TOÀN BỘ CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.89 KB, 23 trang )
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
1
TÓM T
ẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
A.Đ
ẠI SỐ.
1. Tam th
ức bậc hai.
Gi
ả sử
2
( ) 0; , ; ;
b
f x ax bx c a S
a
0
( ) 0
0
a
f x x
1 2
1 2
0
( ) 0
x x
x x af
0
( ) 0
0
a
f x x
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
là nghi
ệm của
( )f x
( ) 0 f
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
1 2
( ) 0 x x af
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
1 2
0
( ) 0
0
2
x x af
S
1 2
1 2
( ). ( ) 0
x x
f f
x x
1 2
0
( ) 0
0
2
x x af
S
1 2
0
( ) 0
( ) 0
0
2
0
2
af
x x af
S
S
2. B
ất đẳng thức Cô si:
V
ới hai số
0, 0 a b
thì
2
a b
ab
. D
ấu
'' ''
x
ảy ra
a b
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
2
3. Phương tr
ình
– b
ất ph
ương trình chứa trị tuyệt đối
A B A B
2 2
A B A B
2
0
B
A B
A B
A B
A B
A B
A B B A B
4. Phương tr
ình
– b
ất ph
ương trình chứa căn
0 0
A B
A B
A B
2
0
0
A
A B B
A B
2
0
B
A B
A B
2
0
0
0
B
B
A B
A
A B
0
A
A B
A B
B. H
Ệ THỨC L
ƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
.
1. Đ
ịnh lý hàm số Cosin:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
2. Đ
ịnh lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
3
3. Công th
ức tính diện tích tam giac:
1 1 1
2 2 2
a b c
S ah bh ch
4
abc
S
R
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C ac B bc A
S p p a p b p c
.S p r
C.H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
.
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để giải một hệ ph
ương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó
ta còn có m
ột số loại hệ ph
ương trình đặc biệt.
II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
D
ạng:
1 1 1
2 2 2
(*)
a x b y c
a x b y c
Cách giải: Công th
ức Crammer
Đ
ặt
1 1
2 2
a b
D
a b
;
1 1
2 2
x
c b
D
c b
;
1 1
2 2
y
a c
D
a c
- N
ếu
0D
: h
ệ (*) có nghiệm duy nhất
x
y
D
x
D
D
y
D
- N
ếu
0D
và
0
x
D
hay
0
y
D
: h
ệ (*) vô nghiệm.
- N
ếu
0
x y
D D D
: h
ệ (*) có hai tr
ường hợp xảy ra: hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
2. H
Ệ PH
ƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI MỘT.
D
ạng:
( , ) 0
(*)
( , ) 0
f x y
g x y
trong đó khi hoán v
ị vai tr
ò của x và y cho nhau, từng phương trình của
hệ không thay đổi.
Cách giải:
Đ
ặt
; S x y P xy
Gi
ải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
0 X SX P
Đi
ều kiện để ph
ương trình trên có nghiệm là
2
4 0 S P
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
4
3. H
Ệ PH
ƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
D
ạng:
( , ) 0 (1)
(*)
( , ) 0 (2)
f x y
f y x
trong đó khi hoán v
ị vai tr
ò của x và y cho nhau,thì phương
trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại.
Cách gi
ải:
Có 2 cách
Cách 1:
( , ) ( , ) 0
( , ) 0
f x y f y x
f y x
Cách 2:
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
f x y f y x
f x y f y x
4. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
.
D
ạng:
H
ệ ph
ương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
Cách giải:
- Xét
0x
, th
ế vào hệ tìm y.
- Xét
0x
, đ
ặt
y tx
, th
ế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y.
D.LƯ
ỢNG GIÁC
.
I. CÔNG TH
ỨC L
ƯỢNG GIÁC.
1. Các cung liên quan đ
ặc biệt
1.1 Hai cung đối nhau: (
và -
)
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
1.3 Hai cung ph
ụ nhau: (
và
2
)
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
1.2 Hai cung bù nhau: (
và
)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
1.4 Hai cung hơn, kém
: (
và
)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
1.5 Cung hơn kém
2
:
cos sin ; sin cos ;
2 2
x x x x
Ghi nhớ: ‘ cos đ
ối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém
tan, cot ‘.
