bài giảng toán tài chính

1


Bài Giảng Môn Học :

Toán Tài Chính
Bộ Môn Tài Chính Ngân Hàng



Giảng Viên : Huỳnh Thị Xuân Mai
Lê Thị Thùy Dương
Nguyễn Văn Bảy







2

CHƯƠNG I
LÃI ĐƠN (SIMPLE INTEREST)

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

I. TỔNG QUAN
1.1. Lợi tức
Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người cho vay
và người đi vay. Ở giác độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm

trên số vốn đầu tư ban đầu trong một giai đoạn thời gian nhất định. Khi nhà đầu tư đem
đầu tư một khoản vốn, nhà đầu tư sẽ thu được một giá trị trong tương lai lớn hơn giá trị đã bỏ
ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức.
Ở giác độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay
phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời
gian nhất định. Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những rủi ro như:
người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay. Những rủi ro này sẽ ảnh hưởng đến
mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai.
1.2. Lợi tức đơn
Lợi tức đơn được định nghĩa là một lợi tức chỉ tính trên số vốn vay hoặc vốn gốc ban
đầu trong suốt thời gian vay. Trong khái niệm này, chỉ có vốn phát sinh lợi tức.
1.3. Tỷ suất lợi tức – Lãi suất (Interest rate)
Là tỷ số giữa lợi tức phải trả so với vốn vay trong một đơn vị thời gian.


Đơn vị thời gian có thể là năm, quý, tháng, ngày…
Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân.
II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
2.1. Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
Đặt vấn đề:
Ta đưa vào sử dụng vốn V
0
với mong muốn đạt được lãi suất là i%/năm trong thời
gian n năm. Vào cuối mỗi năm ta rút lợi tức và chỉ để lại vốn.
Lãi suất =
Lãi phải trả trong 1 đơn vị thời gian
Vốn gốc
3

- Ở cuối năm 1:

· Vốn gốc: V
0

· Lợi tức của năm đầu tiên: V
0
i
· Ta có: V
0
+ V
0
i = V
0
(1 + i)
- Ở cuối năm thứ 2:
· Vốn gốc: V
0

· Lợi tức của năm thứ 2: V
0
i
· Lợi tức của năm đầu tiên: V
0
i
· Ta có: V
0
+ 2V
0
i = V
0
(1 + 2.i)

…
Một cách tổng quát trong vòng n năm, giá trị đạt được theo lãi suất đơn V
nĐ
sẽ là:
V
nĐ
= V
0
(1 + ni)
Nếu gọi I
Đ
là lợi tức đạt được theo lãi đơn:
I
Đ
= V
nĐ
– V
0
= V
0
(1 + n.i) – V
0

Suy ra: I
Đ
= V
0
.n.i
Với n là thời gian cho vay (ngày, tháng, quý, năm…)
Chú ý:

Nếu lãi suất và thời hạn vay không cùng một đơn vị thời gian, chúng ta phải biến
đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức trên.
Cụ thể:
- Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính theo tháng:


- Nếu lãi suất tính theo tháng còn thời hạn vay tính theo ngày:


- Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính theo ngày:


Công thức này được áp dụng rộng rãi ở nhiều nước trong các nghiệp vụ về tài chính
ngắn hạn và được gọi là công thức tính lãi thương mại. Nếu số ngày tính chính xác theo
lịch thì ta có công thức tính lãi thông thường như sau:
12

0
inV
I

=
30

0
inV
I

=
360

0
inV
I

=
4




Ví dụ 1:
Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng, lãi suất 7,2%/năm từ ngày 15/1 đến ngày
16/7. Xác định lợi tức người đó đạt được.
Ta có: n = 182 ngày.
Lợi tức đạt được là:



2.2. Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang giá)
Thay vì tính lãi suất i trên 1 năm, nếu tính lãi suất i’ cho mỗi kỳ thì lãi suất ngang
giá i’ sẽ được xác định như sau:


Ví dụ 2:
Một người gửi ngân hàng 20 triệu đồng trong thời gian 42 tháng với lãi suất
9%/năm. Ta có thể xác định giá trị đạt được V
nĐ
theo 2 cách:
Cách 1: V

nĐ
= 20.000.000(1 + 42/12 x 9%) = 26.300.000 đồng
Cách 2: Quy đổi lãi suất i = 9%/năm sang lãi suất i’ theo tháng:


