Lý thuyết xác suất thống kê

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


1


MỤC LỤC _____________________________________________________ 1
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT _______________________ 2
CHƯƠNG 2: BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN __________________________ 34
CHƯƠNG 3: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT __________________________ 53
CHƯƠNG 4: MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ________________ 72
CHƯƠNG 5: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ________________________ 91
MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO. __________________________________ 107
ĐỀ 1: ______________________________________________________ 107
ĐỀ 2: ______________________________________________________ 111
ĐỀ 3: ______________________________________________________ 116
ĐỀ 4: ______________________________________________________ 119
ĐỀ 5: ______________________________________________________ 123
ĐỀ 6: ______________________________________________________ 127
ĐỀ 7: ______________________________________________________ 130
ĐỀ 8: ______________________________________________________ 133
ĐỀ 9 ______________________________________________________ 137
ĐỀ 10 _____________________________________________________ 141
ĐỀ 11 _____________________________________________________ 146
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


2

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

Bài 1. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các
cách biểu diễn qua Ak và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây:
A : tất cả đều xấu.
B : có ít nhất 1 sản phẩm xấu.
C : có ít nhất 1 sản phẩm tốt.
D : không phải tất cả các sản phẩm đều tốt.
E : có đúng 1 sản phẩm xấu.
F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt.
Giải:
a, A : tất cả đều xấu.
A = 
1



+ 
2



+ 
3





b, B : có ít nhất 1 sản phẩm xấu.
B = 
1





2

3
+ 
1




2




3
+ 
1




2





3




LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


3



c, C : có ít nhất 1 sản phẩm tốt.
C = 
1

2




3



+
1

2


3



+
1

2

3


d, D : không phải tất cả các sản phẩm đều tốt.
D = 
1

2




3



++
1

2


3






e, E : có đúng 1 sản phẩm xấu.
E = 
1




2

3
+
1

2




3
+ 
1

2


3




LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


4


f, F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt.
F = 
1

2

3



+
1

2

3

Bài 2: Ba người, mỗi người bắn một phát. Gọi Ai là biến cố thứ I bắn trúng. Hãy
biếu diễn qua Ai các biến cố
Bài giải
Ai là biến cố người thứ i bắn trúng
Chỉ có người thứ nhất bắn trúng: P(A) =
1 2 3
A A A

Người thứ nhất bắn trúng còn người thứ 2 bắn trật: P(B) =
1 2 3 1 2 3
A A A A A A

Cả 3 người đều bắn trúng: P(D) =
1 2 3
A A A

Có ít nhất 2 người bắn trúng: P(E) =
1 ( 0) ( 1)P X P X   
=
1 2 3 1 2 3
1 ( ( )P A A A P A A A   

Chỉ có 2 người bắn trúng: P(F) =
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A A A A A A A

Không có ai bắn trúng P(G) =
1 2 3
A A A

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


5

Không có hơn 2 người bắn trúng P(H) =
1 2 3
1 (A A A )P

Người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ 2 và thứ 3 bắn trúng P(I)=
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2A A A A A A A A A A A A A A A   

Người thứ nhất bắn trúng hay người thứ 2 bắn trúng P(K)=
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
     A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
Có ít nhất 1 người bắn trúng: P(C) =
1 2 3
A A A

Bài 3:
Ba sinh viên A, B, C cùng thi môn xác suất thống kê. Xét các biến cố:
A : sinh viên A đậu,
B : sinh viên B đậu,
C : sinh viên C đậu.
Hãy biểu diễn qua A, B, C các biến cố sau :
a) Chỉ có A đậu.
b) A đậu, B rớt.
c) Có ít nhất 1 người đậu.

d) Cả 3 người cùng đậu.
e) Có ít nhất 2 người đậu.
f) Chỉ có 2 người đậu.
g) Không có ai đậu.
h) Không quá 2 người đậu.
Giải
a) Xác suất chỉ có A đậu:
()P P ABC

b) Xác suất A đậu, B rớt:
()P P ABC ABC

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


6

c) Xác suất có ít nhất 1 người đậu:
1 ( )P P ABC

d) Xác suất cả 3 người cùng đậu:
()P P ABC

e) Xác suất có ít nhất 2 người đậu:
()P P ABC ABC ABC ABC   

f) Xác suất chỉ có 2 người đậu:
()P P ABC ABC ABC  

g) Xác suất không có ai đậu:

()P P ABC

h) Xác suất không quá 2 người đậu:
1 ( )P P ABC


Bài 4. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bj ( j = 1, 2, 3, 4) là biến cố sinh viên j
làm bài
thi đạt yêu cầu. Hãy viết các biến cố sau đây
a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu,
b) có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu,
c) có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu,
d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu.
Giải.
a) Biến cố có đúng 1 sinh viên đạt yêu cầu:
B B B B + B B B B + B B B B + B B B B
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

b) Biến cố có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
B B B B + B B B B + B B B B + B B B B

c) Biến cố có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu:
B B B B + B B B B + B B B B + B B B B +
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
B B B B + B B B B + B B B B + B B B B +
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
B B B B + B B B B + B B B B + B B B B +
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
B B B B + B B B B + B B B B

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

d) Biến cố không có sinh viên nào đậu:
1 2 3 4
B B B B

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


7

Bài 5: Một công ty liên doanh cần tuyển một kế toán trưởng, một trưởng phòng tiếp
thị, có 40 người dự tuyển trong đó có 15 nữ. Tính xác suất trong 2 người được
tuyển có:
a) kế toán trưởng là nữ
b) ít nhất 1 nữ
Giải:

a) Gọi A là biến cố nhận được kế toán trưởng là nữ

1 1 1 1
15 14 15 25
2
40
3
()
4
C C C C
PA
C




b) Gọi B là biến cố nhận được trong 2 người được tuyển không có người nữ
Do đó
B
là biến cố trong 2 người được tuyển có ít nhất 1 nữ

2
25
2
40
( ) 0,3846
( ) 1 ( ) 1 0,3846 0,6154
C
PB
C
P B P B

     

Bài 6. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy
ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản
phẩm tốt.
Giải.
Không gian mẫu:  =
C
4
10
= 210

Số cách chọn để lấy được 3 sản phẩm tốt và một sản phẩm xấu là:
CC
1
3
3
7
.
= 105
Vậy xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt là:
0.5
210
105
P 

Bài 7: Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra, tính xác suất nhận được bi đen.
b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


8

c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
Giải
a) Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp ra, xác xuất để nhận được bi đỏ : 3/10=0.3
b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi, xác suất để lấy được bi đen :
Gọi B là biến cố lấy được 2 bi đen
Số cách lấy được bi đen = lần 1 và lần 2 được bi đen.
P(B)=


3
1
.
3
1

10
1
.
10
1
= 0,09
c) Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp ,xác xuất để được bi đen C3
2
/C10
2
=1/15
Bài 8: Trong 100 người phỏng vấn có40 người thích dùng nước hoa A, 28 người
thích dùng nước hoa B, 10 người thích dùng cả 2 loại A,B. Chọn ngẫu nhiên 10
người trong số 100 người trên. Tính xác suất người này :
a) Thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên
b) Không dùng loại nào cả
Giải
Xét các biến cố:
A: Thích dùng nước hoa A, P(A) = 0,4
B: Thích dùng nước hoa B, P(B) = 0,28
AB: Thích dùng cả 2 loại nước hoa A và B , P(AB) = 0,1
A+B : Thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa
.




: Không dùng loại nước hoa nào cả
a) Xác suất để người này thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên là P(A+B)
Với: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
= 0,4 + 0,28 – 0,1 = 0,58
b) Xác suất để người này không dùng loại nước hoa nào cả là P(.



) :
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


9

P( .



) = P(+ 








) = 1- P(A+B) = 1- 0,58=0,42

Bài 9: Một cơ quan có 210 người, trong đó có 100 người gần cơ quan, 60 người
trong 100 người là nữ, biết rằng số nữ gấp đôi số nam trong cơ quan. Chọn ngẫu
nhiên một người trong cơ quan. Tính xác suất để:
a) Người này là nam
b) Người này gần cơ quan
c) Người này phải trực đêm(người trực đêm phải gần cơ quan hoặc là nam)
Bài giải
Xét các biến cố:
A: Biến cố người ngần cơ quan.
B: Biến cố nam.
A+B: Biến cố người trực đêm phải gần cơ quan hoặc là nam.
AB: Biến cố người trực đêm phải gần cơ quan và là nam
P(AB)=
40 2
210 21


Vì cơ quan có 210 người và số nữ chiếm gấp đôi số nam nên ta có số nam là 70
người còn số nữ là 140 người.
a) P(B)=
70 1
210 3


b) P(A)=
100
0.476
210


c) P(A+B)=P(A)+P(B) – P(AB)=
14
0.476 0.619
3 21
  

Bài 10:Mỗi sinh viên được thi tối đa 2 lần 1 môn thi. Xác suất để 1 sinh viên đậu
môn xác suất thống kê ở lần thi thứ nhất là P1, lần thi thứ 2 là P2 . Tính xác suất để
sinh viên này vượt qua được môn xác suất thống kê.
Giải
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


