Giáo án "Bất Đẳng Thức Và Chứng Minh"

Giáo án Đại số lớp 10 (nâng cao)
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC (2t)
Họ và tên Tạ Hoàng Thiện
Lớp DTO 1081
MSV 3108010032
1. Mục tiêu: “ học sinh cần nắm vững những vấn đề sau”
a) Về kiến thức:
+ Nắm được khái niệm và định nghĩa về Bất Đẳng Thức (BĐT).
+ Nắm được các tính chất cơ bản của BĐT và BĐT giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (BĐT Cauchy). (Có thể giới thiệu đôi nét về BĐT Bunhiakopxki cho học sinh).
b) Về kĩ năng:
+ Chứng minh các BĐT bằng định nghĩa.
+ Vận dụng các tính chất của BĐT và BĐT Cauchy để chứng minh một BĐT.
+ Nắm được định nghĩa về giá trị tuyệt đối và từ đó hiểu được BĐT trị tuyệt đối.
+ Biết thêm bớt các số cần thiết để chứng minh bài toán.
2. Đồ dùng dạy học:
a) Giáo viên:
+ Hai bảng phụ (có thể thay thế bằng bìa cứng).
+ Chuẩn bị phấn màu và phấn trắng.
+ Chuẩn bị một số bài tập theo chủ đề để đưa ra câu hỏi cho học sinh.
b) Học sinh:
+ Ôn tập các kiến thức đã được học ở lớp dưới.
+ Ôn lại các hằng đẳng thức quen thuộc.
+ Đọc bài trước ở nhà.
3. Phương pháp dạy học:
+ Phương pháp gợi mở - vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy logic
đan xen làm việc nhóm.
4. Tiến trình tiết dạy:
a) Ổn định lớp học.
b) Kiểm tra bài cũ để dẫn vào bài mới.

c) Bài học mới.
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học
sinh
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1:
+ Giáo viên đặt câu hỏi để
dẫn vào bài.
+ Nêu và giải thích định
nghĩa của BĐT.
+ Nhấn mạnh chú ý trong
định nghĩa của BĐT.
+ Học sinh trả lời:
5 1 7 2 5+ > -
+ Nắm rõ định nghĩa
và các tính chất của
BĐT.
Không dùng máy tính hãy so sánh
hai số sau:
5 1+
và
7 2 5-
1. Định nghĩa về BĐT: ( học sinh
ghi từ SGK)
Tạ Hoàng Thiện
1
Giáo án Đại số lớp 10 (nâng cao)
+ Hướng dẫn cho học sinh
nắm được các tính chất cơ
bản của BĐT và cách vận

dụng.
+ Học sinh ghi chép
bài đầy đủ vào tập.
2. Các tính chất của BĐT:
a b, b c a c> > >Þ
a b a c b c> + > +Û
Nếu
c 0>
thì
a b ac bc> >Û
.
Nếu
c 0<
thì
a b ac bc> <Û
.
3. Hệ quả: ( từ tính chất suy ra)
a b, c d a c b d> > + > +Þ
a c b a b c+ > > -Û
a b 0, c d 0 ac bd> > >³ ³Þ
n n *
a b 0 a b , n> > "³Þ Î ¥
*
2k 2k
a b 0 a b , k> > "³Û Î ¥
2k 1 2k 1
*
a b a b , k
+ +
> > "Û Î ¥

4. Ví dụ: Chứng minh rằng
2
x 3 2x+ >
CM: ta có
2 2
x 2x 3 (x 1) 2 2 0- + = - + >³
2
x 3 2x+ >Û
.
5. BĐT về giá trị tuyệt đối:
a a a , a- "££ Î ¡
x a a 0 a x a< > - < <Û Ù
a 0, x a x a x a> > < - >Û Ú
Chú ý:
x a, x"³ Î ¡
nếu và chỉ nếu
a 0£
BĐT quan trọng:
x y x y x y x, y- + + "£ £ Î ¡
6. BĐT Cauchy:
a)
a, b 0" ³
ta có:
a b
ab
2
+
³
Dấu
" "=

xảy ra khi và chỉ khi
a b=
b)
a, b,c 0" ³
ta có:
3
a b c
abc
3
+ +
³
Dấu
" "=
xảy ra khi và chỉ khi
a b c= =
Hoạt động 2:
+ Chia lớp học thành 4 nhóm.
+ Giao nhiệm vụ cho từng
nhóm ( bằng phép biến đổi
tương đương hay dùng định
nghĩa) để chứng minh các
Tạ Hoàng Thiện
2
Giáo án Đại số lớp 10 (nâng cao)
BĐT sau:( mỗi nhóm 1 câu)
Bài 1:
a)
2
1
a a

4
+ ≥

b)
2 2
a + ab + b 0≥
c)
1
a + 2 (a > 0)
a
≥
d)
2 2 2
(a + b) 2(a + b )≤
e)
2 2 2
a + b + c ab + bc + ca≥
+ Giáo viên có thể giải mẫu
một bài và giải thích từng
bước tư duy logic của bài
toán.
+ Sau khi đại diện nhóm lên
trình bày lời giải, giáo viên
nêu nhận xét về bài giải và
sữa lỗi sai cho học sinh.
+ Qua đó, nhắc lại định nghĩa
BĐT và phép biến đổi tương
đương, nhấn mạnh rằng một
BĐT dẫn đến một hằng đẳng
thức hay một BĐT luôn đúng.