Ta có: V
nĐ
= 20.000.000(1 + 42 x 0,75%) = 26.300.000 đồng
2.3. Áp dụng công thức tính lãi đơn
Để áp dụng công thức tính lãi đơn, chúng ta xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 3:
Sử dụng công thức tính lãi đơn trong các trường hợp sau:
a. Ông A bỏ vốn 100 triệu đồng với lãi suất đầu tư là 12%/năm trong vòng 2 năm
3 tháng. Xác định giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư.
365

0
inV
I

=
000.820.1
360
%2,7182000.50
=
´
´
=

I đồng

k
i
i ='
(với k: số kỳ trong năm)
tháng
k
i
i /%75,0
12
%9
' ===
5

b. Với lãi suất 10%/năm cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư B mong muốn thu
được 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư. Vậy phải đầu tư trong bao lâu để
đạt được giá trị như trên.
c. Ông C gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng thì đạt được kết quả
cuối cùng là 75.210.000 đồng. Xác định lãi suất tiền gửi.
d. Với lãi suất đầu tư 14%/năm thì nhà đầu tư D phải bỏ ra số vốn đầu tư ban đầu là
bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng.
Giải
a) Do n = 2 năm 3 tháng = 27 tháng.
Có thể tính được giá trị đạt được V
nĐ
theo 2 cách:
Hoặc V
nĐ
= 100.000.000(1 + 27/12 x 12%) = 127.000.000 đồng.
Hoặc quy đổi sang lãi suất tháng:

V
nĐ
= 100.000.000(1 + 27x 1%) = 127.000.000 đồng.
b) Từ công thức: V
nĐ
= V
0
(1 + ni) ta có công thức biến đổi:



Þ n = 2,85 năm = 2 năm 10 tháng 6 ngày
Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày để đạt được giá trị
mong muốn.
c) Từ công thức V
nĐ
= V
0
(1 + ni), ta cũng sẽ có công thức biến đổi:


Với V
nĐ
= 75.210.000 đồng, V
0
= 60.000.000 đồng và n = 3 năm 4 tháng.

d) Theo đề bài n = 3 năm 9 tháng = 45/12 năm, i = 14%/năm và V
nĐ
= 224 triệu đồng.
Ta có công thức biến đổi như sau:



Þ V
0
= 160.000.000 đồng
tháng
k
i
i /%1
12
%12
' ===
%10
1
000.000.25
000.125.32
1/
0
-
=Þ
-
= n

i
VV
n
n
n
VV
i
n
1/
0
-
=
Þ
-
=Þ
12
40
1
000.000.60
000.210.75
i
i = 7,61%/năm
%14
12
45
1
000.000.240
.1
00
´+

=Þ
+
= V
in
V
V
n
6

Vậy phải đầu tư số vốn là 160 triệu đồng với lãi suất 14%/năm mới thu được 224
triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng.
III. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH
Trong quá trình đầu tư, nhà đầu tư có thể đạt được các mức lãi suất khác nhau trong
những thời gian hoàn toàn khác nhau. Do đó cần phải tìm lãi suất trung bình để xác định
giá trị đạt được vào cuối thời gian đầu tư một cách nhanh chóng.
Lãi suất trung bình là lãi suất thay thế cho các mức lãi suất khác nhau trong những giai
đoạn khác nhau sao cho giá trị đạt được hoặc lợi tức có được không thay đổi.
Giả sử có khoản vốn đầu tư V
0
được đầu tư với các lãi suất biến đổi như sau:
- i
1
/kỳ trong thời gian n
1
kỳ.
- i
2
/kỳ trong thời gian n
2
kỳ.

………
Tổng quát: i
k
/kỳ - trong thời gian n
k
kỳ.
Ta gọi là lãi suất trung bình thì:



Ví dụ 4:
Một doanh nghiệp vay 100 triệu đồng theo phương pháp tính lãi đơn với các mức
lãi suất thay đổi như sau:
- 8% năm trong 6 tháng đầu tiên.
- 9% năm trong 3 tháng tiếp theo.
- 10% năm trong 4 tháng cuối cùng.
Hãy xác định:
a. Lãi suất trung bình của số vốn vay trên.
b. Tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn.
Giải

a. Ta có

Ta lập bảng sau:
Lãi suất i
k
Thời gian vay n
k
n
k

.i
k

8% 6/12 0,04
i
k
kk
n
in
i
å
å
=
k
kk
n
in
i
å
å
=
7

9% 3/12 0,0225
10% 4/12 0,0333333
Tổng cộng 13/12 0,095833

Vậy

Hoặc có thể tính trực tiếp:



b. Áp dụng công thức tính lãi đơn, ta có:
V
nĐ
= 100.000.000(1+13/12x8,85%) = 109.587.500 đồng.
IV. LÃI SUẤT THỰC
Khi đi vay một khoản vốn, ngoài lợi tức, người đi vay còn phải trả một khoản lệ phí
vay nhất định. Mặt khác, do phương thức trả lãi khác nhau (lãi có thể trả định kỳ hoặc có
thể trả ngay sau khi nhận vốn) nên lãi suất mà người đi vay gánh chịu có thể sẽ cao hơn lãi
suất mà người cho vay công bố.
Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng một khoản
vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định.
Nếu ta gọi:
- i
t
là lãi suất thực.
- f là chi phí vay.
- V
0t
là vốn thực tế sử dụng.
Þ V
0t
= V
0
– f – I (nếu lợi tức phải trả trước ngay khi nhận vốn vay).
Ta có:

Ví dụ 5:
Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng với các điều kiện sau:
"mi n/%85,80885,0
12
13
095833,0
===
(
)
(
)
(
)
"mi n/%85,8
436
4%103%96%8
=
++
´
+
´
+
´
=
t
t
V
fI
i

0
+
=
8

- Lãi suất 9,6% năm.
- Phí hồ sơ: 200.000 đồng.
- Các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc.
Xác định lãi suất thực của khoản vay trên trong điều kiện sau:
- Thời gian vay là 1 năm.
- Thời gian vay là 4 tháng.
Nếu trong hợp đồng vay quy định người đi vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất
thực tế sẽ thay đổi như thế nào?
Giải
v Nếu lợi tức phải trả vào cuối mỗi kỳ:
- Trường hợp vay trong một năm:
· Lợi tức phải trả: 200.000.000 x 9,6% = 19.200.000 đồng
· Phí hồ sơ là: 200.000 đồng
· Các khoản chi phí khác: 200.000.000 x 0,2% = 400.000 đồng
· Tổng lệ phí và các khoản khác phải trả là: 19.800.000 đồng
Ta có lãi suất thực: i
t
= 19.800.000/199.400.000 = 9,93%/năm.
- Trường hợp vay trong 4 tháng:
· Lợi tức phải trả: 200.000.000 x 4/12 x 9,6% = 6.400.000 đồng
· Các khoản lệ phí vay: 600.000 đồng
· Tổng lợi tức và lệ phí phải trả: 7.000.000 đồng
· Vốn thực sử dụng: 199.400.000 đồng
Lãi suất thực: i
t

= 7.000.000/199.400.000 x 12/4 = 10,53%/năm.
Như thế thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng tăng theo gánh nặng của các
khoản chi phí cố định.
v Nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn (trả trước):
- Trường hợp vay trong 1 năm:
· Vốn thực sử dụng:V
0t
= 200.000.000 – 19.800.000 = 180.200.000 đồng
· Lãi suất thực: i
t
= 19.800.000/180.200.000 = 10,99%/năm.
- Trường hợp vay trong 4 tháng:
· Vốn thực sử dụng V
0t
= 200.000.000 – 7.000.000 = 193.000.000 đồng
· Lãi suất thực: i
t
= 7.000.000/193.000.000 x 12/4 = 10,88%/năm.
Nếu người đi vay phải trả lãi ngay khi nhận vốn thì thời gian vay càng dài, lãi suất
thực sẽ càng tăng vì lúc đó khoản lợi tức phải trả trước lớn làm cho vốn thực sử dụng bị
giảm đi.

9

PHẦN 2 – BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1:
Một công ty vay ngân hàng 450.000.000 đồng từ ngày 1/8 đến ngày 12/10. Tính lợi
tức mà công ty phải trả cho ngân hàng với lãi suất:
- Lãi suất 9,36% năm.
- Lãi suất 0,8% tháng.

