xdxe
x
15.
∫
e
xdxx
1
2
ln

16.
∫
e
xdx
1
3
ln
17.
∫






e

dx
x
x
1
2
ln
18.
∫
2
1
2
ln dx
x

19.
∫
+
e
e
dx
x
x
1
2
)1(
ln
20.
∫
−
2

0
3
dxxe
x
21.
∫
e
dxxx
1
2
)ln(

Bài 6 : Tích phân hỗn hợp :
x x
x
x (x )ln x e xe
a) dx dx
x xln x xe
s x(s cosx) x sin x
dx dx
xsin x c x
2 1
1 0
2
2
1 0
1 2 1 2
b)
1
1 inx inx 2

c) d)
1 1 os2
π
+ + + + +
+ +
+ + + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫

Bài 7: ðề thi ñại học khối D- 2003:
Tính tích phân: I =
dxxx
∫
−
2
0
2

Bài 8: ðề thi ñại học khối A- 2003:
Tính tích phân:
∫
+
32
5
2
4
1
dx
xx

Bài 9: ðề thi ñại học khối A- 2004:
Tính tích phân:
∫
++
2
1
11
1
dx
x

Bài 10: ðề thi ñại học khối B - 2003:
Tính tích phân: I=
dx
x
x
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π


Bài 11: ðề thi ñại học khối A - 2005:

Tính tích phân: I =
dx
x
xx
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 57- Ths. Nguyễn Văn Bảy

Bài 12: ðề thi ñại học khối B - 2005:
Tính tích phân: I =
dx
x
xx
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π

Bài 13: ðề thi ñại học khối D - 2005:
Tính tích phân I =
xdxxe
x
cos)cos(
2
0
sin
∫
+
π

Bài 14: ðề thi ñại học khối A - 2006:
Tính tích phân:
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Bài 15: ðề thi ñại học khối A - 2008:
Tính tích phân:

4
6
0
tan
cos2
x
x
π
∫
dx
Bài 16: ðề thi ñại học khối B - 2008:
Tính tích phân:
4
0
sin( )
4
sin 2 2(1 sin cos)
x dx
x x
π
π
−
+ + +
∫

Bài 17: ðề thi ñại học khối A - 2009:
Tính tích phân
dxxx
∫
−

2
0
23
cos)1(cos
π

Bài 18: ðề thi ñại học khối D- 2004:
Tính tích phân: I=
dxxx
e
∫
−
1
2
)ln(

Bài 19: ðề thi ñại học khối B - 2006:
Tính tích phân:
∫
−+
−
5ln
3ln
xx
3e2e
dx

Bài 20: ðề thi ñại học khối D - 2006:
Tính tích phân
dxe)2x(

1
0
x2
∫
−

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 58- Ths. Nguyễn Văn Bảy

Bài 21: ðề thi ñại học khối D - 2007:
Tính tích phân
dxxlnx
e
0
23
∫

Bài 22: ðề thi ñại học khối D - 2008:
Tính tích phân
dx
x
xln
2
1
3
∫

Bài 23: ðề thi ñại học khối D - 2009:

Tính tích phân
dx
e
x
∫
−
3
1
1
1

Bài 24: ðề thi ñại học khối B - 2009:
Tính tích phân
dx
x
x
∫
+
+
3
1
2
)1(
ln3

Bài 25: ðề thi ñại học khối A - 2010:
Tính tích phân
x x
x
x e x e

dx
e
1
2 2
0
2
1 2
+ +
+
∫

Bài 26: ðề thi ñại học khối B - 2010:
Tính tích phân
e
lnx
dx
x( ln x)
2
1
2 +
∫

Bài 27: ðề thi ñại học khối D- 2010:
Tính tích phân
e
x lnxdx
x
1
3
2

 
−
 
 
∫

Bài 25: ðề thi ñại học khối A - 2011:
Tính tích phân
xsin x (x )cosx
dx
xs cosx
4
0
1
inx
π
+ +
+
∫

Bài 26: ðề thi ñại học khối B - 2011:
Tính tích phân
xsin x
dx
c x
3
2
1
1
os

π
+
∫

Bài 27: ðề thi ñại học khối D- 2011:
Tính tích phân
x
lnxdx
x
4
1
4 1
2 2 1
−
+ +
∫

TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T
Vỡ cht lng tht trong giỏo dc

727 583 TRN CAO VN NNG *T: 3759.389 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 59- Ths. Nguyn Vn By

DIN TấCH HầNH PHểNG
DIN TấCH HầNH PHểNGDIN TấCH HầNH PHểNG
DIN TấCH HầNH PHểNG



A. TOẽM TếT LYẽ THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:
A. TOẽM TếT LYẽ THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:A. TOẽM TếT LYẽ THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:

A. TOẽM TếT LYẽ THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:

BI TON 1: Tớnh din tớch hỡnh phng
gii hn bi ủng cong y = f(x), trc
honh v hai ủng thng: x = a, x = b.


=
b
a
dxxfS |)(|

tớnh tớch phõn ny, ta thc hin:
+ Tỡm nghim x
1
, x
2
, ca phng
trỡnh f(x) = 0 trờn ủon [a; b].
+ Lp bng xột du. Da v du ca
f(x) trờn cỏc khong ủ tớnh din tớch S.


Vớ d 1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ủng :
(C) :
x
x
y
2

=
, trc Ox v hai ủng thng x = 1, x = 3.

