Đề thi olympic toán Thanh Oai

phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 6
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 im ) Tỡm x tha món mt trong cỏc iu kin sau:
1.
3,1%30
=+
xx
2.














4
3
2
1

3
1
3
2
2
1
6
1
3
1
4 x

)( zx

3. | x | + x = 0
Cõu 2 ( 5 im )
1. Tỡm a, b l s t nhiờn bit:
15
22
5
=
b
a

)0,(

ba
2. Hai s t nhiờn x v 2x u cú tng cỏc ch s bng y.
Chng minh rng: x chia ht cho 9.
3. Chng minh rng :

2
1
10000
1
196
1
144
1
100
1
64
1
36
1
16
1
4
1
<++++++++
Cõu 3 ( 3 im )
Cựng mt cụng vic nu mi ngi lm riờng thỡ 3 ngi A, B, C hon thnh
cụng vic trong thi gian ln lt l 6 gi, 8 gi, 12 gi. Hai ngi B v C lm
chung trong 2 gi sau ú C chuyn i lm vic khỏc, A cựng lm vi B tip tc
hon thnh cụng vic cho n xong. Hi A lm trong my gi?
Cõu 4 ( 5 im )
Cho: xoy = 120
0
, xoz = 50
0
. Tớnh xom bit rng om l tia phõn ca gúc yoz.

Cõu 5 ( 1 im )
Tỡm s t nhiờn x bit tng cỏc ch s ca x bng y, tng cỏc ch s ca y
bng z v x + y + z = 60.
__________________________________________________________
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 7
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
Đề chính thức
Đề chính thức
(không kể thời gian giao đề )
Cõu 1 ( 6 im )
1. Tỡm x tha món mt trong cỏc iu kin sau :
a,
( )
121
9
32
2
=+
x
b, , | x 5 | = 5- x
2. Chng minh a thc x
2
+ 2x + 2 khụng cú nghim.
Cõu 2 ( 4 im )
Cho:
d

c
b
a
=

),,,,,( dcbaodcba

. Chng minh:
a,
dc
c
ba
a
+
=
+
b,
dc
c
ba
a

=

c,
( )
( )
cd
ab
dc

ba
=


2
2
Cõu 3 ( 4 im )
1. Chng minh rng vi mi a,b

Q ta cú : | a + b | | a | + | b |
2. So sỏnh 127
23
v 513
18
Cõu 4 ( 5 im )
Cho tam giỏc ABC vuụng C, ng cao CD. Cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc
ACD v DCB ct cnh huyn AB theo th t K v M.
a, Chng minh: ACM cõn.
b, Chng minh im cỏch u 3 nh ca KCM thỡ cng cỏch u ba cnh
ca ABC.
Cõu 5 ( 1 im )
Cho cỏc s nguyờn dng a, b, c, d, e, f bit :
f
e
d
c
b
a
>>
v af be = 1

Chng minh : d b + f
__________________________________________________________
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
Đề thi olympic lớp 8
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề )
Đề chính thức
Câu 1 ( 6 điểm )
1. Giải phương trình:
a, | 2x - 3 | = - x + 21
b, 9x
2
+ 6x – 8 = 0
2. Chứng minh bất đẳng thức
1
1
1
2
2
<
−−
+−
xx
xx

Câu 2 ( 5 điểm )
1. Tìm các hằng số a, b để :

x
4
– 9x
3
+ 21x
2
+ ax + b chia hết cho x
2
– x – 2 với mọi x є Q.
2. Giải phương trình nghiệm nguyên
x
2
+2y
2
+ 3xy – x – y + 3 = 0
Câu 3 ( 2 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A= a
3
+ b
3
+ c
3
biết a, b, c lớn hơn -1 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 12

Câu 4 ( 7 điểm )
Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam
giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và
N. Chứng minh rằng:
a, ∆ AMP ~ ∆ APB
b,
2
2
BP
AP
BN
AM
=
c, BC . AP
2
+ CA. BP
2
+ AB. CP
2
= AB . BC. CA
__________________________________________________________
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
Híng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n Líp 6
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1.

