ÔN TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.69 MB, 99 trang )
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 1
P
P
H
H
Ầ
Ầ
N
N
Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I
S
S
Ố
Ố
.
.
C
C
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
I
I
:
:
C
C
Ă
Ă
N
N
B
B
Ậ
Ậ
C
C
H
H
A
A
I
I
.
.
A) LÝ THUYẾT:
1) Căn bậc hai:
Căn bậc hai số học của một số không âm a là số không âm x sao cho
2
x a
, ký hiệu
a
Ta có:
2
0
x
a x
x a
Với mọi số thực a > 0 đều có 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau,
a
gọi là căn bậc hai số học
hay căn bậc hai dương của a, –
a
gọi là căn bậc hai âm của a.
Ta có
2
:
a a a
;
2 2
, :
a b R a b a b
;
2
, :
a x x a x a
;
, :
a b a b a b
;
, :
a b a b a b
;
2) Các công thức:
2
0
0
A A
A A
A A
neáu
neáu
Với A, B 0:
.
AB A B
hay .
A B AB
;
Với A 0. B > 0:
A A
B
B
hay
A A
B
B
;
Với B 0:
2
A B A B
hay
2
A B A B
;
Với A.B 0, B 0:
A AB
B B
;
Với B > 0:
1
;
A B
A
B
A B
;
Với A, B > 0, A B:
C A B
C
A B
A B
;
Với B > 0,
2
A
B:
2
C A B
C
A B
A B
;
B) BÀI TẬP:
B
B
à
à
i
i
1
1
.
.
Tính:
1/
169 49 36
; 2/
25
0,36 4
4
.
Hướng dẫn:
1/
169 49 36 13 7 6 12
; 2/
25 5 53
0,36 4 0,6 2
4 4 20
B
B
à
à
i
i
2
2
.
.
So sánh:
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
1/
26
và 5 2/ –
7
và –3 3/ 2
3
và 11
4/
26 17
và 10 5/
7 7 7 7 7
1 2 3 99 100
và 70
Hướng dẫn:
1/
26 25 5
do đó
26
> 5
2/
7 9 3 7 3
3/
2 3 12 121 11
do đó 2
3
< 11
4/
2
2
10 43 57; 26 17 43 2 442
Vì
2
57 3249
và
2
2 442 1768
nên
57 2 442
do đó 10 >
26 17
5/
7 7 7 7 7 1 1 1 1 1
7
1 2 3 99 100 1 2 3 99 100
. Vì
1 1 1
10
1 100
,
1 1 1
10
2 100
,…,
1 1 1
10
99 100
. Nên
1 1 1 1 1 100
7 7.
10
1 2 3 99 100
= 70
B
B
à
à
i
i
3
3
.
.
Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa:
1/ A =
2
81
x
; 2/ B =
3 2
x
; 3/ C =
2
4
7
25
x
x
x
;
Hướng dẫn:
1/ A có nghĩa khi
2
9 0 9 0
81 0 ( 9)( 9) 0 9 9
9 0 9 0
x x
x x x x x
x x
hoaëc hoaëc
2/ B có nghĩa khi
3 0 3
3
1
3 4
3 2 0 3 2
x x
x
x
x
x x
3/ C có nghĩa khi
2 2
5
25 0 25
7
7
7 0 7
x
x x
x
x
x x
B
B
à
à
i
i
4
4
.
.
Tính:
1/
16 6 7
; 2/
12 5 29 12 5 29
;
3/
2009 2 2008 2008
; 4/
76 42 3 76 42 3
;
Hướng dẫn:
1/
2
16 6 7 9 2.3. 7 7 3 7 3 7 3 7
2/
12 5 29 12 5 29
=
29 12 5 29 12 5
=
9 2.3.2 5 20 9 2.3.2 5 20
=
2 2
3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 2 5 3 3 2 5 4 5
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
3/
2
2009 2 2008 2008 2008 1 2008 2008 1 2008 1
4/
76 42 3 76 42 3
=
49 2.7.3 3 27 49 2.7.3 3 27
=
2 2
7 3 3 7 3 3
=
7 3 3 7 3 3
=
7 3 3 7 3 3 14
B
B
à
à
i
i
5
5
.
.
Tính:
1/ A =
4 7 4 7 2
; 2/ B =
4 3 2 2 56 2 81
;
3/ C =
3 5 (3 5)( 10 2)
; 4/ D =
10 24 40 60
;
Hướng dẫn:
1/
2 2
2 8 2 7 8 2 7 2 ( 7 1) ( 7 1) 2 7 1 7 1 2 0
A
A = 0
2/ B =
2 2
4 ( 2 1) (7 4 2)
=
4( 2 1) (7 4 2)
=
4 2 4 7 4 2 3
3/ C =
2
2 3 5 (3 5)( 5 1) 6 2 5(2 2 5) ( 5 1) (2 2 5)
2( 5 1)( 5 1)
= 8
4/ D
2
=
20 4 6 4 10 2 60
=
2
6 10 2
=
6 10 2
D =
3 5 2
B
B
à
à
i
i
6
6
.
.
Tính:
1/ A =
9 1
2 : 2
2 2
;
2/ B =
2
15 8 15 16
a a
với
3 5
5 3
a
;
3/ C =
2
35 10 35 25
a a
với
5 7
7 5
a
;
4/ D =
3 2
3
3 27
3
x x
x
x
(x 0) với
3
x ;
Hướng dẫn:
1/ A =
3 2 2
2 : 2
2 2
=
2 2 2 : 2
= 1
2/ B =
2
15 4
a
=
15 4
a
và
4 15
15 4
15
4 15
4 15
15
a a
B
a a
neáu
neáu
Với
3 5 15 15 8 15
5 3 5 3 15
a B =
8 15
15 4 4
15
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
3/ C =
2
35 5
a =
35 5
a
và
5 35
35 5
35
5 35
5 35
35
a a
C
a a
neáu
neáu
Với
5 7 35 35 12 15
7 5 7 5 35
a
C =
12 35
35 5 7
35
4/ D =
3 2
3
3 27
3
x x
x
x
(x 0) = 4x –
27
. Với
3
x D =
4 3 3 3
=
3
B
B
à
à
i
i
7
7
.
.
Tính:
1/ M =
2 2
2
12 12
15 33 2 4 48
9 121
x x
x
với
10 6 4 15
x ;
2/ N =
1 2 1 2
1 2 1 1 1 2
x x
x x
với
3
4
x ;
Hướng dẫn:
1/ M =
2 2 2 2
15 33
12 12 4 12 6 12
3 11
x x x x
với
10 6 4 15
x
2
6 2 60 4 15 4 4 15 4 15 4(16 15) 4
x
.
Vậy M =
6 4 12
= 24
2/ Với
1 1
2 2
x
, N =
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
1 2 1 1 1 2
x x x x
x x
=
3 3
1 2 1 2 4
2
x x x
x
=
2
1 2 1 2 2 1 4
2
2
x x x
x
.
Với
3
4
x N =
2 3 2 3 3
1 1 2 1
4 4 4
2
3
2
4 2 3 4 2 3 3
3 1 3 1 3
2 2 1
2 3 2 3
B
B
à
à
i
i
8
8
.
.
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2
4 7 16 56 49
M x x x
với x = 3
Hướng dẫn:
2
7
0
4
4 7 (4 7) 4 7 4 7
7
8 14
4
neáu
neáu
x
M x x x x
x x
. Với x = 3 M = 0
B
B
à
à
i
i
9
9
.
.