Ta thường gặp
2
(a + b) 0 a,b"³
hay
2 2
A + B 0³
.
+ Phần bài giải chính xác các
bài tập này giáo viên có thể
cho học sinh xem sau tiết học.
+ Các nhóm được
phân chia và nhận bài
làm cho nhóm.
+ Đại diện nhóm lên
trình bày lời giải ở
phần bảng đã được
phân công. Đồng thời
chỉ ra cách của mình
bằng phép biến đổi
tương đương hay
dùng định nghĩa.
+ Học sinh ghi nhận
và rút kinh nghiệm
khi giải bài tập.
7. Ví dụ: bài 1.a)
( phép biến đổi tương đương)
Ta có
2
1
a 0

2
æ ö
÷
ç
- ³
÷
ç
÷
ç
è ø
2
1
a a 0
4
- +Û ³
2
1
a a
4
+Û ³
.
Hoạt động 3:
+ Giáo viên nêu định lý về
BĐT Cauchy, hệ quả và mở
rộng của định lý (kèm thêm
giải thích).
+ Giao nhiệm vụ cho từng
nhóm ( áp dụng BĐT Cauchy
và các tính chất của BĐT) để
chứng minh các BĐT sau:

(N1: b,f; N2: c,g; N3: d,h;
N4: e,i)
Bài 2: Cho các số dương a, b,
c. Hãy chỉ ra khi nào đẳng
8. Ví dụ: bài 2.a)
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai cặp
số dương
a, b
và
1,ab
ta có:
a b 2 ab+ ³
và
1 ab 2 1.ab 2 ab+ =³
Vì
a b 0+ >
và
1 ab 0+ >
nên khi ta
nhân vế theo vế hai BĐT trên ta
được đpcm.
Tạ Hoàng Thiện
3
Giáo án Đại số lớp 10 (nâng cao)
thức xảy ra.
a)
(a + b)(1+ ab) 4ab≥

b)
1 1

(a b) 4
a b
 
+ + ≥
 ÷
 
c)
(a b)(b c)(c a) 8abc+ + + ≥
d)
(2a 1)(3 2b)(ab 3) 48ab+ + + ≥
e)
1 1 1
(a b c) 9
a b c
 
+ + + + ≥
 ÷
 
f)
2 2 2
a b c a 3abc+ + ≥

g)
7
4 11
4 a 7 b 11 ab+ ≥
h)
6
2 3
2a 3b c 6 a b c+ + ≥

i)
8
5 3
5a 3b 8 a b+ ≥
+ Giáo viên có thể giải mẫu
một bài và giải thích từng
bước tư duy logic của bài
toán.
+ Giáo viên nhận xét về phần
trình bày của các nhóm và
sửa lỗi sai cho học sinh.
+ Giáo viên cần nhấn mạnh
điểm nhận dạng BĐT Cauchy
khi thấy điều kiện các số
dương (hay các số không âm).
+ Giáo viên nêu ra các lỗi mà
các em học sinh thường mắc
phải ( trong cả hai hoạt động
2 và 3) và hướng dẫn cách
tránh những sai xót đó.
+ Các nhóm được
phân chia và nhận bài
làm cho nhóm.
+ Học sinh bám sát
giáo khoa và nhận
thức được logic của
BĐT Cauchy.
+ Đại diện nhóm lên
trình bày lời giải ở

phần bảng đã được
phân công.
+ Học sinh ghi nhận
và rút kinh nghiệm
khi giải bài tập.
Hoạt động 4:
+ Giao nhiệm vụ cho từng
nhóm ( áp dụng BĐT Cauchy
và các tính chất của BĐT) để
tìm GTLN – GTNN của các
hàm số sau: ( mỗi nhóm làm
mỗi phần 1 câu theo thứ tự)
( giáo viên có thể không giải
mẫu trong bài này).
Bài 3:
(i) Tìm GTLN:
a)
y (x 3)(7 x)= − −

3 x 7≤ ≤
9. Sửa một vài bài làm sai của các
nhóm. ( Nếu còn thời gian thì cho
một ví dụ về BĐT trị tuyệt đối).
Tạ Hoàng Thiện
4
Giáo án Đại số lớp 10 (nâng cao)
b)
x
y 3 (16 2x)
2

 
= − −
 ÷
 

6 x 8≤ ≤
c)
y (3x 1)(6 x)= + −

1 3x 18
− ≤ ≤
d)
2
y x 3x 4, 1 x 2= − + + ≤ ≤
(ii) Tìm GTNN:
a)
4
y x 3 , x 3
x 3
= − + >
−
b)
2
y 8x, x 1
x 1
= + >
−
c)
x 2
y , x 4

x 4
−
= >
−
d)
1
y 4(x 1) , x 0
x
= − + >
+ Giáo viên cho nhận xét về
bài giải của các nhóm và sửa
lỗi sai cho học sinh.
+ Đồng thời nhấn mạnh kỹ
năng thêm bớt cho học sinh
và hướng dẫn cho học sinh
hiểu được ứng dụng của BĐT
Cauchy.
+ Đưa ra kết luận: BĐT
Cauchy thường dùng cho việc
tìm GTLN – GTNN của hàm
số.
+ Các nhóm được
phân chia và nhận bài
làm cho nhóm.
+ Học sinh làm tương
tự như bài 2.
+ Đại diện nhóm lên
trình bày lời giải ở
phần bảng đã được
phân công.

+ Cần nắm lại kỹ
năng thêm bớt khi
giải toán.
5. Củng cố:
+ Giáo viên nhắc lại các kiến thức của bài mới một cách hệ thống.
+ Gọi hai học sinh trả lời về điều kiện để áp dụng BĐT Cauchy.
6. Dặn dò và Bài tập về nhà:
+ Làm các bài tập thầy (cô) giao cho lớp trưởng photo.
+ Xem kĩ lại các bài tập đã giải ở lớp.
+ Xem trước bài “ Đại cương về Bất phương trình”.
Tạ Hoàng Thiện
5