chuyên đề chứng minh toán 9

z
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS KIM HOA
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO PTTH
NĂM HỌC 2013 – 2014
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP
DẠNG
CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
GIÁO VIÊN : Nguyễn Thị Lan
THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ : Nguyễn Thị Minh Tâm
1
Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa.
A/ t vn
I/ Cơ sở lí luận
*Môn hình học giúp học sinh có sự rèn luyện t duy, chính xác và hợp lôgic,
rèn luyện cho học sinh kỹ năng cơ bản trong toán học nói riêng và áp dụng trong
đời sống nói chung Những kỹ năng cơ bản đó là sự phán đoán nhận xét, lập luận
liên hệ kiến thức cũ và mới liên hệ với bài toán thực tế. Hình thành cho học sinh
tính cẩn thận cần cù và phát triển năng lực t duy.
*Qua việc ôn thi vào lớp 10 cho thấy không ít học sinh cha tự lực
tìm tòi kiến thức cha tập trung thời gian để học tập, cha nắm vững kiến thức cơ
bản cha biết cách chứng minh bài toán hình học. Bài toán chứng minh tứ giác nội
tiếp, chứng minh đẳng thức hình học thờng có trong đề thi. Vì vậy cần bồi dỡng
ôn luyện cho học sinh l rt cn thit
II/ Cơ sở thực tiễn :
Bi toỏn chng minh t giỏc ni tip chim 1 v trớ quan trng trong
chng trỡnh Nhằm nâng cao điểm trung bình thi tuyển sinh vào PTTH ngời thầy
cần bồi dỡng ôn luyện cho học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng
thức trong hình học. Ngời thầy cần tạo cho học sinh nếp suy nghĩ để tìm ra đờng

lối giải quyết bài tập bắt nguồn từ điều phải chứng minh qua các yếu tố trung gian
để đi đến giải quyết yêu cầu đề bài.
B/ Ni dung
PHNI/ HNG DN HC SINH CHNG MINH T GIC NI TIP NG TRềN
I/ Kin thc c bn
1/ nh ngha t giỏc ni tip:
Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng trũn c gi l t giỏc ni tip
ng trũn (gi tt l t giỏc ni tip).
2/ Tớnh cht ca t giỏc ni tip (nh lớ):
+ nh lý : Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc i nhau bng 180
0
.
+ nh lớ o: Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i nhau bng 180
0
thỡ t giỏc
ú ni tip c ng trũn.
3/ Cỏc phng phỏp c bn chng minh mt t giỏc l t giỏc ni tip:
Muốn chứng minh tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh theo một trong các
dấu hiệu sau:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định đợc ) điểm đó chính
là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện của đỉnh đó.
* Mt s iu cn lu ý:
- Nu bi toỏn yờu cu chng minh 4 im cựng thuc mt ng trũn thỡ ta phi
lu ý n th t ca cỏc im trc khi chng minh t giỏc cú cỏc nh l cỏc im
ú ni tip.
- Nu bi toỏn yờu cu chng minh 5 im cựng thuc mt ng trũn thỡ ta i

chng minh hai t giỏc (cú chung 3 nh) ni tip.
- V hỡnh l khõu rt quan trng (hỡnh v cú ỳng thỡ mi gii c bi toỏn). Giỏo
viờn cn yờu cu hc sinh c k bi, v hỡnh ra giy nhỏp trc (xỏc nh hỡnh
2
Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa.
dng ca hỡnh v, v cỏi gỡ trc, khụng v hỡnh trong trng hp c bit ), sau
ú yờu cu hc sinh v hỡnh, rừ rng chớnh xỏc vo v.
- Phỏt hin v ghi vo giy nhỏp cỏc kt qu cú ngay c t hỡnh v: cỏc gúc
vuụng, cỏc gúc bng nhau, cỏc on thng bng nhau
- Rốn cho hc sinh k nng phõn tớch tỡm li gii bi tp.

II/ Mt s vớ d minh ha:
1. Ví dụ 1.
Cho ABC nhọn. Kẻ đờng cao BE; CF. H là trực tâm của ABC. Chứng minh tứ
giác BFEC và AFHE nội tiếp
Hớng dẫn học sinh:
B1 :Học sinh đọc kỹ đề bài.
B2: Vẽ hình : Vẽ đờng cao BE; CF bằng êke
H là giao điểm của CF và BE
Yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm:
- Đờng cao của tam giác.
- Trực tâm tam giác
B3: Xác định giả thiết kết luận của bài
- Xác định trên hình vẽ tứ giác cần chứng minh nội tiếp.
- Vận dụng dấu hiệu để chứng minh.
B4: Hớng dẫn học sinh chứng minh.
Tứ giác AFHE nội tiếp


