Fullname : Phạm Kim Chung Tel : 0984.333.030 Mail :
October 17, 2011
Page | 1 Trong th gii ny chỳng ta xút xa khụng ch vỡ hnh ng v li núi ca nhng k xu, m cũn vỡ s im lng ỏng s ca nhng ngi tt
BT NG THC V NHNG LI GII N TNG TRONG TễI
TôI có thói quen rất xấu, đó là th-ờng thức khuya và viết lách những thứ linh
tinh những thứ chẳng đâu vào đâu hết . Có thể đó là một vài bài toán, làm dăm
ba câu thơ hay viết ra những điều mình nghĩ để trảI lòng với đêm !
Với Toán tôI rất say s-a bởi trong Toán tôI tìm đ-ợc cáI tận cùng của tuyệt vọng và cả sự ngão
nghễ của thành công !
Với thơ là những tháng ngày rất đẹp ! Đẹp nh- thơ, chỉ tiếc khả năng của tôI cũng chỉ đến mức sắp
xếp các chữ để đúng vần
Với hiện tại, tôI không muốn nói về nó, bởi nếu nói về nó về cáI điều mình đ-ợc nghe, đ-ợc thấy, tôI
sợ mình mất đI cáI rạo rực đ-ợc cống hiến của sức trẻ đã và đang bùng cháy trong tôI !
Và cũng bởi vì tôI đang muốn nói với học trò tôI : Nỗ lực lên các bạn, đừng nản lòngcác bạn là
t-ơng lai của Tổ quốc, chỉ có các bạn mới đủ khả năng làm biến mất những thứ vẩn đục bây giờ !
Bi 1 . Cho cỏc s thc dng x,y,z tha món :
x y z xyz
. Chng minh rng :
2 2 2
1 1 1
1 x 1 y 1 z
3
2
Bỡnh lun - Li gii :
gii bn Th Huy-n
xyz
x y z xyz 1
x y z
.
2
2
x y z x y z
11
xyz
x x y x z
1x
x yz x x y z
x
x y z
t, bng thi :
x y z x y z x y z
3
2
x x y x z y y x y z z z y z x
yz y z zx z x xy x y yz y z zx z x xy x y
x y z
3
x y y z z x 2
xyz
x y y z z x
3
2
(*)
LVT(*) =
yz xy
zx
x y x z y z y
1 y z z x x y 3
2 x y x z y z y x z x z
z x z y
y
x
2
Dy ra
x y z 3
.
Bi 2 . Cho cỏc s thc dng tha món :
abc 1
. Tỡm giỏ tr ln nht ca :
5 2 5 2 5 2
b ab 6 c bc 6 a
1 1 1
P
accab 6
Bỡnh lun Li gii :
thi GV ging THPT Diu li gin
ng cm ng thc :
1 1 1
1
ab a 1 bc b 1 ca c 1
( Vi
abc 1
) . Chng minh :
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 2 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
1 1 1 1 a ab 1 a ab
1
ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a 1 a bc b 1 ab ca c 1 ab a 1 1 ab a a 1 ab
hungtoandc3
Ta s CM :
52
b ab 6 3 ab aa 1
bi :
2
3 ab a 1 1 1 1 a ab1 aa 1b
ng th
5 2 4 2 2 2 2 2 2
b ab 6 a a 3a b ab 6 4aa 1 1 1 b 3a ab 6 a ab 3a 3 3a 3b
3ab 6a 3a 3 3 ab a 1
.
Mt li gii ni gii ca : Nguyenhuyen_AG bng vic s dc :
Bổ đề : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : xyz=1. Ta có bất đẳng thức :
1 1 1
2 x 2 y 2 z
1
.
Chng minh b u li gin
nht :
x,y,z
1 2 x 2 y 2 x 2 y
11
2 z 3 x
1
2x
yy
y 2 z
z
2
zx
.
Tr l-Schwarz :
2
52
P
b ab 6
1
3
a
, l :
3
5 2 6 3 2
b ab 6 3 a .b 6 3 a ba 2
, hay :
2
2
11
3 a 2
P
b
t :
2 2 2
b; y b c; z c a xx yza 1
Vi suy lu gii quyt trong t :
( T Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1. CMR :
5 2 5 2 5 2
1
3ab 6 3
1 1 1
a a b bc 6 3cac 6bc
u bi ta ch cn CM :
2
5 2 3 2 3 2
a 2a 3aa 3 3a a 3 2a 3a 31 a 0 Do: a , a 0
.