10

Xét các biến cố :
Ai : sinh viên đậu môn xác suất thống kê lần thứ i, P(A1) = P1, P(A2) = P2
A : sinh viên vượt qua được môn xác suất thống kê
Xác suất để sinh viên này vượt qua được môn xác suất thống kê là P(A)
P(A) = P(A1) + P(A2/ 
1



).P(

1)
= P1 + P2(1- P1)
Bài 11: Cho A và B là 2 biến cố sao cho
1 1 1

( ) ; ( ) ; ( )
2 3 6
P A P B P C  
. Hãy tính:
1)
1 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 6 3
P A B P A P B P AB       

2)
15
( ) ( ) 1 ( ) 1
66
P A B P AB P AB      

3)
21
( ) 1 ( ) 1
33
P A B P A B      

4)
5
( ) ( )
6
P AB P A B  

5)
1 1 1

( ) ( ) ( )
2 6 3
P AB P A P AB    

6)
1 1 1
( ) ( ) ( )
3 6 6
P AB P B P AB    

7)
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3 2
P A B P A P B P AB       

8)
()
( ) 1
()
P AB
P A B
PB


9)
( ) 1
()
( ) 2
P AB

P A B
PB


10)
( ) 1
()
( ) 2
P AB
P AB B
PB


11)
()
()
()
P BAB
P AB B
PB
  

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


11

12)
( ) 1
()

2
()
P AB
P AB B
PB


13)
[( ). ] ( )
( ) 1
( ) ( )
P A B AB P AB
P A B AB
P AB P AB

   

14)
( ) 1
()
4
()
P AB
P AB A B
P A B
  


Bài 12: Đội tuyển cầu long trường ĐH Tài chính- marketing có 3 vận động viên, mỗi
vận động viên thi đấu một trận.Xác suất thắng trận của các vận động viên A,B,C

lần lượt là: 0.9;0.7;0.8 tính xác suất ;
a) Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận
b) Đội tuyển thắng 2 trận
c) C thua, biết đội tuyển thắng 2 trận
Giải
Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố vận động viên A, B, C thắng trận
P(A) = 0,9 P(B) = 0,7 P(C) = 0,8
a) Xác suất để đội tuyển thắng ít nhất một trận là:

 
1 ( ) 1 ( ). ( ). ( )P ABC P A P B P C  
(Vì A, B, C) độc lập)
=1 – 0,1.0,3.0,2 = 0,994
b) Xác suất để đội thắng 2 trận là:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1.0,7.0,8 0,9.0,3.0,8 0,9.0,7.0,2 0,398
P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC
P A P B P C P A P B P C P A P B P C
    
  
   

c) Xác suất để C thua, biết rằng đội tuyuển thắng 2 trận là:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


12

( ) ( . . . ) ( ) 0,9.0,7.0,2
( | ) 0,317
( ) ( ) ( ) 0,398
P CD P C ABC C ABC C ABC P ABC
P C D
P D P D P D

    

Bài 13: Một lớp học có 50 học sinh trong kỳ thi giỏi Toán và Văn, trong đó có 20
người giỏi Toán, 25 người giỏi Văn, 10 người giỏi cả Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu
nhiên 1 học sinh của lớp này. Tính xác suất để học sinh được chọn giỏi Toán hoặc
Văn.
Giải.
Gọi A làbiếncốnhậnđượchọcsinhgiỏiToánP(A)=20/50=0.4
Gọi B làbiếncốnhậnđượchọcsinhgiỏiVănP(B)=25/50=0.5
AB làbiếncốnhậndượchọcsinhgiỏiToánvàVănP(AB)= 10/50=0.2
 XácxuấtđểhọcsinhđượcchọngiỏiToánhoặcVăn :
 P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.2=0.7

Bài 14: Trong một khu phố, tỷ lệ người mắc bệnh tim là 6%, mắc bệnh phổi là 8% và
mắc cả hai bệnh là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong khu phố đó. Tính xác suất
để người đó không mắc cả hai bệnh tim và bệnh phổi.
Giải
Gọi A là biến cố người mắc bệnh tim.
B là biến cố người mắc bệnh phổi.
AB là biến cố người mắc cả 2 bệnh.
P(A) = 6% = 0,06
P(B) = 8% = 0,08
P(AB) = 5% = 0,05

Xác suất 1 người mắc cả 2 bệnh:
P(A + B) = P(A) +P(B) – P(AB) = 0,06 + 0,08 – 0,05 = 0,09
P(A + B) là xác suất biến cố 1 người mắc cả 2 bệnh là biến cố đối đối của xác suất
biến cố 1 người không mắc bệnh nào cả.