Tính:
1/ A =
2 2 5 13 48
; 2/ B =
8 8 20 40
;
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
3/ C =
4 8 2 2 2 2 2 2
; 4/ D =
5 3 29 12 5
;
Hướng dẫn:
1/ A =
2 4 20 208 64 3
=
2
2 4 20 8 3 4
=
2 4 16 8 3
=
2
2 4 2 3 2
=
2 2 2 3
=
4 4 3
2/ B =
8 2 2 2 5 2 10
=
2
5 2 2 5 2 1
=
5 2 1
3/ C =
4 8 4 2 2
=
2 2 2 2 2
=
2(4 2)
= 2
4/ D =
2
5 3 2 5 3
=
5 6 2 5
=
2
5 5 1
=
5 5 1
= 1
B
B
à
à
i
i
1
1
0
0
.
.
Khử căn mẫu số:
1/
9
7
2/
5
343
3/
5
13
3
a
(a > 0)
Hướng dẫn:
1/
9
7
=
63
7
2/
5
343
=
1715
343
3/
5
13
3
a
=
5
5 3
39 39
3 3
a a
a a
B
B
à
à
i
i
1
1
1
1
.
.
Trục căn thức ở mẫu:
1/
1
3 5 5 3
; 2/
1
1 2 3
; 3/
1
2 5 2 2 10
;
4/
2 3
6 3 2 1
; 5/
a b b a
a b
; 6/
2
2
1 1
1 1
x
x
;
Hướng dẫn:
1/
1
3 5 5 3
=
3 5 5 3 3 5 5 3
45 75 30
;
2/
1
1 2 3
=
1 2 3 1 2 3 2 2 6
2
3 2 2 3 2 2
;
3/
5 2 2 1
1 1
5 2 2 1
(5 4)(2 1)
2 5 2 2 5 2 5 1 2
;
4/
2 3 2 1 3 1 2 3 2 1 3 1
2 3
(2 1)(3 1) 2
2 1 3 1
;
5/ (a, b > 0 và a b):
a b b a a b ab a b a b
a b b a
ab
a b a b
a b
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
6/ (x < –1 hoặc x > 1):
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 2 1
1 1 2 2
1 1
x x
x x x x x
x x x
x
B
B
à
à
i
i
1
1
2
2
.
.
Rút gọn các biểu thức:
1/
8 2 15 5
; 2/
10 2 21 3
; 3/
5 24 2
;
4/
14 6 5 5
; 5/
8 28 1
; 6/
12 140 5
;
7/
3 3
45 29 2 45 29 2
; 8/
3
3 3 10 6 3
;
Hướng dẫn:
1/
2
5 3 5
=
5 3 5
=
3
2/
2
7 3 3 7 3 3 7
3/
2
5 2 6 2 2 3 2 2 3 2 3
4/
2
14 6 5 5 3 5 5 3 5 5 3
5/
2
8 2 7 1 7 1 1 7 1 1 7
6/
2
12 2 35 5 7 5 5 7 5 5 7
7/
3 3
3 3
3 3
45 29 2 45 29 2 3 2 3 2
=
3 2 3 2 6
8/
3
3
3
3 3 10 6 3 3 3 1 3 3 3 1 3 4 2 3 3 1
B
B
à
à
i
i
1
1
3
3
.
.
Tính:
1/
28 2 14 7 7 7 8
; 2/
8 3 2 10 2 3 0,4
;
3/
15 50 5 200 3 450 : 10
; 4/
5 2 6 8 2 15
7 2 10
;
5/
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5
; 6/
3 3
3 3
4 2 2
4 2 1
;
Hướng dẫn:
1/
2 7 2 7 2 7 7 7 8
=
14 14 2 7 7 8
=
21
2/
3 5 5 3 5 16 5 40
2 2 3 2 2 5 2 1 2 2 5
5 5 5
3/
15 5 5 20 3 45
=
15 5 10 5 9 5
=
16 5
4/
3 2 5 3
5 2
=
5 2
5 2
= 1
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 7
5/
7 2 1 5 3 1
7 5
1 2 1 3
=
7 5 7 5
= –2
6/
3 3
3 3
4 2 2
4 2 1
=
3 3
1
1
4 2 1
=
3
3
3
2 1
1
2 1
=
3
2
B
B
à
à
i
i
1
1
4
4
.
.
Tính:
1/ A =
15 4 12
6 11
6 1 6 2 3 6
; 2/ C =
10 8 6
7
5 5 1 7 1
.
Hướng dẫn:
1/ A =
15 6 1 4 6 2 12 3 6
6 11
6 1 6 4 9 6
=
3 6 1 2 6 2 4 3 6 6 11
=
6 11 6 11
= 6 – 121 = –115
2/ C =
8 5 1 6 7 1
10 5
7
5 5 1 7 1
=
2 5 2 5 2 7 1 7
= 1
B
B
à
à
i
i
1
1
5
5
.
.
So sánh: a =
5 5 5 5
1 2 2 3 98 99 99 100
và 40
Hướng dẫn:
a =
5 2 1 3 2 99 98 100 99
= 5.9 = 45 > 40
B
B
à
à
i
i
1
1
6
6
.
.
Giải phương trình sau:
1/
9 16 81 2
x x x
; 2/
1 2 1
4 4 9 9 24 17
2 3 64
x
x x
;
3/
1 2 4 1
y y y y
;
Hướng dẫn:
1/ Với x 0: Pt
3 4 9 2
x x x
8 2
x
1
4
x
1
16
x
2/ Với x 1: Pt
1 2 1 3 1 17
x x x
17
1
2
x
293
4
x
3/ Với y 0: Pt
1 1
y y
Vì
0; 1 1
y y
do đó
1 1
y y
y = 0
B
B
à
à
i
i
1
1
7
7
.
.
Giải phương trình sau:
1/
2
14 49 3 1
x x x
; 2/
2 2
1 2 2
x x
;
Hướng dẫn:
1/
2
14 49 3 1
x x x
2
( 7) 3 1
x x
. Điều kiện để có nghiệm là
1
3
x
Pt
7 3 1
x x
7 3 1 4
7 3 1 3 / 2
(loaïi)
x x x
x x x
. Vậy nghiệm là
3
2
x
2/
2
1 1
x
,
2
2 2 1
x
do đó
2 2
1 2 2
x x
nên phương trình
2 2
1 2 2
x x
vô nghiệm.
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
B
B
à
à
i
i
1
1
8
8
.
.
Giải các phương trình
1/
2 2 2
4 4 5 8 8 11 4 4 4
x x x x x x
;
2/
2 4 2 2
3 6 12 5 10 9 3 4 2
x x x x x x
; 3/
3 3
x x
.
Hướng dẫn:
1/
2 2
4 4 5 (2 1) 4 2
x x x
và
2 2
8 8 11 2(2 1) 9 3
x x x
nên VT 5
VP =
2 2
4 4 4 (2 1) 5 5
x x x
.
Do đó phương trình có nghiệm khi
2
2
2
(2 1) 4 2
1
2(2 1) 9 3 2 1 0
2
(2 1) 5 5
x
x x x
x
2/
2 2
3 6 12 3( 1) 9 3
x x x
,
4 2 2 2
5 10 9 5( 1) 4 2
x x x
nên VT 5
VP =
2 2
3 4 2 2( 1) 5 5
x x x
Do đó phương trình có nghiệm khi
2
2 2
2
3( 1) 9 3
5( 1) 4 2 1 0 1
2( 1) 5 5
x
x x x
x
3/ Điều kiện xác định x 0.
Với x > 1
x
> 1
3
x
> 4
3
x
> 2
3 3
x x
Với 0 x < 1
x
< 1
3
x
< 4
3
x
< 2
3 3
x x
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.
B
B
à
à
i
i
1
1
9
9
.