Bài 3 . (VMO-2002) . Cho a,b,c là ba số thực tùy ý . Chứng minh rằng :
3
2 2 2 2 2 2
2
b c 27abc 10 a b6a ca b c
. Hỏi dấu “=” xảy ra khi nào ?
Bình luận – Lời giải :
n 1 k thut rt hay trong ch thut chu
Mt hing b 2
v cc 3 .
Nu :
2 2 2
ba c0
, bng th
Nu :
2 2 2
ba c0
, chu
2 2 2
ba c9
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn :
2 2 2
ba c9
. CMR :
12 a c 0b abc
.
Chng minh :
22
2 2 2
2
a b 4 2 ab 9 2ab 8 4ab2 a b c a abbc 2 a b c 2 ab c
=
32
t 20t2 72t ft
( Vi t=ab ).
s :
|b|| |a |c|
2 2 2 2 2
b 3c9cca 3
. L
2 2 2
2|ab| a 9 6cb |t| 3
3;3
Maxf t Max f( 2);f(3) f( 2) 100
. Hay :
2
P 100
.
Dy ra
a,b,c 1;2;2
c
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 3 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
Note : Để ý rằng nếu cho
a,b,c 0
, kết quả của bài toán hoàn toàn khác ?
Bài toán 3.1 . Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn :
2 2 2
ba c9
. Tìm Max :
F 2 a b abcc
.
Math.VN t nhiu li gi
Với tư tưởng chuẩn hóa, ta hãy xét một bài toán nữa trong kz thi VMO :
thu kin :
3
x y z 32xyz
.
nh nh ln nht ca biu thc :
4 4 4
4
yzx
P
x y z
.
Bình luận – Lời giải :
Chu :
x y z 4
: Cho
x,y,z 0 :xyz 2
. a :
4 4 4
1
P yx
2
z
56
.
( Thc ch cm t t :
x y z
a; b; c
x y z x y z x y z
. )
t
t xy yz zx
:
2
1
P t 32t 144
128
.
ng hp y ra
:
F X X x X y X z 0
t 2 nghim
12
F X .F X 0
12
X ;X
m cc
tr c F(X).
L :
3 2 3 2
X x X y X z 0 X X x y z X xy yz zx xyz 0 X 4X X.t 2 0
:
12
F X .F X 0
:
9 10125
5t
18
.
n : Đáp án của bài này nhìn cũng khủng, vì nghiệm số quá lẻ !
thi HSG Tnh Ngh An (2010- !
nh Ngh thng thi bng 0 th
2
2 2 2
a b c 2 a b c
a biu thc :
3 3 3
a b c
P
a b c ab bc ca
.
n : u li gi qua link này tham kho !
c gii quyp vi kiu thi
!
Lời giải : :
3 3 3 2 2 2
b c b c ab bca a b c a 3abc a b c abc ba c ca 3abc
:
2
3
3c x c
3abc
P 1 1
a b c ab bc ca
xc
, vi x = a+b
+) V
+) Vi
c 0
, t gi thit :
22
2
x1
x c 4ab a b x
c2
. t
x
t, t
c
1
2
.
Kh :
2
3
3 t 1
f t 1
t1
, cho ta :
11
MinP 1; MaxP
9
.
- thng minh r :
2 2 2
yzxyz 2 x 8 x y5 z
Bình luận – Lời giải :
Mt b rc s da VMO- : Trong 3 s thc bt k n ti 2 s
hoc
:
xy 0
.
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 4 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
B-A1. dng b vit 1 SKKN bc 4 ca S An.
i li giu c
Trong 3 s thn ti 2 s
1
hoc
1
. Gi s 2 s
0 xy 1 xx y xyz z x1 y 1 z zy
. Do vy :
2 2 2 2 2 2
y z 5 xz zy 2xyz 2 x y z 5 xxx zz y 6 88y
2
2
2zxy x y 5 z 6z 8
2
2
2
22
5z
5 z z z 1 7
x y x y 5 z 7 x y z 1
2 4 4
0
2 4 2
. ĐPCM
Du = x khi : x=y=z=1.
qu ca VMO th :
abc 1
. Chng minh rng :
2 2 2
1 1 1
3 a b c
a b c
2
Bình luận – Lời giải :
:
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 1
P a b c 3 2 a b c 3
a b c a b c
2
ab
2
2
11
2c ab 2 a b c 3
ab
2
2
11
2 a 1 b 1 ab 1
ab
.
