Chứng Minh Quy Nạp (Luan Luu)

Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1
DÃY SỐ
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
( 1)
1 2 3 ......
2
n n
n
+
+ + + + =
2)
(3 1)
1 4 7 ...... (3 2)
2
n n
n
−
+ + + + − =
3)
1
3 1
1 3 9 ...... 3
2
n
n−
−
+ + + + =
4)

1 2 3 2
...... 2
2 4 8
2 2
n n
n n +
+ + + + = −
5)
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 .......
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
6)
2
2 2 2 2
(4 1)
1 2 3 ....... (2 1)
3
n n
n
−
+ + + + − =
7)
2 2 2 2
2 ( 1)(2 1)
2 4 6 ...... (2 )

3
n n n
n
+ +
+ + + + =
8)
2 2
3 3 3 3
( 1)
1 2 3 ......
4
n n
n
+
+ + + + =
Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
2
1 3 5 ...... (2 1)n n+ + + + − =
2)
2 4 6 ...... 2 ( 1)n n n+ + + + = +
3)
2
1.2 2.5 3.8 ...... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + − = +
4)
2
1.4 2.7 3.10 ...... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + + = +
5)
( 1)( 2)( 3)
1.2.3 2.3.4 ...... ( 1)( 2)

4
n n n n
n n n
+ + +
+ + + + + =
6)
1.3.5......(2 1).2 ( 1)( 2)......2
n
n n n n− = + +
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
1 1 1 1
......
1.3 3.5 5.7 (2 1).(2 1) 2 1
n
n n n
+ + + + =
− + +
2)
1 1 1 1
......
1.4 4.7 7.10 (3 2).(3 1) 3 1
n
n n n
+ + + + =
− + +
3)
1 1 1 ( 3)
......
1.2.3 2.3.4 .( 1).( 2) 4( 1)( 2)

n n
n n n n n
+
+ + + =
+ + + +
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên
2n ≥
, ta luôn có :
1)
2
1 1 1 1
(1 )(1 )......(1 )
4 9 2
n
n
n
+
− − − =
2)
1
2 2 2 1 2
( 1) . ( 1)
1 2 3 ...... ( 1) .
2
n
n
n n
n
+
−

− +
− + − + − =
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :

1 2
1 ( 1) ( ...... 1)
n n n
x x x x x
− −
− = − + + + +
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có :
2 Chứng Minh Quy Nạp
1)
7 1 6
n
− M
2)
11 1 10
n
− M
3)
3
( 2 ) 3n n+ M
4)
5
( 6 ) 5n n− M
5)
(4 15 1) 9
n
n+ − M

6)
2
6 10.3 11
n n
+ M
Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
9 1 8
n
− M
2)
3
11 6n n+ M
3)
7
7n n− M
4)
(7 3 1) 9
n
n+ − M
5)
1 2 1
4 5 21
n n+ −
+ M
6)
1 2 1
11 12 133
n n+ −
+ M

7)
( 1)( 2)( 3) 24n n n n+ + + M
8)
3 3 3
( 1) ( 2) 9n n n+ + + + M
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
2
5 6 1 0n n− + ≥
2)
2
11 14 3 0n n− + ≥
Bài 9. Chứng minh rằng :
|sin | sinnx n x
≤
với
[0; ]x
π
∈
,
*n N
∈
.
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có :
1)
2 2 1, 3
n
n n> + ∀ ≥
2)
1

3 3 4
n
n
+
> +
,
2n∀ ≥
3)
2
2 , 5
n
n n> ∀ ≥
4)
1
3 ( 2)
n
n n
−
> +
,
4n∀ ≥
5)
3
2 3 1
n
n
−
> −
,
8n∀ ≥

6)
! 3
n
n >
,
7n∀ ≥
7)
1
( 1)
n n
n n
−
≥ +
8)
2
( !)
n
n n≥
Bài 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
(1 ) 1
n
x nx+ ≥ +
với
1x > −
.
2)
( )
2 2
n n

n
a b a b+ +
≤
với
0, 0a b≥ ≥
.
Bài 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1)
1 1 1 1
1 ......
2 3
n
n n
+
+ + + + >
2)
1 1 1 13
...
1 2 2 24n n n
+ + + >
+ +
3)
1 3 4 2 1 1
. . ......
2 4 5 2
2 1
n
n
n
−

<
+
4)
1 1 1 1
1 ...... 2
2 3
n
n
+ + + + < −
5)
1 1 1
1 ...... 2
2 3
n n
n
< + + + + <
Bài 13. Tìm công thức tính các tổng sau ( với
n N∈
)
1)
1 3 5 ...... (2 1)
n
S n= + + + + −
2)
1 1 1
......
1.2 2.3 ( 1)
n
S
n n

= + + +
+
Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3
3)
1.1! 2.2! 3.3! ...... . !
n
S n n= + + + +
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :

2 ( 1)
sin sin ...... sin 2sin .sin
3 3 3 6 6
n n n
π π π π π
+
+ + + =
Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :

( 1)
sin sin
2 2
sin sin 2 ...... sin
sin
2
nx n x
x x nx
x
+
+ + + =

với
( )x k k Z
π
≠ ∈
Bài 16. Chứng minh rằng với n vectơ bất kì
1 2
, ,...,
n
a a a
uur uur uur
(
, 2n N n∈ ≥
), ta có :

1 2 1 2
| ... | | | | | ... | |
n n
a a a a a a+ + + ≤ + + +
uur uur uur uur uur uur

Bài 17. Cho n số dương
1 2 3
, , ,......,
n
x x x x
thỏa mãn
1 2 3
. . ...... 1
n
x x x x =

.
Chứng minh :
1 2 3
......
n
x x x x n+ + + + ≥

Bài 18. Giả sử
1 2
, ,......,
n
x x x
là các số dương thỏa mãn :
1 2 3
1
......
2
n
x x x x+ + + + ≤
Chứng minh rằng :
1 2
1
(1 )(1 )......(1 )
2
n
x x x− − − ≥
Bài 19. Cho
x
là số thực và
| | 1x

<
. Chứng minh rằng:
(1 ) (1 ) 2
n n n
x x− + + <
với
2n ≥
(
n N∈
)
Bài 20. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :

1
2 2 2 ... 2 2 cos
2
n
π
+
+ + + + =
Trong đó vế trái của đẳng thức có n dấu căn .