Tong hop cac dang bai tap luong giac
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (164.24 KB, 31 trang )
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
H??NG D?N GI?I PH??NG TRÌNH L??NG GIÁC C? B?N VÀ Đ?N GI?N
I. PH??NG TRÌNH B?C NH?T Đ?I V?I SINX VÀ COSX
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
b.
. Đi?u ki?n :
Khi đó :
c.
d.
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
b.
Ta có :
. Do đó :
. Ph??ng trình vô nghi?m .
c.
d.
Bài 3. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
Gi?i
a.
b.
Ta có :
Trang 1
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Cho nên (1) :
Và :
c.
Do :
Cho nên (c) tr? thành :
Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
Chia hai v? ?hw[ng trình cho 2 ta có :
b.
Chia hai v? ph??ng trình cho 2 ta có k?t qu? :
c.
T? công th?c nhân ba :
cho nên ph??ng trình (c) vi?t l?i :
d.
II. PH??NG TRÌNH : B?C NH?T - B?C HAI
Đ?I V?I M?T HÀM S? L??NG GIÁC
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n :
(*)
Ph??ng trình (a) tr? thành :
Cho nên (a)
V?y :
. Ki?m tra đi?u ki?n :
-
. Cho nên nghi?m ph??ng trình là
-
Vi ph?m đi?u ki?n , cho nên lo?i .
Tóm l?i ph??ng trình có m?t h? nghi?m :
b.
Do đó :
c.
Trang 2
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
d.
- V?i sinx =0
- Do :
. Cho nên ph??ng trình
vô nghi?m .
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
b.
. Đi?u ki?n : cosx khác không .
Khi đó ph??ng trình tr? thành :
c.
. Đi?u ki?n :
Ph??ng trình (c)
Nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n .
d.
. Đi?u ki?n :
d
V?y ph??ng trình có nghi?m :
( Th?a mãn di?u ki?n )
Bài 3. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n :
Khi đó :
Các h? nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n .
b.
. Đi?u ki?n :
(*)
Khi đó :
Nh?ng do đi?u ki?n (*) Ta ch? có nghi?m :
, th?a mãn .Đó c?ng là nghi?m
c.
d.
.
Do đó Ph??ng trình có nghi?m :
Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d. Cho :
. Hãy gi?i ph??ng trình : f'(x)=0.
Trang 3
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Gi?i
a.
b.
. Đi?u ki?n :
Chia hai v? ph??ng trình cho :
. Khi đó ph??ng trình có d?ng :
Đ?t :
Do đó ph??ng trình có nghi?m :
c.
. Đi?u ki?n :
Khi đó :
. Nh?ng nghi?m :
vi ph?m đi?u ki?n .
V?y ph??ng trình có nghi?m :
d. Cho :
. Hãy gi?i ph??ng trình : f'(x)=0.
Ta có :
- Tr??ng h?p : cosx=0
- Tr??ng h?p :
Bài 5. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
Đ?t :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
(2)
Nhan hai v? v?i 2cost ta đ??c :
b.
Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Các nghi?m th?a mãn đi?u ki?n .
c.
. Đ?t :
. Khi đó ph??ng trình có d?ng :
Ch? x?y ra khi :
. N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i k,l thu?c Z sao cho h? có nghi?
m chung . Có ngh?a là :
d.
Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n (*)
Bài 6. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
Trang 4
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
c.
d.
Gi?i
a.
.
Do :
. Cho nên m?u s? khác không .
Ph??ng trình tr? thành :
V?y :
.
Đ?i chi?u v?i đi?u ki?n đ?
có ngh?a thì ta ph?i b? đi các nghi?m ?ng v?i k là l? :
. Do
đó ph??ng trình ch? có nghi?m ?ng v?i k là ch?n : x=
b.
. Đi?u ki?n :
(*)
Ph??ng trình
Do đó :
. Th?a mãn đi?u ki?n (*)
c.