10
13
100
30
1
−
=






+x

10
13
10
13 −
=x
-> x = -1
1,0đ.
1,0đ.
2.
12
11
3
2
3
1

3
13 −
⋅≤≤
−
⋅ x

18
11
9
13 −
≤≤
−
x
-> x= - 1
3. / x / = -x -> x
≤
0

1,0đ.
1,0đ.
2,0đ.
Câu 2
(5 điểm)
1.
15
2
25
=−
ba

15
23
15
2
5
2 −
=−=
aa
b
-> b( 3a - 2 ) = 30
-> 3a – 2
∈
Ư
(30)
Do 3a – 2 chia 3 dư 1 -> 3a – 2 = 1 hoặc 10
-> (a, b) = ( 4, 3); (1, 30).
2. Do 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 9.
Do đó hiệu của chúng chia hết cho 9
Ta có 2x – y

9 và x – y

x
=> ( 2x – y ) – ( x – y)

9
-> x

9
3. S =

10000
1
196
1
144
1
100
1
64
1
36
1
16
1
4
1
+⋅⋅⋅+++++++
=
2222
100
1
6
1
4
1
2
1
+⋅⋅⋅+++
=







+⋅⋅⋅+++++++
2222222
50
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
4
1
Do
2500
1
2499
1
4

1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
50
1
3
1
2
1
222
−+⋅⋅⋅+−+−+−<+⋅⋅⋅++
=
1
2500
1
1 <−
-> S <
2
1
)11(
4
1
=+

0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 3
(3 điểm)
Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được
)(
6
1
CV
,
)(
8
1
CV
,
)(
12
1
CV
, B và C làm được
)(
24
5

12
1
8
1
CV=+
2 giờ B và C làm được
)(
12
5
2
24
5
CV=⋅
A và B làm được
)(
12
7
12
5
1 CV=−
1 giờ A và B cùng làm được:
)(
24
7
8
1
6
1
CV=+
Thời gian A cùng làm với B là:

2
24
7
:
12
7
=
giờ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 4
(5 điểm)
2 trường hợp :
a, Trường hợp 1 : 2 tia oy, oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ ox



xoz = 50
0
< 120
0
= xoy -> oz nằm giữa
ox và oy.
yoz = xoy – xoz = 120
0
– 50
0

= 70
0
zom =
2
yoz
= 35
0

xom = xoz + zom =50
0
+ 35
0
= 85
0
b, Trường hợp 2 : 2 tia oy và oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ ox.
Từ đầu bài -> 0x nằm giữa 2 tia oy và oz.
yoz = 120
0
+ 50
0
= 170
0
zom =
=
2
170
85
0

xom = 85

0
– 50
0
= 30
0

0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ
Câu 5
(1 điểm)
Từ đầu bài ta có x là số có 2 chữ số. Đặt x =
ab
x = 10a + b -> y = a + b, z có 2 trường hợp :
* Nếu y = a + b
≤
9 -> z = a + b ta có :
( 10a + b) + ( a + b ) + ( a + b ) = 60 -> 4a + b = 20
b

4 -> b = 0; 4; 8 -> a = 5, 4, 3 loại a = 3, b = 8 ( do a + b > 9)
* Nếu y = a + b
≥
10 -> z = a + b – 9
Ta có : ( 10a + b ) + ( a + b ) + ( a + b – 9 ) = 60
-> 4a + b = 23 -> a = 4 , b = 7
->

ab
= 44, 47, 50.
0,5đ.
0,5đ.
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
Híng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n Líp 7
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1. a, ( 2x + 3)
2
=
2
11
3
121
9






±=
=> x =
11
15

−
hoặc x=
11
18
−
1,0đ.
1,0đ.
b, | x – 5| = 5 – x = - ( x – 5 )
<-> x – 5 ≤ 0 <-> x ≤ 5
2. x
2
+ 2x + 2 = x
2
+ x + x +1 + 1
= (x + 1)
2
+ 1 > 0 -> đpcm
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 2
(4 điểm)
Chứng minh câu a, câu b mỗi câu cho 1 điểm
c,
d
c
b
a
=

->
dc
ba
d
b
c
a
−
−
==
=>
( )
( )
2
2
dc
ba
dc
ba
dc
ba
d
b
c
a
cd
ab
−
−
=

−
−
⋅
−
−
=⋅=
2,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 3
(4 điểm)
1. a, Nếu a +b ≥ 0 -> | a + b| = a + b
Do: a ≤ |a| ; b ≤ | b| ( a,b є Q )
-> | a+ b | = a + b ≤ | a | + | b| (1)
b, Nếu a + b < 0 -> | a+b | = - a – b
mà – a ≤ | a | , - b ≤ | b |
-> | a+b | = - a - b ≤ | a | + | b | . (2)
Từ (1), (2) -> đpcm dấu = xảy ra  ab ≥ 0
2. 127
23
< 128
23
= (2
7
)
23
= 2
161
513
18