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
5
2. Các công th
ức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1 x x
2
2
1
1 tan
cos
x
x
2
2
1
1 cot
sin
x
x
tan .cot 1 x x
sin
tan
cos
x
x
x
cos
cot
sin
x
x
x
3. Công th
ức cộng
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
4. Công th
ức nhân
4.1 Công th
ức nhân đôi
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tana
tan2
1 tan
a a a
a a a a a
a
a
4.2 Công th
ức nhân ba
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
5. Công th
ức hạ bậc
2 2
3 3
1 cos2 1 cos 2
sin cos
2 2
3sin sin3 3cos cos3
sin cos
4 4
a a
a a
a a a a
a a
6. Công th
ức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
Bng túm tt cụng thc Toỏn hc ph thụng Trng PTTH Ngụ Thi Nhim
Giỏo viờn biờn so
n: Trng Hoi Trung
6
7. Cụng th
c bin i tớch thnh tng
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
II. PHNG TR
èNH LNG GIC
D
NG 1. PHNG TRèNH LNG GIC C BN
Ki
n thc c bn
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k
2
cos cos
2
u v k
u v
u v k
tan tan 2 u v u v k
cot cot 2 u v u v k
Trng hp c bit:
sin 0 u u k
cos 0
2
u u k
sin 1 2
2
u u k
cos 1 2 u u k
sin 1 2
2
u u k
cos 1 2 u u k
D
NG 2. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC
Kin thc c bn
Phng tr
ỡnh bc hai theo mt hm s lng giỏc l phng trỡnh cú dng:
2
0 at bt c
(1) trong ú t l m
t tr
ong cỏc hm s
:
sinu; cosu; tanu; cotu.
Cỏch gi
i: t
t = sinu; cosu; tanu; cotu.
Chỳ ý:
sin ; cos 1u u
D
NG 3. PHNG TRèNH BC NHT THEO SIN
u V COSu
Kin thc c bn
D
ng
:
sin cos a u b u c
(1) trong ủoự
2 2
0 a b
i
u kin cú nghim:
2 2 2
a b c
Caựch giaỷi:
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
7
Chia hai v
ế của PT cho
2 2
a b
,
(1)
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
u u
a b a b a b
sin .cos cos .sin sin u u
sin( ) sin u
D
ẠNG 4. PHƯƠNG TR
ÌNH THU
ẦN NHẤT BẬC HAI THEO SINU VÀ COSU
Ki
ến thức c
ơ bản
D
ạng
t
ổng quát:
2 2
sin sin cos cos a u b u u c u d
(2)
Cách gi
ải:
B
1
: Xét
cos 0u
. Ki
ểm tra
2
u k
có thỏa phương trình (2) không ?
B
2
: Xét
cos 0u
. Chia 2 v
ế phương trình (2) cho
2
cos u
. Ta đư
ợc phương trình mới dạng:
2
tan tan 0 a u b u c
.
*Chú ý: N
ếu ph
ương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo
sinu và cosu thì ta
c
ũng giải bẳng phương pháp trên.
D
ẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
– PH
ẢN XỨNG
D
ạng
t
ổng quát:
sin cos sin cos 0 a u u b u u c
(3)
Cách giải:
Đ
ặt
t =sin cos 2 sin( ) (*)
4
x x x
(Đi
ều kiện
:
2t
)
2
1
sin cos
2
t
x x
.
Th
ế v
ào
(3) ta được phương trình b
ậc hai
theo t.
M
ột số công thức quan trọng
sin cos 2sin 2 cos
4 4
u u u u
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
u u u u
2
1 sin2 sin cos x x x
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
8
E. CÔNG TH
ỨC
Đ
ẠO HÀM
.
1. Quy t
ắc cơ bản.
c ’ 0
'
' ' u v u v
'
. ' ' u v u v v u
'
2
' '
u u v v u
v v
2. B
ảng công thức tính đạo h
àm.
'
. k x k
'
. . 'k u k u
1
( )' .
n n
x n x
1
( )' . .( ) '
n n
u n u u
2
1 1
( )'
x x
2
1 ( )'
( )'
u
u u
1
( )'
2
x
x
'
( )'
2
u
u
u
'
sin cosx x
' '
sin cos .u u u
'
cos sin x x
' '
cos sin . u u u
2
2
1
(tan )' 1 tan
cos
x x
x
2
2
'
(tan )' (1 tan ). '
cos
u
u u u
u
2
2
1
(cot )' (1 cot )
sin
x x
x
2
2
'
(cot )' (1 cot ). '
sin
u
u u u
u
( )'
x x
e e
( )' . '
u u
e e u
( )' .ln
x x
a a a
( )' .ln . '
u u
a a a u
1
(ln )' x
x
'
(ln )'
u
u
u
1
(log )'
.ln
a
x
x a
'
(log )'
.ln
a
u
u
u a
*Đ
ặc biệt
:
2
'
( )
a b
c d
ax b
y y
cx d cx d
1 1 1 1 1 1
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
'
( )
a b a c b c
x x
a b a c b c
a x b x c
y y
a x b x c a x b x c
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
9
F. CÔNG TH
ỨC MŨ
– LOGARIT.
