Số giả nguyên tố, Số camichael

B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS

S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I

Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c

c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy

thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
1
1.SỐGIẢNGUYÊNTỐ.
1.
1.
1.
1.1.
1.
1.
1.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhl
l
l

lý
ý
ý
ýnh
nh
nh
nhỏ
ỏ
ỏ
ỏFermat:
Fermat:
Fermat:
Fermat:
Nếuplàmộtsốnguyêntốvàakhôngchiahếtchopthìa
p-1
≡
1(modp).
Ch
Ch
Ch
Chứ
ứ
ứ
ứng
ng
ng
ngminh
minh
minh
minh.Xéthệ(p-1)sốnguyêna,2a, ,(p-1)a.Cácsốnàyđềukhôngchia

hếtchopvàđôimộtkhôngđồngdưvớinhautheomodulop.Xéthệthặngdư
dươngbénhấtmoduloplà1,2, ,p-1.
Ta
có:a.2a (p-1)a
≡
(p-1)!(modp),
Tứclàa
p-1
(p-1)!
≡
(p-1)!(modp)do((p-1)!,p)=1nêntacóa
p-1
≡
1(modp).
1.
1.
1.
1.2.
2.
2.
2.S
S
S
Số
ố
ố
ốgi
gi
gi
giả

ả
ả
ảnguy
nguy
nguy
nguyê
ê
ê
ên
n
n
nt
t
t
tố
ố
ố
ố.
.
.
.
ĐịnhlýnhỏFermatkhẳngđịnhvớimọisốnguyêntốpvàmọisốtựnhiêna;
tacó:
.
Nếumệnhđềtươngtựđúngvớihợpsố
n
vàvớisốtựnhiên
a
nàođó:
thìnđượcgọilàsốgiảnguyêntốcơsở

a
.
1.3.
1.3.
1.3.
1.3.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhngh
ngh
ngh
nghĩ
ĩ
ĩ
ĩa
a
a
aalàmộtsốtựnhiênchotrước,hợpsốnthỏamãn
.
Thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởa.
V
V
V
Ví
í
í
íd

d
d
dụ
ụ
ụ
ụ.
.
.
.Sốnguyên341làmộtsốgiảnguyêntốsơsở2.Thậtvậ
y,
tacó341=11.31
nên341làhợpsố,và(11,2)=1,(31,2)=1.ÁpdụngđịnhlýnhỏFermatcó:
2
10
≡
1(mod11)suyra2
340
≡
1(mod11);
2
30
≡
1(mod31)nên2
330
≡
1(mod31).
Mặtkhác2
5
≡
1(mod31)nên2

10
≡
1(mod31)suyra2
340
≡
1(mod31).
Vậy2
340
≡
1(mod341).Nên341làmộtsốgiảnguyêntốcơsở2.
Nh
Nh
Nh
Nhậ
ậ
ậ
ận
n
n
nx
x
x
xé
é
é
ét:
t:
t:
t:341làsốgiảnguyêntốcơsở2nhỏnhất.
Bằngcáchtươngtựtacũngcó561làmộtsốgiảnguyêntốcơsở2.

Thậtvậycó561=3.11.17nênlàmộthợpsốvà(3,2)=(11,2)=(17,2)=1do
đóápdụngđịnhlýnhỏFermatcó:
2
2
≡
1(mod3)⇒2
560
≡
1(mod3)
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH

CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ

ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao

Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à

à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
2
2
10
≡
1(mod11)
⇒
2

560
≡
1(mod11).
2
16
≡
1(mod17)
⇒
2
560
≡
1(mod17).
Vậy2
560
≡
1(mod561)
⇒
561làsốgiảnguyêntốcơsở2.
1.3.1.
1.3.1.
1.3.1.
1.3.1.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhl
l
l

lý
ý
ý
ý.
.
.
.Cóvôsốsốgiảnguyêntốcơsở2.
Ch
Ch
Ch
Chứ
ứ
ứ
ứng
ng
ng
ngminh.
minh.
minh.
minh.
Giảsửnlàmộtsốgiảnguyêntốcơsở2,tasẽchứngminh2
n
-1cũnglàsốgiả
nguyêntốcơsở2.Theogiảthiếtnlàsốgiảnguyêntốcơsở2nênnlàhợpsố,suy
ratồntạihaisốtựnhiênp,qsaocho1<p,q<nsaochon=pq.
Và2
n-1
≡
1(modn)
Ta

có:m=2
n
-1=2
pq
-1=(2
p
-1)(2
p(q-1)
+2
p(q-2)
+ +1).
Nênmlàhợpsố.
Donlàsốgiảnguyêntốcơsở2nên2
n
≡
2(modn)
⇒
2
n
-2
≡
0(modn)
⇒
2
p
-2=kn.
Màm=2
n
-1nênm-1=2
p