.
Cho biểu thức: A =
1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a
1/ Rút gọn A 2/ Tìm a để A > 1 3/ Tính giá trị của A nếu a =
6 2 5
.
Hướng dẫn:
1/ (0 a 1), A =
1 1 2
:
1
1
( 1) 1
a a a
a
a
a a
=
1 2 1
:
1
( 1) 1
a a a a
a
a a
=
2
1
1
:
1
( 1) 1
a
a a
a
a a
=
1 ( 1)
( 1) 1
a a a
a a
=
1
1
a a
a
2/ A > 1
1
1
a a
a
> 1
1 1 2
0 0
1 1 1
a a a a
a a a
2 0 2 0
1 0 1 0
a a
a a
hoaëc
a > 1 hoặc a < –2 (loại). Vậy A > 1 khi a > 1.
3/
2
5 1
a
A =
6 2 5 5 1 1
5 1 1
=
6 5
6 5 5 2
5 2
=
7 4 5
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
B
B
à
à
i
i
2
2
0
0
.
.
Cho biểu thức: B =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
1/ Rút gọn B 2/ Tìm x để B nhận giá trị nguyên 3/ Tìm x để B < 1.
Hướng dẫn:
1/ (0 x 4, 9), B =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
=
2 9 9 2 3 2
5 6
x x x x
x x
=
2
5 6
x x
x x
=
1 2
1 4
1
3 3
2 3
x x
x
x x
x x
2/ B nguyên khi:
3
x
–3 và là ước của 4
3
x
= 4 x = 49;
3
x
= 2 x = 25;
3
x
= –2 x = 1;
3
x
= 1 x = 16;
3
x
= –1 x = 4;
Vậy các giá trị x cần tìm để B nguyên là : 49, 25, 16, 4, 1
3/ B < 1
4
1
3
x
< 1
4
0 3 0 3 0 9
3
x x x
x
Kết hợp điều kiện B < 1 khi
0 9
x
và x 4.
B
B
à
à
i
i
2
2
1
1
.
.
Cho biểu thức D =
2 4 2 4 2 3
:
4
2 2 2 2
x x x x x
x
x x x x x
1/ Rút gọn D 2/ Tìm giá trị của x để D > 0 3/ Tìm giá trị của x để D =
3
x
Hướng dẫn:
1/ (0 < x 4), D =
2 4 2 4 3 2
:
4
2 2 2
2
x x x x x
x
x x x
x x
=
2 ( 4 4) (4 2 4) 3 2
:
4
2
x x x x x x x x
x
x x
=
8 4 3
:
2 2 2
x x x
x x x x
=
4 2 2
4
3
2 2 3
x x x x
x
x
x x x
2/ Với x > 0, x 4, x 9, D > 0
4
3
x
x
> 0
4 0 4 0
9
3 0 3 0
x x
x
x x
hoaëc
3/ D =
3
x
4
3
x
x
=
3
x
4x = x – 9 x = –3 < 0 không thỏa điều kiện.
Không tồn tại x để D =
3
x
B
B
à
à
i
i
2
2
2
2
.
.
Cho biểu thức
3 3 2 2
2
1 1 (1 )
:
1 1 2
x x x x
A x x
x x x
1/ Rút gọn A;
2/ Tính giá trị của A khi
6 2 2
x ;
3/ Tính giá trị của x khi A = 3.
Hướng dẫn:
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
1/ (x 1),
2
2
x
A
x
;
2/
4 2 2
6 2 2
6 2 2
x A
;
3/
3 17
3
2
A x
.
B
B
à
à
i
i
2
2
3
3
.
.
Cho biểu thức
2 2 1
1 1
:
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
1/ Rút gọn P;
2/ Tìm giá trị nguyên của x để P mang giá trị nguyên.
Hướng dẫn:
1/ (0 < x 1)
2
2
2 1
2( 1) 1 1
:
1 1
( 1) 1
x x
x x x
P
x x x
x x
;
2/
1 2
1
1 1
x
P
x x
. P nguyên khi:
1 1 2 4; 1 1 0 0
1 2 3 9; 1 2 1( )
x x x x x x
x x x x x Loai
Vậy x =
0;4;9
thì P nguyên.
B
B
à
à
i
i
2
2
4
4
.
.
Cho hàm số
2
( ) 4 4
f x x x
1/ Tính (–1); (5) và giải phương trình (x) = 10;.
2/ Rút gọn
2
( )
4
khi x 2
f x
A
x
.
Hướng dẫn:
1/
2 2
( ) 4 4 ( 2) 2
f x x x x x
(–1) = 3; (5) = 3.
2 10 12
( ) 10
2 10 8
x x
f x
x x
2/
2
2
( )
4 ( 2)( 2)
x
f x
A
x x x
Với x > 2 |x – 2| = x – 2
1
2
A
x
Với x < 2 |x – 2| = –(x – 2)
1
2
A
x
B
B
à
à
i
i
2
2
5
5
.
.
Cho biểu thức
2 1 1
1
1 1
x x x
P
x
x x x x
1/ Rút gọn P;
2/ Chứng minh
1
, 0, 1
3
P x x
.
Hướng dẫn:
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
1/
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
x x x x x x x x
P
x x x x x x x x
2/
2
1 1
3 1 2 1 0 1 0
3 3
1
x
P x x x x x x
x x
đúng
với mọi x 0, x 1.
B
B
à
à
i
i
2
2
6
6
.
.
Cho biểu thức
2
2
1
1
1
A x x
x x
1/ Rút gọn A;
2/ Giải phương trình
2 4
A x
.
Hướng dẫn:
1/
2
2 2 2
2 2
1
1 1 ( 1 ) 2
( 1 ).( 1 )
x x
A x x x x x x x
x x x x
;
2/
2
2 4 2 2 4 2
1
x
A x x x x x
x
phương trình vô nghiệm.
B
B
à
à
i
i
2
2
7
7
.
.
Cho biểu thức
2
: 1
1
1 1
a b a b a b ab
P
ab
ab ab
1/ Rút gọn P;
2/ Tính giá trị của P khi
2
2 3
a
;
3/ Tìm giá trị lớn nhất của P.
Hướng dẫn:
1/ (a, b 0, a.b 1),
2 2 2
:
1 1 1
a b a a b ab a
P
ab ab a
;
2/
2
2 2(2 3)
( 3 1) 3 1
1
2 3
a a
2 3 2
4 3
P
;
3/ Ta có
2
1 2 1 1 1 1
1
khi
a
a a P MaxP a
a
.
B
B
à
à
i
i
2
2
8
8
.
.
(TP.HCM 2012 – 2013). Thu gọn các biểu thức sau:
1 2 1
1
x
A
x
x x x x
với x > 0;
1
x
;
(2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3
B
.
B
B
à
à
i
i
2
2
9
9
.
.
(Đà Nẵng 2012 – 2013). Rút gọn biểu thức
( 10 2) 3 5
A
.
B
B
à
à
i
i
3
3
0
0
.
.
(Đaklak 2012 – 2013). Rút gọn biểu thức:
1
1 ;
1
A x x
x
với x ≥ 0.
B
B
à
à
i
i
3
3
1
1
.
.
(Tuyên Quang 2012 – 2013). Giải phương trình:
2
6 9 2011
x x x
B
B
à
à
i
i
3
3
2
2
.
.
(Hà Nội 2012 – 2013). Rút gọn
4 16
:
4 4 2
x x
B
x x x
(
0; 16
x x
).
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
B
B
à
à
i
i
3
3
3
3
.
.
(Hải Dương 2012 – 2013). Cho biểu thức:
:
2
a a a a
A
b a
a b a b a b ab
, a và b là các số dương khác nhau.