STT
CÔNG TH
ỨC MŨ
1.
thua so
.
n
n
a a a a
2.
1
a a
a
3.
0
1a
0 a
4.
1
n
n
a
a
5.
m
n
m
n
a a
6.
1 1
m
n
m
n
m
n
a
a
a
7.
.
m n m n
a a a
8.
m
m n
n
a
a
a
9.
.
( ) ( )
m n n m m n
a a a
10.
( . ) .
n n n
a b a b
11.
( )
n
n
n
a a
b b
12.
log
M
a
a N M N
STT
CÔNG TH
ỨC LOGARIT
1
log 1 0
a
2
log 1
a
a
3
log
M
a
a M
4
log
a
N
a N
5
1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
N N N N
6
1
1 2
2
log ( ) log log
a a a
N
N N
N
7
log .log
a a
N N
8
2
log 2.log
a a
N N
9
log log .log
a a b
N b N
10
log
log
log
a
b
a
N
N
b
11
1
log
log
a
b
b
a
12
1
log log
a
a
N N
13
log c log a
b b
a = c
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
10
G.CÔNG TH
ỨC NGUYÊN HÀM
.
Nguyên hàm c
ủa những hàm số thường
g
ặp
Nguyên hàm c
ủa những
hàm s
ố thường
g
ặp
1.
dx x C
2.
kdx kx C
3.
1
1
1
n
n
x
x dx C n
n
4.
0ln
1
xCxdx
x
5.
2
1 1
dx C
x x
6.
1
1 1
1
n n
dx C
x n x
7.
x x
e dx e C
8.
0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a
9.
cos sin
xdx x C
10.
sin cos
xdx x C
11.
2
2
1
(1 tan ) tan
cos
dx x dx x C
x
12.
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
dx x dx x C
x
13.
1
1 1 1
1
n n
dx c
x n x
14.
1
2
dx x c
x
15.
1
f(ax + b)dx = F(ax + b) +C
a
16.
1
1
1
1
ax b
ax b dx C
a
17.
1 1
ln 0
dx ax b C x
ax b a
18.
1
ax b ax b
e dx e C
a
19.
1
cos sin
ax b dx ax b C
a
20.
1
sin cos
ax b dx ax b C
a
21.
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
ax b a
22.
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
11
H.PHƯƠNG PHÁP T
ỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
.
Cho vectơ
; ;
u x y z
;
'; '; '
v x y z
và hai đi
ểm
; ;
A A A
A x y z
;
; ;
B B B
B x y z
.
1.
'; '; '
u v x x y y z z
2.
. ; ;
k u kx ky kz
3. Điều kiện bằng nhau của hai vectơ:
'
'
'
x x
u v y y
z z
4.
u
cùng phương
v
' ' '
x y z
x y z
5.
u
cùng phương
v
, 0
u v
6. Tích vơ hướng của hai vectơ:
. ' ' '
u v xx yy zz
7. Độ dài của một vectơ :
2 2 2
u x y z
8. Vectơ tạo bởi 2 điểm A, B:
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z
9. Độ dài đoạn thẳng AB:
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z
10. Góc giữa hai vectơ :
2 2 2 2 2 2
. ' ' '
cos
.