0

90=AEH
(gt)
Tứ giác BFEC nội tiếp


0
90=BFC
(gt)
3
)(90 gtAFH =
=+ 180AEHAFH
)(90 gtBEC =
==
90BECBFC
H
E
F
C
B
A
Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa.
B5 Trinh bay chng minh
Sai lầm học sinh mắc phải
+ Vẽ đờng cao BE; CF không vuông góc với AC, AB.
+ Trình bày:
ã ã
AEH AFH=
= 90
0
Tứ giác AFHE nội tiếp (thiếu căn cứ chứng minh và trình bày cha đúng theo dấu

hiệu 1: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
.
+ Trình bày:
ã ã
0
180BFC BEC
+ =

Tứ giác BFEC nội tiếp (thiếu căn cứ chứng minh và trình bày cha đúng theo dấu
hiệu 2: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dới 1 góc .
Giáo viên cần l u ý cho học sinh
+ Nhận biết 2 đỉnh kề nhau của tứ giác, 2 góc đối nhau của tứ giác
+ Nhận biết các góc vuông trong hình vẽ và căn cứ khẳng định nó
+ Để nhận biết tứ giác nội tiếp trớc hết học sinh phải quan sát tứ giác đã cho để
phát hiện cách chứng minh theo dấu hiệu nào
- Thông thờng với tứ giác cha có sẵn 2 đờng chéo ta sử dụng dấu hiệu 1: Tứ
giác có tổng 2 góc đối bằng 180
0
.
4

Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa.
- Với tứ giác có sẵn 2 đờng chéo ta sử dụng dấu hiệu 2: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau
nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dới 1 góc
Nhận biết tứ giác nội tiếp bằng cách lợi dụng các tam giác vuông có chung cạnh
huyền: Nếu hai tam giác vuông có chung cạnh huyền thì tứ giác tao thành bởi các
đỉnh của 2 tam giác vuông đó nội tiếp. Để ý thấy 2 đỉnh góc vuông nằm ở 2 phía
đối với cạnh huyền chung thì là hai đỉnh đối của tứ giác (dấu hiệu 1), còn 2 đỉnh
góc vuông nằm cùng một phía đối với cạnh huyền chung thì là hai đỉnh kề của tứ

giác (dấu hiệu 2).
+ Cần trình bày chứng minh lập luận đủ căn cứ, chính xác
2/ Ví dụ 2
Chứng minh rằng nếu hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M và MA.MB=MC.MD
thì bốn điểm A,B,C,D c-ùng thuộc một đờng tròn.
Hớng dẫn học sinh:
B1: Học sinh đọc đề bài.
B2: Vẽ hình trong hai trờng hợp : - AB cắt CD trong đoạn thẳng
- AB cắt CD ngoài đoạn thẳng
Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh lợi dụng kết luận để vẽ hình, dùng compa xác
định bốn điểm A, B, C, D
B3: Xác định yêu cầu của bài vận dụng giả thiết để chứng minh.
B4: Hớng dẫn chứng minh
Hai điểm B , D nằm về một phía của AC và
cùng nhìn xuống AC dới hai góc bằng nhau
nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đ-
ờng tròn


AMD ng dng vi CMD


MB
MD
MC
MA
=

MA.MB = MC.MD
Nhn xột: Bi toỏn cho ta mt du hiu nhn bit t giỏc ni tip :

Nếu hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M và MA.MB=MC.MD thì bốn điểm
A,B,C,D cùng thuộc một đờng tròn (hay tứ giác ABCD nội tiếp)
5
CBMADM
=
CMBAMD =
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
PHẦN II – CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC DẠNG :
a.d = b.c HOẶC a
2
= b.c .
I- Kiến thức cơ bản:
Học sinh cần nắm được các nội dung kiến thức cơ bản sau:
1. Tính chất của tỉ lệ thức:
. .
a c
a d b c
b d
= ⇔ =
Áp dụng cho đoạn thẳng tỉ lệ cũng ta có:
' '
. ' ' ' '.
' '
AB A B
AB C D A B CD
CD C D
= ⇔ =
2. Định lí Talet trong tam giác:
* Định lí Ta let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

ABC
∆
, DE // BC
⇒
; ;
AD AE AD AE BD CE
DB EC AB AC AB AC
= = =
* Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh
của tam giác và song song với cạnh còn lại
thì nó định ra trên hai cạnh đó những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
ABC
∆
, DE // BC
⇒
AD AE DE
AB AC BC
= =
* Định lí Talet đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh
của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn
lại .

