Bất Phương trình vô tỷ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (639.16 KB, 19 trang )
Nguyễn Anh Thương
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỈ
NĂM 2013
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 1
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
1. Các hằng đẳng thức
*
2
( ) 2 (A 0;B 0)A B A B AB
*
( )( ) (A 0;B 0)A B A B A B
*
3 3 3 3 3
3
( ) 3 .( )A B A B AB A B
*
3 3
3 3 3
2 2
( )( )A B A B A AB B
2. BPT bậc hai
2
0ax bx c
(
0a
)
1
1 2
2
( )
x x
x x
x x
*
0a
:
+
2
0ax bx c
1
2
x x
x x
+
2
0ax bx c
1 2
x x x
*
0a
:
+
2
0ax bx c
1 2
x x x
+
2
0ax bx c
1
2
x x
x x
3. Các BPT vô tỉ đơn giản
*
2
0
0
A
A B B
A B
;
2
0
0
A
A B B
A B
*
0
0
A
A B
B
hoặc
2
0B
A B
;
0
0
A
A B
B
hoặc
2
0B
A B
*
0B
A B
A B
;
0B
A B
A B
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BPT VÔ TỈ
1. Biến đổi BPT đã cho về BPT vô tỉ đơn giản
Ví dụ 1. Giải BPT:
2
2 2 7 3 6x x x
(1)
Giải
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 2
(1)
2
2
6 0
4(2 7) 9(6 )
x x
x x x
2
2
6 0
9 17 26 0
x x
x x
3 2
1
26
9
x
x
x
1 2
26
3
9
x
x
Ví dụ 2. Giải BPT:
2
3 6 2 4x x x
(2)
Giải
(2)
2
3 6 4 2x x x
2
2 2
6 0
4 2 0
4 2 0
9(6 ) (4 2)
x x
x
x
x x x
2
2 3
1
2
1
2
2 0
x
x
x
x x
1
2
2
1
2
1 2
x
x
x
1
2
2
1
2
2
x
x
2 2x
Ví dụ 3. Giải BPT:
2
7 8 6x x x
(3)
Giải
(3)
2
7 8 -6x x x
2
2 2
7 8 0
6 0
7 8 ( 6)
x x
x
x x x
2
7 8 0
6 0
5 44
x x
x
x
8
1
6
44
5
x
x
x
x
44
8
5
x
Ví dụ 4. Giải BPT:
3
2
4
x
x
(4)
Giải
(4)
3
4
4
x
x
3
4 0
4
x
x
5 13
0
4
x
x
13
4
5
x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 3
Ví dụ 5. Giải BPT:
2 1
3
3 2
x
x
(5)
Giải
(5)
2 1
0
3 2
2 1
9
3 2
x
x
x
x
2 1
0
3 2
25 17
0
3 2
x
x
x
x
17
25
2
3
x
x
hoặc
2
3
1
2
x
x
1
2
17
25
x
x
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các BPT sau:
1)
2 1 5x
2)
2 10 3 5x x
3)
( 2)( 5) 8x x x
4)
1 3x x
5)
9 20x x
6)
( 4)(2 1) 2( 4)x x x
7)
2
12x x x
8)
2
3 4x x
9)
2
12 1x x x
10)
2
4 4 2x x x
11)
2
2 3 5 1x x x
12)
2
12 8x x x
13)
2 4x x
14)
2
2 6 1 1x x x
15)
2
1 2 1x x
16)
2
1 1 4 3
2 4x
x
Bài 2: Giải các BPT sau:
1)
3 2 1x
2)
2
4 3x x x
3)
2
2 6 1 2 0x x x
4)
2
3 2 3 0x x x
5)
2
2 3 10x x x
6)
2
5 6 8 2x x x
7)
( 5)(3 4) 4( 1)x x x
8)
( 3)( 1) 3( 1)x x x
9)
2
3 22 22 7x x x
10)
2
5 6 3x x x
11)
2
2 1x x x
12)
2
2 7 5 1x x x
13)
1 4 2 1x x
14)
2
2 5 4 3x x x
15)
4 2
1 1x x x
Bài 3: Giải BPT sau:
2
1 1 0x x
.
