PP TINH THE TICH KHOI DA DIEN

Ba Huy

1
    
I. Tóm tắt lí thuyết
Công thức thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h

 B: diện tích đáy
 h: độ dài chiều cao
II. Bài tập
Dạng 1. CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA vuông góc với đáy và SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài giải
Ta có:

.
1
.
3
S ABC ABC
V SA S


2
a3

4
ABC
S


  

2 2 2
2 2 2
4a a 3a
3
SA SB AB
SA a



Bài 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
SA vuông góc với đáy. Biết AB = 3a, AC = 5a, SAC vuông cân.
Tính thể tích khối chóp.
Bài giải
Ba Huy

2
Ta có:

.
1
.
3
S ABC ABC

V SA S

+) Tính
S
ABC

2 2 2
2 2 2
25a 9a 16a
BC AC AB
  

 BC = 4a
2
11
. 3a.4a 6a
22
ABC
S AB BC   

+) Tính SA
Tam giác SAC vuông cân  SA = AC = 5a
Vậy,
23
.
1
5a.6a 10a
3
S ABC
V 

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,


 

. Cho SA vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính thể
tích hình chóp S.ABCD.
Bài giải

Ta có:
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SA S

+) Tính
D
S
ABC


Do 

 

nên 


 

 ABD đều.
22
DD
a 3 a 3
2S 2.
42
ABC AB
S   

+) Tính SA
60
0
D
C
A
B
Ba Huy

3
3
AC 2 3
2
a
a

2 2 2 2 2 2
4a 3a aSA SC AC
SA a

    


Vậy,
23
.D
1 a 3 3
.
3 2 6
S ABC
a
Va

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang
cân (AB//CD) với AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA
vuông góc với đáy và SA = 8cm. Tính thể tích của khối chóp.
Bài giải
Thể tích khối chóp:
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SA S

Chỉ cần tính
D
S
ABC
.

Ta có:
AB
2
= 625
AC
2
+ BC
2
= 400 + 225 = 625
 AC
2
+ BC
2
= AB
2

 Tam giác ABC vuông tại C.
Gọi CH là đường cao trong ABC.
Từ
. 20.15
. . 12 ( )
25
AC BC
CH AB AC BC CH cm
AB
    

2
2

225
. 9 ( )
25
BC
HB AB BC HB cm
AB
    

Do hình thang ABCD cân nên CD = AB – 2HB = 25 – 2.9 = 7 (cm)
2
D
( D) (25 7)12
192
22
ABC
AB C CH
S cm

  

Vậy,
3
.D
1
.8.192 512
3
S ABC
V cm

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Mặt bên

25
15
20
A
B
D
C
H
Ba Huy

4
SBC là tam giác đều cạnh a. Cho 

= 120
0
. Tính thể tích khối
chóp.
Bài giải
Thể tích khối chóp:
.
1
.
3
S ABC ABC
V SA S

+) Tính
ABC
S

Gọi M là trung điểm của BC. Do tam
giác SBC đều nên
SM BC
.
Ta có:
()
BC SM
BC SAM
BC SA







BC AM
.
Tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên nó
cân tại A. Do góc BAC bằng 120
0
nên góc MAB bằng 60
0
.
Ta có:
23
tan
MB a
AM
MAB



2
1 1 a
. . .
22
2 3 4 3
ABC
a
S AM BC a  

+) Tính SA
3
2
a
SM 

2 2 2
2 2 2
3a a 2a 2
S
4 12 3
3
a
A SM AM SA      

Vậy,
23
.
1 2 a 2

.
3 36
3 4 3
S ABC
aa
V 

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC =
a
M
A
C
B
S
a
2
60
0
A
M
B
Ba Huy

5
a

. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài giải
Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)

cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD)
nên giao tuyến của chúng cũng vuông
góc với (ABCD).
Ta có
( ) ( D) ( D)SA SAB SA SA ABC   

. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SA S

+) 

 


+) 

 

 

 

 

 


   
Vậy,
3
2
.D
1
.a
33
S ABC
a
Va

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. SA vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính V
S.ABCD
.
Bài 8. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam
giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là
chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’).
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.
Bài 9. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC
đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a.
a. Tính V
O.ABC
và đường cao OH.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
(AB//CD), AB = 4a, DC = 8a và 