Giải
- Lãi suất 9,36% năm
n = 72 ngày.
I
Đ
= 450.000.000 x 72 x 9,36%/360 = 8.424.000 đồng.
- Lãi suất 0,8% tháng
I
Đ
= 450.000.000 x 72 x 0,8%/30 = 8.640.000 đồng.
Bài 2:
Ngân hàng cho vay 1 số tiền 300 triệu đồng. Tính lãi đơn với các mức lãi suất thay
đổi như sau:
- 10% năm từ ½ đến 6/4.
- 11% năm từ 7/4/ đến 20/6.
- 10,5% năm từ 21/6 đến 28/7.
- 9% năm từ 29/7 đến 15/9.
Yêu cầu:
a. Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên.
b. Tính tổng lợi tức mà Ngân hàng thu được.
Giải
- n
1
= 64 ngày, i
1
= 10% năm.
- n
2
= 75 ngày, i
2

= 11% năm.
- n
3
= 38 ngày, i
3
= 10,5% năm.
- n
4
= 49 ngày, i
4
= 9% năm.
Ta có:




b. Từ
(
)
(
)
(
)
(
)
"m
n
in
i
k

kk
n/%2,10
49387564
%949%5,1038%1175%1064
=
+++
´+´+´+´
==
å
å
360

0
inV
I

=
10


Suy ra

Bài 3
Một người đi vay một số tiền 240 triệu đồng trong 5 tháng với lãi suất 10% năm, lệ
phí vay 1 triệu đồng. Nếu lợi tức được trả ngay khi vay, hãy xác định lãi suất thực mà
người đó phải chịu.
Giải
- Lợi tức phải trả: 240.000.000 x 10% x 5/12 = 10.000.000 đồng
- Lệ phí vay: 1.000.000 đồng
- Tổng lợi tức và lệ phí vay phải trả là: 11.000.000 đồng

- Vốn thực sử dụng là: V
0t
= 229.000.000 đồng
Lãi suất thực:


Bài 4
Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng trong 8 tháng, lãi suất 8,4% năm. Chi phí
vay bằng 0,5% vốn gốc. Hãy xác định lãi suất thực trong 2 trường hợp:
- Lợi tức được trả khi đáo hạn.
- Lợi tức được trả ngay khi nhận vốn.
Giải
- Lợi tức phải trả: 120.000.000 x 8,4% x 8/12 = 6.720.000 đồng
- Lệ phí vay: 120.000.000 x 0,5% = 600.000 đồng
v Nếu lợi tức trả khi đáo hạn:



v Nếu lợi tức trả ngay khi nhận vốn:



%I

000.210.19
360
%2,10226000.000.300
=
´
´

=
"mi
t
n/%53,11
5
12
000.000.229
000.000.11
=´=
"mi
t
n/%2,9
8
12
000.600000.000.120
000.600000.720.6
=´
-
+
=
( )
"mi
t
n/%74,9
8
12
000.600000.720.6000.000.120
000.600000.720.6
=´
+-

+
=
11

CHƯƠNG II
LÃI KÉP (COMPOUND INTEREST)

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

I. KHÁI NIỆM
Lãi kép là lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau. Trong khái niệm này,
chẳng những vốn phát sinh lợi tức mà bản thân lợi tức cũng phát sinh lợi tức. Như vậy, lãi
kép phản ảnh giá trị theo thời gian của tiền tệ cho cả phần vốn gốc và tiền lãi phát sinh.
Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn
hoặc lãi nhập vốn.
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
2.1. Công thức
Trong khái niệm lãi kép, các khoản lợi tức phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kỳ
được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lợi tức trong suốt thời
gian đầu tư.
Nếu đem đầu tư một khoản vốn V
0
trong n kỳ với lãi suất i hàng năm, ở cuối kỳ thứ
nhất ta có:
V
1
= V
0
+ V
0

i = V
0
(1 + i) (*)
Do lãi được nhập vào vốn nên đến cuối kỳ thứ hai ta có:
V
2
= V
1
+ V
1
.i = V
1
(1 + i)
Từ (*) ta có: V
2
= V
0
(1 + i)(1 + i) = V
0
(1 + i)
2

Một cách tổng quát, sau n kỳ, giá trị đạt được từ quá trình đầu tư sẽ là:
V
n
= V
0
(1 + i)
n

Biểu thức (1 + i)
n
có thể tính bằng máy tính hoặc sử dụng bảng tài chính 1 (phần
phụ lục).
2.2. Lãi suất tương đương (ngang giá) và lãi suất tỷ lệ
Lãi suất tỷ lệ (i
l
)
Khi lãi suất công bố ở đơn vị thời gian là năm nhưng kỳ ghép lãi có đơn vị thời
gian khác với năm (quý, tháng, ngày…), để tính lợi tức đạt được, người ta phải quy đổi lãi
suất i sang lãi suất tỷ lệ i
l
.
12

Công thức:

Với m là số kỳ trong năm
Ví dụ 1
Ông A gửi ngân hàng số tiền 70 triệu đồng, lãi suất 7,6% năm, lãi gộp vốn 3 tháng
1 lần. Xác định giá trị đạt được cả vốn lẫn lãi sau khi gửi được 2 năm.


