CHUNG MINH QUY NAP

ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức sau:

1. Chứng minh rằng:
a) a
5
- a chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương a.
b) 7
n + 2
+ 8
2n + 1
chia hết cho 19
c) 6
2n
+ 3
n + 2
+ 3
n
chia hết cho 11
d) 10
n
- 9n - 1 chia hết cho 27
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
( 1)
2
n n


b) S
n
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+. . .+ n
2
=
6
1
n(n + 1)(2n + 1)
c) S
n
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+. . .+ n
3
=
4
)1(
22
nn

d) S
n
= 1
3
+ 3
3
+ 5
3
+. . .+ (2n – 1)
3
= n
2
(2n
2
– 1)
3. Chứng minh rằng :

3 3 3
1 2 1 2 3
n n
       

4. Chứng minh rằng:
2
n
> n
3
với mọi số tự nhiên n  10
5. Chứng minh rằng:
n

2
> n + 5 với mọi số tự nhiên n  3
6. Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :
a) 2
n
> n
2
b) 5
n
 5n
3
+ 2
7. So sánh hai số 2003
2002
và 2002
2003

( Thi HSG TP Nha Trang năm 2003 – 2004)
8. Chứng minh rằng :
a) 1.2 + 2.3 + .+ (n – 1)n =
1
3
(n – 1)n(n + 1) với n ≥ 2
b) 1.2.3 + 2.3.4 +…+ (n – 1)n(n + 1) =
1
4
(n – 1)n(n + 1)(n +2) với n ≥ 2
c ) 1.2
2
+ 2.3

2
+…+(n – 1)n
2
=
1
12
(n – 1)n(n + 1)(3n +2) với n ≥ 2
9 . Chứng minh rằng :
4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương
10. Chứng minh rằng :
1.1! + 2.2! + 3.3 ! + …+ n.n! = (n +1)! – 1
ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG
11. Chứng minh rằng :
2 3
1 2 3 2
2
2
2 2 2 2
n n
n n

     

12 . Chứng minh rằng :
2 2 2
1 2 ( 1)

1.3 3.5 (2 1)(2 1) 2(2 1)
n n n
n n n


   
  


HƯỚNG DẪN CÁC BÀI KHÓ

Bài 1 : Chứng minh rằng:
d) 10
n
- 9n - 1 chia hết cho 27
Giả sử 10
k
– 9k - 1 chia hết cho 27
Cần chứng minh 10
k + 1
– 9(k + 1) - 1 chia hết cho 27
Ta có 10
k + 1
– 9(k + 1) – 1 = 10.10
k
– 9k -9 - 1= 10(10
k
– 9k - 1) + 81k ∶ 27
Bài 3 : Chứng minh rằng :

3 3 3
1 2 1 2 3
n n
       

Giả sử đẳng thức đúng với n = k thì
2
2 2
3 3 3 2
( 1) ( 1)
1 2 (1 2 3 )
2 4
k k k k
k k
 
 
         
 
 

Với n = k + 1 ta có :
2 2 2
3 3 3 3 2 2
( 1)
1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
4 4
k k k
k k k k k
 

           
 
 

2
2 2
( 1) ( 2) ( 1)( 2)
4 2
k k k k   
 
 
 
 

4. Chứng minh rằng:
2
n
> n
3
với mọi số tự nhiên n  10
Giả sử 2
k
> k
3
với mọi số tự nhiên k  10
Cần chứng minh: 2
k + 1
> (k + 1)
3

Xét 2
k + 1
- (k + 1)
3

= 2.2
k
– k
3
– 3k
2
– 3k – 1 = 2(2
k
– k
3
) + k
3
– 3k
2
– 3k – 1
Dễ thấy 2(2
k
– k
3
) > 0 ( Do 2
k
> k
3
)
Xét k
3
– 3k
2
– 3k – 1 = k(k
2

– 3k -3) –
= k[k(k – 3) – 1] ≥ 10[10(10 – 3) – 1] = 670 > 0
Nên 2
k + 1
- (k + 1)
3
> 0 hay 2
k + 1
> (k + 1)
3

5. Chứng minh rằng:
n
2
> n + 5 với mọi số tự nhiên n  3
(Giải tương tự như bài 4)
ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG
6. Tìm mọi số tự nhiên n sao cho :
a) 2
n
> n
2
b) 5
n
 5n
3
+ 2
HD : a) n = 0; 1 và mọi n ≥ 5
( dùng quy nạp để chứng minh với n ≥ 5 thì 2
n

> n
2
)
b) n ≥ 4
Bài 7 : So sánh hai số 2003
2002
và 2002
2003


HD : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau : (n + 1)
n
< n
n + 1

( 1) 1
1
n
n
n
n
n n
n n

 
   
 
 

Chứng minh qui nạp như sau :

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ta có
1
1
k
k
k
 
 
 
 

Với n = k + 1,

1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
k k k
k k k k k

         
      
         
   
         

1
1 1
1 1
k

k k k
k k
 
     
 
 
 

Áp dụng (1) ta có 2003
2002
< 2002
2003

9 . Chứng minh rằng :
4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương
Theo bài 8b
4[1.2.3 + 2.3.4 +…+(n – 1)n(n + 1) + n(n + 1)(n + 2)] + 1
= 4[
1
4
(n – 1)n(n + 1)(n +2) + n(n + 1)(n + 2)] + 1
= 4 n(n + 1)(n + 2) [
1
4
(n – 1) +1] + 1
= 4 n(n + 1)(n + 2)
3
4
n


+ 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1
= (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) + 1 = (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3) + 1
= (n
2
+ 3n + 1)
2