. ' ' '
u v xx yy zz
u v
x y z x y z
0
0 180
11. Điều kiện vuông góc của hai vactơ:
. 0 ' ' ' 0
u v u v xx yy zz
12. M là trung điểm của đoạn AB
2
2
2
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
12
13. G là trọng tâm tam giác ABC
1
( )
3
1
( )
3
1
( )
3
G A B C
G A B C
G A B C
x x x x
y y y y
z z z z
14. G là trọng tâm tứ diện ABCD
1
( )
4
1
( )
4
1
( )
4
G A B C D
G A B C D
G A B C D
x x x x x
y y y y y
z z z z z
15. Tích CÓ HƯỚNG của hai vectơ:
, ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u v
y z z x x y
16. Tính chất quan trọng :
,
u v u
và
,
u v v
17. Diện tích tam giác ABC :
1
,
2
ABC
S AB AC
18. Diện tích hình bình hành ABCD:
2 ,
hbh ABCD ABC
S S AB AC
19. Thể tích tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB ,AC .AD
6
20. Chiều cao AH của tứ diện ABCD:
ABCD
3.V
BCD
AH
S
21. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ :
V [AB,AD ].AA’
22. Ba điểm A,B,C tạo thành tam giác
,
AB AC
không cùng phương
23. Bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng ABCD là tứ diện
, . 0
AB AC AD
24. Đi
ều kiện để ABCD l
à hình bình hành
AB DC
25. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
2 2 2
,( )
o o o
Ax By Cz D
d M
A B C
26. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
0
,
( , )
M M a
d M
a
27. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
, .
( , ')
,
a b MN
d d d
a b
28. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
.
sin
.
n a
n a
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
13
I. PHƯƠNG PHÁP T
ỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY
.
Di
ện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy:
1 2 1 2 1 2 2 1
1
; , ;
2
ABC
AB a a AC b b S a b a b
1. Đư
ờng thẳng.
a. Các d
ạng phương trình đường thẳng:
- Phương tr
ình tổng quát:
2 2
0 0 Ax By Cz A B
( Vec tơ pháp tuy
ến
;
n A B
, Vec tơ ch
ỉ ph
ương
;
a B A
hay
;
a B A
)
- Phương tr
ình tham số:
0 1
0 2
x x a t
t
y y a t
( Vec tơ chỉ phương
1 2
;
a a a
và đi qua điểm
0 0
,M x y
)
- Phương tr
ình chính tắc:
0 0
1 2
x x y y
a a
- Phương trình đoạn chắn:
1
x y
a b
( Đi qua hai đi
ểm
; 0 , 0;A a B b
)
b. Góc gi
ữa hai đường thẳng.
G
ọi
1 2
n và n
là hai VTPT c
ủa hai đường thẳng
1 2
và
. Khi đó:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
| . | | |
cos( , ) cos( , )
.
| || |
n n a a b b
n n
a a b b
n n
c. Kho
ảng cách
t
ừ một điểm
;
M M
M x y
đ
ến một đường thẳng
:
0 Ax By C
là:
2 2
,
M M
Ax By C
d M
A B
2. Đường tròn.
Các d
ạng ph
ương trình đường tròn:
- D
ạng 1.
Phương tr
ình đường tròn (C) có tâm
;I a b
và bán kính R là:
2 2
2
: C x a y b R
- D
ạng 2.
Phương tr
ình dạng:
2 2
2 2 0 x y ax by c
v
ới điều kiện
2 2
0 a b c
là phương tr
ình
đư
ờng tròn (C) có tâm
;I a b
và bán kính
2 2
R a b c
.
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
14
3. Elip.
- Phương tr
ình chính tắc của Elip (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
2 2 2
; a b c a b
- Tiêu đi
ểm
:
1 2
;0 , ;0F c F c
- Đ
ỉnh trục lớn :
1 2
;0 , ;0A a A a
- Đ
ỉnh trục bé:
1 2
0; , 0;B b B b
- Tâm sai:
1
c
e
a
- Phương tr
ình
đường chuẩn:
a
x
e
- Đi
ều kiện tiếp xúc của (E) và
: 0 Ax By C
là:
2 2 2 2 2
A a B b C
4. Hypebol.
- Phương tr
ình chính t
ắc:
2 2
2 2
1
x y
a b
,
2 2 2
c a b
- Tiêu đi
ểm
1 2
;0 , ;0F c F c
- Đ
ỉnh
trên tr
ục thực
1 2
;0 , ;0A a A a
.
- Tâm sai:
c
e
a
- Phương tr
ình
đường chuẩn:
a
x
e
- Đi
ều kiện tiếp xúc của (H) và
: 0 Ax By C
là:
2 2 2 2 2
A a B b C
5. Parabol.
x
y
F
2
F
1
B
2
B
1
A
2
A
1
O
M
y=
b
a
x
y=-
b
a
x
B
1
B
2
A
2
F
2
A
1
F
1
O
y
x
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
15
- Phương tr
ình chính tắc:
2
2y px
-Tiêu đi
ểm
;0
2
p
F
- Phương tr
ình
đư
ờng chuẩn
2
p
x
- Đi
ều kiện tiếp xúc của (P) v
à
: 0 Ax By C
là:
2
2 AC B p
B
2
F
2
y
x
O
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
16
J. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
I . CÁC HÌNH CƠ BẢN
1/ Hình chóp
a/ Hình chóp thường:
b/ Hình chóp đều :
* Hình chóp tam giác đều (Tứ diện đều)
* Hình chóp tứ giác đều
A
Hình chóp tam giác S.ABC
(Tứ diện S.ABC)
Hình chóp tứ giác S.ABCD
C
C
I
*Tính chất:
-Đáy là tam giác đều
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là trọng tâm
ABC)
-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích
đều :
2
3
4
canh
S
-Đường cao
đều:
3
2
canh
h
*Tính chất:
-Đáy là hình vuông
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là giao điểm 2
đường chéo)
-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích hình vuông : S=Cạnh
2
-Đường chéo hình vuông: = cạnh
2
S
A
B
C
S
B
D
S
A
B
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
17
2/ Hình lăng trụ
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
1/ Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), ta làm như sau:
*CÁCH 1: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với HAI đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(α)
( )
, ( )
d a
d b d
a b
*CÁCH 2: Sử dụng đònh lí:’’Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia’’
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
d
d
c
d c
*CÁCH 3: Sử dụng đònh lí:’’Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với mp thứ 3 thì giao tuyến của chúng
cũng sẽ vuông góc với mp đó’’.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
c
c
2/ Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta chứng minh đường thẳng này vuông góc với một
mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
( )
( )
d
d a
a
Lăng trụ thường
Lăng trụ đứng
Hình lập phương
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
18
3/ Phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.
( )
( ) ( )
( )
d
d
III. CÁC VẤN ĐỀ VỀ GÓC
1/ Góc giữa hai đường thẳng
Đònh nghóa: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ nào
đó cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b.
( , ) ( ', ')a b a b
2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
( )
là góc giữa chính đường thẳng a và hình
chiếu của nó lên mặt phẳng
( )
b) Phương pháp th
ực hiện.
3/ Góc giữa 2 mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với GIAO
TUYẾN của hai mặt phẳng đó.
b) Phương pháp.
b
b’
a
*PP: Gọi
là góc cần tìm.
-B1: Tìm giao điểm O của a và
( )
-B2: Tìm đường vuông góc từ đường thẳng a xuống
mặt phẳng
( )
-B3:
OH là hình chiếu của a lên
( )
Vậy
( , ) a OH
*PP: Gọi
là góc cần tìm
-B1: Xác đònh giao tuyến c của
( )
và
( )
-B2: Tìm đường vuông góc với một trong hai mặt phẳng.
-B3: Từ chân đường vuông góc, hạ đt vuông góc với gt c tại H.
-B4: Chứng minh đt hạ từ đỉnh đường vuông góc xuống H vuông góc
với gt c.
Suy ra góc
.
a’
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
19
IV. CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mp
Để xác đònh khoảng cách từ điểm A đến mp
( )
,ta tìm một đt thỏa:
:
( ) tại
Qua A
a
H
Khi đó : AH là khoảng cách cần tìm
*Lưu ý:
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đt đến
mp
( ) ( ,( )) , AB d AB IH I AB
3. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mp kia
( ) ( ) (( ),( )) ( ,( )), ( ) d d A A
( ,( )), ( ) d B B
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nhắc lại: Đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau a, b là đt cắt a, b và đồng thời vuông góc với
2 đt đó.
*TH1: a, b chéo nhau và
a b
. Khi đó:
Nếu AB cắt
( )
tại I thì
( ,( ))
( ,( ))
d A IA
d B IB
PP:
-B1: Tìm mp
( )
Chứa
tại
b
a A
-B2: Từ A kẻ AB
b
tại B
AB là đoạn vuông góc chung của
a và b
Vậy
( , ) d a b AB
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
20
*TH2: a, b chéo nhau đồng thời có mp
( )
chứa b và song song với a
*TH3: Trường hợp tổng quát
PP
- Dựng mp
( )
vuông góc với a tại O. Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên
( )
- Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b’. Từ H dựng đt song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đt song song với OH, cắt a tại A
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung
d(a,b) = AB = OH
MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐÁNG NHỚ:
S
hình vuông
= cạnh
2
Di
ện tích hì
nh ch
ữ nhật = dài . rộng
Đường chéo hình vuông = cạnh .