AD AE
DB EC
=
⇒
DE // BC
3. Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác

của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn
ấy.
µ
¶
µ
¶
1 2 3 4
, ,ABC A A A A∆ = =
DB EB AB
DC EC AC
⇒ = =
4. Hai tam giác đồng dạng:
* Định nghĩa:

µ
µ
µ
µ
µ
µ
' ; ' ; '
' ' '
' ' ' ' ' '
A A B B C C
A B C ABC
A B A C B C
AB AC BC

= = =


∆ ∆ ⇔

= =


:
* Các trường hợp đồng dạng của tam giác:
•
' ' ' ' ' 'A B A C B C
AB AC BC
= =
' ' 'A B C ABC
⇒ ∆ ∆
:
(c.c.c)
•
µ
µ
' ' ' '
, ' ' ' '
A B A C
A A A B C ABC
AB AC
= = ⇒ ∆ ∆:
(c.g.c)
•
µ
¶
µ
¶

' , ' ' ' 'A A B B A B C ABC= = ⇒ ∆ ∆:
(g.g)
6
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
* Trường hợp đồng dạng đặc biệt của tam giác vuông:
µ
¶
0
' ' ' '
, ' 90 ' ' '
A B B C
A A A B C ABC
AB BC
= = = ⇒ ∆ ∆:
(cạnh huyền-cạnh góc vuông).
5. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
1/ b
2
= ab’; c
2
= ac’
2/ h
2
= b’.c’
3/ a.h= b.c
4/
2 2 2
1 1 1
h b c
= +

II- Các Phương pháp chứng minh
đẳng thức hình học dạng a.d = b.c hoặc a
2
= b.c .
Muốn chứng minh một đẳng thức hình học có dạng a.d = b.c hoặc a
2
= b.c ta có
thể dùng một trong các cách sau:
1. Phương pháp 1: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Nếu các đoạn thẳng trong hình vẽ là các cạnh hoặc đường cao, hình chiếu của
cạnh góc vuông của tam giác vuông trong hình vẽ ta cần quan sát kĩ xem có áp
dụng được các hệ thức lượng trong tam giác vuông không, áp dụng hệ thức nào cho
thích hợp.
2. Phương pháp 2: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác.
Trong trường hợp không áp dung được hệ thức lượng trong tam giác vuông ta
nên nghĩ đến các tường hợp đồng dạng của tam giác và hướng dẫn HS phân tích
theo sơ đồ phân tích đi lên.
Ví dụ: Để chứng minh MA . MD = MB . MC ta có thể phân tích như sau:

. .MA MD MB MC
MA MB
MC MD
MAB MCD
=
⇑
=
⇑
∆ ∆
:
hoặc

MAC MBD
∆ ∆
:
HS cần biết lựa chọn cặp tam giác nào cho thích hợp.
3. Phương pháp 3: Chứng minh mỗi vế của đẳng thức bằng một tích thứ ba.
Khi hai cách trên đều không khả thi ta có thể nghĩ đến một tích thứ ba. Chứng
minh mỗi vế bằng tích đó. Cũng có thể phải lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng rồi
chứng minh mỗi tỉ số đó bằng một tỉ số thứ ba.
4. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường phân giác, định lí Talet hoặc hệ
quả của định lí Talet.
Nếu các đoạn thẳng trong hệ thức có liên quan đến đường phân giác hoặc đường
thẳng song song với một cạnh của tam giác thì có thể sử dụng tính chất đường phân
giác trong (ngoài) tam giác hoặc định lí Talet hay hệ quả của nó.
7
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
III- Một số lưu ý khi chứng minh đẳng thức hình học.
- Khi chứng minh bài toán dạng này GV cần cho HS quan sát đẳng thức, đối chiếu
với hình vẽ, xem xét vị trí của các đoạn thẳng trong đẳng thức ở hình vẽ, tìm mối
liên hệ giữa chúng với kiến thức liên quan để có lựa chọn phương pháp cho hợp lí.
- Với đẳng thức dạng a.d = b.c hoặc a
2
= b.c ta luôn có thể thiết lập được các tỉ lệ
thức tương ứng. Chẳng hạn:
. .
MA MC
MA MD MB MC
MB MD
= ⇔ =
Có thể hiểu MA, MD là 2 ngoại tỉ, MB, MC là hai trung tỉ hoặc ngược lại. Khi
chuyển thành tỉ lệ thức cần đặt đúng vị trí đảm bảo khi suy ngược lại được đẳng

thức đã cho.
- Khi có tỉ lệ thức
MA MC
MB MD
=
thì việc chọn cặp tam giác đồng dạng cũng cần để ý
cách viết tương ứng các đỉnh của chúng . Trong trường hợp này có hai cách để lựa
chọn
MAB MCD
∆ ∆
:
hoặc
MAC MBD
∆ ∆
:
.
IV- Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1:
Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp
tuyến MA, MB với đường tròn( A, B là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB
và OM. Chứng minh OI . OM = R
2
.
Hướng dẫn học sinh:
Bước1: Tìm hiểu đề.
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình
theo yêu cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu .
* Lưu ý cách vẽ hình: Hình vẽ phải rõ ràng, bán kính
của đường tròn khoảng 2-3 cm, vị trí điểm M không
quá gần hoặc quá xa đường tròn. Vẽ tiếp tuyến vừa