- Tr??ng h?p :
- Tr??ng h?p :
Đ?t :
Ch?ng t? f(t) đ?ng bi?n . Khi đó t?i f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên v?i m?i
V?y ph??ng trình vô nghi?m .
d.
. Đi?u ki?n :
Ph??ng trình tr? thành :
Do
Ph??ng trình ch? có nghi?m :
Bài 7. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình vi?t l?i :
V?y ph??ng trình có nghi?m là :
b.
. Đi?u ki?n :
Ph??ng trình
.
Th?a mãn (*)
c.
. Đi?u ki?n :
Khi đó ph??ng trình tr? thành :
. Th?a mãn đi?u ki?n (*).
d.
. Đi?u ki?n :
(*)
Có 2 ph??ng pháp gi?i :
Cách 1.
Trang 5
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Cách 2.
. ( Nh? k?t qu? trên )
Bài 8. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
V?y ph??ng trình có nghi?m :
b.
. Đi?u ki?n : sin2x khác 1 (*)
Ph??ng trình tr? thành :
Đ?i chi?u v?i đi?u ki?n (*) thì v?i
vi ph?m đi?u ki?n . Cho nên ph??ng trình ch? còn
nghi?m :
c.
d.
. Do đó :
Bài 9. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d. 3tan2x-4tan3x=
Gi?i
a.
.
b.
c.
d. 3tan2x-4tan3x=
Đi?u ki?n :
Ph??ng trình tr? thành :
Đ?i chi?u v?i đi?u ki?n ta th?y nghi?m
. Vi ph?m đi?u ki?n , nên b? lo?i .
V?y ph??ng trình còn có nghi?m là :
Bài 10. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b
c.
d.
Trang 6
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Gi?i
a.
b.
Đ?t :
Do đó ph??ng trình đã cho tr? thành :
c.
. Đi?u ki?n :
.
Khi đó PTd/ tr? thành :
. Ph??ng trình vô nghi?m .
d.
III. PH??NG TRÌNH Đ?I X?NG THEO SINX, COSX
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
.
Do đó :
b.
(1)
Đ?t :
. Do đó ph??ng trình :
c.
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình (c) tr? thành :
Đ?t :
. Thay vào ph??ng trình ta đ??c :
Th?a mãn đi?u ki?n .
d.
. Đi?u ki?n :
.
Khi đó :
Tr??ng h?p :
Tr??ng h?p : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đ?t :
Cho nên ph??ng trình :
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
Trang 7
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
b.
c.
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n : cosx khác 0 . Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi ph?m đi?u ki?n . Do đó
Tr??ng h?p : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đ?t :
Cho nên ph??ng trình :
V?y nghi?m c?a ph??ng trình là :
b.
Tr??ng h?p :
Tr??ng h?p : sinx+cosx+sinxcosx+1=0
Do đó ph??ng trình có nghi?m :
c.
. ( Đã b? nghi?m t=-3 <-
)
Bài 3 . Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c. Cho ph??ng trình :
.
Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m thu?c đo?n
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Còn tr??ng h?p :
Do đó :
b.
. Đi?u ki?n : sinx khác 0 . Khi đó ph??ng trình tr? thành :
* Tr??ng h?p :
V?i :
c. Cho ph??ng trình :
.
Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m thu?c đo?n
Gi?i . Đ?t :
. Thay vào ph??ng trình ta đ??c :
N?u :
Hay :
. Đ? ph??ng trình có nghi?m
thì
Trang 8
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Bài 4. Cho ph??ng trình :
a. Gi?i ph??ng trình khi m=
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m .
Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình khi m=
:
Do đó :
b/
Xét hàm s? :
Do v?y đ? ph??ng trình có nghi?m thì :
Bài 5. Cho ph??ng trình :
.
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1/2
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m trên kho?ng
Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1/2. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Khi m=
b/ T? (*) N?u :
Do đó đ? th?a mãn yêu c?u bài toán thì ta tìm m d? ph??ng trình (*) có nghi?m
- V?i t=0 và t=-1 ta đã có nghi?m nh? câu a .
- Còn ph??ng trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghi?m ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét
hàm s?