1/ Rút gọn biểu thức A –
2
a b ab
b a
.
2/ Tính giá trị của A khi a =
7 4 3
và b =
7 4 3
.
Hướng dẫn:
2 3 2 3 4 2 3
3
2 3 2 3 2 3
A
B
B
à
à
i
i
3
3
4
4
.
.
(Hải Phòng 2012 – 2013). Rút gọn
5 5 4
12 2 3 18 2 8 : 2;
5 1 5 1
N M
B
B
à
à
i
i
3
3
5
5
.
.
(Thanh Hóa 2012 – 2013). Cho
1 1 1
4
1 1 2
a a
P a
a a a a
(Với a > 0, a 1)
1/ Chứng minh rằng:
2
1
P
a
;
2/ Tìm giá trị của a để P = a
B
B
à
à
i
i
3
3
6
6
.
.
(Cần Thơ 2012 – 2013).
2
1 1 1
2 :
1
a
K
a a
a a
(với
0, 1
a a
)
1/ Rút gọn biểu thức K.
2/ Tìm a để
2012
K
.
B
B
à
à
i
i
3
3
7
7
.
.
(Nghệ An 2012 – 2013). Cho biểu thức:
1 1 2
.
2 2
x
A
x x x
1/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn A;
2/ Tìm tất cả giá trị của x để
1
2
A
;
3/ Tìm tất cả giá trị của x để
7
3
B A
đạt giá trị nguyên.
B
B
à
à
i
i
3
3
8
8
.
.
(Hà Nam 2012 – 2013). Rút gọn
8 2 12
) 2 5 3 45 500; ) 8
3 1
a A b B
B
B
à
à
i
i
3
3
9
9
.
.
(Quảng Trị 2012 – 2013). Rút gọn: A = 2
50
–
18
;
1 1 1
1
1 1
P
a
a a
B
B
à
à
i
i
4
4
0
0
.
.
(Ninh Thuận 2012 – 2013). Tính giá trị của biểu thức H =
( 10 2) 3 5
.
B
B
à
à
i
i
4
4
1
1
.
.
(Thừa Thiên – Huế 2012 – 2013)
1/ Cho biểu thức: C =
5 3 5 3 3
5 3
5 3 1
. Chứng tỏ C =
3
;
2/ Giải phương trình :
2
3 2 4 0
x x
B
B
à
à
i
i
4
4
2
2
.
.
(Hưng Yên 2012 – 2013). Giải ptrình:
5 2 (4 )(2 2) 4( 4 2 2)
x x x x x
Hướng dẫn: Đặt
4 2 2
t x x
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
B
B
à
à
i
i
4
4
3
3
.
.
(Đồng Nai 2012 – 2013). Tính
1 1 3 1
( ).
2 3 2 3 3 3
P
B
B
à
à
i
i
4
4
4
4
.
.
(Đồng Tháp 2012 – 2013). Rút gọn biểu thức
1 4 1
: 0, 9
9
3 3
x
A x x
x
x x
B
B
à
à
i
i
4
4
5
5
.
.
(Ninh Bình 2012 – 2013)
1/ Cho biểu thức A=
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
x
x x x
x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
2/ Giải phương trình:
1 1 1
x x x x
Hướng dẫn: Đặt
0; 1 0
x a x b
, ta được
2 2
1
1
a b ab
a b
B
B
à
à
i
i
4
4
6
6
.
.
(Lào Cai 2012 – 2013)
1/ Thực hiện phép tính:
2 3
3
3
) 2 10 36 64 ) 2 3 2 5 .
a b
2/ Cho biểu thức: P =
2
3
2 4 1 1
1
1 1
a
a
a a
a) Tìm điều kiện của a để P xác định;
b) Rút gọn biểu thức P.
B
B
à
à
i
i
4
4
7
7
.
.
(Gia Lai 2012 – 2013). Cho biểu thức
x 2 x 2
Q x x
x 1
x 2 x 1
, với
x 0, x 1
.
1/ Rút gọn biểu thức Q;
2/ Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
B
B
à
à
i
i
4
4
8
8
.
.
(Quảng Ninh 2012 – 2013).
Rút gọn: A =
1
2 18
2
; B =
1 1 2
1
1 1
x
x x
với x 0, x 1.
B
B
à
à
i
i
4
4
9
9
.
.
(Khánh Hòa 2012 – 2013)
1/ Đơn giản biểu thức: A
2 3 6 8 4
2 3 4
2/ Rút gọn P và chứng tỏ P
0 với
1 1
( ),( 1)
1 1
P a a
a a a a
.
B
B
à
à
i
i
5
5
0
0
.
.
(Bình Định 2012 – 2013). Rút gọn
2
5 3 3 1 2 8
4
2 2
a a a a
A
a
a a
(
0, 4
a a
)
B
B
à
à
i
i
5
5
1
1
.
.
(Bắc Giang 2012 – 2013). Rút gọn
1 2 3 2
( )( 1)
2 2 2
a a
A
a a a a
(a> 0,a4)
B
B
à
à
i
i
5
5
2
2
.
.
(Yên Bái 2012 – 2013). Cho biểu thức
1 9
9
3 3
x x
M
x
x x
1/ Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M.
2/ Tìm các giá trị của x để M > 1.
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
B
B
à
à
i
i
5
5
3
3
.
.
(Bình Dương 2012 – 2013). Tính M =
2
15 8 15 16
x x
tại
15
x .
B
B
à
à
i
i
5
5
4
4
.
.
(Bình Phước 2013 – 2014)
1/ Tính giá trị biểu thức
25 1 1
;
121 2 3 2 3
A B
;
2/ Cho biểu thức
6 9 4
3 2
x x x
M
x x
. Tìm x để M có nghĩa và rút gọn M.
B
B
à
à
i
i
5
5
5
5
.
.
(Ninh Thuận 2013 – 2014). Cho biểu thức
2 1
( ) . 1 ( 0, 1)
1 1
x x x x
P x x x
x x
1/ Rút gọn P(x);
2/ Xác định x để
2
2 ( ) 0
x P x
.
B
B
à
à
i
i
5
5
6
6
.
.
(Quảng Ninh 2013 – 2014)
1/ Tính
50 25
36
A
;
2/ Rút gọn biểu thức
2
1
x x x
B
x x x
.
B
B
à
à
i
i
5
5
7
7
.
.
(Bình Định 2013 – 2014)
1/ Rút gọn
1
: (0 1)
1
1
x x x
A x
x
x x x
;
2/ Tính giá trị biểu thức:
2 8 12 5 27
18 48 30 162
B
.
B
B
à
à
i
i
5
5
8
8
.
.
(Hải Phòng 2013 – 2014) Rút gọn
3 50 5 18 3 8 2; 6 2 5 6 2 5
M N .
B
B
à
à
i
i
5
5
9
9
.
.
(Đồng Nai 2013 – 2014) Cho biểu thức
1 1
0, 1
1 1
a a
A a a
a a
1/ Rút gọn A;
2/ Tính giá trị của A tại a = 2.
B
B
à
à
i
i
6
6
0
0
.
.
(Đà Nẵng 2013 – 2014)
1/ Tìm x không âm, biết
2
x
;
2/ Rút gọn biểu thức
2 2 2 2
1 1
2 1 2 1
P
.
B
B
à
à
i
i
6
6
1
1
.
.
(Bình Dương 2013 – 2014). Cho biểu thức
( 4) 4
A x x
.
1/ Rút gọn A;
2/ Tính giá trị của A khi
3
x .
B
B
à
à
i
i
6
6
2
2
.
.
