Bài toán về số phức

1

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tác giả HUỲNH VĂN MINH -
Điện thoại: 0915714180
Giáo viên trường PTTH-DTNT Huyện Sa Thầy – Tỉnh Kon Tum

1. Căn bậc hai của số phức.
+ Định nghĩa: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn w
2
=z được gọi
là một căn bậc hai của w (theo GIẢI TÍCH 12 nâng cao – nhà xuất bản giáo
dục).
+ Cách tìm z (tác giả đề xuất):
Đặt w=a+bi và z=x+yi (a, b, x, y thuộc R). Khi đó ta có (a+bi)
2
=x+yi.
Thực hiện biến đổi và ta có
2 2
x -y =a
2xy=b








.
Chú ý w
2
=z nên |w
2
|=|z|. Do đó ta có phương trình thứ ba bổ sung vào
hệ hai phương trình trên x
2
+y
2
=
2 2
a +b
.
Từ đó ta có hệ phương trình
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x = a +b +a
2
x +y = a +b
1
x -y = a y = a +b -a
2
2xy = b
1
x.y= b

2












 

 
 
 
 
 







Với hệ này ta dễ dàng tìm ra x và y.
+ Ví dụ vận dụng phương pháp trên để giải:
Tìm căn bậc II của số phức z=-15+8i.

Bài giải: Gọi w = x+yi là căn bậc II của z, khi đó ta có w
2
=z.
Tức là
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x = 15 +8 15 1
2
x +y = a +b
1
x -y = a y = 15 +8 15 16
2
2xy = b
1
x.y= b=4
2



 










 
  
 
 
 
 
 









2

Vì x.y=4>0 nên x và y cùng dấu. Do đó
x=1
y=4








hoặc
x=-1
y=-4







.
Vậy có hai căn bậc II của z=-15+8i là w
1
=1+4i và w
2
=-1-4i.
+ Tập hợp một số bài tập về tìm căn bậc II của số phức w (có đáp
số ĐẸP, bài giải dành cho đọc giả trải nghiệm)
Căn bậc II của W Căn bậc II của W

TT

W
Z
1
Z
2
TT

W
Z
1
Z
2
01 -5+12i 2+3i -2-3i 07 5-12i -3+2i 3-2i
02 -3-4i 1-2i -1+2i 08 -2i -1+i 1-i
03 8+6i 3+i -3-i 09 8-6i 3-i -3+i
04 -24-10i 1-5i -1+5i 10 -12-16i -2+4i 2-4i
05 3-4i 2-i -2+i 11 -15-8i -1+4i 1-4i
06 -8-6i 1-3i -1+3i 12 -5-12i -2+3i 2-3i
2. Phương trình bậc II.
-Ví dụ 1. Phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức.
Giải phương trình sau:
2
4 5 0
z z
  

Bài giải:
+ Ta có
2
4 4b ac    

+ Kết quả nghiệm z
1
=2+i; z
2
=2-i
-Ví dụ 2. Phương trình bậc hai hệ số phức.

Giải phương trình sau:
   
2
1 3 4 3 0
z i z i
    

Bài giải:
Tính
   
2
2
4 1 3 4 4 3 8 6 16 12 8 6b ac i i i i i            

Tính căn bậc II của :
Gọi w = x+yi là căn bậc II của , khi đó ta có w
2
=.


3

Tức là
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x = 8 +6 8 9

2
x +y = a +b
1
x -y = a y = 8 +6 8 1
2
2xy = b
1
x.y= b=3
2



 









 
  
 
 
 
 
 








Vì x.y=3>0 nên x và y cùng dấu. Do đó
x=3
y=1







hoặc
x=-3
y=-1







.
Vậy có hai căn bậc II của =8+6i là w
1
=3+i và w

2
=-3-i.
Kết quả nghiệm
1
2
1 3 3
2
2 2
1 3 3
1 2
2 2
b i i
z i
a
b i i
z i
a

      

    



      

   



-Ví dụ 3. Phương trình trùng phương.
Giải phương trình sau:
   
4 2
3 2 8 6 0
z i z i
    

Bài giải:
Đặt t=z
2
. Khi đó ta có phương trình t
2
+(3-2i)t+(8+6i)=0
Tính
   
2
2
4 3 2 4 8 6 5 12 32 24 27 36b ac i i i i i             

Tính căn bậc II của :
Gọi w = x+yi là căn bậc II của , khi đó ta có w
2
=.
Tức là
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2

1
x = 27 +36 27 9
2
x +y = a +b
1
x -y = a y = 27 +36 27 36
2
2xy = b
1
x.y= b=-18
2



 









 
  
 
 
 
 

 







Vì x.y=-18<0 nên x và y trái dấu. Do đó
x=3
y=-6







hoặc
x=-3
y=6







.
Vậy có hai căn bậc II của =-27-36i là w

1
=3-6i và w
2
=-3+6i.