. F(t) đ?ng bi?n , cho nên ph??ng trình có nghi?m th?a mãn yêu c?u bài toán thì :
Bài 6. Cho f(x)=
.
a. Gi?i ph??ng trình f(x)=0 khi m=-3
b. Tìm GTLN và GTNN c?a f(x) theo m . Tìm m đ?
Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình f(x)=0 khi m=-3
Ph??ng trình :
Khi m=-3. Đ?t :
Chú ý :
Cho nên :
V?y : f(x)=
.
.Do :
. Cho nên f(x) vi?t l?i thành :
- Khi m=-3 thì
- Đ?t :
Trang 9
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Ta có b?ng bi?n thiên :
t-
0
1
g'(t)+0-0+0-g(t)m+3m+3m+3-
m+3-
m+3-2
T? b?ng bi?n thiên ta có
maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3-
Do đó :
Bài 7. Gi?i các ph??ng trình :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
V?y :
b.
Do v?y :
c.
. Đi?u ki?n :
Ph??ng trình vi?t l?i :
Đ?t :
. Thay vào (1)
V?y :
d.
. Đi?u ki?n :
Ph??ng trình vi?t l?i :
Vì :
. Cho nên ph??ng trình tr? thành :
Bài 8. Cho ph??ng trình :
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1
b. Tìm m sao cho ph??ng trình có đúng hai nghi?m thu?c đo?n
Gi?i
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=1
Đ?t :
Xét :
a/ N?u m=1. Ph??ng trình là :
V?i t=-2 (lo?i ) do đó t=1
b/ N?u ph??ng trình có đúng 2 nghi?m thu?c
, ta tìm đi?u ki?n cho t :
- T? :
Do đó ph??ng trình có đúng 2 nghi?m x thu?c
, thì ph??ng trình :
có 2 ngi?m , hay đ??ng th?ng d: y=m c?t đ? th? (C) :
t?i hai đi?m v?i t thu?c
Ta có :
. L?p b?ng bi?n thiên :
t-
-101f'(t)-0+0f(t)-
01Qua b?ng ta th?y : v?i -
<m<1 thì d c?t f(t) t?i 2 đi?m , và ph??ng
trình có 2 nghi?m thu?c
Bài 9. Cho ph??ng trình :
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=2
Trang 10
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
b. Tìm m đ? ph??ng trình có ít nh?t m?t nghi?m thu?c đo?n
Gi?i
Ph??ng trình vi?t l?i :
(*)
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=2. Đ?t :
.
V?y ph??ng trình có nghi?m duy nhât :
b/ T? (*) ta th?y : sinx+cosx=0 không có nghi?m x thu?c
, cho nên đ? ph??ng trình có ít
nh?t 1 nghi?m x thu?c
, thì ph??ng trình
có ít nh?t 1 nghi?m t thu?c
. Hay đ??ng th?ng
d : y=m c?t f(t)=
t?i ít nh?t 2 đi?m .
V?i
Hay :
Bài 10. Cho ph??ng trình :
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m
Gi?i
Ph??ng trình :
.
Đ?t : t=
. Cho nên ph??ng trình tr? thành
a/ Gi?i ph??ng trình v?i m=
Do đó :
b/ Đ? ph??ng trình có nghi?m thì đ??ng th?ng d: y=m c?t đ? th? hàm s? :
f(t)=
Ta có b?ng bi?n thiên :
t-
-
-112+
f'(t) 00 f(t)+
-
Qua b?ng bi?n thiên ta th?y ph??ng trình có nghi?m khi
Bài 11. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . d.
Gi?i
a.
b.
c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 .
Đ?t :
Khi t=1
d.
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành
C? hai nghi?m th?a mãn đi?u ki?n .
Bài 12. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
Trang 11
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
d.
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n :
(*)
Ph??ng trình :
.
Tr??ng h?p :
Khi
b.
c.
d.
. T? công th?c :
, cho nên ph??ng trình tr? thành :
Bài 13. Cho ph??ng trình :
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=4
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m .