-2=kn
⇒
2
m-1
=2
kn
.
⇒
2
m-1
-1=2
kn
-1=(2
n
-1)(2
n(k-1)
+2
n(k-2)
+ +1).
⇒
2
m-1
-1=m(2
n(k-1)
+2
n(k-2)
+ +1).
⇒
mlàướccủa2
m-1

-1nên2
m-1
-1
≡
0(modm)
⇒
2
m-1
≡
1(modm).Vậymlà
sốgiảnguyêntốcơsở2.
1.4.
1.4.
1.4.
1.4.S
S
S
Số
ố
ố
ốCarmichael.
Carmichael.
Carmichael.
Carmichael.
1.4.1.
1.4.1.
1.4.1.
1.4.1.Đị
Đị
Đị

Định
nh
nh
nhngh
ngh
ngh
nghĩ
ĩ
ĩ
ĩa.
a.
a.
a.Hợpsốnthỏamãnđồngdưthứcb
n-1
≡
1(modn)vớimọisố
nguyêndươngbsaocho(n,b)=1đượcgọilàsốCarmichael.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ:

:
:
:Số561=3.11.17làsốCarmichael.
Thậtvậyvớimọisốnguyêndươngb
saocho(b,561)thì(b,3)=(b,11)=(b,17)=1ápdụngđịnhlýnhỏFermattacó
b
2
≡
1(mod3)
⇒
b
560
≡
1(mod3);
b
10
≡
1(mod11)
⇒
b
560
≡
1(mod11);
b
16
≡
1(mod17
⇒
b
560

≡
1(mod17)
nênb
560
≡
1(mod561)Vậy561làsốCarmichael.
1.4.2.
1.4.2.
1.4.2.
1.4.2.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhl
l
l
lý
ý
ý
ý.
.
.
.SốtựnhiênnlàsốCarmichaelkhivàchỉkhin=q
1
q
2
q
n

,trongđó
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N

N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I

I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc

c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy

thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
3
q
j
,(j=1,2 n)làcácsốnguyêntốkhácnhauthỏamãnq
j
-1làướccủan-1.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d

dụ
ụ
ụ
ụ:
:
:
:561=3.11.17và(3-1);(11-1);(17-1)làướccủa560nên561làsố
Carmichael.
Tươngtự1729=7.13.19có(7-1);(13-1);(19-1)làướccủa1728nên1729làsố
Carmichael.
Số6601=7.23.41có(7-1);(23-1);(41-1)làướccủa6600nên6601làsố
Carmichael
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ:
:
:
:Nếu6m+1,12m+1,18m+1đềulàsốnguyêntốthìN=
(6m+1)(12m+1)(18m+1)làsốCarmichael.
Thậtvậyđặtp=6m+1thì12m+1=2p-1;18m+1=3p-2khiđótacóp;2p-1;

3p-2làcácsốnguyêntốvàN=p(2p-1)(3p-2).
N-1=6p
3
-7p
2
+2p-1=(p-1)(6p
2
-p+1),Vậyp-1làướccủaN-1.
Mặtkháccó
6p
2
≡
0(mod2);
Vìplàsốnguyêntốlớnhơn2nên-p
≡
-1(mod2)nên-p+1
≡
0(mod2).
Vậy6p
2
-p+1
≡
0(mod2)suyra2p-1-1=2(p-1)làướccủaN-1.
6p
2
≡
0(mod3)
p=6m+1
≡
1(mod3)nên-p

≡
-1(mod3)
⇒
-p+1
≡
0(mod3)
Vậy6p
2
-p+1
≡
0(mod3)suyra3p-2-1=3(p-1)làướccủaN-1
N=(6m+1)(12m+1)(18m+1)làsốCarmichael.
Tươngtựtacó:1729=7.13.19=(6.1+1)(12.1+1)(18.1+1)nên1729làsố
Carmicheal.
294409=37.73.109=(6.6+1)(12.6+1)(18.6+1)nên294409làsốCarmichael.
1.4.3.
1.4.3.
1.4.3.
1.4.3.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhl
l
l
lý
ý
ý