Trong 3 s tht k th n ti 2 s
1
hoc
1
, gi s :
a 1 b 1 0
:
P 0
2008 ) . Chng minh rng vi ba s th :
2 2 2
1 1 1
a b b c c
4
ab b
a
c ca
Bình luận – Lời giải :
i gii vng dn bii y r
MathScop.Org
2
2
2 2 2 2 2 2 2
ab
1 1 1 1
b c c a
a b a b
1 1 1 2 2
VT
b c c a b c a c
a b b c c a abc c
2
2 2 4 4
b c a c b c a c ab ca cbc ab bc ca
.
Do :
22
ab bc ca c 0 c c 2a 2ab c ca cb 2ca 2 b0cb
. (*)
Ch cn gi s
c min a,b,c
i gi :
s :
a b c 0
t :
a c x y; b c x x,y 0
22
2
22
1 1 1
3c 2c 2x y x xy
yx
xy
4
(*)
VT(*)
2
2
2
2 2 2 2 2
x x y x x y x x y
1 1 1 y x x y y y
xy 1 1 2
y x y x x y y x x y y
x4
x(x y)
xy
.
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 5 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
- thc x,y thu kin :
yy3 x 1 2x 3
.
ln nh nht ca biu thc :
P x y
Bình luận – Lời giải :
a li gi ng ch m.
nh tham s h
x 1 3 y 2 yx3
x
1, y 2
ym
x
m .
t
x 1 a, y 2 b a, 0b
. H tr
2
22
22
2 2 2 2
1m
ab m 3
29
a 3a 3b b
a b 3 a b 3 0
m
a 1 b 2 m a 3 m a b
3
a,b a,b
12
b
00
0a,b
m c
22
18t 6mt m 9m 27 0
22
18t 6mt m 9m 27 0
2
nghim
21
5
93
9
2
t 3 1
.
(Ngh An MO TST 2009.2010 thc :
abc 1
.
nh nht ca biu thc :
3 3 3 3 3 3
b b cPa c6aa bc
Lời giải : u thi x s (-u pp gii
gp tht bi . ng dn bi tn bin cho quen ).
Ta s chng minh :
PP a,b,c a c, bc, b
. Tht vy :
3
3 3 3 3 3
P a,b,c a, a a 6 b cP bc, bc b c 2 bc1ca2b
2
3 3 2
3
bca6bc
2 2 2 2
3 3 2
b c bc c b c .bc 6a b 6 9a 9c a0b6
( Vi gi s
a Max a,b,c a 1
) . L
3
1 1 1 12
bc, bc , a 6a
a
P a, P a,
aa
2a
a
.
t
a t, 1t
2
7 6 5 4 3 2
9 8 5 6
32
6 6 6
t 1 2t 2t 6t 5t 4t 3t 2t 1
1 12 2t 6t 12t 15t 1
f t 2t 6t 15 15
t t t t
th
abc 1
.
Ch :
a b b c c a a b c 14
Lời giải : ( Gii bng dn bin )
t :
P a,b,c a b b c c a 4 a b c 1 ab a b bc c b ca c a 4 a b c 6
.
Ta s CM :
PP a,b,c a c, bc, b
, tht vy :
P a,b,c P a, ab a b bc b c ca c a 4 b cbc, bc bc a bc bc 2 bc2a 8 bc
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 6 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
2 2 2
bc b c 2 4 b c 2 abc bc bcb 2 bc a b 2 c b
2
2
2
bc a 4bc a b c
2 2 2
22
b c b c bbc a a 4 cabc 4a a b c 2
a b a c 2b c a 4
Gi s :
a Max a,b,c a 1
:
2
4 a ba b a 4c c a 4
.
Vy :
28
P bc , bc a 8 4a
a a a a a
11
P a,b,c a, P a, , 2a
32
3
28
2t 4t 8 f t
tt
, Vi
a t 1
).