= 60
0
. Cho (SD)  (ABCD).
Tính V
S.ABCD
.
Dạng 2. CẠNH BÊN KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
C
A
B
D
S
Ba Huy

6







K
)
hối chóp đều
)
Đáylà đagiácđều
Chânđườngcaotrùngvớitâmcủáy

 Diện tích tam giác đều cạnh a:

2
a3
S
4

 Diện tích hình vng cạnh a:

2
Sa

Bài 11. Cho hình chóp đều tam giác S.ABC với tam giác ABC có
tâm là O và cạnh bằng a, SO = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài giải

Do S.ABC đều nên SO là đường cao.
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S

Ta có:

2
a3
4
ABC

S

Thể tích khối chóp:

  
23
1 1 a 3 a 3
. .2a.
3 3 4 6
ABC
V SO S

Bài 12. Cho khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a và
cạnh bên bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp đó.
Bài giải

Ta có: S
ABCD
= a
2

Gọi O là tâm của đáy ABCD thì
SO ( D)ABC
. Do đó

. D D
1
.

3
S ABC ABC
V SO S

Ta có: S
ABCD
= a
2

Ba Huy

7
+) Tính SO
Ta có: AC = 


  








 

 

 


 










  






Vậy,

3
2
.D
1 5 a 5
.a
3
2 3 2
S ABC
a

V

Bài 13. Tính thể tích của khối tứ diện đều SABC cạnh a.
Bài giải
Gọi O là tâm của mặt phẳng (ABC)
thì SO là đường cao của hình chóp.
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S


2
a3
4
ABC
S 


2 2 2
SO SM OM

22
3 1 3
.
2 3 2
aa
   


   
   
   

22
8 3a 2a 2
.
9 4 3
3
a
SO   

Vậy thể tích khối chóp cần tìm là:
23
.
1 2 a 3 2

3 4 12
3
S ABC
aa
V 

Bài 14. Cho hình chóp đều tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a. Cạnh bên hợp với đáy góc 60
0
. Tính V
S.ABC
.

O
M
A
C
B
S
Ba Huy

8
Bài giải
Gọi O là tâm của đáy. Khi đó
SO (ABC)
. Suy ra:
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S

 
0
,( ) ( , )
60
SA ABC SA AO SAO
SAO





2
a3
4
ABC
S 


0
23
.tan60 . . 3
32
a
SO AO a  

Vậy
23
.
1 a 3 3
.
3 4 12
S ABC
a
Va

Bài 15. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a.
Cạnh bên hợp với đáy một góc 45
0
. Tính Tính V
S.ABCD
.

Bài 16. Tính thể tích khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy
bằng a và góc 

 60
0
.
Bài giải
Gọi O là tâm của đáy thì
S ( )O ABC
.
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S

+)
2
a3
4
ABC
S 

+) Tính SO
Do tam giác SAB cân và có góc
bằng 60
0
nên là tam giác đều.
 SA = AB = a

60
0
O
M
A
C
B
S
O
A
C
B
S
Ba Huy

9
2
2
2 2 2 2
2 3 2a 2
a
3 2 3
3
aa
SO SA AO SO

      




Vậy,
23
.
1 2 a 3 2

3 4 12
3
S ABC
aa
V 

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm
O, AB = 6a, BC = 8a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng 13a . Tính
V
S.ABCD
.
Bài giải
Gọi O là chân đường cao hạ từ S
lên mặt đáy (ABCD). Khi đó
OA, OB, OC, OD lần lượt là các
hình chiếu của các cạnh bên SA,
SB, SC, SD lên mặt đáy.
Do các cạnh bên bằng nhau nên:
OA = OB = OC = OD
 O là tâm của đường tròn
ngoại tiếp mặt đáy.
Vì mặt đáy là hình chữ nhật nên O là giao của 2 đường chéo AC và
BD.
. D D