= + 








là biến cố nhận được một người không mắc bệnh nào cả.
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


13

P(



) = P(+ 









) = 1 – P(A + B) = 1 – 0,09 = 0,91
Bài 15. Cho 3 biến cố A, B, C sao cho
P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6;
P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2 và P(ABC) = 0,1.
a, Tìm xác suất để cả 3 biến cố A, B, C đều không xảy ra.
b, Tìm xác suất để có đúng 2 trong 3 biến cố đó xảy ra.
c, Tìm xác suất để chỉ có đúng 1 biến cố trong 3 biến cố đó xảy ra.
Giải:
a, Gọi 





là biến cố cả ba biến cố A, B, C đều không xảy ra, ta có :
P(





)= P (+ + 














) = 1- P( A+B+C)
= 1-





+ 



+ 
















+

()



= 1- ( 0.5+0.7+0.6 -0.3-0.2-0.4+0.1)
= 0
b, Gọi D là biến cố có đúng 2 trong 3 biến cố đó xảy ra, ta có:
P (D) = P( AB

)+ P(

)+P(

BC)
= P(AB)-P(ABC)+P(AC)-P(ABC)+P(BC)-P(ABC)
= 0.3-0.1+0.2-0.1+0.4-0.1
= 0.3
c, Gọi E là biến cố chỉ có đúng 1 biến cố trong 3 biến cố đó xảy ra, ta có:
P(E) = P(A




)+ P(






+ (



)
=P(



)- P(





)+P







- P(





)+P(



)- P(





)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


14

= P(



)+ P







+ P(



)
= 1-P(B+C)+1-P(A+C)+1-P(A+B)
=1-(P(B)+P(C)-P(BC))+1-(P(A)+P(C)-P(AC))+1-(P(A)+P(B)-P(AB))
=1-(0.7+0.6-0.4)+1-(0.5+0.6-0.2)+1-(0.5+0.7-0.3)
=0.3
Bài 16: Một người có 5 gà mái và 2 gà trống nhốt chung trong 1 cái lồng. Một người
đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con. Người mua chấp nhận con
đó.
a) Tính xác suất để người đó mua được gà mái.
Người thứ 2 lại đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con:
b) Tìm xác suất để người thứ 2 mua được gà trống.
c) Xác suất này bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho
người thứ nhất là gà trống hay gà mái.
Giải
Gọi A là biến cố người bán bắt ngẫu nhiên được một gà mái.
B là biến cố người bán bắt ngẫu nhiên được một gà trống.
P(A) =
5
7
; P(B) =
2
7

a) Tính xác suất để người đó mua được gà mái.
P(A) =
5
7

b) Tìm xác suất để người thứ 2 mua được gà trống.
P(B) =
2
6
=
1
3

c) Xác suất này bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho
người thứ nhất là gà trống hay gà mái
P(D) = P(A) P(B/A) + P(B) P(A/B) =
5
7
.
2
6
+
2
7
.
1
6
=
2

7

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


15

Bài 17: Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng. Xác suất để công ty A thua
lỗ là 0,2; xác suất để công ty B thua lỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực tế, khả năng cả
2 công ty cùng thua lỗ là 0,1. Tìm xác suất để
a) Chỉ có 1 công ty thua lỗ.
b) Có ít nhất 1 công ty làm ăn không thua lỗ.
Giải:
Gọi A, B lần lượt là biến cố nhận công ty A,B thua lỗ.
( ) 0,2
( ) 0,4
PA
PB







Lại có, biến cố nhận cả 2 công ty cùng thua lỗ là
AB
( ) 0,1P AB

a) Gọi C là biến cố chỉ có 1 công ty thua lỗ.

( ) 1 ( ) ( )P C P AB P AB   

mà
 
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 (0,2 0,4 0,2.0,4) 0,52P AB P A B P A P B P AB           

( ) 1 0,1 0,52 0,38PC    

b) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 công ty làm ăn không thua lỗ.
( ) 1 ( )P D P AB  
( ) 1 ( ) 1 0,2.0,4 0,92P D P AB    

Bài 18. Một thủ quỹ có 1 chùm chìa khóa gồm 12 chiếc bề ngoài giống hệt nhau,
trong đó có 4 chiếc mở được cửa chính thư viện. Cô ta thử từng chìa một một
cách ngẫu nhiên, chìa nào không trúng thì bỏ ra. Tìm xác suất để cô ta mở được
cửa chính của thư viện ở lần mở thứ 5.
Giải:
Gọi Ai là biến cố mở được cửa thư viện lần I, i=1,12






.