2. Phương pháp nâng lên lũy thừa
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 4
Biến đổi bất phương trình có chứa căn bậc chẵn sao cho hai vế không âm sau đó nâng lên lũy
thừa để khử dấu căn.
*
2
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
k
k
f x
f x g x g x
f x g x
;
2
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
k
k
f x
f x g x g x
f x g x
*
2
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) [ ( )]
k
k
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
;
2
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) [ ( )]
k
k
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
*
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) [ ( )]
k
k
f x g x f x g x
;
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) [ ( )]
k
k
f x g x f x g x
*
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) [ ( )]
k
k
f x g x f x g x
;
2 1
2 1
( ) ( ) ( ) [ ( )]
k
k
f x g x f x g x
Ví dụ 1. Giải BPT:
3
2 2
3
3 1 2 1x x
(1)
Giải: (1)
2 2
3 1 2 1x x
2
2x
2 2x
Ví dụ 2. Giải BPT:
3 4 2x x
(2)
Giải: (2)
3 2 4x x
4
3 4 4 4 4
x
x x x
4
4 4 3
x
x
4
16( 4) 9
x
x
73
4
16
x
Ví dụ 3. Giải BPT:
1 1 2x x
(3)
Giải: (3)
2
1
1 1 2 1 4
x
x x x
2
1
1 2
x
x x
2 2
1
2 0
1 4 4
x
x
x x x
1 2
5
4
x
x
5
1
4
x
Ví dụ 4. Giải BPT:
3 1 2 1x x x
(4)
Giải: (4)
3 1 2 1x x x
2
1
3 1 2 1 2 2 3 1
x
x x x x x
2
1
2 2 3 1 5 2
x
x x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 5
2 2
1
5 2 0
4(2 3 1) 25 20 4
x
x
x x x x
2
5
1
2
4 8 21 0
x
x x
5
1
2
7 3
2 2
x
x
3
1
2
x
Ví dụ 5. Giải BPT:
1 2 1x x
(5)
Giải: (5)
1 1 2x x
2
1 1 2 2 2
x
x x x
2
2 1
x
x
2
2 1
x
x
3x
Ví dụ 6. Giải BPT:
2 1x x x
(6)
Giải
(6)
2 1x x x
2
0
2 1 2
x
x x x x x
2
0
2 1
x
x x x
0
1 0
x
x
hoặc
2 2
0
1 0
4( ) 1 2
x
x
x x x x
2
1
0 1
3 6 1 0
x
x
x x
1x
hoặc
0 1
3 2 3
3
3 2 3
3
x
x
x
1
2 3 3
1
3
x
x
2 3 3
3
x
Ví dụ 7. Giải BPT:
9 1 4x x x x
(7)
Giải: (7)
2 2
0
2 9 2 9 2 5 2 5 4
x
x x x x x x
2 2
0
9 2 5 4
x
x x x x
2 2 2
0
9 4 4 9 5 4
x
x x x x x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 6
2
0
9
x
x x x
0x
Ví dụ 8. Giải BPT:
2
3 5
2
1
x
x
x
(8)
Giải: ĐK:
2
1
1 0
1
x
x
x
.
*
1x
: BPT (8) vô nghiệm.
*
1x
: (8)
2 2
2
2
2
2 45
4
1
1
x x
x
x
x
4 2
2
2
2 45
0
4
1
1
x x
x
x
2
2
5
2
1
x
x
2 2
5 1 2x x
4 2
4 25 25 0x x
2
2
5
5
4
x
x
5x
hoặc
5
2
x
Kết hợp với điều kiện
1x
, ta được nghiệm của BPT (8) là:
5
5; 1
2
x x
.