Gi?i
Ph??ng trình :
(1)
Đ?t :
. Thay vào (1) ta có :
(2)
a/ V?i m=4 (2) tr? thành :
.
Cho nên ph??ng trình vô nghi?m .
b/ Ph??ng trình (2)
Ch?ng t? hàm s? luôn đ?ng bi?n . V?i f(-2)=-5 ; f(2)=5 . V?y ph??ng trình có nghi?m khi
và ch? khi :
VI. PH??NG TRÌNH Đ?NG C?P B?C HAI -B?C BA Đ?I V?I SINX,COSX
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
Gi?i
a.
Có 2 cách gi?i :
Cách 1.
Chia 2 v? ph??ng trình cho
, ta có ph??ng trình :
Cách 2.
b.
. V?i đi?u ki?n :
, ta chia 2 v? ph??ng trình cho
. Khi đó ph??ng trình tr? thanh:
Trang 12
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
b.
. Nh?n xét : cosx=0 không là nghi?m cho nên cosx khác 0 .
Chia 2 v? ph??ng trình cho
, ta có ph??ng trinh :
Suy ra :
c.
d.
.
Nh?n xét : cosx=0 không là nghi?m cho nên cosx khác 0 . Chia 2 v? ph??ng trình cho
,
ta có ph??ng trinh :
Bài 3. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d. sin3x +cos3x +2cosx=0
Gi?i
a.
b.
. Có 2 cách gi?i
Cách 1.
. Gi?i theo ph??ng trình :
a.sinx+bcosx=c , ta tìm đ??cnghi?m .
Cách 2.
Nh?n xét : cosx=0 không là nghi?m cho nên cosx khác 0 . Chia 2 v? ph??ng trình cho
,
ta có ph??ng trinh :
c.
. Đi?u ki?n :
Khi đó :
. Th?a mãn đi?u ki?n .
d. sin3x +cos3x +2cosx=0
. Chia hai v? ph??ng trình cho
. Ta đ??c :
Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
Gi?i
a.
. Đi?u ki?n :
.
Khi đó ph??ng trình tr? thành
Trang 13
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Suy ra :
b.
c.
. Đi?u ki?n :
Ph??ng trình
* Chú ý : Bài này ta còn có th? s? d?ng các công th?c sau :
-
- Sau đó đ?t t=tanx
Bài 5. Cho ph??ng trình :
a. Gi?i ph??ng trình v?i m=2
b. Tìm m đ? ph??ng trình có nghi?m duy nh?t thu?c đo?n
Gi?i
Ph??ng trình :
Nh?n xét : N?u cosx=0 thì sinx=
, ph??ng trình có d?ng :
. Xét cosx
, chia 2 v? cho
.Khi
đó ph??ng trình tr? thành :
. Đ?t : t=tanx , ta có .
. Ph??ng trình luôn có nghi?m
, Cho nên đ? ph??ng trình có nghi?m duy nh?t thì (**)
vô nghi?m . B?ng cách tính đ?o hàm và xét d?u , ta th?y :
F'(t)=
Bài 6. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
Gi?i
a.
b.
Bài 7. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
. Ph??ng trình vô nghi?m
b.
c.
d.
Đ?t
V?y :
Trang 14
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
V. PH??NG TRÌNH L??NG GIÁC KHÔNG M?U M?C
A. T?NG CÁC H?NG T? KHÔNG ÂM
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
. B?ng cách bi?u di?n các nghi?m trên đ??ng tròn đ?n v? ta th?y có nghi?m chung là :
th?a mãn .
b.
Do :
Cho nên ph??ng trình có d?ng :
. Ph??ng trình vô nghi?m
c.
. Khi bi?u di?n nghi?m trên vòng tròn đ?n v? ta th?y nghi?m chung là :
d.
- Xét :
, thay vào (2).
Gi?i ta tìm đ??c :
ho?c
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
b.
c.
d.
*Nh?n xét :
Cho nên ph??ng trình d chính là ph??ng trình a mà ta đã gi?i .