1







2





3




4




5
là biến cố mở được cửa lần thứ 5, ta có:
P(
1






2






3




4




5
) = P(
1



). 


2






1




. 


3





1




2




. (
4



|

1




2




3



). P(A5| 
1




2




3





4



)
=
8
12
*
7
11

6
10

5
9

4
8
= 0.071
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


16

Bài 19. Một lô hàng có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên không hoàn
lại từng sản phẩm cho đến khi lấy được 2 sản phẩm tốt thì ngừng.
a) Tính xác suất để ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 2.
b) Biết đã ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 4. Tính xác suất để lần lấy thứ nhất lấy

được sản phẩm tốt.
Giải:
Gọi Ai là biến cố lấy được sản phẩm tốt lần thứ i



là biến cố lấy được sản phẩm xấu lần thứ i
a) Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt và ngừng lại lần 2 là:
P(A1A2)= P(A1). P(A2|A1) =
6
10

5
9
=
1
3

b) Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt khi lần thứ nhất lấy được sản phẩm tốt và
ngừng lại ở lần lấy sản phẩm thứ 4 là:
P(A1
2




3




A4)= P(A1). P(
2



|A1). P(
3



|A1
2



). P(A4| A1
2




3



)
=
6
10
.

4
9
.
3
8
.
5
7
=
1
14

Bài 20: Một chàng trai viết 4 lá thư cho 4 cô gái; nhưng vì đãng trí nên anh ta bỏ 4 lá
thư vào
4 phong bì một cách ngẫu nhiên, dán kín rồi mới ghi địa chỉ gửi,
a) Tính xác suất để không có cô nào nhận đúng thư viết cho mình,
b) Tính xác suất để có ít nhất 1 cô nhận đúng thư của mình,
c) Tổng quát hóa với n cô gái. Tính xác suất có ít nhất 1 cô nhận đúng thư. Xấp xỉ giá
trị xác suất này khi cho n -> .
Giải.
Gọi 

là biến cố cô thứ i nhận được lá thư của mình


là biến cố lá thư thứ j được gửi.
B là biến cố không ai nhận đúng thư của mình.
Ta có: Xác suất:
P(


)=
1
4

a) 


1



. 
2



. 
3



. 
4




= 



1
+ 
2
+ 
3
+ 
4


























= 1 


1
+ 
2
+ 
3
+ 
4


LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


17

= 1 [ (


1

+ 


2

+ 



3

+ 


4

P(
1

2
) 


1

3




1

4






2

3




2

4




3

4

+ 


1

2

3

+ 



1

2

4

+ 


2

3

4

+



1

3

4




1

. 
2
. 
3
. 
4


= 1 

1 6.
1
12
+ 4.
1
24

1
24

=
3
8

P(

)=
1
4

P(

; 

)= P(

). P(

|

)=
1
4
.
1
3
=
1
12

 Xác suất để không có cô nào nhận đúng thư của mình là:
1
4
.
1
3
.
1
2
=

1
24

b) 1- 


1
+ 
2
+ 
3
+ 
4


























=1 
3
8
=
5
8

c) 1 
1
1!

1
2!

1
3!

1
4!
= 1 
1


∞

Bài 21: Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để
phát hiện ra 2 sản phẩm xấu, khi nào chọn được sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại.
a) Tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ 4.
b) Biết rằng đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, tính xác suất dừng lại
ở lần chọn thứ 4.
c) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lần chọn thứ 3, tính xác suất lần chọn đầu được
sản phẩm xấu.
Giải:
a) Gọi
i
A
là biến cố nhận được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ i.
Vậy để dừng lại ở lần chọn thứ 4 thì biến cố cần tìm là A với:
1
1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4
( ) ( )P A P A A A A A A A A A A A A  


1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3
2 8 7 1 1
( ) ( ). ( ). ( ). ( ) . . .
10 9 8 7 45
P A A A A P A P A A P A A A P A A A A  


1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3
8 2 7 1 1
( ) ( ). ( ). ( ). ( ) . . .

10 9 8 7 45
P A A A A P A P A A P A A A P A A A A  


1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3
8 7 2 1 1
( ) ( ). ( ). ( ). ( ) . . .
10 9 8 7 45
P A A A A P A P A A P A A A P A A A A  

11
( ) 3.
45 15
PA  

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


18

b) Gọi B là biến cố cần tìm:
1 2 3 4
B A A A A

2 8 7 1 1
( ) . . .
10 9 8 7 45
PB  

Gọi C là biến cố cần tìm:

1 2 3
C A A A

2 8 1 1
( ) . .
10 9 8 45
PC  

Bài 22: Đội tuyển bóng bàn Thành phố có vận động viên A, B, C, D. Mỗi vận động
viên thi đấu 1 trận, với xác suất thắng trận lần lượt là : 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Tính:
a) Xác suất đội tuyển thắng ít nhất một trận.
b) Xác suất đội tuyển thắng 2 trận.
c) Xác suất đội tuyển thắng 3 trận.
d) Xác suất D thua, trong trường hợp đội tuyển thắng 3 trận.
Bài giải
Gọi E1, E2, E3, E4 lần lượt là biến cố thắng trận của người thứ A, B, C, D.
a)
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) 1 ( )P E E E E P E E E E       

1 2 3 4
1 ( . . . )P E E E E
1 2 3 4
1 ( ). ( ). ( ). ( )P E P E P E P E
( Vì E1, E2, E3, E4 đôc lập)
1 0,4.0,3.0,2.0,1 0,9976  

b)
         
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
()
()
P E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E
P E E E E P E E E E P E E E E P E E E E P E E E E P E E E E
    
     
( vì từng đôi một xung khắc)
   
   
 
 
 
 
 
   
 
 
   
   
 
 
 
   
   
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E
P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E
  

  

( vì chúng độc lập )
0,6.0,7.0,2.0,1 0,6.0,3.0,8.0,1 0,6.0,3.0,2.0,9
0,4.0,7.0,8.0,1 0,4.0,7.0,2.0,9 0,4.0,3.0,8.0,9 0,2144
  
   

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


19

c) Gọi F: biến cố đội tuyển thắng 3 trận
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( )P F P E E E E E E E E E E E E E E E E   

=
     
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
()P E E E E P E E E E P E E E E P E E E E

(vì xung khắc từng đôi một)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E   
(vì chúng độc lập)
0,6.0,7.0,8.0,1 0,6.0,7.0,2.0,9 0,6.0,3.0,8.0,9 0,4.0,7.0,8.0,9 0,4404    

d)
 

 
 
 
 
4 1 2 3 4
4
. . .
0,0336
0,0763
0,4404
P E F P E E E E
P E F
P F P F
   

Bài 23: Ở một cơ quan nọ có 3 chiếc oto. Khả năng có sự cố của mỗi xe oto lần lượt
là 0,15; 0,2; 0,1
a) Tìm khả năng 3 oto cùng bị hỏng.
b) Tìm khả năng có ít nhất 1 oto hoạt động tốt
c) Tìm khả năng cả 3 oto cùng hoạt động được.
d) Tìm xác suất có không quá 2 oto bị hỏng.
Giải:
Gọi Xj là khả năng có sự cố của xe thứ j.
P(X1) = 0,15 ; P(X2) = 0,2 ; P(X3) = 0,1
a) Gọi A là khả năng 3 oto cùng bị hỏng.
1 2 3 1 2 3
P(A) P(X X X ) P(X ).P(X ).P(X ) 0,15.0,2.0,1 0,003   
b) Khả
năng có ít nhất 1 oto hoạt động
 

1 2 3 1 2 2
P X X X 1 P(X .X .X ) 1 0,003 0,997      

c) Khả năng cả 3 oto cùng hoạt động được:
1 2 3 1 2 2
P(X .X .X ) P(X ).P(X ).P(X ) 0,85.0,8.0,9 0,612  

d) Không quá 2 oto bị hỏng:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


20

P(X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1
P(X X X ) P(X X X ) P(X X X ) P(X X X ) P(X X X ) P(X X X ) P(X X X)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1
0,85.0,8.0,9 0,85.0,8.0,1 0,85.0,2.0,9 0,15.0,8.0,9 0,85.0,2.0,1 0,15.0,2.0,9

      
       0,15.0,8.0,1
0,612 0,068 0,153 0,108 0,017 0,027 0,012 0,997       
Bài 24: Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 máy. Máy A sản xuất 25%, máy B:
35%, máy C: 40% số bóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi máy trên số sản
phẩm do máy đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1%. Một người mua bóng đèn do
nhà máy đó sản xuất

a) Tính xác suất để sản phẩm này tốt
b) Biêt sản phẩm này là xấu. Tính xác xuất để sản phẩm do máy C sản xuất
Giải,

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố sản phẩm bóng đèn từ các máy A, B, C.
A, B, C là họ đầy đủ.
P(A) = 25% = 0,25
P(B) = 35% = 0.35
P(C) = 40% = 0,4
Tỉ lệ hỏng:
P(D / A) = 3% = 0,03
P(D / B) = 2% = 0,02
P(D / C) = 1% = 0,01
a) Tính xác suất để sản phẩm này tốt.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất sản phẩm hỏng là:
P(D)= P(D/A) P(A) + P(D/B) P(B) + P(D/C) P(C)
= 0,03 . 0,25 + 0,02 . 0,35 + 0,01 . 0,4 = 0,0185
Suy ra sản phẩm tốt là:
P(