ý.
.
.
.TồntạivôhạnsốCarmichael.
1.4.4.
1.4.4.
1.4.4.
1.4.4.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhL
L
L
Lý
ý
ý
ý.
.
.
.Giảsửn=q
1
q
2
q
k
,trongđóq
j

,(j=1,2 n)làcácsốnguyêntố
khácnhauvànlàsốCarmichaelkhiđók
≥
3.
Ch
Ch
Ch
Chứ
ứ
ứ
ứng
ng
ng
ngminh.
minh.
minh.
minh.
Ta
chứngminhbằngphảnchứng.Giảsửn=pq,p<q.Vìnlàsố
Carmicheal,theođịnhlý4.2tacón-1
≡
0(mod(q-1))
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I

I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H

H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn

n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại

i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts

s
s
số
ố
ố
ố
4
Mặtkhácn-1=p(q-1+1)-1=p(q-1)+(p-1)
≡
0(mod(q-1))
Dođóq-1làướcp-1điềunàytráivớigiảthiếtp<q.
Vậygiảsửsainênk
≥
3
Nh
Nh
Nh
Nhậ
ậ
ậ
ận
n
n
nx
x
x
xé
é
é
ét

t
t
t:561làsốCarmichaelnhỏnhất.
1.5.
1.5.
1.5.
1.5.Ki
Ki
Ki
Kiể
ể
ể
ểm
m
m
mtra
tra
tra
traMiller.
Miller.
Miller.
Miller.
Giảsửnlàsốnguyêndươnglẻ,n-1=2
s
.ttrongđóslàsốnguyênkhôngâmt
làsốnguyênlẻ.
Ta
nóintrảiquađượckiểmtraMillercơsởbnếu:
hoặcb
t

≡
1(modn)hoặc
t
j
b
2
≡
-1(modn)vớijnàođó(
1 0− ≤ ≤
s j
).
1.6.
1.6.
1.6.
1.6.S
S
S
Số
ố
ố
ốgi
gi
gi
giả
ả
ả
ảnguy
nguy
nguy
nguyê

ê
ê
ên
n
n
nt
t
t
tố
ố
ố
ốm
m
m
mạ
ạ
ạ
ạnh.
nh.
nh.
nh.
1.6.1.
1.6.1.
1.6.1.
1.6.1.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh

nhngh
ngh
ngh
nghĩ
ĩ
ĩ
ĩa:
a:
a:
a:Sốnguyênnđượcgọilàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởbnếunó
làhợpsốvàtrảiquađượckiểmtraMillercơsởb.
1.6.2.
1.6.2.
1.6.2.
1.6.2.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhl
l
l
lý
ý
ý
ý.
.
.
.Tồntạivôsốsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2

Ch
Ch
Ch
Chứ
ứ
ứ
ứng
ng
ng
ngminh.
minh.
minh.
minh.Giảsửnlàsốgiảnguyêntốcơsở2tasẽchứngminhN=2
n
-1là
sốgiảnguyêntốmạnhcơsở2.
Thậtvậynlàsốgiảnguyêntốcơsở2nên2
n-1
≡
1(modn)
⇒
2
n-1
-1
≡
0(modn).
Ta
có2
n-1
-1=nk.

Mặtkhácnlàhợpsốnênn=dt
KhiđóN=2
n
-1=2
dt
-1=(2
d
-1)(2
d(t-1)
+2
d(t-2)
+ +1).Nên2
d
-1làướccủaN
nênNlàhợpsố.
N-1=2
n
-2=2(2
n-1
-1)=2nk
⇒
2
1
2
−
N
=2
nk
=
k n

) 2(≡
1(modN).(theo
chứngminhtồntạivôsốsốgiảnguyêntốcơsở2)
Vậyvớimọisốgiảnguyêntốncơsở2thìN=2
n
-1làmộtsốgiảnguyêntố
mạnhcơsở2,màdonlàvôsốnênNlàvôsố.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ.
.
.
.CMR2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2.
Ta
có:2047làsốlẻvà2047=23.89
2047-1=2046=2.3.11.31=2
1
(3.11.31).
Do2
11

=2048
≡
1(mod2047)nên
) 2047 (mod1
31. 3
)
11
2(≡
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM

M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN

N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao

Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à

àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
5
⇒
2
3.11.31
≡
1(mod2047).Vậy2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2.
1.6.3.
1.6.3.