B. PH??NG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI V?
1. D?ng 1.
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
Trang 15
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Ta có :
VP=
Cho nên ph??ng trình có nghi?m khi c? hai v? xáy ra d?u đ?ng th?c :
. N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i k,l thu?c Z sao cho hai nghi?m :
ch?n : l=2n .
Khi đó ph??ng trình có nghi?m là : x=
b.
VT=
VP=
. ( Do
)
Do đó ph??ng trình ch? x?y ra khi :
c.
Ta có
Ch? xáy ra khi :
d.
VP=
. Do đó ph??ng trình có nghi?m khi và ch? khi :
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
Gi?i
a.
Do :
V?y :
b.
2. D?ng 2.
Bài 3. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
c.
d.
Gi?i
a.
b.
.
Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i m,l thu?c Z sao cho :
. Ch?n l=2n , thì m=3n+1
Suy ra ph??ng trình có nghi?m :
. Nh?ng l?i vi ph?m đi?u ki?n do làm cho cos2x=0 . V?
y ph??ng trình đã cho vô nghi?m .
c.
Trang 16
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Nghi?m c?a ph??ng trình là :
d.
Ta có :
VP=
Cho nên suy ra ch? x?y ra :
.
Ph??ng trình có nghi?m khi t?n t?i k,l thu?c Z sao cho :
Ch?n l=2n thì k=3n+1 , khi đó ph??ng trình có nghi?m :
Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau "
a.
b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x .
c. sin4xcos16x=1 d.
Gi?i
a.
Nh?n xét :
. Vô nghi?m vì : VT là m?t s? ch?n v?i m?i k,l thu?c Z còn v? ph?i là m?t s? l? v?i m?i
k,l . V?y ph??ng trình vô nghi?m .
b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x . Đi?u ki?n :
Ph??ng trình tr? thành :
- Tr??ng h?p :
là m?t h? nghi?m , th?a mãn đi?u ki?n (*)
- Tr??ng h?p :
. ( Do thay (3) vào (1) th?a mãn )
V?y ph??ng trình có thêm nghi?m n?a là :
c. sin4xcos16x=1
.
N?u ph??ng trình có nghi?m thì t?n t?i k,l thu?c Z sao cho :
Đ?t :
V?y ph??ng trình có nghi?m :
d.
. Đi?u ki?n :
. Ph??ng trình đã cho tr? thành :
, cho nên ta có nh?n xét sau :
V?y ph??ng trình có nghi?m là :
Bài 5. Gi?i các ph??ng trình sau :
a.
b.
Gi?i
a.
Ta có :
VP=
Trang 17
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Suy ra :
b.
Ta có :
VT=
VP
. Suy ra ta có h? :
. Ph??ng trình vô nghi?m .
M?T S? PH??NG TRÌNH L??NG GIÁC KHÁC
Bài 1. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
Gi?i
a)
Ph??ng trình có nghi?m khi t?n t?i k,l thu?c Z sao cho :
.
V?y ph??ng trình có nghi?m là :
b)
. Đi?u ki?n :
. Suy ra :
. Nh?ng l?i vi ph?m đi?u ki?n .
V?y ph??ng trình vô nghi?m .
c)
Ta có :
VP=2cosx
Cho nên :
Bài 2. Gi?i các ph??ng trình sau
a)
b)
c)
(Bi?n lu?n theo m).
Gi?i
a)
b)
. Đi?u ki?n :
. Suy ra ph??ng trình tr? thành :
. Ta th?y :
. Ta chia 2 v? ph??ng trình cho
V?i :
c)
Chia 2 v? ph??ng trình cho
, ta có :
Ta có :
f(1;m)=2m-2
Nh? v?y ta có bi?n lu?n sau :
Trang 18
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
- N?u : 1<m<3 Ph??ng trình có 1 nghi?m : tanx=1
- N?u m=1 . Ph??ng trình có nghi?m kép : tanx=1
- N?u m=3 . Ph??ng trình có 2 nghi?m :
- N?u :
ph??ng trình có 3 nghi?m :
Bài 3. Gi?i các ph??ng trình sau
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành
.