đủ để tiếp xúc với đường tròn và kéo dài qua tiếp
điểm. Xác định tiếp điểm là chân đường vuông góc
kẻ từ O tới tiếp tuyến. (GV yêu cầu HS phải dùng êke để vẽ đoạn vuông góc này).
- Qua hình GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
- GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và hình vẽ, cho biết OI, OM là
đoạn thẳng nào trong hình vẽ, đoạn thẳng nào có độ dài bằng R?
- HS dễ dàng nhận ra OI, OM nằm trên cạnh huyền của tam giác vuông OAM
( hoặc OBM) và OA = OB = R . Vậy AI có là đường cao của tam giác vuông OAM
không? vì sao?
- Lật lại giả thiết ta có AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên có MA=MB
mà OA = OB, suy ra OM là trung trực của AB. Do đó OM vuông góc với AB tai I.
Hay AI là đường cao của tam giác vuông OAM. ( Kết quả này được sử dụng rất
nhiều nên cần cho HS ghi nhớ).
Bước 3: Trình bày lời giải.
Ta có: OA = OB = R
MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒
OM là trung trực của AB
⇒
OM vuông góc với AB tai I
Hay AI là đường cao của tam giác vuông OAM.
8
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
⇒
OI . OM = OA
2
(hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
⇒
OI . OM = R

2
.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa, đầy đủ
các trường hợp có thể xảy ra hay chưa .
- Tìm cách giải khác : từ OI . OM = R
2

⇒
OI . OM = OA
2
Ta có cách phân tích như sau:

·
·
2
0

9
.
0
OI OA
OA OM
O
OI OM
IA OAM
OIA O
O
AM
A

⇑
=
⇑
∆ ∆
⇑
= =
=
:
So sánh đối chiếu với cách đã làm xem cách nào ưu thế hơn. Rõ dàng trong cách
làm thứ hai vẫn phải chứng minh OM vuông góc với AB tai I. Vậy sử dụng
phương pháp 1 hợp lí hơn. Khi chứng minh OM vuông góc với AB tai I cũng có
thể làm bằng nhiều cách khác nhau. GV nên cho HS tìm thêm các cách khác để so
sánh đối chiếu và lựa chọn cách làm hợp lí nhất nhằm phát triển tư duy của HS.
- Nghiên cứu, khai thác bài toán : Từ hình vẽ GV cho HS phát hiện các kết quả
khác. Chẳng hạn:
+ AI là đường cao của tam giác vuông OAM nên có AI
2
= OI.IM;
MA
2
= MI.MO; AO.AM = OM.AI.
+ Tứ giác OAMB nội tiếp (
¶
µ
0
180A B+ =
)
nên có IA.IB = IO.IM = IA
2
.

+ Kẻ đường thẳng OB căt MA tại E lại có EA.EM
= EO.EB
+ Đường thẳng OB cắt (O) tại D ta có AD
⊥
AB(
·
0
90DAB =
- góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒

AD//OM
⇒
. .
EA ED
EA EO ED EM
EM EO
= ⇒ =
.
+ MO là phân giác góc AMB, nếu kẻ đường thẳng
qua A cắt OM tại K và MB tại T ta lại có
. .
KA MA
KA MT KT MA
KT MT
= ⇒ =
.
Từ đó ta có thêm các BT mới, HS được củng cố, khắc sâu kiến thức, có kĩ năng
phát hiện vấn đề, có cách nhìn sâu, rộng vấn đề, phát huy tính năng động sáng tạo
của học sinh.

Tuỳ theo đối tượng học sinh GV có thể lựa chọn cách thức và mức độ khai thác
cho phù hợp.
9
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ hai đường cao BE và CF cắt nhau
tại H. Chứng minh AE . AC = A F . AB và HB . HE = HC . HF .
Hướng dẫn học sinh:
Bước1: Tìm hiểu đề .
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình theo
yêu cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu cần thiết.
* Lưu ý cách vẽ hình: không nên vẽ tam giác ABC cân
(hoặc đều). Chú ý kĩ năng vẽ đường cao trong tam giác.
- Qua hình vẽ GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
- GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và
hình vẽ, cho biết vị trí các đoạn thẳng trong hình vẽ.
- Nhận thấy trong hình cũng có các đường cao, có các tam giác vuông nhưng các
đoạn thẳng trong đẳng thức lại nằm ở hai tam giác vuông khác nhau nên nghĩ đến
phương pháp 2.
- GV hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ phân tích
đi lên.