Ví dụ 9. Giải BPT:
3
2 3 2
2 3
x
x
(9)
Giải
(9)
2 3 0
3 (2 3) 2 2 3
x
x x
2 3 0
2 3 3
x
x x
2
2 3 0
3 0
2 3 9 6
x
x
x x x
2
3
3
2
8 12 0
x
x x
3
3
2
6
2
x
x
x
3
2
2
x
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các BPT sau:
1)
4
4 1 2x x
2)
2 2
4 1 2x x
3)
9 2 4 5x x
4)
2 2
3 2 1 1x x x x
5)
1
3 1
2
x x
6)
2 2
25 7 3x x x
7)
1 3 4x x
8)
4
2 7 2 7 28x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 7
9)
2 1 4 3x x
10)
2 2
3 5 7 3 5 2 1x x x x
11)
2 2
1 1 3x x
12)
1 3
2 3 9 2
2 2
x x
Bài 2: Giải các BPT sau:
1)
3 1 2x x x
2)
2 3 2 4 0x x x
3)
3 1 2 6x x x
4)
3 4 3 4 9x x x
5)
3 2 8 7x x x
6)
7 13 3 9 5 27x x x
7)
3 1 4 4 5 0x x x
8)
6 1 2 5x x x
9)
2 1 1 2 3x x x
10)
2 3 2 0x x x
11)
2( 24) 1 7x x x
12) (A-05)
5 1 1 2 4x x x
13)
2 2 2
1 1 2 6 2x x x x x x
14)
2 2 2
8 15 2 15 4 18 18x x x x x x
Bài 3: Giải các BPT sau:
1)
4
2 2
2
x
x
2)
3
2 2
2
x
x
x
3)
2
16 5
3
3 3
x
x
x x
4)
2
2 16 7
3
3 3
x x
x
x x
5)
2 2
2 1 1
2 4 2 4
x
x x
6)
2
2 7 4 2 1
4 2
x x
x
7)
2
3 4 2
2
x x
x
Bài 4: Giải các BPT sau:
1)
2
17 15 2
0
3
x x
x
2)
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x
Bài 5:
1) Chứng minh
[ 1; 1]x
, ta có:
2 2
1 1 1 1 2x x x x
.
2) Chứng minh:
2
1 1 2 , 1;1
2
x
x x x
.
Bài 6: Giải các PT sau:
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 8
1)
2
2 12 6 2 1 2x x x x
. Hint: BPT
2
2 12 6 2 1 2x x x x
(BPT đẳng cấp)
2) (A-10)
2
1
1 2 1
x x
x x
. Hint:
2
1 2 1 0x x
;
BPT
2
2 1 1x x x x
2
2
1 0
3 5
2
2 1 1
x x
x
x x x x
3)
2
1 ( 3) 2( 3) 2 2x x x x
Hint: BPT
2 2
1
1 3 2 3 1 3 2 1
x
x x x x x x
1
2 3 1 1
x
x x x
1x
hoặc
1
2 3 1
x
x x
4)
2 2
1 1 2
x x
x
x x
. Hint: ĐK
1x
. BPT
6 3
1 2x x
.
+
3
2x
:
+
3
1 2x
:
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải BPT:
2 2
11 31x x
(1)
Giải: (1)
2 2
( 11) 11 42 0x x
(*)
Đặt
2
11 (t 0)t x
, PT
2
0
(*)
42 0
t
t t
0
7 6
t
t
0 6t
2
0 11 6x
5 5x
Ví dụ 2. Giải BPT:
2 2
2 5 6 10 15x x x x
(2)
Giải: (2)
2 2
2( 5 6) 5 6 3 0x x x x
(*)
Đặt
2
5 6 ( 0)t x x t
,
2
0
(*)
2 3 0
t
t t
0
1
3
2
t
t
t
1t
2
5 6 1x x
2
5 7 0x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 9
5 53
2
x
hoặc
5 53
2
x
Ví dụ 3. Giải BPT:
2 2
3 3 8 4 6 8 3x x x x
(3)
Giải: (3)
2 2
(3 8 4) 3 3 8 4 10 0x x x x
(*)
Đặt
2
3 8 4 ( 0)t x x t
,
2
0
(*)
3 10 0
t
t t
0
5 2
t
t
0 2t
2
0 3 8 4 2x x
2
2
3 8 4 0
3 8 4 4
x x
x x
2
2
3 8 4 0
3 8 0
x x
x x
2
2
3
8
0
3
x
x
x
8
2
3
2
0
3
x
x
Ví dụ 4. Giải BPT:
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
(4)
Giải: (4)
1 1
2( 1) 5( ) 2 0
4
2
x x
x
x
(*)
Đặt
1
( 2)
2
t x t
x
,
2
(*) 2 5 2 0t t
loaïi)
2
1
(
2
t
t
+
1
2 2
2
t x
x
2 4 1
0
2
x x
x
0
2 2
2
2 2
2
x
x
x
3 2 2
2
x
hoặc
3 2 2
0
2
x
Ví dụ 5. Giải BPT:
1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x
(5)
Giải: (5)
[2 2 2 ( 1)( 3)] ( 1 3) 6 0 (*)x x x x x
Đặt
1 3 (t 0)t x x
,
2
0
(*)
6 0
t
t t
0
2
3
t
t
t
2t
1 3 2x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 10
1
( 1)( 3) 1
x
x x x
1x
(vì
1 0, 1x x
)
Ví dụ 6. Giải BPT:
2
4
2 3 1
3 2 1 4 1
36
x x
x x
(6)
Hint: ĐK
1x
.
