Phương pháp tính thể tích khối đa diện

Trng THPT Yờn Th
Một số bài toán về tỷ số thể tích
Ngày soạn: 20/9/2010
A. Mục tiêu:
- Rèn kỹ năng dựng thiết thiện và tính diện tích thiết diện.
- Nắm đợc công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ.
- Vận dụng bài toán về tỷ số thể tích của góc tam diện vào làm bài tập tính tỷ số
thể tích.
B. Nội dung:
I. Công thức cần nhớ:
1. Thể tích khối chóp:
V=
1
3
B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.
2. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.
3. Tỷ số thể tích:
Cho khối chóp S.ABC.
A'SA, B'SB, C'SC
.
. ' ' '
. .
'. '. '
S ABC
S A B C
V

SA SB SC
V SA SB SC
=
* MSC, ta có:
.
.
. .
. .
S ABM
S ABC
V
SA SB SM SM
V SA SB SC SC
= =
II. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b.
Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với
AM=x (0x2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết
diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.
2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng
nhau.
GV: Ngô Ngọc Điển
1
S
A
B
C
D
H

A
B
C
D
A
'
B'
C'
D'
H
'
C
B
A
S
A'
B'
C'
A
C
B
S
M
Trường THPT Yên Thế
Hd:
1. ThiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng
MNCB, vu«ng t¹i B vµ M.
1
( )
2

MNCB
S MN CB MB= +
* BM
2
=BA
2
+AM
2
⇒BM=
2 2
a x+
* ∆SMN ®ång d¹ng ∆SAD,
⇒
. (2 ).
2
SM AD a x b
MN
SA a
−
= =
VËy
2 2 2 2
1 2
. (4 )
2 2 4
MNCB
ab bx b
S b a x a x a x
a a
−

 
= + + = − +
 
 
2. XÐt hµm sè
2 2
( ) (4 )
4
b
f x a x a x
a
= − +
(0≤x≤2a)
2 2
2 2
2 4
'( )
4
b x ax a
f x
a
a x
 
− + −
=
 
+
 
f'(x)=0 ⇔
1

(1 )
2
1
(1 )
2
x a
x a

= +



= −


Ta cã: f(0)=ab.
f(2a)=
5
1,118
2
ab ab≈
f(
1
(1 )
2
a +
)=
2
1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 1,134

4
2 2
ab ab− + + ≈
f(
1
(1 )
2
a −
)=
2
1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 0,96
4
2 2
ab ab+ + − ≈
⇒
[ ]
2
0;2
1 1 1
( ) . .(3 ) 1 (1 )
4
2 2
a
Max f x ab= − + +
khi
1
(1 )
2
x a= +

KÕt luËn: VËy víi
1
(1 )
2
x a= +
th× diÖn tÝch cña thiÕt diÖn lín nhÊt.
3. Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD ⇒
2
.
1 2
. .
3 3
S ABCD
ABCD
a b
V SA V
S
= = =
Gäi V1 lµ thÓ tÝch khèi S.MNCB
V1=V
(SMBC)
+V
(SMNC)
Ta cã
. . 2
. . 2
SMBC
SABC
V
SM SB SC SM a x

V SA SB SC SA a
−
= = =
V
SABC
=
2
1 1
. ( ) .2
3 6 2
V
SA dt ABC a b= =
⇒
2
2 2 (2 )
. .
2 2 2 3 6
SMBC
a x V a x a b a x ab
V
a a
− − −
= = =
GV: Ng« Ngäc §iÓn
2
S
A
M N
D
C

B
Trng THPT Yờn Th
* Ta có:
2
2
2
. . (2 )
.
. . 4
SMNC
SACD
V
SM SN SC SM SN MN a x
V SA SC SD SA SD AD a


= = = =
ữ

V
SACD
=
2
2 3
V a b
=
V
SMNC
=
2 2 2

2
(2 ) (2 ) .
.
4 3 12
a x a b a x b
a

=
V
1
= V
SMNCB
=
2
(2 ) (2 )
6 12
a x ab a x b
+
Ycbt V
1
=
2
2 3
V a b
=

2 2
(2 ) (2 )
6 12 3
a x ab a x b a b

+ =
x
2
-6ax+4a
2
=0

(3 5) 2 ( )
(3 5) ( / )
x a a loai
x a t m

= + >

=


Kết luận: Vậy x=
(3 5)x a=
thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tơng đơng.
Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
. Các mặt phẳng (ABC
1
) và
(A

1
B
1
C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Hd:
Gọi V
1
=
1
.C MNC
V
; V
1
=
1 1 1
.C MNB A
V
V
3
=
.C MNBA
V
; V
4
=
1 1
MNABB A
V
Gọi V là thể tích của lăng trụ.
1 1 1