. .
AE AB
AE AC AF
AF AC
B F
A
A
B

A E C
⇑
=
⇑
∆
=
∆
:
hoặc
AEF ABC
∆ ∆
:
Đến đây HS cần biết lựa chọn cặp tam giác đồng dạng nào thích hợp hơn.
- Hai tam giác ABE và ACF là hai tam giác vuông có chung góc A nên dễ chứng
minh được
ABE ACF
∆ ∆
:
(g.g).
- Tương tự cách suy nghĩ đó ta có :

. .
HB HF
HB HE HC
HC HE
B H E
HF
H F C
⇑
=

⇑
∆
=
∆
:
hoặc
HBC HFE
∆ ∆
:
Bước 3: Trình bày lời giải.
* Hai tam giác ABE và ACF có:

·
·
0
90AEB AFC= =
(gt)

¶
A
chung
⇒
ABE ACF∆ ∆:
(g.g).
. . AE AC AF AB
AE AB
AF AC
⇒ == ⇒
*Hai tam giác HBF và HCE có:
10

Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.

·
·
0
90HFB HEC= =
(gt)

·
·
FHB EHC=
(đđ)
⇒
HBF HCE
∆ ∆
:
(g.g).
. .
HB HF
HC HE
HB HE HC HF== ⇒
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa. Đặc
biệt chú ý đến cách viết các đỉnh tương ứng.
- Tìm cách giải khác: Có thể lựa chọn cặp tam giác thứ hai được không?
Nhận thấy tứ giác BFEC nội tiếp
⇒
µ µ
1 1
C E=

(2 góc nội tiếp cùng chắn một cung)
⇒
HBC HFE
∆ ∆
:
(g.g). Vậy vẫn có thể dùng cặp tam giác đó để chứng minh. Tuy
nhiên cách này dài dòng hơn nên có thể yên tâm với cách đã trình bày.
- Nghiên cứu, khai thác bài toán : Từ hình vẽ GV cho HS phát hiện các kết quả
khác. Chẳng hạn:
+ Kẻ đường cao thứ ba có thể lập được các đẳng thức tương tự.
+ Đường tròn đường kính BC đi qua E và F nên có thể thay đổi giả thiết để có bài
toán tương tự: “Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt
AB, AC lần lượt tại N và M . Gọi I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh:
AN.AB = AM.AC và IM . IB = IN . IC ’’ .
Ví dụ 3 ( tương tự BT51-T135- Sách BT toán 9 tập1):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa
đường tròn ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB).
Gọi H là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn ( H khác A và B). Tiếp tuyến tại H cắt
tia Ax, By lần lượt tai M và N. Chứng minh AM.BN = OH
2
.
Hướng dẫn học sinh:
Bước1: Tìm hiểu đề .
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình theo yêu
cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu cần thiết.
* Lưu ý cách vẽ hình: không lấy điểm H vào chính giữa
cung AB. Nếu lấy điểm H nằm chính giữa cung AB thì tứ
giác ABNM là hình chữ nhật khi đó rất dễ hiểu sai thành
AM = BN = OH .
- Qua hình GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán.

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
- GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và hình vẽ, cho biết vị trí các
đoạn thẳng trong hình vẽ.
- Ta thấy các đoạn thẳng trong hình vẽ không cùng nằm trong một cặp tam giác
nên chưa sử dụng được phương pháp 1 hoặc 2.
- Từ giả thiết ta có: AM = HM, BN = HN
⇒
AM . BN = HM . HN nên nghĩ đến
việc chứng minh hai vế cùng HM .HN, nghĩa là phải chứng minh OH
2
= HM.HN.
Mà OH lại là đường cao trong tam giác MON nên để có đẳng thức OH
2
= HM.HN
thì tam giác MON vuông tại O.
Bước 3: Trình bày lời giải.
Ta có AM = HM, BN = HN ( T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒
AM . BN = HM . HN (1)
11
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.

µ
¶ ¶
¶
1 2 4 3
;O O O O= =
( T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒

¶
¶
µ
¶
¶
¶
µ
¶
¶
¶
µ
¶
2 3 1 4
0
2 3 1 4
0
2 3 1 4
90
180
O O O O
O O O O
O O O O

+ = +

⇒ + = + =

+ + + =



·
0
90MON⇒ =
OM ON
⇒ ⊥
Tam giác MON vuông tại có đường cao OH nên ta có:
OH
2
= HM.HN ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2).
Từ (1) và (2)
⇒
AM.BN = OH
2
.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa. Kí hiệu
các góc trong bài làm có khớp với hình vẽ không.
- Tìm cách giải khác: Ta có OH = OA = OB
⇒
OH
2
= OA .OB nên để chứng minh
AM.BN = OH
2
ta chứng minh AM . BN = OA . OB .Ta có sơ đồ:

µ
¶
1 1
. .