:
3
32
4
2t
f' t 3t 3
1
4t
t
, l :
32
g t 3t 4t 3
:
2
g' t 9t 8t t 9t 0, t 1 g t g 1 2 08
:
f' t 0, t1
. Hay :
f t 0f 1
c CM.
thc x, y,z thu kin :
2 2 2
x y z 3
nh nht ca biu thc :
1
P xy yz zx
2
Bình luận : Sau đây là lời giải ấn tượng của một thành viên trên diễn đàn math.vn
Lời giải : :
0 k2
:
2
2 2 2 2
0 x z kx ky z y 2x z 2k xy zy
2 2 2 2
1
x 2k xy yzz zk xzy x 2 k
2
22
2 2 2 2
x
2kP 2 k
2
z
x z k y
2 2 2 2
4k
2zyx k kP
2
.
Chn k sao cho :
2
4 k 1 33
kk
24
. Vy
P
3 1 33
8
Du
""
x khi :
2 2 2
x
x ky z 0
1 33
x z; k
yz
4
3
12 thc x, y,z thu kin :
2 2 2
x y z 3
ln nht ca biu thc :
P xy yz 2zx
Bình luận : onluyentoan.vn vu li gi
i gii dt hay ca
Lời giải :
1
k
2
( Thu kit hin
2 1 2k xz
li gi
:
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 x xy yz 2 zx xxk xy yz 2zxy z z k 2y 2k y k y 2 1 2k zxk
22
2 2 2 2 2 2 2 2
x
2
z
yk.P x 1 2k 2 1 k x z k 2k.P
2
k y 2 y
.
Ta s chn
k0
, th :
2
k12 k k 1 3
. Suy ra :
P
3 1 3
2
th
nh nht ca biu thc :
2
22
xy 6
P 8x 13y
xy
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 7 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
Bình luận : c mc tr nhiu bin s
s ng ca bi s d
i loi quyn na !
Lời giải :
t :
xy 6
z xy xz yz 6
xy
a :
2 2 2
P 8x 13y z
cn ng nht h s !
2 2 2 2 2 2
z 1 z 1x y 2 xy ; 8 x 2 8 xz; 13 y 2 13 yz
Ta c
2 2 2 2 2 2
; 8 x z ; 13
8
13 1
, , sao
1
o
yz
ch
xy
14. ( MO TST 2011-2012 th
nh nht ca biu thc :
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P a b c
a b b c c a
Bình luận : i ) . xem qua ti !
Lời giải : i ging VMO 2008 )
Cách 1 : Gi s :
c Min a,b,c
:
2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a 2 ab bc ca 2 a b 2 b c a c 2 ab bc ca
Aa
2
bc
2
.
:
ab bc ca b c a 2a 0c c 2b c
:
2
A 2 b cab ac
(1)
L :
2
2 2 2 2 2 2
ab
1 1 1 1 2
B
a c b c
a b b c a c a b b c a c
(2)
t :
2
a b u; b c a c v
. T (1) (2) suy ra :
2
22
u u 2v 2 u 2v
1 u 2 u 2v v u
u 2v 5 2
u v v u v v
4
u
u
v
P
v
.
t
u
t, t 0
v
:
2
2
f t t 4t 5
t
:
2
22
2 t 1
2 1 5
f' t 2t 4 t f' t 0 t
tt
t1
2
Lp bng bi :
5 1 11 5 5
f
22
ft
.
Vy
2
c0
11 5 5
MinP a b ab
22
a, 0
5
b
1
( Ho )
Cách 2 : Gi s
c Min a,b,c
. Suy ra :
b; a c abc
2
2 2 2 2 2 2
22
22
2 2 2 2
1 1 1 a b a b a b a b
ab
a b a b b a
a
ab
ba
P
ab
2
b
bb
a
a
t :
ab
t, t 2
ba
.
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 8 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
:
2
2
t 2 3
f t t , f' t 2t
5
0t
t 2 2
t2
.