1.6.3.
1.6.3.Đị
Đị
Đị
Định
nh
nh
nhl
l
l
lý
ý
ý
ý:
:
:
:
Mọisốgiảnguyêntốmạnhcơsở2đềulàsốgiảnguyêntốcơsở2.
B
B
B
BẢ
Ả
Ả
ẢNG
NG
NG
NGC
C
C

CÁ
Á
Á
ÁC
C
C
CS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐGI
GI
GI
GIẢ
Ả
Ả
ẢNGUY
NGUY
NGUY
NGUYÊ
Ê
Ê
ÊN
N
N
NT
T
T

TỐ
Ố
Ố
ỐC
C
C
CƠ
Ơ
Ơ
ƠS
S
S
SỞ
Ở
Ở
Ở2
2
2
2(60số)
(CácsốinđậmlàsốCarmichael).
34111·31
561
561
561
5613·11·17
6453·5·43
1105
1105
1105
11055·13·17

138719·73
1729
1729
1729
17297·13·19
19053·5·127
204723·89
2465
2465
2465
24655·17·29
270137·73
2821
2821
2821
28217·13·31
327729·113
403337·109
436917·257
43713·31·47
468131·151
546143·127
6601
6601
6601
66017·23·41
795773·109
832153·157
84813·11·257
8911

8911
8911
89117·19·67
10.26131·331
10.585
10.585
10.585
10.5855·29·73
11.3055·7·17·19
12.8013·17·251
13.7417·13·151
13.74759·233
13.98111·31·41
14.49143·337
15.70923·683
15.841
15.841
15.841
15.8417·31·73
16.7055·13·257
18.7053·5·29·43
18.72197·193
19.95171·281
23.0013·11·17·41
33.1533·43·257
34.9455·29·241
35.33389·397
39.8655·7·17·67
41.041
41.041

41.041
41.0417·11·13·41
41.6655·13·641
42.799127·337
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô

Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ

ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ

ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à
àL
L
L
Lý

ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
6
23.37797·241
25.7613·31·277
29.341
29.341
29.341
29.34113·37·61
30.1217·13·331
30.88917·23·79
31.41789·353
31.60973·433
31.621103·307

46.657
46.657
46.657
46.65713·37·97
49.141157·313
49.981151·331
52.633
52.633
52.633
52.6337·73·103
55.2453·5·29·127
57.4217·13·631
60.701101·601
60.78789·683
(Tríchtừen.Wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime)
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO

HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C

CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê

ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố

ố
ốv
v
v
và
à
à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
7

2.
2.
2.
2.TH
TH
TH
THỰ
Ự
Ự
ỰC
C
C
CH
H
H
HÀ
À
À
ÀNH
NH
NH
NHKI
KI
KI
KIỂ
Ể
Ể
ỂM
M
M

MTRA
TRA
TRA
TRAB
B
B
BẰ
Ằ
Ằ
ẰNG
NG
NG
NGMAPLE.
MAPLE.
MAPLE.
MAPLE.
2.
2.
2.
2.1.
1.
1.
1.Ki
Ki
Ki
Kiể
ể
ể
ểm
m

m
mtra
tra
tra
tras
s
s
số
ố
ố
ốgi
gi
gi
giả
ả
ả
ảnguy
nguy
nguy
nguyê
ê
ê
ên
n
n
nt
t
t
tố
ố

ố
ố.
.
.
.
Đểkiểmtraxemsốncóphảilàsốgiảnguyêntốcơsởbkhông?.
Trướctiêntakiểmtraxemncólàhợpsốkhôngbằnglệnh:
[>isprime(n);
[>isprime(n);
[>isprime(n);
[>isprime(n);
↵
Nếu
true
true
true
true
thìnlàsốnguyêntố,khôngphảilàsốgiảnguyêntốcơsởb;
Nếu
false
false
false
false
nlàhợpsốthìtakiểmtrađiềukiệnb
n
-b
≡
0(modn)bằnglệnh:
[>is(b^n
[>is(b^n