AM OB
OA BN
AMO
AM BN OA
BON
O
O
N
B
⇑
=
⇑
∆ ∆
⇑
=
=
:
HS có thể chứng minh các tứ giác nội tiếp rồi áp dụng hệ quả về góc nội tiêp để
chứng minh
µ
¶
1 1
O N=
.
- Nghiên cứu, khai thác bài toán : Từ hình vẽ GV cho
HS phát hiện các kết quả khác. Chẳng hạn:
+ H thuộc đường tròn nên OH = R không đổi. Ta có thể
chứng minh tích AM.BN không đổi khi H chuyển động
trên nửa đường tròn.
+ Kẻ AH cắt MO tại I, BH cắt NO tại K theo VD1 ta có

OI . OM = OH
2
và OK . ON = OH
2
nên chứng minh
được OI . OM = OK . ON và còn chứng minh được tứ
giác IKNM nội tiếp.
12
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
PHẦN III – MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài toán 1: (Tương tự bài IV đề thi vào lớp 10 - TP.Hà Nội năm học 2011- 2012)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần
lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm của BM và CN.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh AF . AB = AE . AC và HB . HE = HC . HF.
c) Gọi K là điểm đối xứng với H qua cạnh BC, O là trung điểm của cạnh BC, M
là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh 5 điểm A, B, K, M, C cùng thuộc một
đường tròn.
Hướng dẫn học sinh:
Bước1: Tìm hiểu đề.
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình
theo yêu cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu cần
thiết.
* Lưu ý cách vẽ hình: hình vẽ phải rõ ràng dễ quan
sát. Không nên vẽ tam giác ABC cân (hoặc đều), nếu
học sinh vẽ ∆ABC cân tại A thì O trùng D, M trùng
với K dẫn tới sự lúng túng khi làm bài hoặc ngộ nhận
kết quả.
- Qua hình vẽ GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.

- GV cho HS nhận biết vị trí của điểm E và F trên
đường tròn từ đó cho biết vai trò của các đường BE,
CF trong tam giác ABC.
Dễ thấy
·
0
90BEC =
,
·
0
90BFD =
nên BE và CF là hai đường cao trong tam giác ABC.
HS dễ xác định được hướng làm phần a,b.
+ Để chứng minh 5 điểm A, B, K, M, C cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng
minh hai tứ giác ABKC và ABMC nội tiếp.
Tứ giác ABKC đã có sẵn hai đường chéo nên định hướng chứng minh theo phương
pháp 3.
+ Giáo viên sử dụng sơ đồ phân tích đi lên để hướng dẫn học sinh:
Tứ giác ABKC nội tiếp
⇑
·
·
BAK = BCK
⇑

·
BAK
= …(1)
·
BCK

= …(2)

13
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
Đến đây giáo viên cho học sinh tìm các góc bằng góc BAK viết vào (1), tìm các
góc bằng góc BCK viết vào (2), sau đó chỉ ra một góc ở mục (1) bằng một góc ở
mục (2).

·
·
BAK = FCB
(cùng phụ với
·
ABC
)

·
·
BCK BCH=
⇑
∆ DCH = ∆ DCK (2 cạnh góc vuông)
+ Tứ giác ABMC chưa có sẵn hai đường chéo nên định hướng chứng minh tứ giác
này nội tiếp theo phương pháp 2. Ta có sơ đồ phân tích đi lên:
Tứ giác ABMC nội tiếp
⇑
·
·
ABM + ACM
= 180
0

⇑
·
ABM
= 90
0
, tương tự
·
ACM
= 90
0
(bằng trực giác nhận thấy 2 góc này vuông)
⇑
MB ⊥ AB
⇑
MB // CH
⇑
Tứ giác BHCM là hình bình hành
⇑
IB = IC, IH = IM (giả thiết)
Bước 3: Trình bày lời giải.
- Từ các phân tích trên học sinh dễ dàng trình bày được lời giải bài toán như sau:
a) Ta có
·
0
90BEC =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒
BE
⊥
AC

·
0
90AEH⇒ =
Tương tự ta có
·
0
90AFH =
Xét tứ giác AEHF có:
·
·
0 0 0
AEH AFH 90 90 180+ = + =
⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b) Tương tự ví dụ 2- Phần II.
c) *Ta có: ∆ DCH = ∆ DCK (2 cạnh góc vuông) ⇒
·
·
BCK BCH=
Lại có:
·
·
BAK = BCH
(cùng phụ với
·
ABC
)
⇒
·
·
BAK = BCK

Vậy tứ giác ABKC nội tiếp. Hay K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.(1)
*Ta có: IB = IC, IH = IM (giả thiết) ⇒ Tứ giác BHCM là hình bình hành
⇒ MB // CH
Mà CH ⊥ AB (gt)
⇒ MB ⊥ AB ⇒
·
0
ABM 90
=
Chứng minh tương tự có
·
0
ACM 90
=
⇒
·
·
0
ABM ACM 180
+ =
⇒ tứ giác ABMC nội tiếp. Hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.(2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, B, K, M, C cùng thuộc một đường tròn.
14
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa. Kí hiệu
các góc trong bài làm có khớp với hình vẽ không, thứ tự các đỉnh của tứ giác đã
đúng chưa.
- Tìm cách giải khác: HS có thể chứng minh tứ giác ABKC và ABMC nội tiếp
bằng cách khác.