Ta có :
th?a mãn đi?u ki?n (*)
b)
c)
d)
Bài 4. Gi?i các ph??ng trình sau
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
b)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành
. Đ?i chi?u v?i đi?u ki?n , thì các nghi?m th?a mãn .
c)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
d)
Bài 5. Gi?i các ph??ng trình sau
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
b)
c)
. Đi?u ki?n :
. Suy ra :
Trang 19
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
.
Do đi?u ki?n :
. Còn các nghi?m trên th?a mãn đi?u ki?n .
d)
Bài 6. Gi?i các ph??ng trình sau
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
. Đi?u ki?n :
. Ph??ng trình :
Do đó :
V?y nghi?m ph??ng trình là :
b)
. Vì cosx=0 không là nghi?m , cho nên ta chia c? hai v? c?a ph??ng trình cho
, suy ra
:
c)
. Đi?u ki?n :
. Ph??ng trình :
.
Các nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n (*) .
d)
V?y ph??ng trình có nghi?m là :
Bài 7. Gi?i các ph??ng trình sau
a)
b)
c)
Gi?i
a)
. Đi?u ki?n :
Ki?m tra đi?u ki?n (*) .
- N?u k=2n thì x=
- N?u k=2n+1
, không xác đ?nh cho nên v?i k l? thì lo?i .
Tóm l?i ph??ng trình có nghi?m là :
b)
. Đi?u ki?n :
. V?y ph??ng trình vô nghi?m .
c)
Do đó ph??ng trình có nghi?m là :
Bài 8. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
Trang 20
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
a)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó :
V?y ph??ng trình có nghi?m là :
b)
V?y ph??ng trình có nghi?m :
, th?a mãn đi?u ki?n (*)
c)
Vì :
có :
.
d)
Suy ra :
. Đ? ph??ng trình có nghi?m thì ,t?n t?i k,l thu?c Z sao cho :
. V?y ph??ng trình có nghi?m :
Bài 9. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
c) Cho ph??ng trình:
.
Tìm các nghi?m thu?c kho?ng
Gi?i
a)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
. Nh?ng l?i vi ph?m đi?u ki?n làm cho sinx=0 .
V?y ph??ng trình đã cho vô nghi?m .
c/
V?i :
. T?t c? có 5 nghi?m .
Bài 10. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
Tr??ng h?p : cos2x=0
Tr??ng h?p :
. Đ?t : t=cos2x ,
Nh?ng : f(-1)=-9, và f(1)=-1 do đó f(t) luôn âm v?i m?i x thu?c [-1;1]. Ph??ng trình vô
nghi?m . V?y nghi?m duy nh?t c?a ph??ng trình là :
b)
Vì :
. Cho nên ph??ng trình tr? thành :
+/ N?u cosx>0 :
Hay :
. Nh?ng
.
Cho nên :
. Lo?i .
+/ N?u cosx<0 :
Hay :
. Nh?ng
.
Cho nên :
. Lo?i .
+/ Cosx=0 . Đ??ng nhiên 2 là nghi?m c?a ph??ng trình .
Trang 21
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
V?y nghi?m :
c)
d)
. Nh?n xét : cosx=0 không là nghi?m , cho nên chia 2 v? c?a ph??ng trình cho
* Chú ý: Ta còn có cách :
Bài 11. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
. Đ?t
. Ph??ng trình tr? thành :
Ta tìm đ??c các giá tr? sau :
và
Vì :
T??ng t? ta tìm đ??c:
b)
-
Cho nên suy ra :
-
Do đó ph??ng trình ch? có th? x?y ra khi :
. H? có nghi?m khi t?n t?i k.l sao cho :
Đ?t :
. L?i đ?t : n=2m suy ra : l=1-5m và k=11-20m
Do đó h? có nghi?m :
c)
d)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Trên đây t?m trình bày 2 cách gi?i
- Tr??ng h?p gi?i theo cách 1 :
Ta có nghi?m ph??ng trình là :
- Tr??ng h?p gi?i theo cách 2:
Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghi?m .