[>is(b^n
[>is(b^n-
-
-
-b
b
b
bmod
mod
mod
modn
n
n
n=
=
=
=0);
0);
0);
0);
↵
Nếu
true
true
true
true
thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởb;
Nếu
false
false

false
false
nkhônglàsốgiảnguyêntốcơsởb
Hoặclàsaukhikiểmtranlàhợpsốtacũngcókiểmtrađiềukiện
b
n
-b
≡
0(modn)bằnglệnh:
[>b&^n
[>b&^n
[>b&^n
[>b&^n-
-
-
-b
b
b
bmod
mod
mod
modn
n
n
n;
;
;
;
↵
Nếukếtquảlà0thìnlàsốgiảnguyêntốcơsởb.

Nếukếtquảkhác0thìnkhônglàsốgiảnguyêntốcơsởb.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ.
.
.
.Số561cólàsốgiảnguyêntốcơsở2không?
[>isprime(561);
↵
False
[is(2^561-2mod2=0);
↵
True
Vậy561làsốgiảnguyêntốsơsở2.
2.2
2.2
2.2
2.2Ki
Ki
Ki

Kiể
ể
ể
ểm
m
m
mtra
tra
tra
tras
s
s
số
ố
ố
ốCarmichael.
Carmichael.
Carmichael.
Carmichael.
ĐểkiểmtrancólàsốCarmichealkhôngtathựchiện.
B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c1.

1.
1.
1.phântíchnthànhsốnguyêntốbằnglệnh:
[>ifactor(n);
[>ifactor(n);
[>ifactor(n);
[>ifactor(n);
↵
Nếunlàtíchcủak(k
≥
3)thừasốnguyêntốkhácnhauthìtatiếptụcbước2.
NgượclạinkhôngphảilàsốCarmichael.
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ

ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI

HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh

Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v

v
và
à
à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
8
B
B
B

Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c2.
2.
2.
2.Lậpdanhsáchcácthừasốnguyêntốbằnglệnh:
[>q:=[q
[>q:=[q
[>q:=[q
[>q:=[q
1
1
1
1
,q
,q
,q
,q
2
2
2
2
, ,q
, ,q
, ,q
, ,q

k
k
k
k
];
];
];
];
↵
q:=[q
1
,q
2
, ,q
k
]
B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c3.
3.
3.
3.Tiếnhànhphépchian-1choq
i

-1bằnglệnh:
[>[seq(irem(n
[>[seq(irem(n
[>[seq(irem(n
[>[seq(irem(n-1,
-1,
-1,
-1,q[i]-1,i=1 nops(q)))];
q[i]-1,i=1 nops(q)))];
q[i]-1,i=1 nops(q)))];
q[i]-1,i=1 nops(q)))];
↵
Nếukếtquảlà[0,0, ,0]thìnlàsốCarmichael.
Nếutồntạimộtthànhphầnkhác0thìnkhônglàsốCarmichael.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ.
.
.
.Kiểmtraxem6601cólàsốCarmichaelkhông?

[>ifactor(6601);
↵
(7)(23)(41)
[>q:=[7,23,41];
↵
q:=[7,23,41]
[>[seq(irem(6600,q[i]-1,i=1 nops(q)))];
↵
[0,0,0]
Vậy6601làsốCarmichael.
2.3
2.3
2.3
2.3Ki
Ki
Ki
Kiể
ể
ể
ểm
m
m
mtra
tra
tra
tras
s
s
số
ố

ố
ốgi
gi
gi
giả
ả
ả
ảnguy
nguy
nguy
nguyê
ê
ê
ên
n
n
nt
t
t
tố
ố
ố
ốm
m
m
mạ
ạ
ạ
ạnh.
nh.

nh.
nh.
Chonlàsốnguyêndươnglẻ,blàmộtsốtưnhiênchotrước.Đểkiểmtraxem
ncólàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởbkhôngtathựchiệncácbướcsau.
B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c1.
1.
1.
1.Kiểmtranlàhợpsốbằnglệnh:
[>isprime(n);
[>isprime(n);
[>isprime(n);
[>isprime(n);
↵
Nếutrue
true
true
truethìnkhônglàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởb.
Nếufalse
false
false
falsethìnlàhợpsố.