(TP.HCM 2013 – 2014) Thu gọn các biểu thức sau:
3 3
.
9
3 3
x x
A
x
x x
với
0
x
;
9
x
;
2 2
21 2 3 3 5 6 2 3 3 5 15 15
B .
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 15
C
C
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
I
I
I
I
:
:
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
B
B
Ậ
Ậ
C
C
N
N
H
H
Ấ
Ấ
T
T
.
.
A) LÝ THUYẾT:
1) Định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a 0), với a, b là các hệ số cho trước.
Hàm số bậc nhất y = ax + b:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0.
2) Đồ thị hàm số bậc nhất:
Đồ thị hàm số y = ax (a 0) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm E(1; a).
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đường thẳng cắt trục tung tại P(0; b) và cắt trục hoành
tại Q(–
b
a
; 0).
3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
( )
d
:
y ax b
và
( )
d
:
y a x b
.
( )
d
cắt
( )
d
a a
( )
d
cắt
( )
d
tại điểm trên trục tung
a a
và
b b
( )
d
//
( )
d
a a
và
b b
( )
d
( )
d
a a
và
b b
( )
d
( )
d
. 1
a a
4) Hệ số góc của đường thẳng
y ax b
(a 0):
a > 0: Góc tạo bởi đường thẳng
y ax b
(a 0) với trục Ox là góc nhọn
a < 0: Góc tạo bởi đường thẳng
y ax b
(a 0) với trục Ox là góc tù
a được gọi là hệ số góc của đường thẳng
y ax b
(a 0) và b được gọi là tung độ góc.
0 0
0 0
90 180 tan 0 0
tan ;
0 90 tan 0 0
Khi
a
a
a
B) BÀI TẬP:
B
B
à
à
i
i
1
1
.
.
Trong các hàm số sau hàm số nào là bậc nhất? Nếu bậc nhất hãy xác định hệ số a, b và xét
xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến?
1/
1
2
2
y x
2/
2( 3) 4
y x
3/
3( 1)
y x x
4/
( 5 2)
y x
5/
1 2
y x
6/ 2
y x
Hướng dẫn:
1/ Là hàm bậc nhất với a =
1
2
< 0, b = –2. Hàm nghịch biến trên R.
2/ Là hàm bậc nhất
2 2
y x
với a = 2 > 0, b = 2. Hàm đồng biến trên R.
3/ Là hàm bậc nhất
2 3
y x
với a = 2 > 0, b = –3. Hàm đồng biến trên R.
4/ Là hàm bậc nhất với a =
5 2
> 0, b = 0. Hàm đồng biến trên R.
5/ Là hàm bậc nhất với a =
2
< 0, b = 1. Hàm nghịch biến trên R.
B
B
à
à
i
i
2
2
.
.
Cho hàm số
( 2 ) 2 1
y m x m
. Tìm m biết rằng:
1/ Hàm số đã cho nghịch biến trên tập số thực
.
2/ Hàm số đã cho đồng biến trên tập số thực
.
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 16
3/ Khi x =
2
thì y = 1.
Hướng dẫn:
1/ Để hàm số nghịch biến trên R khi 2
m
< 0 m >
2
2/ Để hàm số đồng biến trên R khi 2
m
> 0 m <
2
3/ Thay x =
2
, y = 1 vào hàm số ta được:
( 2 ) 2 2 1 1
m m
2
2 2 2 0 (2 2)
2 2
m m m
B
B
à
à
i
i
3
3
.
.
Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm bậc nhất?
2
(1 4 4 ) 3
y m m x
2/ (1 ) 3
y x m
3/
2 2
(1 ) ( 1) 3
y m x m x
Hướng dẫn:
1/
2 2
1
1 4 4 0 (2 1) 0
2
a m m m m
2/ 3 – m > 0 m < 3.
3/
2
1
1 0
1
1
1 0
m
m
m
m
m
B
B
à
à
i
i
4
4
.
.
Cho hàm số bậc nhất
(1 3) 3 3
y x
1/ Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên tập số thực
? Vì sao?
2/ Tính giá trị của y khi x = 1
3/ Tính giá trị của x khi y = 3.
Hướng dẫn:
1/ a = 1 –
3
< 0 nên hàm số nghịch biến trên R
2/ x = 1 y = 1 –
3
+ 3
3
= 1+ 2
3
3/ y = 3 (1 –
3
)x + 3
3
= 3 x = 3.
B
B
à
à
i
i
5
5
.
.
Cho hàm số
2
(1 ) 3
y m m x
. Chứng minh rằng hàm số luôn đồng biến trên
.
Hướng dẫn: Ta có a =
2
2
1 3
1 0
2 4
m m m
nên hàm số đồng biến trên R.
B
B
à
à
i
i
6
6
.
.
Xác định các hệ số a, b của đường thẳng
y ax b
, biết rằng đường thẳng cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Hướng dẫn: Đường thẳng
y ax b
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
3
3
b b
a
a
Đường thẳng
y ax b
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 b = 2.
Thay b = 2 vào ý trên a =
2
3
. Vậy hàm số có dạng
2
2
3
y x
B
B
à
à
i
i
7
7
.
.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
1/
2
y x
; 2/
2 3 0
y x
; 3/
2 3 4
y x
.
Hướng dẫn:
1/ Đồ thị hàm số
2
y x
là đường thẳng đi qua O(0; 0) và E(1; –2)
2/ Đồ thị hàm số
2 3 0
y x
2 3
y x
là đường thẳng qua P(0; 3) và Q(
3
2
; 0)
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 17
3/ Đồ thị hàm số
2 3 4
y x
3
2
2
y x
là đường thẳng qua A(0;
3
2
) và B(–
3
4
; 0)
B
B
à
à
i
i
8
8
.
.
Cho hàm số
3
2
x
y
1/ Vẽ đồ thị d của hàm số.
2/ Trong các điểm sau A(0; 3), B(1; 5), C(–2; 2) điểm nào thuộc d? Giải thích?
3/ Tìm tọa độ M thuộc d biết
M
y
= 3.
Hướng dẫn:
1/ Đố thị hàm số
3
2
x
y
là đường thẳng đi qua P(0; 3) và Q(–6; 0)
2/ A, C thuộc d vì tọa độ thỏa phương trình đường thẳng
3
2
x
y
3/ y = 3 x = 0 Vậy M(0; 3).
B
B
à
à
i
i
9
9
.
.
Cho hàm số
( 2) 3 1
y m x m
có đồ thị là đường thẳng (d).
1/ Tìm m để (d) song song đường thẳng y = 3x + 2.
2/ Tìm m để (d) cắt đường thẳng y = –x.
3/ Tìm m để (d) đi qua điểm
1
2;
2
A
Hướng dẫn:
1/ (d) song song đường thẳng y = 3x + 2 khi
2 3 5
5
3 1 2 1/ 3
m m
m
m m
2/ (d) cắt đường thẳng y = –x khi m – 2 –1 m 1.
3/ Thay x = –2, y =
1
2
vào hàm số, ta được:
1 9
( 2)( 2) 3 1
2 2
m m m
B
B
à
à
i
i
1
1
0
0
.
.
Cho điểm A(2; 3). Xác định hàm số
y ax b
biết đồ thị của nó đi qua điểm B(2; 1) và
song song với đường thẳng OA.
Hướng dẫn: Gọi OA là đường thẳng có phương trình
y a x b
. Vì qua O(0; 0) và qua
A(2; 3) nên ta có
.0 0 0 0
.2 3 .2 3 3 / 2
a b b b
a b a a
OA có phương trình
3
2
y x
Đồ thị hàm số
y ax b
qua B(2; 1) và song song OA nên có a = 3/2 và
3 1 2
b b
.
