BT Hình học không gian 12

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,
( )
SB ABC⊥
,
,BC a=

2SB a=
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tính MN,
( )
,d MN BC
.
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
, 2AC a BC a= =
, hình chiếu của
S trên
( )
ABC
là trung điểm H của BC,
( ) ( )
( )
, 60
o
SAC ABC =
. Tính
( )
, ,
SABC
V d AH SB
.
3) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của A’B’ và B’C’. Tính
( )
D'
, , '
A MN
V d AM D N
.
4) Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có
( ) ( )
( )
'
' , 60 , 8 3
o
A BC
A BC ABC S= =
. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Tính
( )
'
, ' ,
A AMN
V d A B AC
.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
3 , D D 2AB a A C SA a= = = =
,
·
·
D D 90
o

BA A C= =
,
( )
DSA ABC⊥
. Gọi G là trọng tâm
SAB∆
, mp
( )
DGC
cắt SA, SB lần
lượt tại M, N. Tính
( )
. D
, ,
S C MN
V d DM BC
.
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a,
SA a=
,
·
3, D 60 ,
o
SB a BA= =

( ) ( )
DSAB ABC⊥
. M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính
( )
. D

, os ,
S ABC
V c SM DN
.
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên
( )
DABC
trùng với trọng tâm
DAB∆
,
( )
( )
D, D 60
o
S ABC =
. Tính
. DS ABC
V
,
( )
( )
,d A SBC
.
8) Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ . Gọi M là trung điểm của BB’. Biết
' ,A B CM⊥

( )
3
' ,
10

d A B CM a=
. Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
9) Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC là các tam giác đều cạnh 2a,
3SA a=
. Tính
( )
.
, os ,
S ABC
V c SC AB
.
10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
, 2 2AB a AD a= =
. Hình chiếu
vuông góc của S trên
( )
DABC
trùng với trọng tâm
DBC∆
,
( )
( )
, D 45
o
SA ABC =
. Tính
( )

. D
, , D
S ABC
V d AC S
.
11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,
( ) ( )
DSAB ABC⊥
. Tính
. DS ABC
V
, xác đinh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
S.ABC.
12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, và M thuộc cạnh CC’ sao cho
CM = 2 MC’. Mặt phẳng
( )
α
đi qua A, M song song với BD, chia khối lập phương thành
2 khối đa diện. Tính thể tích 2 khối đa diện đó.
13) Cho tứ diện ABCD có
( )
DA ABC⊥
,
D 3a, 2a, 4aA AB AC= = =
,
·
60
o
BAC =
. Gọi H,

K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường thẳng HK cắt đường
thẳng AD tại E. Chứng minh
DBE C⊥
và tính
DBC E
V
.
14) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
AB AC a= =
, M là trung điểm
1
AB, hình chiếu vuông góc của S trên
( )
ABC
trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp
BMC∆
,
( )
( )
, 60
o
SB ABC =
. Tính
SABC
V
và
( )
( )
,d C SAB
.

15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường
kính
D 2aA =
,
( )
D , 6SA ABC SA a⊥ =
. H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính
( )
. D
, D,
H SC
V d A SC
.
16) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M là trung điểm AB.
Hình chiếu vuông góc của S lên
( )
DABC
trùng với trung điểm OM,
( ) ( )
( )
, DSAB ABC
60
o
=
. Tính
( )
( )
. D
, , D
S ABC

V d O SC
.
17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SAB∆
đều và
·
D 90
o
SA =
. Gọi M
là trung điểm SD. Tính
( )
( )
D
, ,
AC M
V d D ACM
.
18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SAB∆
đều,
( ) ( )
DSAB ABC⊥
.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB. Tính
( )
.
, ,
S ABMN
V d MQ AP

.
19) Cho tứ diện ABCD, biết
ABC∆
vuông tại A có
, 3AB a AC a= =
. Ngoài ra
DBC∆

vuông và
DA DB DC= =
. M là trung điểm BC. Tính
( )
D
, , D
ABC
V d AM C
.
20) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có
·
, 2a, 30
o
AB a BC ACB= = =
, hình chiếu vuông góc của
A’ trên
( )
ABC
trùng với trọng tâm G của
ABC∆
,
( )

( )
', 60
o
AA ABC =
. Tính thể tích khối
đa diện BCC’B’A’,
( )
' ', 'd B C A C
.
21) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SAB∆
đều,
DSC∆
vuông tại S.
M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho
BM SA⊥
. Tính AM,
. DS ABC
V
.
22) Cho hình chóp S.ABCD có
( )
DSC ABC⊥
, đáy là hình thoi cạnh bằng
3a
và
·
ABC
120
o

=
. Biết
( ) ( )
( )
, D 45
o
SAB ABC =
. Tính
( )
. D
, , D
S ABC
V d SA B
.
23) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
·
60
o
ABC =
. Hai mặt phẳng
( )
SAC

và
( )
DSB
cùng vuông góc với đáy. Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho IB = 3IA. Tính
( )
. D
, , D

S ABC
V d SA C
biết
SI a=
.
24) Cho S.ABC có
( )
( )
, 60
o
SA ABC =
.
ABC∆
vuông tại B,
·
30 , 2a
o
ACB AC= =
.Hình chiếu
vuông góc của S trên
( )
ABC
trùng với trọng tâm G của
ABC∆
. Tính
SABC
V
,
( )
,d SA BC

25) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm AB, G là trọng tâm
ABC∆
.
2aBC =
,
·
·
( )
( )
90 , 60 , ', 45
o o o
ACB ABC CC ABC
= = =
, hình chiếu vuông góc của C’ trên
( )
ABC
là trung điểm của CM. Tính
( )
. ' ' '
, os , '
ABC A B C
V c BC C G
.
26) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
1,AB =
' 2AA
=
,
2BC =
. Mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với A’C. Tính

( ) ( )
( )
,P ABC
và diện tích
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với lăng trụ.
2
27) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu của S lên
( )
DABC

nằm trong nửa mặt phẳng bờ BD chứa A.
( ) ( )
( )
D, 2a 2, D , D 60
o
SB B SB SB ABC⊥ = =
.
Tính
. DS ABC
V
,
( )
D,d B SC
.
28) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
·
, 2a, 120 ,
o
AC a BC ACB= = =

( )
( )
' , ' 'A C ABB A
30
o
=
. Tính
( )
. ' ' '
, ' , '
ABC A B C
V d A B CC
.
29) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C,
AC a=
. Hình
chiếu của A’ lên
( )
ABC
là trung điểm của AC,
( ) ( )
( )
' ' , ' ' 30
o
AA B B AA C C =
, cạnh bên
tạo với đáy một góc
60
o
. Tính

. ' ' 'ABC A B C
V
.
30) Cho tứ diện ABCD có
( ) ( )
D ,ABC A C ABC⊥ ∆
vuông tại A,
, D 2aAB a A= =
;
DA C∆

vuông tại D,
DC a=
. Tính
( )
D
, D,
ABC
V d A BC
.
31) Cho hình chóp S.ABCD có
( )
DSA ABC⊥
, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a. Gọi I là trung điểm AB, biết
( )
( )
3a 3
, D
8

d I SC =
.
Tính
( )
. D
, os , D
S ABC
V c SO A
với O là giao điểm AC và BD.
32) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a.
Hình chiếu vuông góc của A’ lên
( )
ABC
là trung điểm H của AB.
( )
( )
' , 45
o
A C ABC =
.
Tính
( )
. ' ' '
, ', '
ABC A B C
V d BB A C
.
33) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2a, AA’ =
3a
. Đỉnh B’ có hình chiếu vuông góc trên

( )
ABC
là trung điểm của BC. Góc giữa cạnh
bên và đáy bằng
60
o
. Tính
( ) ( )
( )
. ' ' '
, ' ' , ' '
ABC A B C
V BCC B ABB A
.
34) Cho tứ diện ABCD có
( ) ( )
D , DABC BC BC⊥ ∆
vuông ở D. Biết
15,AB a BC= =
3 3, 6a AC a=
,
( ) ( )
( )
D , D 60
o
AC BC =
. Tính
( )
( )
D

, , D
ABC
V d B AC
.
35) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 5 cm, BC = 4 cm.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy (ABC) bằng
60
°
.
Gọi D là trung điểm của cạnh AB . Tính
( )
, D,
SABC
V d S BC
.
36) Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA
vuông góc với đáy ,
ABCD
là hình chữ nhật với
3 2, 3AB a BC a= =
. Gọi
M
là trung điểm
CD
và góc giữa
( )ABCD
với

( )SBC
bằng
0
60
. Chứng minh rằng
( ) ( )SBM SAC⊥
và tính thể tích tứ diện
SABM
.
37) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a.
SAC∆
cân tại S,
( ) ( )
SAC ABC⊥
. M, N lần lượt là trung điểm SA, BC. Biết
( )
( )
, 60
o
MN ABC =
. Tính
( )
, ,
SABC
V d AC MN
.
3
38) Cho hình chóp S.ABC có
( )
( )

, , 30
o
AB BC CA SA a SA ABC= = = = =
, H là hình chiếu
của S lên
( )
ABC
thuộc đường thẳng BC. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
SABC.
39) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với
,AB AC a= =

·
120 , '
o
BAC BB a= =
. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính
( ) ( )
( )
, 'ABC AB I
.
40) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
·
D 60
o
BA =
, hai mặt chéo
( ) ( )
' ' , ' 'ACC A BDD B
cùng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD,

B’C’. Biết
D'MN B⊥
. Tính
D.A'B'C'D'ABC
V
.
41) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ, H là
trung điểm của AB,
2 , 5SA a SC a= =
,
SAB∆
đều,
( ) ( )
DSAB ABC⊥
và
( )
( )
,d D SHC =

2a 2
. Tính
. DS ABC
V
.
42) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 3a. Hình chiếu vuông góc
của C’ trên
( )
ABC
là điểm D thoả
2DC DB= −

uuur uuur
,
( )
( )
', ' ' ' 45
o
AC A B C =
. Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
,
( )
os ', Dc BB A
.
43) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng a. Gọi I, K lần lượt là
trung điểm A’D’, BB’. Chứng minh
'IK AC⊥
, tính
( )
, Dd IK A
.
44) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt đều là hình thoi cạnh a. Ba cạnh xuất phát
tại đỉnh A tạo ra 3 góc có số đo đều bằng
60
o
. Tính
( )
( )
D. ' ' ' '
, ', D

ABC A B C D
V CA ABC
.
45) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O,
, 3,AB a BC a SOA= = ∆
cân
tại S,
( ) ( ) ( )
( )
D D , D, D 60
o
SA ABC S ABC⊥ =
. Tính
( )
. D
, ,
S ABC
V d SB AC
.
46) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là
các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy
góc 60
0
. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
47) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,
·
2 , 120 ,
o
AB a BAC= =

·
·
( ) ( )
( )
90 , , 45
o o
SBA SCA SBC ABC= = =
. Tính
( ) ( )
( )
.
, ,
S ABC
V SAB ABC
.
4
5