+
1x
:
+
1x
: (6)
4 4
2 1 1 1
3 4
1 2 1
6
x x
x x
Ví dụ 7. Giải BPT:
2
3 5
2
1
x
x
x
(7)
Giải: ĐK:
2
1
1 0
1
x
x
x
.
*
1x
: BPT (7) vô nghiệm.
*
1x
: Đặt
1
(0 t 1)t
x
,
(7)
2
1 1 3 5
2
1
t
t
2 2
3 5
1 .t. 1
2
t t t
(*)
Đặt
2
1 ( 0)y t t y
2
0
(*)
3 5 4 3 5 0
y
y y
3
0
5
y
2
3
1
5
t t
2
0 1
3 2
0
5
5
t
t t
1
0
5
2
1
5
t
t
5
5
1
2
x
x
Ví dụ 8. Giải BPT:
3
3
3 2 5x x
(8)
Giải: Đặt
3
3
3
5
u x
v x
, (8)
3 3
2
8
u v
v u
3 3
3 3
( 2)
8
u v
v u
3 3
( 2) 8u u
2
2 0u u
0
2
u
u
3
5
x
x
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các BPT sau:
1)
2 2
6 12 7 2x x x x
2)
2 2
3 6 4 2 2x x x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 11
3)
2 2
3 5 3 7x x x x
4)
2
2 ( 3)(2 7) 13 9x x x x
5)
2
1 4 5 5 28x x x x
6)
2
2 1 1 1x x x x
7)
2 2
2 4 3 4 5x x x x
8)
2 2
3 5 3 7x x x x
9)
2 2
4 2 8 12 6x x x x
10)
2 2
2 2 4 2x x x x
11)
2 2
5 10 1 7 2x x x x
12)
( 5)( 2) 3 ( 3) 0x x x x
13)
2 2
2 4 3 4 6x x x x
14)
2 2
2 4 3 4 4x x x x
Bài 2: Giải các BPT sau:
1)
2 3
1 1
x x
x x
2)
1 1
2 3
x x
x x
3)
2 2 2
(1 ). 1 1x x x
4)
4
6 12 12
2. 0
2 2 2
x x x
x x x
5)
2
1
1
x
x
x
6)
1
2 3
1
x x
x x
7)
2
35
12
1
x
x
x
8)
2 1 2 7
2 2 1 12
x x
x x
9)
2 2
2 2
2
1 5 1
2 0
2
1
1
x x x
x
x x
x
10)
3 2
( 1) ( 1) 3 1 0x x x x
11)
2 1 9 2 3 2 1 9 2 13x x x x
12)
5 3 1 4 5 3x x x x
13)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
14)
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x
15)
2
2 7 2 7 35x x x x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 12
16) Tìm nghiệm của BPT:
2 2
1 1x x x x
trong đoạn
0;1
.
17) (DB_A-08)
2
2
1 3
1
1
1
x
x
x
. ĐS:
2 2 5
1; ;1
2 5
S
18)
2
1 2 1 2 2x x x
;
2
4 1 1 8x x x
Bài 3: Giải các BPT sau:
1)
3
3
5 2 3x x
2)
4
4
15 2 1x x
3)
3 3
1 2 1x x
4)
4 4
2 6 2x x
5)
3
3 3
2 2 3 1 2 1x x x
. HD: Xét, chia cho
3
3 1x
và đặt 2 ẩn phụ.