Vậy hàm số có dạng
3
2
2
y x
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
B
B
à
à
i
i
1
1
1
1
.
.
Cho hàm số bậc nhất
( 2) 4 2
y m x m
( )
d
; y = 5x – 3
( )
d
. Với giá trị nào của m
thì
( )
d
,
( )
d
:
1/ Song song với nhau.
2/ Trùng nhau.
3/ Cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Hướng dẫn:
1/
( )
d
//
( )
d
7
2 5
7
7
4 2 3
2
m
m
m
m
m
2/
( )
d
( )
d
2 5 7
4 2 3 7 / 2
m m
m m
Không xảy ra.
3/
( )
d
cắt
( )
d
tại một điểm trên trục tung khi
2 5 7
7
4 2 3 7 / 2
2
m m
m
m m
B
B
à
à
i
i
1
1
2
2
.
.
Cho hai đường thẳng
1
: ( 4) 3
d y m x
và
2
: 3 ( 2) 7
d y m m x
1/ Chứng minh rằng khi m = 4/3 thì
1
d
//
2
d
.
2/ Tìm tất cả các giá trị của m để
1
d
//
2
d
.
Hướng dẫn:
1/ m = 4/3 thì
1
: 8 / 3 3
d y x
;
2
: 8 / 3 7
d y x
số góc bằng nhau nên song song.
2/
1
d
//
2
d
m – 4 = 3m(m – 2)
2
1
3 7 4 0
4 / 3
m
m m
m
.
B
B
à
à
i
i
1
1
3
3
.
.
Cho hai hàm số bậc nhất
( 4) 1
y m x n
và
(4 2 ) 5
y m x n
có đồ thị là
1
d
,
2
d
.
Tìm m, n để: 1/
1
d
//
2
d
; 2/
1
d
2
d
.
Hướng dẫn:
1/
1
d
//
2
d
4 4 2 8 / 3
1 5 3
m m m
n n n
2/
1
d
2
d
4 4 2 8 / 3
1 5 3
m m m
n n n
B
B
à
à
i
i
1
1
4
4
.
.
Cho hàm số
( 2) 3 1
y m x m
có đồ thị là đường thẳng (d).
1/ Xác định m để (d) song song đường thẳng y = 3x + 2. Vẽ đồ thị với m tìm được.
2/ Gọi giao điểm của đồ thị hàm số tìm được ở câu 1/ với trục tung và trục hoành lần lượt
là A, B. Tính diện tích AOB.
3/ Xác định giá trị của m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
Hướng dẫn:
1/ (d) song song đường thẳng y = 3x + 2
2 3
5
3 1 2
m
m
m
. Hàm số có dạng
3 16
y x
.
2/ Đường thẳng
3 16
y x
cắt trục tung tại A(0; 16) và cắt trục hoành tại B(
16
3
; 0)
1 16 256
.16.
2 3 6
AOB
S
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 19
3/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 khi 3m + 1 = 3 m =
2
3
B
B
à
à
i
i
1
1
5
5
.
.
Cho hai đường thẳng
1
: ( 2) 4
d y m x
và
2
: 2
d y mx m
1/ Tìm m để
1
d
đi qua A(1; 5). Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m tìm được.
2/ Chứng tỏ rằng
1
d
luôn đi qua điểm cố định với m 2.
3/ Với giá trị nào của m thì
1
d
//
2
d
;
1
d
2
d
.
Hướng dẫn:
1/ Thay x = 1; y = 5 vào phương trình đường thẳng
1
d
, ta được: (m –2).1 + 4 = 5
m = 3. Vậy
1
d
có dạng
4
y x
,
2
d
có dạng
3 5
y x
.
2/
0 0
;
x y
là điểm mà
1
d
luôn đi qua với mọi m 2, lúc đó phương trình
0 0
( 2) 4
m x y
0 0 0
2 4
mx x y
có nghiệm m 2 khi
0
0 0
0
2 4 0
x
x y
0
0
0
4
x
y
. Vậy với mọi m 2,
1
d
luôn đi qua điểm cố định (0; 4).
3/
1
d
//
2
d
2
4 2
m m
m
0. 2
2
m
m
vô nghiệm vậy
1
d
và
2
d
không song song.
1
d
2
d
(m – 2)m = –1
2 2
2 1 0 ( 1) 0 1
m m m m
Vậy m = 1 thì
1
d
2
d
.
B
B
à
à
i
i
1
1
6
6
.
.
Cho hàm số
( 3)
y a x b
có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm a, b sao cho (d)
1/ Đi qua hai điểm A(1; 2), B(–3; 4).
2/ Cắt trục tung tại điểm
1 2
và cắt trục hoành tại điểm
1 2
3/ Cắt hai đường thẳng 2y – 4x +5 = 0; y = x – 3 tại một điểm và (d) song song đường
thẳng y = –2x + 1.
4/ Đi qua C(1; –3) và vuông góc với đường thẳng y = x + 3.
Hướng dẫn:
1/ (d) đi qua hai điểm A(1; 2), B(–3; 4) nên ta có:
( 3).1 2 5 5 / 2
( 3)( 3) 4 3 5 5 / 2
a b a b a
a b a b b
2/ (d) cắt trục tung tại điểm
1 2
b =
1 2
(d) cắt trục hoành tại điểm
1 2
3
b
a
=
1 2
a =
2 1
2 1
+ 3 = 6 –
2 2
3/ Tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng 2y – 4x + 5 = 0; y = x – 3 là nghiệm hệ
phương trình
4 2 5
3
x y
x y
4 2 5 1/ 2
2 2 6 7 / 2
x y x
x y y
1 7
;
2 2
M
(d) đi qua M vì cắt cả 2 đường thẳng trên tại một điểm
3 1/ 2 7 / 2 2 10
a b a b
(*) (d) song song đường thẳng y = –2x + 1
a – 3 = –2 và b 1 a = 1 và b 1. Thay a = 1 vào (*), ta được b =
9
2
4/ (d) đi qua C(1; –3) (a – 3).1 + b = –3 a + b = 0 (*)
(d) đường thẳng y = x + 3 (a – 3)1 = –1 a = 2;Thay a = 2 vào (*) b = –2.
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
B
B
à
à
i
i
1
1
7
7
.
.
(Bình Dương 2011 – 2012). Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
(d):
2 4
y x
; (d):
5
y x
và tìm tọa độ giao điểm A của (d) và (d) bằng cách giải
hệ phương trình.
B
B
à
à
i
i
1
1
8
8
.
.
(Hải Dương 2011 – 2012). Cho hai đường thẳng
1 2
( ) : 2 5; ( ) : 4 1
d y x d y x
cắt
nhau tại I. Tìm m để đường thẳng
3
( ): ( 1) 2 1
d y m x m
đi qua điểm I.
B
B
à
à
i
i
1
1
9
9
.
.
(Ninh Bình 2011 – 2012). Cho hàm số
1 (1)
y mx
, trong đó m là tham số.
1/ Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 4). Với giá trị m tìm được, hàm số (1)
đồng biến hay nghịch biến trên R ?
2/ Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song đường thẳng (d) có phương trình
3 0
x y
.
B
B
à
à
i
i
2
2
0
0
.
.
(Bình Định 2011 – 2012). Cho hàm số
y ax b
. Tìm a và b biết rằng đồ thị hàm số
song song đường thẳng
2 3
y x
và đi qua điểm M(2; 5).
B
B
à
à
i
i
2
2
1
1
.
.
(Quảng Ngãi 2011 – 2012). Trong cùng mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm:
(2;4), ( 3; 1), ( 2;1)
A B C
. Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
B
B
à
à
i
i
2
2
2
2
.