- Nghiên cứu, khai thác bài toán: Từ bài toán này ta có kết luận: Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC nhọn. Khi đó các điểm đối xứng với H qua các cạnh của
tam giác, các điểm đối xứng với H qua trung điểm các cạnh của tam giác đó
nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Yêu cầu học sinh kiểm tra kết quả của bài toán này nếu tam giác ABC vuông
hoặc tù.
Với những bài toán tổng hợp GV nên khai thác bài toán
sang dạng khác có vận dụng kết quả của bài tập đã làm.
Chẳng hạn:
+ BE và CF là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại
H nên chứng minh được AH vuông góc với BC.
+ Tứ giác AEHF nội tiếp nên
·
·
FAH = FEH
, mà
·
·
FEH = BCF
,
·
·
BCF = OFC
nên chứng minh được
·
·
FAH = OFC
.
+ Gọi I là trung điểm của AH còn chứng minh được FI
là tiếp tuyến của (O).

Bài toán 2: (Tương tự bài IV đề thi vào lớp 10 - TP Hà
Nội năm học 2011- 2012)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm thuộc đường tròn (C khác
A và B). Lấy điểm I nằm giữa A và O. Đường thẳng qua C và vuông góc với IC cắt
các tiếp tuyến với (O) tại A và B lần lượt tại M và N.
1/ Chứng minh rằng tứ giác AMCI nội tiếp.
2/ Gọi H là giao điểm của AC và MI, K là giao điểm của BC và NI. Chứng minh tứ
giác CHIK nội tiếp.
Hướng dẫn học sinh:
Bước1: Tìm hiểu đề.
- Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình theo
yêu cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu cần thiết.
* Lưu ý cách vẽ hình: không lấy điểm C vào chính giữa
cung AB, không lấy điểm I là trung điểm của OA.
- Qua hình vẽ tái hiện lại nội dung bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
1/ Chứng minh rằng tứ giác AMCI nội tiếp
Học sinh dễ dàng chứng minh theo phương pháp 2.
2/ Chứng minh tứ giác CHIK nội tiếp.
+ Vì tứ giác CHIK chưa có sẵn hai đường chéo nên định
hướng chứng minh theo phương pháp 2.
+ Nhận thấy
·
ACB
= 90
0
, trực giác giúp ta nhận thấy góc HIK vuông.
+ Vì vậy ta có thể hướng dẫn học sinh chứng minh theo sơ đồ sau:
15
1

1
1
1
K
H
O
I
C
N
M
B
A
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
Tứ giác CHIK nội tiếp
⇑
·
·
HCK + HIK
= 180
0
⇑
·
HCK
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
·
HIK
= 90
0

⇑
µ
M
1
+
µ
N
1
= 90
0
⇑
µ
M
1
= Â
1
(do tứ giác AICM nội tiếp)
µ
N
1
=
µ
B
1
(chứng minh tương tự)
Â
1
+
µ
B

1
= 90
0
(∆ ACB vuông tại C).
* Lưu ý: Trong quá trình giảng dạy cần tôn trọng ý kiến của học sinh. Chẳng hạn ở
bài tập này học sinh có thể đưa ra phương án khác để chứng minh góc HIK vuông.
Khi đó giáo viên cần cho học sinh phát huy tính tự chủ của mình.
Học sinh có thể phân tích để chứng minh góc HIK vuông như sau:
·
HIK
= 90
0
⇑
·
·
MIC + CIN
= 90
0
⇑
·
·
MIC = MAC
(do tứ giác AICM nội tiếp)

·
·
CIN CBN=
(chứng minh tương tự)
·
·

MAC CBN+
=
2
1
(sđ
»
AC
+ sđ
»
CB
) =
2
1
.180
0
= 90
0

Bước 3: Trình bày lời giải.( HS tự làm)
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
- GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa. Kí hiệu
các góc trong bài làm có khớp với hình vẽ không.
- Tìm cách giải khác:
- Nghiên cứu lời giải
Bài toán 4: Cho đtròn (O, R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
b) Gọi M là một điểm trên dây BC, đường thẳng qua M vuông góc với OM cắt tia
AB và AC lần lượt tại D và E. CMR Các tứ giác: BDOM; ECOM nội tiếp.
c) Chứng minh M là trung điểm của DE.