Lp bng bi
3 5 11 5 5
f
22
ft
5. ( To ra t th
nh nht ca biu thc :
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P a b b c c a
a b b c c a
Lời giải 1 : Gi s
c Min a,b,c
2 2 2 2 2 2
A a b b c c a a b a c b c 4 ab bc ca
2
2 a b 2 a c b c 4 ab bc ca
. Ta s chng minh :
ab bc ca a c b c
(1) . Tht vy :
2
1 2bc 2ca 0 c 2a 2b c 0c
- Do
c Min a,b,c
)
2
A a b c b2 6 a c
(2)
L
2
2 2 2 2 2 2
ab
1 1 1 1 2
B
b c a c
a b b c c a a b b c a c
(3)
t :
2
a b b c au; cv
. Kt hp vi (2) (3)
22
u 2u 6v
1 u 2 2u 6v 4u 12v
2u 6v
u v v u v v
P
2
u u v
2 5 3 7
v v u
.
t
u
t, t 0
v
:
2
5t
3
f t t 7
t
:
2
2
3t 3t 1 2t
f' t 0 0 t
t
3
4
33
ng bi :
T bng bi :
0;
59 11 33 33 3
Minf t t
84
Vy
2
c0
59 11 3
MinP
33 3
4
a b ab
4
)
Lời giải 2 : Gi s
c Min a,b,c
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 9 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “
:
b; a c a; b c b - ab ; a cc
:
2
22
2
22
P a b
1 1 1
ab
ba
ab
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
ab b aba a aba
2
ab
bb
2ab b a
2
ab
1
a b a b
ba
2
ab
b a b a
2
ba
t
ab
t, t 2
ba
.
:
2
t1
f t t
t
t
2
:
2
3
f' t 0 2t 1 0
t2
5 33
t
4
ng bi :
T bng bi :
2;
59 11 33 33 5
Minf t t
84
Vy
c0
59 11 3
MinP
a b 33 5
4
b a 4
)
16. ( thi th Boxmath.vn a,b,c
0;2
, thu kin :
a b c 3
ln nhnh nht ca biu thc :
2 2 2
2b 3c 2Pa a 24c 2060
Bình luận : Vi lon b chn gii quyng bin.
Lời giải : T
a b c 3 a 3 b c
. Suy ra :
2
22
3c 2P 3 b c 2b 3 b c 24c 2060
22
3b c 4 42 cb 28c 2063
.
bb
2c
P' 6b 2c 4, P b0'
3
. Do
2c
0
2
c 2 0
33
ng bin
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 10 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt
“
ng biy :
2
0;2
2
24c 20MaxP Max P 0 ; P 2 P 2 Do P 2 P 0 4c 4c67 28 4cc 063 42 0
L
2
24c 2067. f ' c 8c 24P 2 f 0, cc 4c 0;2
f c 0f 2067
. Hay
MaxP 2067 a 1;b 2;c 0
.
b
0
2
;2
2 c 13 86
MinP P c c 2063
3 3 3
2
13 86
g c c c 2063, c 0;2
33
26 86
g' c c 0 g c 2g 2023
33
.
Hay
MinP 2023 c 2;b 0;a 1
.
17. ( Khi A - 2011 ) . Cho thc thun
1;4
x y;x z
nht ca biu thc :
x y z
P
2x 3y y z z x
Bình luận : n b chnh khng bi
a B GD mi bi tht bit la tr con .
Lời giải 1 :
+) Nu
xy
1 x z 6
Pz
5 x z x z 5
.
+) Nu
xy
2 2 2 2
x z z
y y x
P' z
y z z x y z x z
22
P' z 0 x z y x y z z xy x
Lp bng biy :
2
2y
x 1 2 x
P z xy , t , t 1;2
2x 3y 2t 3 1 t y
yx
P
Kh bi
3
f
4
f t 2 .
33
Dx khi : x=4; y=1; z=2.
Lời giải 2 : <Đáp án Bộ GD&ĐT - B bi gin bi >
Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail :
October 17, 2011
Page | 11 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt
“
18 . Cho thc thun
1;3
x y 2z 6
ln nht v nh nht ca biu thc :
3 3 3
yP 5zx
Lời giải 1 : Ta th ging dn bin :
Ta s chng minh :
x y x y
P x,y,z ; ;z
2z
P
, tht vy :
x y x y
P x,y,z ; ;z
2z
P
3
3
3 3 3 3 3 3
xy
xy
x 2 5y 5z yzx
24
3 2 3 2
3x y 3y
4
xy3x 3
2
3 x y x
4
0
y