.
(Quảng Trị 2011 – 2012). Cho hàm số
3
y x
.
1/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số.
2/ Tìm trên (d) các điểm M có hoành độ và tung độ bằng nhau.
B
B
à
à
i
i
2
2
3
3
.
.
(Kiên Giang 2011 – 2012). Cho hàm số
(2 ) 3
y m x m
(1).
1/ Vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2/ Tìm giá trị của m để hàm số (1) đồng biến.
B
B
à
à
i
i
2
2
4
4
.
.
(Đaklak 2011 – 2012). Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số
12 (7 ) 2 (3 )
vaø
y x m y x m
cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
B
B
à
à
i
i
2
2
5
5
.
.
(Đaklak 2012 – 2013). Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số của nó đi qua 2 điểm
A(2;5) ; B(–2;–3).
B
B
à
à
i
i
2
2
6
6
.
.
(Thanh Hóa 2012 – 2013). Cho đường thẳng (d) : y = ax + b. Tìm a; b để đường thẳng (d)
đi qua điểm A(–1 ; 3) và song song với đường thẳng (d): y = 5x + 3.
B
B
à
à
i
i
2
2
7
7
.
.
(Đồng Nai 2012 – 2013). Hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (d); y = kx + n có đồ thị là (d
1
)
với k và n là những số thực. Tìm k và n biết (d
1
) đi qua điểm T(1; 2) và (d
1
) // (d).
B
B
à
à
i
i
2
2
8
8
.
.
(Bình Dương 2013 – 2014). Cho hai hàm số bậc nhất
2 1
y x m y x m
vaø
.
1/ Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số trên cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.
2/ Với m = –1, vẽ đồ thị các hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.
B
B
à
à
i
i
2
2
9
9
.
.
(Bình Định 2013 – 2014). Cho hàm số
( 1)
y m x m
. Tìm m để đồ thị hàm số vuông
góc với đường thẳng
3 2013 0
x y
.
B
B
à
à
i
i
3
3
0
0
.
.
(Quảng Ninh 2013 – 2014). Xác định hệ số a để hàm số y = ax – 5 cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 1,5.
B
B
à
à
i
i
3
3
1
1
.
.
(Ninh Thuận 2013 – 20114). Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 7 và
đi qua điểm M(2; –1).
B
B
à
à
i
i
3
3
2
2
.
.
(Bình Phước 2013 – 2014). Viết phương trình đường thẳng () song song đường thẳng
(d):
1
y x
và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
B
B
à
à
i
i
3
3
3
3
.
.
(Đà Nẵng 2013 – 2014). Cho hàm số bậc nhất
2
y ax
(1). Hãy xác định hệ số a, biết
rằng a > 0 và đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành Ox, trục tung Oy lần lượt tại hai điểm
A, B sao cho OB = 2OA (với O là gốc tọa độ).
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 21
C
C
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
I
I
I
I
I
I
:
:
H
H
Ệ
Ệ
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
B
B
Ậ
Ậ
C
C
N
N
H
H
Ấ
Ấ
T
T
H
H
A
A
I
I
Ẩ
Ẩ
N
N
.
.
A) LÝ THUYẾT:
1) Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng
ax by c
trong đó a, b, c là các hệ
số và a, b không đồng thời bằng không.
Phương trình
ax by c
có vô số
nghiệm, mỗi nghiệm là một cặp số (x; y)
và tập nghiệm là đường thẳng có phương
trình
a c
y x
b b
Nếu a = 0, b 0 tập nghiệm là đường
thẳng
c
y
b
song song với trục hoành và
cắt trục tung tại điểm có tung độ
c
y
b
Nếu a 0, b = 0 tập nghiệm là đường
thẳng
c
x
a
song song với trục tung và cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ
c
x
a
Công thức nghiệm tổng quát:
x
a c
y x
b b
2) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Tổng quát có dạng:
(1)
(2)
ax by c
a x b y c
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng biểu diễn bởi (1) và (2).
Nếu
a b
a b
thì hệ có 1 nghiệm duy nhất là cặp số
;
x y
Nếu
a b c
a b c
thì hệ vô nghiệm
Nếu
a b c
a b c
thì hệ có vô số nghiệm.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Hai hệ
phương trình cùng vô nghiệm cũng được gọi là tương đương.
3) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế:
Từ (1)
c by
x
a
(3). Thay (3) va (2), ta được
c by
a b y c
a
ac a c
y
ab a b
.
Thay
ac a c
y
ab a b
vào (3), ta được
x
cb c b
ab a b
4) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số:
Đưa hệ số của ẩn x (hoặc y) về đối nhau rồi cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được
một phương trình bậc nhất một ẩn.
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 22
B) BÀI TẬP:
B
B
à
à
i
i
1
1
.
.
Cho hệ phương trình hai ẩn x, y:
2
1 2
ax y a
x by a
. Tìm a, b sao cho (1; 2) là nghiệm của
hệ trên.
Hướng dẫn: Thay x = 1; y = 2 vào hệ, ta được:
2 2 2 2
1 2 1 2 2 4 2
a a a a
b a b b
B
B
à
à
i
i
2
2
.
.
Cho hệ phương trình hai ẩn x, y:
1
2
x y
mx y m
. Xác định m để hệ trên có một nghiệm?
Vô nghiệm? Vô số nghiệm?
Hướng dẫn:
Hệ có một nghiệm duy nhất khi:
1 1
1
1
m
m
Hệ vô nghiệm khi:
1 1 1 1
1 1
1 2 2
m m
m m
vaø m 0, m
Hệ có vô số nghiệm khi:
1 1 1 1
1
1 2 2
m
m m
vaø m 0 vaø m Điều này cùng lúc
không xảy ra.
B
B
à
à
i
i
3
3
.
.
Cho hệ phương trình hai ẩn x, y:
9 6
x my m
mx y m
. Xác định m để hệ vô nghiệm? Vô số
nghiệm?
Hướng dẫn:
Hệ vô nghiệm khi:
1
9 6
m m
m m
2
1
9 3
9
m
m m
m
;
2
1
6 0 3 2
6
m
m m m m
m m
vaø
2
3 0 0 3
9 6
m m
m m m m
m
vaø
Không có giá trị m nào để hệ phương trình vô nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm khi:
1
9 6
m m
m m
2
1
9 3
9
m
m m
m
;
2
1
6 0 3 2
6
m
m m m m
m m
hoaëc
2
3 0 0 3
9 6
m m
m m m m
m
hoaëc
Vậy m = 3 hoặc m = 0 hoặc m = 2 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
B
B
à
à
i
i
4
4
.
.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
1/
5 7
3 2 4
x y
x y
2/
2 5
3 10
x y
x y
3/
2 5 2
3 2 4
x y
x y
4/
3 4 5 0
2 5 12 0
x y
x y
5/
3(4 7 ) 4( ) 12
5(2 3 ) 3(4 ) 58
x y x y
x y x y
6/
2 3 5
(1 5) 5 3
x y
x y
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 23
7/
24
8
2
9 7 9
x y
x y
8/
3
2(2 1) 3( 2) 6
2
23
4( 3) 2 (5 )
2
x y x
x y x
9/
1 1 5
8
1 1 3
8
x y x y
x y x y
Hướng dẫn:
1/
5 7
3 2 4
x y
x y
(1)
(2)
.
Từ (1) x = 7 – 5y (3).
Thay (3) vào (2), ta được 3(7 – 5y) – 2y = 4 –17y = –17 y = 1.
Thay y = 1 vào (3), ta được x = 7 – 5 = 2.