4

Kết quả nghiệm
1
2
3 2 3 6
3 4
2 2
3 2 3 6
2
2 2
b i i
t i
a
b i i
t i
a

      

    




      

   



* Với t
1
=-3+4i tức là z
2
=-3+4i bằng phương pháp tìm căn bậc hai của số phức
ta có:
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x = 3 +4 3 1
2
x +y = a +b
1
x -y = a y = 3 +4 3 4
2
2xy = b
1
x.y= b=2
2




 









 
  
 
 
 
 
 







và suy ra z
1
=1+2i, z
2
=-1-2i

* Với t
2
=-2i tức là z
2
=-2i bằng phương pháp tìm căn bậc hai của số phức ta
có:
 
 
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
x = 0 +2 0 1
2
x +y = a +b
1
x -y = a y = 0 +2 0 1
2
2xy = b
1
x.y= b=-1
2



 










 
  
 
 
 
 
 







và suy ra z
3
=-1+i, z
4
=1-i
Vậy phương trình có bốn nghiệm z
1
=1+2i, z
2
=-1-2i, z
3

=-1+i, z
4
=1-i

+ Tập hợp một số bài tập về giải phương trình bậc II (có đáp số
ĐẸP, bài giải dành cho đọc giả trải nghiệm)
TT

Phương trình Nghiệm phương trình
01
2
13 0
z z
  

1 2
2 3 ; 2 3z i z i   

02
2
2 10 0
z z
  

1 2
1 3 ; 1 3z i z i   

03
2
2 17 0

z z
  

1 2
1 4 ; 1 4z i z i   

04
   
2
4 2 7 4 0
z i z i
    

1 2
2 3 ; 2
z i z i   

05
 
2
4 4 10 0
z i z i
   

1 2
1 3 ; 3z i z i   



5

06
   
2
4 9 7 0
z i z i
    

1 2
3 2 ; 1 3z i z i   

07
   
2
3 4 3 0
z i z i
    

1 2
1 2 ; 2
z i z i   

08
 
2
4 7 4 0
z z i
   

1 2

3 2 ; 1 2z i z i   

09
   
2
3 4 7 0
iz i z i
    

1 2
1 2 ; 3
z i z i   

10
   
2
2 4 4 2 0
iz i z i
    

1 2
3 ; 1z i z i   

11
     
2
1 2 7 2 5 0
i z i z i
     

1 2
1 2 ; 2
z i z i   

12
     
2
1 3 3 2 2 0
i z i z i
     

1 2
2 ; 1z i z i   

13
     
2
1 3 3 4 4 0
i z i z i
     

1 2
2 ; 1z i z i   

14
   
4 2
3 2 8 6 0
z i z i
    

1 2
3 4
1 ; 1
2 ; 2
z i z i
z i z i
    
    

15
   
4 2
3 2 8 6 0
z i z i
    

1 2
3 4
1 2 ; 1 2
1 ; 1
z i z i
z i z i
   
    

16
   
4 2
7 4 12 16 0

z i z i
    

1 2
3 4
2 ; 2
1 2 ; 1 2
z i z i
z i z i
  
   

17
 
4 2
9 2 18 0
z i z i
   

1 2
3 4
3 ; 3
1 ; 1
z i z i
z i z i
  
    

18
   

4 2
4 7 16 12 0
iz i z i
    

1 2
3 4
2 ; 2
1 2 ; 1 2
z i z i
z i z i
  
   

19
   
4 2
4 2 4 3 0
iz i z i
    

1 2
3 4
1 3 ; 1 3
;
z i z i
z i z i
    
  

20
   
4 2
7 10 20 10 0
iz i z i
    

1 2
3 4
2 ; 2
3 ; 3
z i z i
z i z i
    
   