6)
12 2 82
(12 ). ( 2).
2 12 3
x x
x x
x x
7)
2
1 1
2 2. 18 7
2 4
x
x x x
8)
2 2
3 5 7 3 5 2 1x x x x
9)
2 2
4( 1) (2 1).(1 3 2 )x x x
4. Sử dụng biểu thức liên hợp
Ví dụ 1. Giải BPT:
2
2
4
(1 1 )
x
x
x
(1)
Giải: ĐK:
1x
.
(1)
2
4
1 1
x
x
x
2
(1 ) 1
4
1 1
x
x
x
2
( 1 1) 4x x
1 3x
1 8x
Ví dụ 2. Giải BPT:
2 1 2 2x x x
(2)
Giải: ĐK:
1x
.
(2)
3 6 ( 2).(2 1 2)x x x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 13
2
2 1 2 3
1 2
2 1 2 3
x
x x
x
x x
2
4 ( 1)( 2) 11 5
1 2
4 ( 1)( 2) 11 5
x
x x x
x
x x x
2
1 2
14 17 0
x
x x
hoặc
o ânghieäm)
2
11
2
(v
5
14 17 0
x
x x
7 4 2 2x
BÀI TẬP
Giải các BPT sau:
1)
4
8
2
x
x
x
2)
1 1x x x
3)
1 1x x x
4)
2
1 1 4
3
x
x
5)
2
4
2 3 1
x
x
6)
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x
7)
2 1 3 2 4 3 5 4x x x x
8)
2
1 2 1
2 9
x
x
x
9)
2
2
4
2 9
(1 1 2 )
x
x
x
; Tương tự:
2
2
2
21
(3 9 2 )
x
x
x
10)
2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x
x
. Hint: ĐK
2 2x
.
BPT
2
3 2 9 16 2 2 4 2 2 0x x x x
2 2
3 2 9 16 4 12 2 4 8 2 0x x x x
2 2
3 2 2 8 2 8 2 8 2 0x x x x x
5. Phương pháp hàm số
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 14
Ví dụ 1. Giải BPT:
5 1 3 4x x
(1)
Giải: ĐK
1
5
x
. Xét hàm số
( ) 5 1 3f x x x
, ta có
(1) 4f
và
1
'( ) 0,
5
f x x
, suy ra
( )f x
đồng biến trên
1
;
5
.
Do đó BPT (1)
( ) (1) 1f x f x
.
Ví dụ 2. Giải BPT:
5
3 3 2 2 6
2 1
x x
x
(2)
Giải: ĐK
1 3
2 2
x
. BPT
5
3 3 2 2 6
2 1
x x
x
( ) ( )f x g x
(*)
Trong đó,
5
( ) 3 3 2
2 1
f x x
x
là hàm nghịch biến và
( ) 2 6g x x
là hàm đồng
biến và
(1) (1) 8f g
.
+ Nếu
1x
thì
( ) (1) (1) ( )f x f g g x
, suy ra (*) đúng.
+ Nếu
1x
thì
( ) (1) (1) ( )f x f g g x
, suy ra (*) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của BPT (2) là
3
1
2
x
.
BÀI TẬP
Giải các BPT sau:
1)
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x
2)
3 2
2 3 6 16 2 3 4x x x x
3) Tìm
m
để BPT
2
2 2 1 2 0m x x x x
có nghiệm
0;1 3x
.
4) Tìm
m
để PT
2
2 3 2 5x x m x x
có nghiệm chứa
0;1
.
6. Đặt nhân tử chung
Ví dụ 1. Giải BPT:
2 2
( 3). 4 9x x x
(1)
Giải: (1)
2
( 3).( 4 3) 0x x x
ĐK:
2
2
4 0
2
x
x
x
+
3x
là nghiệm của BPT (1).