B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c
c2.
2.
2.
2.Phântíchn-1thànhthừasốnguyêntốbằnglệnh.
[>ifactor(n-1);
[>ifactor(n-1);
[>ifactor(n-1);
[>ifactor(n-1);
↵
Kếtquảthuđượclà2
s
t(slàsốtựnhiênbấtkỳ)
B
B
B
Bướ
ướ
ướ
ước
c
c

c3.
3.
3.
3.Kiểmtrađiềukiệnb
t
-1
≡
0(modn),bằnglệnh
[>is(b^t
[>is(b^t
[>is(b^t
[>is(b^t-
-
-
-1
1
1
1mod
mod
mod
modn
n
n
n=
=
=
=0)
0)
0)
0);

;
;
;
↵
Nếukếtquảlàtrue
true
true
truethìnlàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởb.
B
B
B
BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM

M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S
SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN

N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy
Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao

Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20
20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à

àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế
ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
9
Nếukếtquảlàfalse
false
false
falsetakiểmtrađiềukiện) (mod0 1
2
n
t

j
b
≡ +vớij=0,1, ,s-1.
Bằnglệnh[>seq(b&^((2^j)*t)
[>seq(b&^((2^j)*t)
[>seq(b&^((2^j)*t)
[>seq(b&^((2^j)*t)+
+
+
+1
1
1
1mod
mod
mod
modn,
n,
n,
n,j=0, ,s-1);
j=0, ,s-1);
j=0, ,s-1);
j=0, ,s-1);
↵
Nếukếtquảlàdãycácsốcómộtphầntửbằng0thìnlàsốgiảnguyêntốmạnhcơ
sởb,ngượclạinkhônglàsốgiảnguyêntốmạnhcơsởb.
V
V
V
Ví
í

í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ.
.
.
.Kiểmtraxem2047cólàsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2không?
[>isprime(2047);
↵
False
[>ifactor(2046);
↵
(2)(3)(11)(31)
[>2&^(3*11*31)-1mod2047=0;↵
True
Vậy2047làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ

ụ
ụ
ụ.
.
.
.Kiểmtraxem25326001cólàsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2không?
[>isprime(25326001);
↵
False
[>ifactor(25326000);
↵
(2)
4
(3)
3
(5)
3
(7)(67)
[>2&^(3^3*5^3*7*67)-1mod25326001=0;
↵
False
[>seq(2&^((2
j
)*3^3*5^3*7*67)+1mod25326001,j=0,1,2,3);
↵
0,2,2,2
Vậy25326001làsốgiảnguyêntốmạnhcơsở2.
B
B
B

BÀ
À
À
ÀI
I
I
ITHU
THU
THU
THUHO
HO
HO
HOẠ
Ạ
Ạ
ẠCH
CH
CH
CHM
M
M
MÔ
Ô
Ô
ÔN
N
N
NS
S
S

SỐ
Ố
Ố
ỐH
H
H
HỌ
Ọ
Ọ
ỌC
C
C
CHI
HI
HI
HIỆ
Ệ
Ệ
ỆN
N
N
NĐẠ
ĐẠ
ĐẠ
ĐẠI
I
I
I
Nguy
Nguy

Nguy
Nguyễ
ễ
ễ
ễn
n
n
nL
L
L
Lê
ê
ê
êMinh
Minh
Minh
MinhCao
Cao
Cao
Caoh
h
h
họ
ọ
ọ
ọc
c
c
c20
20

20
20Đạ
Đạ
Đạ
Đại
i
i
is
s
s
số
ố
ố
ốv
v
v
và
à
à
àL
L
L
Lý
ý
ý
ýthuy
thuy
thuy
thuyế
ế

ế
ết
t
t
ts
s
s
số
ố
ố
ố
10
T
T
T
TÀ
À
À
ÀI
I
I
ILI
LI
LI
LIỆ
Ệ
Ệ
ỆU
U
U

UTHAM
THAM
THAM
THAMKH
KH
KH
KHẢ
Ả
Ả
ẢO
O
O
O
[1]HàHuyKhoái,PhạmHuyĐiển(2003),Sốhọcthuậttoán,NXBĐạihọcQuốc
giaHàNội.
[2]NguyễnThànhQuang(2011)Sốhọchiệnđại,TrườngĐạihọcVinh.