> 512
18
= (2
9
)
18
= 2
162
-> 513
18
> 127
23
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 4
(5 điểm)
1, AMC =
2
ˆ
ˆ
CB +
, ACM = ACD +
1
ˆ
C

Do
1
ˆ
C
=
2
ˆ
C
,
B
ˆ
= ACD -> ACM = AMC
-> ∆ACM cân.
2. CM tương tự ta có BC = 8K.
Vậy đường thẳng chứa tia phân giác của góc A cũng là đường trung
trực của CM.
Và đường thẳng chứa tia phân giác của góc B cũng là trung trực của
CK.
=> Giao điểm 3 đường trung trực của ∆KCM trùng với giao điểm 3
đường phân giác của ∆ABC -> đpcm
2,5đ.
2,5đ.
Câu 5
(1 điểm) d = d( af – be ) = adf – bed
= ( adf – bcf ) + ( bcf – bed )
= f( ad – bc ) + b ( cd – ed )
≥ f.1 + b.1 = f + b
0,5đ.
0,5đ.
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

Thanh oai
Híng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2012 - 2013
M«n thi : To¸n Líp 8
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
(6 điểm)
1. a, | 2x -3 | = - x + 21
x = 8 , x = - 18
b, 9x
2
+ 6x – 8 = 9x
2
– 6x + 12x – 8
2,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
= ( 3x – 2)( 3x + 4) = 0
-> x =
3
2
, x =
3
4−
2. Xét hiệu :
1
2
1
2
1

1
1
223
2
+−
−
=
−−
=−
−−
+−
xxxxxx
xx

Do x
2
- x + 1 > 0 ->
0
1
2
2
<
+−
−
xx
-> đpcm
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
Câu 2

(5 điểm)
1. x
4
– 9x
3
+ 21x
2
+ ax + b = ( x
2
– x – 2). Q(x) ∀(x)
= ( x + 1)(x – 2 ). Qx
Với x = -1 có: -a + b = -31
x = 2 có: 2a + b = - 28
-> a = 1, b= -30
2. Pt <-> ( x + y)( x + 2y – 1) = -3 = 1.(-3) = 3. ( -1)
Xét 4 trường hợp ta có :
(x ; y) = ( -8 ; 5), ( -6 ;5), (6 ;-3), (4 ;-3)
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,5đ.
1,0đ.
Câu 3
(2 điểm)
( a
3
+1) - 3(a
2
– 1) = (a + 1)( a

2
– a + 1) – 3( a - 1)( a +1)
= = ( a + 1)( a – 2)
2
≥ 0 ( do a > - 1 )
-> a
3
– 3a
2
≥ - 4 , tương tự b
3
– 3b
2
≥ - 4, c
3
– 3c
2
≥ - 4
-> ( a
3
+ b
3
+ c
3
) – 3( a
2
+ b
2
+ c
2

) ≥ - 12
-> B – 36 ≥ -12
-> B ≥ 24 ->GTNN B = 24 <-> a = b = c= 2
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Câu 4
(7 điểm)
a, AMP = 90
0
+
2
C

APB = 90
0
+
2
C

BNP = 90
0
+
2
C


21
AA


=
-> ∆ AMP ~ ∆ APB
b, CM tương tự : ∆ APB ~ ∆PNB
=> ∆AMP ~ ∆ APB ~ ∆PNB
=>
NB
PN
PB
AP
MP
AM
==
=>
2
2
PB
AP
NB
PN
MP
AM
=⋅
=>
2
2
BP
AP
NB
AM
=

( do MP = NP )
c, Do ∆AMP ~ ∆PNB =>
NB
PN
MP
AM
=
=> AM.NB = MP.PN = MP
2
=> AM.NP = CM
2
– CP
2
= ( CA–AM )(CB–BN ) – CP
2
1,0đ.
1,0đ.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
1,0đ.
= CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP
2
=> AM.CB + BN.CA+ CP
2
= CA.CB
=> AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP
2
.AB = AB.BC.CA (1)

Từ câu (b) có :
AB
AP
AP
AM
=
-> AM.AB = AP
2
(2)

AB
BP
BP
BN
=
-> BN.AB = BP
2
(3)
Từ (1), (2), (3) ->đpcm
0,5đ.
0,5đ.