Các bài toán về số nghiệm của một số phương trình-Ôn thi vào 10(phần 3)

SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH
Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ
bản của THCS. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng. Ta nhớ lại những điều
cần thiết :
* Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x
1
, x
2

là các nghiệm của phương trình.
* Các điều kiện quan trọng :
+) x
1
< 0 < x
2
tương đương P < 0
+) 0 = x
1
< x
2
tương đương P = 0 và S > 0
+) x
1
< x
2
= 0 tương đương P = 0 và S < 0
+) x
1
= x

2
= 0 tương đương P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0
+) 0 < x
1
< x
2
tương đương với Δ > 0 , P > 0 và S > 0
+) x
1
< x
2
< 0 tương đương Δ > 0 , P > 0 và S < 0
Sử dụng các kiến thức trên chúng ta có thể xét được số nghiệm của nhiều loại phương trình.
1. Phương trình trùng phương
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1)
Đặt ẩn phụ t = x
2
≠ 0 thì (1) sẽ trở thành
at
2
+ bt + c = 0 (2)
Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai nghiệm của (1).
Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1). Tất nhiên t < 0 sẽ không cho nghiệm của
(1).
Bài toán 1 : Biện luận số nghiệm của phương trình : x
4

- mx
2
+ 3m - 8 = 0 (3)
Lời giải : Đặt t = x
2
Δ 0 thì (3) trở thành : t
2
- mt + 3m - 8 = 0 (4)
Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của các biểu
thức :
Δ = m
2
- 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m
Ta lập bảng biện luận :
Bài toán 2 : Tìm m để phương trình x
4
- 2mx
2
+ m
2
- 3 = 0 (5) có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải : Đặt t = x
2
0 thì (5) trở thành : t
2
- 2mt + m
2
- 3 = 0 (6)
Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t
1

, t
2

thỏa mãn 0 = t
1
< t
2
tương đương P = 0 & S > 0 hay :
2.Phương trình a(x - α)
2
+ b|x - α| + c = 0 (7)
Đặt ẩn phụ t = |x - α| thì (7) cũng sẽ trở thành phương trình (2).
Ta thấy mối quan hệ giữa số nghiệm của (1), (7) với nghiệm của (2) rất giống nhau. Có thể tổng
kết lại nhờ bảng sau :
Bài toán 3 : Tìm m để phương trình x
2
- 2x - |x - 1| + m = 0 (8) có đúng hai nghiệm phân biệt.
Lời giải : Ta có (8) (x - 1)
2
- |x - 1| + m - 1 = 0
Đặt t = |x - 1| ≥ 0 thì (8) trở thành : t
2
- t + m - 1 = 0 (9)
Phương trình (8) có đúng hai nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (9) có nghiệm t
1
, t
2

thỏa mãn t
1

< 0 < t
2
hoặc t
1
= t
2
> 0
3. Phương trình:
Để không tầm thường ta giả sử k ≠ 0.
Đặt ẩn phụ :
thì (10) trở thành (2). Với mỗi giá trị t ≥ 0 cho ta một nghiệm duy nhất x = 1/k.(t
2
- n). Do đó số
nghiệm của phương trình (10) đúng bằng số nghiệm không âm của phương trình (2).
Bài toán 4 : Tìm m sao cho phương trình:
có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải : Đặt thì phương trình (11) trở thành t
2
- mt + 2m - 3 = 0 (12)
Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt tương đương Phương trình (12) có hai nghiệm phân
biệt t
1
, t
2
thỏa mãn t
2
> t
1
≥ 0
Tương đương với Δ > 0 , P ≥ 0 và S > 0

hay : m
2
- 8m + 12 > 0 , 2m - 3 ≥; 0 và m > 0
hay là : m > 6 hoặc m < 2 , m ≥ 3/2 và m > 0
Tươn đương : m > 6 hoặc 3/2 ≥ m < 2 .
Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các em có thể tự giải các bài tập sau đây :
Bài tập 1 : Tìm m để phương trình x
2
+ 2m|x - 2| - 4x + m
2
+ 3 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài tập 2 : Chứng minh rằng phương trình : mx
4
- 3(m - 2)x
2
+ m - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi
m.
Bài tập 3 : Biện luận số nghiệm của phương trình :