1
.
3
S ABC ABC
V SO S


2
D
S . 6a.8a 48a
ABC
AB BC  

 AC
2
= AB
2
+ BC
2
= 36a
2
+ 48a
2
= 84a
2
 AC = 2a


 AO = a



SO
2
= SA
2
– AO
2
= 169a
2
– 21a
2
= 148a
2
 SO = 2a


Vậy
23
.D
1
.2a 37.48a 32a 37
3
S ABC
V 

Bài 18. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh
a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp
O

C
D
B
A
S
Ba Huy

10
S.ABCD
Bài giải
Gọi O là chân đường cao hạ từ đỉnh
S lên (ABCD). Khi đó các góc
OAS, , ,OBS OCS ODS
lần lượt là
các góc hợp bởi giữa các cạnh bên
SA, SB, SC, SD với đáy. Theo giả
thiết suy ra:
0
OAS 60OBS OCS ODS   

Ta có:
O , , D
tan tan DS
SO SO
AO
OAS O

 OA = … = OD
 O là tâm của hình vuông ABCD.
. D D

1
.
3
S ABC ABC
V SO S


2
D
a
ABC
S 


0
26
.tanOAS .tan60
22
aa
SO OA  

Vậy,
3
2
.D
1 6 6
. .a
3 2 6
S ABC
aa

V 

Bài 19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các
cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của
khối chóp S.ABC.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là
tam giác vuông tại B, AB = 

, AC = 2a. Góc giữa hai mp (SBC)
và (ABC) bằng 60
0
. Gọi M là trung điểm của AC. Tính V
S.BCM
và
khoảng cách từ M đến (SBC).
Bài 21. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a , CA
= 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC) và (SCA) tạo với đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích khối chóp đó.
O
C
D
B
A
S
Ba Huy

11
Dạng 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ADM) cắt SB tại N. Tính tỷ
số thể tích của hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (ADG) cắt SB tại
N và cắt SC tại M. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.ADMN
và S.ABCD.
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O. M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AM và
song song với BD cắt SB tại B’ và cắt SD tại D’ . Tính tỷ số của
hai khối chóp S.AB’MD’ và S.ABCD.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O. I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (Q) qua AI và song song
với BD cắt SB tại B’, cắt SC tại C’ và cắt SD tại D’ . Tính tỷ số
của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
Bài 26. Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB của khối
chóp tam giác S.ABC sao








 . Mặt phẳng (P) qua MN
và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỷ số thể
tích của hai phần đó.

CÁC BÀI TOÁN THI TỪ NĂM 2006 ĐẾN NAY
(ĐH – Khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuông góc với mặt
phẳ ọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I
là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC)
vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện
ANIB.
(ĐH – Khối D – 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC
là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng
Ba Huy

12
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các
đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
(ĐH – Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC,
CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ
diện CMNP.
(ĐH – Khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của
SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC.
(ĐH – Khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
BA = BC = a, 

 


 

, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H
đến mặt phẳ
(ĐH – Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên
bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình
chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng AA', B'C'.
(ĐH – Khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với
mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM, DN.
(ĐH – Khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là
tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a. Gọi M là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Ba Huy

13
(CĐ – Khối A, B, D – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang, 

 

 


, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông
góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối
chóp S.BCNM theo a.
(TNTHPT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc 


= 120
0
, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
(TNBT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB = a và AC = a

; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng
(ABC) và SA = a

 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
(ĐH – Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh
AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
(ĐH – Khối B - 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc
giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 60
0
. Tam giác ABC vuông
tại C và 


= 60
0
. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng
với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC .
(ĐH – Khối D - 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC
là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a. M là trung điểm
của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C . Tính thể tích khối tứ diện
IABC theo a và khoảng cách từ A đến mp(IBC).
(CĐ – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AB
= a, SA = a

 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và
CD. Chứng minh rằng MN vuông góc với SP. Tính thể tích khối tứ
diện AMNB theo a.
(TNTHPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa
mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
Ba Huy

14
S.ABCD theo a.
(ĐH – Khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a

. Tính thể

tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM và SC theo a.
(ĐH – Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60
0
. Gọi
G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
(ĐH – Khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc
đoạn AC, AH =


. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng
minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo
a.
(CĐ – Khối A, B, D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45
0
. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.