) = 1 – P(D) = 1 - 0,0185 = 0,9815
b) Biết rằng sản phẩm này là xấu. Tính xác suất để sản phẩm do máy C sản xuất.
P(C/D) =


/

. ()
()
=
0,01 . 0,4
0,0185
=
8

37
= 0,22
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


21

Bài 25: Trong một trạm cấp cứu bỏng : 80% bệnh nhân bỏng do nóng, 20% bỏng do
hóa chất. Loại bỏng do nóng có 30% bị biến chứng, loại bỏng do hóa chất có 50%
bị biến chứng.
a) Chọn ngẫu nhiên một bệnh án. Tính xác suất để gặp một bệnh án của bệnh nhân
bị biến chứng.
b) Rút ngẫu nhiên được một bệnh án của một bệnh nhân bị biến chứng. Tính xác
suất để bệnh án đó là bệnh bị biến chứng do bỏng gây ra? Do hóa chất gây ra?
Giải:
Gọi A là biến cố nhận được bệnh nhân bỏng do nóng, B là biến cố nhận được
bệnh nhân bỏng do hóa chất.
P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,2
Gọi D là biến cố nhận được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng.
P(D A) 0,3 ; P(D B) 0,5

a)
P(D) P(D A).P(A) P(D B).P(B) 0,8.0,3 0,2.0,5 0,34     

b)
P(D A).P(A)
0,3.0,8
P(A D) 0,71
P(D) 0,34
  

P(D B).P(B)
0,5.0,2
P(B D) 0,294
P(D) 0,34
  

Câu 26: Một lô hạt giống được phân chia làm 3 loại. loại 1 chiếm 2/3 số hạt cả lô, loại
2 chiếm 1/4 , còn lại là loại 3. Loại 1 có tỉ lệ nảy mầm là 80%, loại 2 có tỉ lệ nảy
mầm 60%, lọa 3 có tỉ lệ nảy mầm là 40%. Hỏi tỉ lệ nảy mầm chung của cả lô hạt
giống là bao nhiêu ?
Bài giải
Xét các biến cố:
A: Biến cố hạt giống nảy mầm.
B1: Biến cố hạt giống loại 1
B2: Biến cố hạt giống loại 2
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


22

B3
:
Biến cố hạt giống loại 3
Ta có:
P(B1)=
2
3
, P(B2)=
1

4
, P(B3)=
1
12

P(AB1)=
4
5
P(AB2)=
3
5
P(AB3)=
2
5

Công thức xác suất toàn phần:
P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(A B3)P(B3)=
4
5
2
3
+
3
5
1
4
+
2
5
1

12
= 0.72
Bài 27. Hai nhà máy cùng sản suất 1 loại linh kiện điện tử. Năng suất nhà máy hai
gấp 3 lần năng suất nhà máy một. Tỷ lệ hỏng của nhà máy một và hai lần lượt là
0,1% và 0,2%. Giả sử linh kiện bán ở Trung tâm chỉ do hai nhà máy này sản xuất.
Mua 1 linh kiện ở Trung tâm.
a) Tính xác suất để linh kiện ấy hỏng.
b) Giả sử mua linh kiện và thấy linh kiện bị hỏng. Theo ý bạn thì linh kiện đó do
nhà máy nào sản xuất.
Giải.
Xét các biến cố Ai “Nhận được linh kiện của nhà máy thứ i”
A “Nhận được linh kiện bị hỏng”
Do giả thiết, ta có:
P(A1) = 0,25 P(A2) = 0,75
P(A|A1) = 0,1% P(A|A2) = 0,2%
a) Xác suất để mua 1 linh kiện ở Trung tâm mà linh kiện ấy bị hỏng là:
P(A) = P(A1) P(A|A1) + P(A2) P(A|A2) = 0,25  0,1%  0,75%  0,2% =0,175%
b) Xác suất để linh liện bị hỏng do nhà máy 1 sản xuất là:
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