Gii :
+ Phng trỡnh honh ủ giao ủim ca (C) vi trc honh :

20
2
==

x
x
x

+ Bng xột du :





V
y

+=

+

=

=

3
2
2
1
3
2
2
1
3
1
)
2
1()
2
1(
222
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
S

3
4
ln2)
2
3
ln21()2ln21()ln2()ln2(
3
2
2
1
=+=+= xxxx

x 1 2 3

x
x 2


0 +
TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 60- Ths. Nguyễn Văn Bảy



Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
(C) :
2

1 xxy +=
, trục Ox và ñường thẳng x = 1

Giải :
+ Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) v
ớ
i tr
ụ
c hoành :

001
2
=⇔=+ xxx

+ V
ậ
y di
ệ
n tích hình ph
ẳ

ng c
ầ
n tìm là :

∫∫
+=+=
1
0
2
1
0
2
1|1| dxxxdxxxS
, vì
]1;0[,01
2
∈∀≥+ xxx

ðặ
t
tdtxdxtxxt =⇒−=⇒+= 11
222

ðổ
i c
ậ
n : x = 0

⇒
t = 0 và x = 1

⇒
t =
2


V
ậ
y ta có:

)122(
3
1
3
2
1
2
1
3
2
−===
∫
t
dttS
(
ñ
vdt)

BÀI TOÁN 2
: Tính di
ệ

n tích hình
ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i hai
ñườ
ng cong
y = f(x),y = g(x) và hai
ñườ
ng th
ẳ
ng
x = a, x = b.

∫
−=
b
a
dxxgxfS |)()(|


Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
(P) : y = x
3
,(d) : y = -x , x = - 1 và x = 1

Giải:
Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (P) và (d):
x
3
= -x
⇔
x = 0.
Di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng là:

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 61- Ths. Nguyễn Văn Bảy

S =

dxxxdxxx |||)(|
1
1
3
1
1
3
∫∫
−−
+=−−

Bảng xét dấu
x - 1 0 1

x
3
+ x
- 0 +
Do ñó:
S =
2
3
)
24
()
24
()()(
1
0
24

0
1
24
1
0
3
0
1
3
=+++−=+++−
−
−
∫∫
xxxx
dxxxdxxx


BÀI TOÁN 3: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai ñường cong y = f(x),
y = g(x):
+ Tìm nghiệm x
1
, x
2
và x
3
của phương
trình f(x) = g(x)
+ Diện tích hình phẳng cần tìm là:

∫∫
−+−=
3
2
2
1
)]()([)]()([
x
x
x
x
dxxgxfdxxgxfS


Ví dụ 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ñường cong:
(C): y = x
2
– 2x và (C’): y = -x
2
+ 4x
Giải:
+ Phương trình hoàng ñộ giao ñiểm của hai ñường cong là:
x
2
– 2x = -x
2
+ 4x ⇔ x
2
– 3x = 0 ⇔ x = 0
∨

x = 3
+ Diện tích hình phẳng cần tìm là:
dxxxdxxxxxS
∫∫
−=+−−−=
3
0
2
3
0
22
62)4(2

Bảng xét dấu:
x 0 3
2x
2
-6x + 0 - 0 +
Do ñó:

93
3
2
)26(
3
0
23
3
0
2

=+−=−=
∫
xxdxxxS

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ðẠT
“Vì chất lượng thật trong giáo dục”

727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 62- Ths. Nguyễn Văn Bảy

B
BB
B. BAÌI TÁÛP VÁÛN
. BAÌI TÁÛP VÁÛN . BAÌI TÁÛP VÁÛN
. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG:
DUÛNG:DUÛNG:
DUÛNG:



Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
a) y = x
3
- 5x
2
+ 6x , y = 0, x = 1 và x = 4.
b) y = (x - 1)e
x
, y = 0, x = 0 và x = 2.
c) y = xln
2

x, y = 0, x = 1 và x = e

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
a) y = xe
x
và y = ex
b)
xxy 2
2
−=

và
xxy 4
2
+−=

c) y =
xx −3
và trục Ox.
d)
2
xy =

và
xy =

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ñường:
y = 2 - x
2
và y =  x

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = −x
2
+ 3x−
2,
d
1
: y = x − 1 và d
2
: y = − x +2.

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x
3
− 3x và ñường
thẳng y = 2.

TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T
Vỡ cht lng tht trong giỏo dc

727 583 TRN CAO VN NNG *T: 3759.389 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 63- Ths. Nguyn Vn By

THỉ TấCH CUA VT THỉ TROèN XOAY
THỉ TấCH CUA VT THỉ TROèN XOAYTHỉ TấCH CUA VT THỉ TROèN XOAY
THỉ TấCH CUA VT THỉ TROèN XOAY


A. TOẽM TếT LYẽ
A. TOẽM TếT LYẽA. TOẽM TếT LYẽ
A. TOẽM TếT LYẽ THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:
THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA: THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:
THUYT VAè Vấ DU MINH HOĩA:

BI TON 1: Th tớch vt th trũn
xoay sinh bi hỡnh phng gii hn bi
ủng cong (C): y = f(x),x = a v x = b
khi xoay quanh trc Ox.
Xỏc ủnh bi cụng thc:



==
b
a
b
a
dxxfdxyV
22
)]([




Vớ d 1: Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh bi hỡnh phng gii hn
bi cỏc ủng
1+
=
x
x
y
, x = 1, x = 2 khi quay quanh trc Ox.
Gii:

Th tớch vt th trũn xoay cn tỡm l:



)2ln
2
1
()ln
2
(
)
1
1
1(
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
+=+=
+
+=
+

==

xx
x
dx
x
xdx
x
x
dxyV


Vớ d 2: Tớnh th tớch vt th trũn xoay sinh bi hỡnh phng gii hn
bi cỏc ủng
x
exy .1=
v x = 2 khi quay quanh trc Ox.
Gii:
Phng trỡnh honh ủ giao ủim ca (C):
x
exy .1=
vi trc Ox l:

0.1 =
x
ex
x = 1
Th tớch vt th trũn xoay cn tỡm l:
y = f(x)