Bất đẳng thức trong các kỳ thi đại học

Ks Nguyễn Duy Hồng
VỂ ĐẸP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2004)
Cho a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Giải:
Tương tự (1) ta có:
Mặt khác theo Cô – si ta có:
Mặt khác ta có:
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Dấu đẳng thức đạt khi:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
1
Ks Nguyễn Duy Hồng
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của (1), (2) và (3) lại ta được:
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009)
Cho các số thực không âm x, y và z thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Giải:
Theo đề bài ta có:
Theo Cô – si ta có:
Mặt khác:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
2
Ks Nguyễn Duy Hồng
Tương tự ta có: (4)
Cộng các vế các bất đẳng thức (2), (3) và (4) lại ta được:
Kết hợp (1) ta được:

Dấu đẳng thức đạt tại x = y = z
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012)
Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
Nhận thấy x, y, z có vai trò bình đẳng nên P đạt GTNN khi x = y = z = 0
Khi đó x – y = 0, y – z = 0 và z – x = 0 do đó ta đánh giá theo điều kiện xảy ra dấu đẳng
thức như sau:
Mặt khác ta có:
Ta có:
Từ (2) và cộng (3), (4) và (5) lại ta được
Từ (6) và (7) ta có:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
3
Ks Nguyễn Duy Hồng
Từ (1) và (8) ta có:
Dấu bằng đạt được khi: x = y = z = 0
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Đặt:
Bất đẳng thức trở thành:
Áp dụng Cô-si ta có:
Cộng các vế các bất đẳng thức lại ta được:
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
4
Ks Nguyễn Duy Hồng
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Áp dụng Cô – si ta có:
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:

Giải:
Áp dụng Cô – si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Mặt khác ta có:
Từ (4) và (5) ta có:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
5
Ks Nguyễn Duy Hồng
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Áp dụng Cô-Si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Cuối cùng ta đi chứng minh:
Thật vậy ta có:
Áp dụng Cô – si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của (6), (7)và (8) lại ta được:
Dấu “=” đạt tại: a = b = c > 0
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
6
Ks Nguyễn Duy Hồng
Chú ý: Với mọi số dương a, b, c ta có (Bạn đọc tự chứng minh)
Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
Giải:
Ta có:
Cộng các bất đăng thức (1), (2) và (3) lại ta có:
Áp dụng Cô – si ta có:
Từ (4) và (5) ta được:

Dấu bằng đạt khi a = b = c = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN của biểu thức
Giải:
Từ bất đẳng thức quen biết sau:
Xét hàm số:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
7
Ks Nguyễn Duy Hồng
Bài 11: Cho a, b, c dương chứng minh rằng
Giải:
Mặt khác áp dụng Cô – si ta có:
Theo Cô – si ta có:
Vậy ta có:
Dấu bằng đạt khi a = b = c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Chú ý: Với mọi a, b, c dương ta có: (Bạn đọc tự chứng minh)
Bài 12: Cho a, b là các số dương, tìm GTNN của biểu thức:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
8
Ks Nguyễn Duy Hồng
Giải:
Ta có:
Áp dụng Cô – si ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Bài 13: Cho a, b, c dương chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Mặt khác ta lại có:
Từ (4) và (5) ta có:

Vẻ đẹp của bất đẳng thức
9
Ks Nguyễn Duy Hồng
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Bài 14: Cho a, b, c dương chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng Cô – si ta có:
Tương tự (1), (2) và (3) ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Dấu đẳng thức đạt được tại a = b = c = 1
Bài 15*: Cho các số thưc không âm đôi một khác không
Tìm GTNN của biểu thức
Giải:
Ta có:
Theo Cô – si ta có:
Theo Cô – si ta lại có:
Vẻ đẹp của bất đẳng thức
10
Ks Nguyễn Duy Hồng
Vậy
Dấu đẳng thức đạt khi

Thân tặng các bạn học sinh khá giỏi
Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao
Ks Nguyễn Duy Hồng


Vẻ đẹp của bất đẳng thức
11