16
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
*Hướng dẫn học sinh
: - Đọc đề bài.
- Vẽ hình, nên vẽ và chứng minh từng phần để dễ quan sát,
- Chú ý cách vẽ tiếp tuyến.
- Đọc đúng thứ tự đỉnh, phát hiện dấu hiệu.
*Lời giải:
a) Tứ giác ABOC có:
·
0
90ABO =
(tính chất tiếp tuyến).
·
0
90ACO =
(tính chất tiếp tuyến).
·
·
0 0 0
90 90 180ABO ACO⇒ + = + =
⇒
tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
đường kính AO.
b) Tứ giác ECOM có:
·
0
90OME =
(gt)
·

0
90OCE =
(tính chất tiếp tuyến)
Suy ra
·
·
0
180OME OCE+ =
do đó tứ giác
ECOM nội tiếp đường tròn đường kính OE.
Tứ giác BDOM có:
·
0
90DMO =
(gt)
·
0
90DBO =
(tính chất tiếp tuyến).
Suy ra 4 điểm B, D, O, M nằm trên đường
tròn đường kính DO
Do đó tứ giác BDOM nội tiếp đường tròn
đường kính DO .
c) Vì tứ giác BDOM nội tiếp nên
µ
¶
1 1
B D=

(cùng chắn cung MO) (1)

tứ giác ECOM nt nên
µ µ
1 1
C E=
(cùng chắn
cung MO) (2)
mà OB = OC = R
⇒
tam giác OBC cân tại O
⇒

µ
µ
1 1
B C=
(t/c tam giác cân) (3)
từ (1), (2) và (3) suy ra
¶
µ
1 1
D E=
, do đó tam giác ODE cân tại O, lại có
OM DE
⊥
(gt),
do đó OM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh DE

⇒
MD = ME (đpcm).
17

Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa.
Sai lm thng mc phi: Nhm gúc DMO v DBO l gúc ca t giỏc dn n
cỏch tỡnh by sai sau:
T giỏc BDOM cú:
ã
0
90DMO =
(gt) ,
ã
0
90DBO =
(tớnh cht tip tuyn).
Suy ra
ã
ã
0
180DMO DBO+ =
do ú t giỏc BDOM ni tip ng trũn ng kớnh OB.
Khc phc: Giỳp HS phõn bit rừ TH ny.
Cht li vn :
- Khi chng minh mt t giỏc l ni tip cn quan sỏt k t giỏc, c bit l cỏc
gúc trong t giỏc la chn du hiu thớch hp.
- Khi t giỏc ó ni tip ta cú :
+ Cỏc gúc i cú tng bng 180
0
.
+ Cỏc gúc nhỡn t hai nh k nhau xung hai nh cũn li thỡ bng nhau.
Ta thng dựng hai t/c ny tớnh s o gúc hoc chng minh cỏc gúc bng nhau.
im ny gv cn nhn mnh cho hs nhn ra cỏc gúc ú nhm s dng chng
minh cỏc gúc bng nhau suy ra cỏc on thng bng nhau,cỏc tam giỏc ng

dng, cỏc ng thng song song
M rng:
1) Gi I, K ln lt l giao im ca DE vi (O)
Chng minh DI = KE.
2) Chng minh DB = CE, ADOE ni
tip.
3) Chng minh: OB.DE = OD.BC
4) T E k tip tuyn ET vi ng
trũn( T l tit im, T khỏc C). Chng
minh 5 im O, C, E, T, M cựng thuc
mt ng trũn.
C/ Kết luận
+ Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn, chứng minh đẳng thức
hình học thờng có trong các đề thi vào THPTvà thờng nằm ở câu 4 ý a, b trong
đề thi vào 10 .HS muốn đạt điểm 5 trở nên cần nắm chắc hai nội dung này.
+ Để chứng minh tứ giác nội tiếp thờng sử dụng dấu hiệu tổng hai góc đối
diện bằng 180
0
hoặc hai đỉnh kề nhau của tứ giác nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại
dới một góc ( thờng hay gặp hơn cả là các góc vuông).
+ Chứng minh đẳng thức mà mỗi vế là một tích của hai đoạn thẳng ta thờng
chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi viết tỉ số đồng dạng, lập tích các tỉ số
bằng nhau hoặc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông.
18
Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa.
Đây là những bài tập hướng dẫn học sinh diện yếu ,trung bình và khá ôn tập để thi
vào lớp 10.do đó các bài tậpđược lựa chọn phù hợp để học sinh tiếp thu được
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong giảng dạy môn Toán .
Vì kinh nghiệm của bản thân chưa nhiều nên bài viết này sẽ không tránh khỏi
thiếu sót . Rất mong các quý thầy cô đồng nghiệp góp ý để đề tài được hoàn thiện

hơn .
CHÂN THÀNH CẢM ƠN
Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ Lan
Thùc hiÖn chuyªn ®Ò : Nguyễn Thị Minh T©m
19