Vậy nghiệm của hệ là (2; 1)
2/
2 5
3 10
x y
x y
(1)
(2)
.
Từ (2) y = 10 – 3x (3).
Thay (3) vào (1), ta được 2x – (10 – 3x) = 5 5x = 15 x = 3.
Thay x = 3 vào (3), ta được y = 10 – 9 = 1.
Vậy nghiệm của hệ là (x = 3; y = 1)
3/
2 5 2
3 2 4
x y
x y
(1)
(2)
.
Từ (1) x =
2 5
2
y
(3). Thay (3) vào (2), ta được 3
2 5
2
y
– 2y = 4 –6 – 15y –
4y = 8 –19y = 14 y = –
14
19
. Thay y = –
14
19
vào (3), ta được x =
16
19
.
Vậy nghiệm của hệ là (16/19; –14/19).
4/
3 4 5 0
2 5 12 0
x y
x y
3 4 5
2 5 12
x y
x y
(1)
(2)
Từ (1) x =
5 4
3
y
(3).
Thay (3) vào (2), ta được 2
5 4
3
y
– 5y = –12 10 – 8y – 15y = –36 y = 2.
Thay y = 2 vào (3), ta được x = –1. Vậy nghiệm của hệ là (–1; 2).
5/
3(4 7 ) 4( ) 12
5(2 3 ) 3(4 ) 58
x y x y
x y x y
8 17 12
2 18 58
x y
x y
(1)
(2)
Từ (1) x =
12 17
8
y
(3). Thay (3) vào (2), ta được –2
12 17
8
y
+ 18y = 58
24 – 34y + 144y = 464 110y = 440 y = 4. Thay y = 4 vào (3), ta được x =
12 68
7
8
. Vậy nghiệm của hệ là (7; 4).
6/
2 3 5
(1 5) 5 3
x y
x y
3 5 2
(1 5)(3 5 2 ) 5 3
x y
y y
1 5
1 5
x
y
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 24
7/
24
7 9 182
x y
x y
7 7 168
7 9 182
x y
x y
2 14
24
y
x y
7
7 24
y
x
17
7
x
y
8/
3
2(2 1) 3( 2) 6
2
23
4( 3) 2 (5 )
2
x y x
x y x
11
2 3
2
9
3 2
2
x y
x y
4 6 11
6 4 9
x y
x y
12 18 33
12 8 18
x y
x y
10 15
6 4 9
y
x y
0,5
1,5
x
y
9/
1 1 5
8
1 1 3
8
x y x y
x y x y
Đặt a =
1
x y
, b =
1
x y
hệ trở thành:
5
8 8 5
8
3 8 8 3
8
a b
a b
a b
a b
16 8
8 8 3
a
a b
1
2
1
8
a
b
2 2 10 5
8 8 3
x y x x
x y x y y
B
B
à
à
i
i
5
5
.
.
Giải các hệ phương trình:
1/
2 2
2 2
2 7
2 66
u v
u v
2/
2 3
6
x y
x y
3/
1 0
2 1
x y
x y
4/
2 2
2 2
( 2) 3 ( 2)
2 (2 3) 4( 3)
x y x
x y y
5/
(2 1)( 2) ( 3)2
( 3)( 1) ( 1)( 2)
x y x y
x y x y
6/
1 3 2 2
1 5 2 15
x y
x y
7/
2 3
2 3
( 3) 2 6
3( 3) 5 7
x y
x y
Hướng dẫn:
1/
2 2
2 2
2 7
2 66
u v
u v
2 2
2 2
4 2 14
2 66
u v
u v
2
2 2
5 80
2 66
u
u v
2
2
16
16 2 66
u
v
2
2
36
25
u
v
6
5
u
v
. Nghiệm hệ là các cặp số (6; 5), (–6; 5), (6; –5), (–6; –5)
2/
2 3
6
x y
x y
2 3
2 2 12
x y
x y
2 9
6
y y
x y
3
9
6
y
y
x y
(loaïi)
3
9
x
y
3/
1 0
2 1
x y
x y
1 1 2
2 1
x x
x y
2
3
0
2 1
x
x
x y
(loaïi)
0
1
x
y
4/
8 3 0
2 12 27
x y
x y
8 3 0
8 48 108
x y
x y
45 108
8 3 0
y
x y
9 12
;
10 5
x y
5/
4 7 2
3 4 1
x y
x y
12 21 6
12 16 4
x y
x y
2
3 8 1
y
x
3
2
x
y
T
T
r
r
ư
ư
ờ
ờ
n
n
g
g
T
T
H
H
P
P
T
T
T
T
â
â
n
n
B
B
ì
ì
n
n
h
h
–
–
B
B
ì
ì
n
n
h
h
D
D
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
.
Ô
Ô
n
n
t
t
h
h
i
i
t
t
u
u
y
y
ể
ể
n
n
s
s
i
i
n
n
h
h
l
l
ớ
ớ
p
p
1
1
0
0
-
-
M
M
ô
ô
n
n
T
T
o
o
á
á
n
n
.
.
G
G
v
v
:
:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 25
6/
1 3 2 2
1 5 2 15
x y
x y
Đặt a =
1
x
, b =
2
y
(a, b 0), hệ trở thành:
3 2
5 15
a b
a b
2 17
3 2
b
a b
17
2
55
2
b
a
55
1
2
17
2
2
x
y
3029
4
281
4
x
y
7/
2 3
2 3
( 3) 2 6
3( 3) 5 7
x y
x y
Đặt a =
2
( 3)
x
(a 0), b =
3
y
hệ trở thành:
2 6
3 5 7
a b
a b
3 6 18
3 5 7
a b
a b
11 11
3 5 7
b
a b
1
3 5 7
b
a
1
4
b
a
2
3
( 3) 4
1
x
y
1 5
1
x x
y
hoaëc
. Vậy nghiệm của hệ là (x = –1; y = –1) hoặc (x = –5; y = –1)
B
B
à
à
i
i
6
6
.
.
Cho 3 đường thẳng
1
d
: 2x – y = –1;
2
d
: x + y = –2;
3
d
: y = –2x – m. Xác định m để 3
đường thẳng
1
d
,
2
d
,
3
d
đồng quy.
Hướng dẫn:
Tọa độ giao điểm của
1
d
và
2
d
là nghiệm hệ phương trình
2 1
2
x y
x y
3 3
2
x
x y
1
1 2
x
y
1
1
x
y
Tọa độ giao điểm là M(–1; –1). Ba đường thẳng đồng quy khi
3
d
đi qua M(–1; –1) hay –2(–1) – m = –1 m = 3. Vậy m = 3 thì
1
d
,
2
d
,
3
d
đồng quy.
B
B
à
à
i
i
7
7
.
.
Hai công nhân cùng làm việc trong bốn ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm
một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì
xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu sẽ xong công việc.
Hướng dẫn:
Gọi x là thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất, y là thời gian làm một
mình xong công việc của người thứ hai. Điều kiện x, y > 0. Ta có phương trình
1 1 1
4
x y
Số công việc làm được trong 9 ngày của người thứ nhất là
9
x
, trong một ngày của người thứ
hai là
1
y
, ta có phương trình
9
x
+
1
y
+
1
x
= 1
10
x
+
1
y
= 1
Giải hệ:
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y
Đặt a =
1
x
, b =
1
y
hệ trở thành
1
4
10 1
a b
a b
4 4 1
10 1
a b
a b
4 4 1
40 4 4
a b
a b
36 3
4 4 1
a
a b
1/12
1/ 6
a
b
(x = 12; y = 6)
Vậy thời gian làm một mình xong công việc của người 1 là 12 ngày, người thứ 2 là 6 ngày.