+
3x
: (1)
2
4 3x x
2 2
4 6 9x x x
13
6
x
(không thỏa mãn
3x
)
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 15
+
2x
hoặc
2 3x
: (1)
2
4 3x x
2 2
3
4 6 9
x
x x x
3
13
6
x
x
13
6
x
Kết hợp với điều kiện
2x
hoặc
2 3x
, ta được:
13
2; 2 3
6
x x
Vậy nghiệm của BPT (1) là:
13
2; 2 3
6
x x
.
Ví dụ 2. Giải BPT:
1 1 1
1
x
x
x x x
Giải: ĐK:
1
0
1
1 0
x
x
x
1
1 0
x
x
.
(2)
1 1 1
( 1) (1 ) 1 1x
x x x
2
1 1 1 1
(1 ) (1 ) 1 1x
x x x x
1 1
1 . 1 1 1 0x
x x
1
1 0 (a)
1
1 1 1 0 (b)
x
x
x
+ (a)
1
1
1 0
0
x
x
x
+ (b)
1
1 1 1x
x
1 1
1 1 1 2 1x
x x
1 1
2 1 1x
x x
2
2
1
1 1 2
4(1 ) 2 1 2
x
x x
x x
x
2
2
1
1 2
2 1 0
x
x x
x
x
2
1
1 1
2 1 0
x
x x
x x
1
1
1 0
x
x
x
2
1
1
0
x
x x
x
1 5
1
2
x
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của BPT (2) là:
1 5
1
2
x
.
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 16
BÀI TẬP
Giải các BPT sau:
1)
2 2
( 3). 4 9x x x
2)
2
2
9 4
3 2
5 1
x
x
x
3)
2 2
6 6
2 5 4
x x x x
x x
4)
2 2
4 3 2 3 1 1x x x x x
5)
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4x x x x x x
6) (D-02)
2 2
( 3 ). 2 3 2 0x x x x
7. Áp dụng các bất đẳng thức và định nghĩa
2
A A
+ Bất đẳng thức Cauchy:
( 0, 0)
2
a b
ab a b
Dấu “=” xảy ra
a b
+ Bất đẳng thức Bunyakovsky (B.C.S):
2 2 2 2
.ax by a b x y
Dấu “=” xảy ra
x y
a b
+
neáu A 0
neáu A 0
neáu A 0
2
0
A
A A
A
Ví dụ 1. Giải BPT:
2
1 ( 3) 2( 3) 2 2x x x x
(1)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S, ta có:
2
1 ( 3) 2. ( 3) 1x x x x
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x
Dấu “=” xảy ra
1 3x x
2
3
7 10 0
x
x x
5x
BÀI TẬP
Giải các BPT sau:
1)
4 2
2 1 1x x x
2)
3
3 6
4 4 2x x x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 17
3)
4 4
3
4
( 2)(4 ) 2 4 6 3 30x x x x x x x
4)
2 3
4 2 2
( 1)
1 ( 1)
x
x x x x x
x
Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương
D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK đại số 10, NXB GD.
2. Hoàng Kỳ, Căn số và toán vô tỉ, NXB GD.
3. Phan Lưu Biên - Võ Anh Dũng - Trần Thành Minh, Bài tập đại số 10, Sở GD&ĐT, Tp. HCM.
4. Tạp chí TH&TT, NXB GD.
5. Các chuyên đề trên các website: www.vnmath.com, www.mathvn.com,
www.diendantoanhoc.net, www.boxmath.vn,
MỤC LỤC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 1
1. Các hằng đẳng thức 1
2. BPT bậc hai 1
3. Các BPT vô tỉ đơn giản 1
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BPT VÔ TỈ 1
1. Biến đổi BPT đã cho về BPT vô tỉ đơn giản 1
BÀI TẬP 3
2. Phương pháp nâng lên lũy thừa 3
BÀI TẬP 6
3. Phương pháp đặt ẩn phụ 8
BÀI TẬP 10
4. Sử dụng biểu thức liên hợp 12
BÀI TẬP 13
5. Phương pháp hàm số 13
BÀI TẬP 14
6. Đặt nhân tử chung 14
BÀI TẬP 16
7. Áp dụng các bất đẳng thức và định nghĩa
2
A A
16
BÀI TẬP 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO 18
MỤC LỤC 18