23

P(A1|A) =
P(A)
)P(AA
1
=
P(A)
)A|P(A)P(A

1
=
%175,0
%1,025.0 
= 0,143
Xác suất để linh kiện bị hỏng do nhà máy 2 sản xuất là:
P(A2|A) =
P(A)
)P(AA
2
=
P(A)
)A|P(A)P(A
2
=
%175,0
%2,075,0 
= 0,857
Ta thấy: P(A2|A) > P(A1|A)
Nên, ta nghĩ linh kiện đó do nhà máy 2 sản xuất
Bài 28:Có 3 loại súng bề ngoài hoàn toàn giống nhau, với xác suất bắn trúng bia
tương ứng là 0,6, 0,7, 0,8. Loại thứ I có 5 khẩu, loại thứ II có 3 khẩu, loại thứ III có
2 khẩu. Chọn ngẫu nhiên 1 khẩu và bắn vào bia. Tính xác suất bắn trúng bia.
Giải:
Gọi
i
L
là biến cố nhận súng loại i bắn.
1
2

3
5
( ) 0,5
10
3
()
10
1
()
5
PL
PL
PL













Gọi A là biến cố bắn trúng
1
2
3

( ) 0,6
( ) 0,7
( ) 0,8
P A L
P A L
P A L









1 1 2 2 3 3
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
31
0,5.0,6 .0,7 .0,8 0,67
10 5
P A P L P A L P L P A L P L P A L   
   

Bài 29: Có 8 bình đựng bi, trong đó có:
2 bình loại 1: mỗi bình đựng 6 bi trắng 3 bi đen
3 bình loại 2: mỗi bình đựng 5 bi trắng 4 bi đen
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.


24

3 bình loại 3: mỗi bình đựng 2 bi trắng 7 bi đen
Lấy ngẫu nhiên 1 bình và từ bình đó lấy ngẫu nhiên 1 bi
a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi trắng
b) Biết bi lấy ra là bi trắng. tính xác suất để bình lấy ra là bình loại 3
Giải
Gọi Ai là biến cố lấy được bi từ bình thứ i
A là biến cố lấy được bi trắng
P(A1) = 0,25 P(A2) =
3
8
P(A3) =
3
8

P(A|A1) =
2
3
P(A|A2) =
5
9
P(A|A3) =
2
9

a) Xác suất lấy được bi trắng là:
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
2 3 5 3 2
0,25. . . 0,458

3 8 9 8 9
P A P A P A A P A P A A P A P A A  
   

b) Xác suất để bình lấy ra là bình loại 3, biết bi lấy ra là bi trắng là:
3 3 3
3
32
.
( ) ( ) ( | )
89
( | ) 0,182
( ) ( ) 0,458
P A A P A P A A
P A A
P A P A
   

Bài 30: Một chuồng gà có 9 con gà mái và 1 con gà trống. Chuồng gà kia có 1 con
mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng lấy ngẫu nhiên 1 con đem bán. Cho con gà
còn lại được dồn vào chuồng thứ ba, Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà nữa từ
chuồng này ra thì xác suất bắt được con gà trống là bao nhiêu?
Giải:
Ta có Ω =
 
TT, TM, MM

Gọi A là biến cố bắt được 2 con trống.
B là biến cố bắt được 1 con trống và một con mái
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – NHÓM 13.

25

C là biến cố nhận được 2 con mái
1 5 1 1 1 9 5 23 9 1
P(A) ; P(B) ; P(C) 0,15
10 6 12 10 6 10 6 30 10 6
          

- Gọi X là biến cố nhận được gà trống từ chuồng thứ 3.
2 5 3
P(X A) ; P(X B) ; P(X C)
7 14 7
  

P(X) P(X A).P(A) P(X B).P(B) P(X C).P(C)
2 1 5 23 3
0,15 0,362
7 12 14 30 7
   
      

Bài 31: Có 2 hộp áo: hộp 1 có 10 áo trong đó có 1 phế phẩm; hộp 2 có 8 áo trong đó
có 2 phế phẩm. lấy ngẫu nhiên 1 áo từ hộp một bỏ sang hộp 2; sau đó từ hộp 2
chọn ngẫu nhiên ra 2 áo. Tính xác suất để 2 áo này đều là phế phẩm.
Giải
Gọi A là biến cố lấy được phế phẩm từ hộp 1 bỏ sang hộp 2
B là biến cố lấy được 2 phế phẩm từ hộp 2
P(A) = 0,1 =>

( ) 0,9PA


2
3
2
9
1
( | )
12
C
P B A
C


2
2
2
9
1
( | )
36
C
P B A
C


Xác suất để lấy được 2 phế phẩm từ hộp 2 là:

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

1 1 1
0,1. 0,9.
12 36 30
P B P A P B A P A P B A
  

Bài 32: Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một con thú, mỗi người bắn 1 viên đạn, với xác
suất bắn trúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất
để con thú bị tiêu diệt là 0,5; trúng 2 phát thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là
0,8; còn nếu trúng 3 phát đạn thì chắc chắn con thú bị tiêu diệt.
a) Tính xác suất con thú bị tiêu diệt.