2
S
hìnhtròn
=
2
R
Di
ện tích tam giác thường
=
1
2
(cạnh đáy.đư
ờ
ng cao)
Thể tích khối chóp V =
1
3
(S
đáy
cao)
Di
ện tích tam giác
thư
ờng
=
1
2
a . b (a, b là 2 cạnh
góc vuông)
Thể tích khối lăng trụ V = S
đáy
cao
Di
ện tích tam giác
đ
ều
=
2
3
4
canh
Thể tích khối cầu V=
3
4
3
R
PP:
-B1: Lấy
M a
,kẻ
( )MH
tại H
-B2: Từ H dựng
'a a
, cắt b tại B
-B3: Từ B dựng đt
MH cắt a tại A
AB là đoạn vuông góc chung
Vậy
( , ) ( ,( ))d a b AB MH d M
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
21
Đường cao tam giác đều =
3
2
canh
Diện tích mặt cầu S=
2
4R
S
hình thang
=
1
2
(đáy nhỏ + đáy lớn)
cao
Thể tích khối nón V=
1
3
(S
đáy
cao)=
2
1
3
R h
Tam giác ABC vng t
ại A:
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
Thể tích khối trụ V= S
đáy
cao =
2
R h
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
22
K. S
Ố PHỨC
1. Đ
ịnh nghĩa số phức v
à các khái niệm liên quan
Đ
ịnh nghĩa :
S
ố phức l
à một biểu thức có dạng
a bi
; trong đó
, a b
và
2
1 i
.
T
ập hợp các số p
h
ức được kí hiệu là
.
N
ếu
z a bi
thì
a
g
ọi l
à
ph
ần thực
và
b
là ph
ần ảo
c
ủa số phức
z
.
z
g
ọi l
à số thực kh
i
0a
z
g
ọi l
à số thuần ảo khi
0b
Các khái ni
ệm li
ên quan :
Cho s
ố phức
z a bi
. Khi đó :
M
ỗi s
ố phức
z a bi
đư
ợc biểu diễn bởi
m
ột
đi
ểm
;M a b
trên m
ặt phẳng tọa độ Oxy.
2 2
z OM a b
g
ọi là
mođun c
ủa số phức
z
.
S
ố phức
z a bi
g
ọi là số phức
liên h
ợp
c
ủa số phức
z
.
Hai s
ố phức bằng nhau
:
Cho s
ố phức
z a bi
và
z a b i
. Khi đó:
2. Các phép toán trên t
ập hợp số phức
Phép c
ộng, trừ, nhân hai số phức :
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd ad bc i
Chú ý :
Các phép toán : c
ộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện nh
ư rút gọ
n bi
ểu thức đại số thông th
ường
v
ới chú ý rằng
2
1 i
.
Các quy t
ắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.
Cho
z a bi
. Khi đó :
2 2
. z z a b
.
Phép chia hai s
ố phức :
.
0
.
z z z
z
z z z
.
S
ố phức nghịch đảo của z
0z
:
1
1
z
z
3. Phương tr
ình bậc hai
Căn b
ậc hai của số thực âm :
Cho a là s
ố
th
ực âm
. Khi đó a có hai căn b
ậc hai
là :
i a
và
i a
.
a a
z z
b b
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
23
Cách gi
ải phương trình bậc hai với hệ số thực :
2
0; , , ; 0 az bz c a b c a
.
Tính
2
4 b ac
.
K
ết luận :
N
ếu
0
thì ph
ương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
z
a
.
N
ếu
0
thì ph
ương tr
ình có một nghiệm kép thực
1 2
2
b
z z
a
.
N
ếu
0
thì
có hai căn b
ậc hai l
à
i
và
i
. Khi đó phương tr
ình có hai nghi
ệm phức
phân bi
ệt l
à
1
2
b i
z
a
và
2
2
b i
z
a
.
4 Dạng lượng giác của số phức
4.1 Dạng lương giác của z = a + bi (a, b
, 0) R z
là:
z =
(cos sin ) r i
2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r
+
là một acgumen của z.
+
( , ) Ox OM
4.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
sin ) , ' '(cos ' sin ') i z r i
thì :
a)
. ' . '[cos( ') sin( ') z z r r i
]
b)
[cos( ') sin( ')]
' '
z r
i
z r
4.3 Công thức Moa-vrơ :
*
n N
thì
[ (cos sin )] (cos sin )
n n
r i r n i n
4.4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
sin ) i
(r > 0) là :
(cos sin )
2 2
r i
và
(cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r i