* Chú ý : Ngoài 2 cách trên , ta còn quan ni?m đây là ph??ng trình đ?ng c?p b?c cao đ?i
v?i sinx và cosx , cho nên ta chia 2 v? c?a ph??ng trình cho
.
. Nh? (1)
Bài 12. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
Trang 22
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
- Tr??ng h?p :
Là m?t nghi?m c?a ph??ng trình
- Tr??ng h?p :
Ta có :
VP=sin2x thu?c [0;1]
N?u cosx=0 , thì ph??ng trình tr? thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=0 không là nghi?m
N?u cosx=1 , thì ph??ng trình tr? thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=1 không là nghi?m
N?u VT=
(1)
Khi đó VP=
(2)
T? (1) và (2) ph??ng trình vô nghi?m .V?y tr??ng h?p này ph??ng trình vô nghi?m .
b)
. Đi?u ki?n :
. Ph??ng trình :
. Vì sinx khác không cho nên chia 2 v? ph??ng trình cho sinx :
.
Nh?ng v?i
, vi ph?m đi?u ki?n , cho nên ch? còn :
V?y ph??ng trình có nghi?m là :
c)
. Đ?t :
. Do đó ph??ng trình :
d)
Bài 13. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
Còn : cosx+sinx+2=0 vô nghi?m vì
* Chú ý :
Đây là phw[ng trình đ?i x?ng đ?i v?i sinx,cosx .
Ta có th? đ?t :
. Bi?n đ?i ph??ng trình theo t .
b)
d)
. Đi?u ki?n :
. Ph??ng trình :
(1)
Nh?ng :
.
T??ng t? :
Do đó (1)
Bài 14. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
Gi?i
Trang 23
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
a)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình :
.
Đ?t :
. Thay vào ph??ng trình ta đ??c :
. Đ?t : t=cosy , suy ra :
Thay vào (**) ta đ??c :
.
Ki?m tra di?u ki?n (*)
- N?u k là ch?n : k=2n
.
Ph??ng trình đã cho vô nghi?m .
- N?u k là l? : k=2n+1
Các nghi?m này th?a mãn đi?u ki?n (*) . V?y nghi?m ph??ng trình :
.
b)
. Đ?t
. Khi đó ph??ng trình :
. Thay vào (*) ta tìm đ??c các nghi?m
. Thu g?n 2 nghi?m ta đ??c :
c)
Bài 15. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
V?y nghi?m ph??ng trình :
b)
V?y ph??ng trình có nghi?m :
c)
d)
Bài 16. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
b)
c)
d)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình :
Trang 24
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
Chuyên đ? LG l?p 11( N?i b? - l?u) Tháng 8 năm 2012
Do h? trên vô nghi?m . ( Ki?m tra b?ng ph??ng pháp tìm nghi?m nguyên hay bi?u di?n
trên đ??ng tròn đ?n v? c?ng đ??c ).
Bài 17. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
. Bài này đã gi?i r?i .
b)
. Đ?t :
c)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành
Nghi?m này th?a mãn di?u ki?n (*)
d)
Nh?n xét :
V?y ph??ng trình vô nghi?m .
Bài 18. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
. ( Bài này đã gi?i r?i )
b)
. Đi?u ki?n :
. Khi đó ph??ng trình tr? thành :
Ta th?y : V?i x=
, vi ph?m đi?u ki?n do làm cho cosx=0 ( lo?i )
Còn nghi?m :
.
V?y nghi?m :
c)
. Do cosx=0 không là nghi?m , cho nên chia 2 v? ph??ng trình cho
, ta đ??c ph??ng
trình :
d)
Bài 19. Gi?i các ph??ng trình l??ng giác sau:
a)
b)
c)
d)
Gi?i
a)
V?y :
Trang 25
S?u t?m và so?n-Nguy?n Đình S?-ĐT:0985.270.218