. 1 2C A B C
V V V= +
Mặt khác:
1 1 1
1 1
. 1 1 1
. . 1
. . 4
C A B C
V CM CN CC
V CA CB CC
= =

1 2
1 1
. ; .
4 3 12 3 12 4
V V V V
V V V= = = =
1 1 1 1 1 1
3 2
3
4 1 2 3
4
5
12
C ABC CMNC CA B C CMNC
V V V V V V
V
V

V
V V V V V
= = =
=
= =
Vậy V
1
: V
2
: V
3
: V
4
= 1:3:3:5
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đờng cao của
hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x
2
(0<x<a). () là mặt
phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết
diện theo a và x.
GV: Ngô Ngọc Điển
3
A B
C
M
N
A'
B'
C'

Trng THPT Yờn Th
2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trờng hợp đó tính tỷ
số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.
Hd:
1. Ta có
SA(ABCD)
() (ABCD)
SA // ()
()(SAB)=MN // SA
()(SAC)=OK // SA
()(SABCD)=NH qua O
()(SCD)=KH
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD)
S
td
=S
ht MKON
+ S
KOH
=
1 1
( ). . .
2 2
MN KO ON OK OH+ +
MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
2
2 2 2 2 2
(2 )
2

a
IN IH x a a x ax+ = + = +
Std=
2
2
1
( ).
2 2
a
a x x ax+ +
2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm AB
x=a/2.
V=
3
1
. . ( )
3 3
a
SA dt ABCD =
V1=V
SOECH
+V
KOE.MNB
3
3
.
1 1
. . ( )
3 3 2 24
S OECH

a a
V OK dt OECH

= = =
ữ

2
3
.
1
. ( ) .
2 2 2 16
KOE MNB
a a a
V ON dt MNB

= = =
ữ

3 3 3 3
1 2 1
5 11
24 16 48 48
a a a a
V V V V= + = = =
Vậy
2
1
11
5

V
V
=
Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy
AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tơng ứng
M, N.
GV: Ngô Ngọc Điển
4
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
E
Trng THPT Yờn Th

Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã
cho thành hai phần tơng đơng (có thể tích bằng nhau).
Hd:
Đặt
(0 1)
SM
x x
SA
= < <
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V
2
.
.
.
.
. .
(1)
. .
. .
(2)
. .
S MNC
S ABC
S MCD
S ACD
V
SM SN SC
x
V SA SB SC
V

SM SC SD
x
V SA SC SD
= =
= =
Ta có CD=4AB
S
ADC
=4.S
ABC
S
ADC
=
3
4
ABCD
S

. . .
3 3
. ;
4 4 4
S ADC S ABCD S ABC
V
V V V V= = =
Ta có
2
3
. ; .
4 4

SMNC SNCD
V V
V x V x= =
V
1
=V
SMNC
+V
SNCD
=
2
( 3 )
4
V
x x+
2
2
1
3 17
( / )
3 1
2
3 2 0
4 2
3 17
( )
2
x t m
V x x
x x

V
x loai

+
=

+

= = + =


=


KL: Vậy
3 17
2
x
+
=
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R.S là điểm nằm
trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông
góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H.
Đặt
ã
0
2
BAC

= < <
ữ

1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h và .
2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị
0
của sao cho
0
>
4

. Tính
0
.
Hd:
1. * Ta chứng minh đợc AH SC.
*
4
2 2 2 2
. .
. .
.
SAHK
SACB
V
SH SH SH SC SK SB SA
V SC SB SC SB SB SC
= = =
* V

ABC
=
2
2
1 1 .sin 2
( ). .cos .sin .
3 6 3
R h
dt ABC SA AB SA


= =
*
2 5
2 2 2 2 2
.sin 2
3( 4 )( 4 cos )
SAHK
R h
V
h R h R


=
+ +
GV: Ngô Ngọc Điển
5
S
A
D C

B
N
M
Trường THPT Yên Thế
2. §Æt P=
2 2 2 2
sin 2
( 2 2 cos )h R R
α
α
+ +
MaxP=
2 2 2
1
4 .h R h+
DÊu b»ng x¶y ra ⇔

2
2 2 2 2
2
2
2 2
cos2
sin 2
2
1 cos ( 2 2 cos 2 )
sin 2
2 sin 2
2
cos2 0

2
R P
h R R
R
R
h R
α
α
α α
α
α
α
=
−
+ +
= −
= − <
+
⇒ 2α tï ⇒α>
4
π
KL: VËy α
0
=
4
π
GV: Ng« Ngäc §iÓn
6
α
B

C
H
K
S
Trng THPT Yờn Th
*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí
chân đờng cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau
thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy.
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao của
các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội
tiếp đáy
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của
hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của
khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó.
-Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với
một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ
từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng
trên đáy một góc . Tính VSABC
Giải
A
S
C
B
H
a

- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
- Ta có: ABC =

sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos = 2AB
2
(1-cos ) = a
2
AB =
2
cos1


a
SABC =
24cos1
sin
22
1

2
2
1
cossin
22




aa
AB
==

HA = R =

sin2sin2
aBC
=
Tan giác vuông có tan =
AH
SH
SH =


cos2sin2
tan
aa
=
GV: Ngô Ngọc Điển
7