n = 2 năm = 8 quý
Suy ra V
n
= 70.000.000(1 + 1,9%)
8
= 81.375.000 đồng.
Lãi suất tương đương (i’)

Lãi suất tương đương được hiểu là một mức lãi suất mà với bất kỳ kỳ ghép lãi dài
hay ngắn thì lợi tức đạt được vẫn không thay đổi.
Nếu ta đem gửi một khoản tiền V
0
trong thời gian 1 năm với lãi suất i% năm và kỳ
ghép lãi mỗi năm 1 lần, giá trị đạt được sau khi gửi được 1 năm là:
V
n
= V
0
(1 + i)
Cùng với khoản tiền gửi trên, nhưng nếu kỳ ghép lãi khác với 1 năm, giả sử là mỗi
quý ghép lãi một lần, ta gọi i’ là lãi suất quý tương đương với lãi suất năm i.
Do một năm có 4 quý nên giá trị đạt được sau khi gửi được 1 năm sẽ là:
V
0
(1 + i’)
4

Theo định nghĩa về lãi suất tương đương, ta có:
V
0
(1 + i) = V
0
(1 + i’)
4

Suy ra (chỉ lấy nghiệm i’ dương).
Một cách tổng quát nếu gọi m là số kỳ ghép lãi trong năm, ta có công thức tính lãi
suất tương đương trong lãi kép:

2.3. Áp dụng công thức tính lãi kép
Ví dụ 2
Áp dụng phương pháp tính lãi kép trong các trường hợp sau:
m
i
i
l
=
quý%9,1
4
%6,7
===
m
i
i
l
11'
4
-+= ii
11' -+=
m
ii
13

a. Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng trong 3 năm 6 tháng, lãi suất 6% năm, lãi
gộp vốn 3 tháng 1 lần. Xác định giá trị đạt được (cả vốn và lợi tức) khi rút tiền.
b. Công ty B muốn có một số tiền vốn 1.200 triệu đồng sau 5 năm bằng cách đầu
tư 720 triệu đồng ở hiện tại. Tỷ suất lợi tức hàng năm do hoạt động đầu tư

mang lại là bao nhiêu?
c. Doanh nghiệp C muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đầu tư ở hiện tại 170
triệu đồng, tỷ suất sinh lợi 13% năm. Xác định thời gian đầu tư.
d. Ông D vay ngân hàng một số vốn, lãi suất 9,6% năm, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần.
Tổng số tiền ông D phải trả sau 4 năm 3 tháng là 536.258.000 đồng. Xác định
số vốn ông D đã vay.
Giải
a. Lãi suất i = 6% năm Þ i
1
= 1,5%/quý.
n = 3 năm 6 tháng = 14 quý.
Giá trị đạt được V
n
= V
0
(1 + 1,5%)
14
= 123.175.600 đồng.
b. Từ công thức V
n
= V
0
(1 + i)
n

Ta có:

Thay n = 5, V
0
= 720.000.000 đồng và V

n
= 1.200.000.000 đồng vào công thức
trên:



Hoặc ta có thể tính i bằng ph&'ng pháp n(i suy:
Ta (1 + i)
5
= 1,666667.
Sử dụng bảng tài chính số 1, tra dòng thứ 5, ta có:
i
1
= 10% Þ s
1
= (1 + i
1
)
5
= 1,610510
i
2
= 11% Þ s
2
= (1 + i
2
)
5
= 1,685058
Do s

1
< s < s
2
nên i
1
< i < i
2

Với s là giá trị cần tìm (1 + i)
5
= 1,666667
Ta có công thức nội suy:


Với điều kiện khoảng cách giữa i
1
và i
2
không lớn quá 1%, giá trị của i tính theo
công thức nội suy sẽ tương đối chính xác.
( )
11
00
-=Þ=+
n
nn
n
V
V
i

V
V
i
"mi n%76,101
000.000.720
000.000.200.1
5
=-=
( )
2
1
121
ss
ss
iiii
-
-
-+=
14

Áp dụng công thức nội suy trên, ta có:



c. Từ công thức V
n
= V
0
(1 + i)
n

Thay V
n
= 280.000.000 đồng, V
0
= 170.000.000 đồng và i = 13%, ta có:




d. Ta có i
l
= 9,6%/2 = 4,8% kỳ 6 tháng
n = 4 năm 3 tháng = 8,5 kỳ 6 tháng



III. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH TRONG LÃI KÉP
Ví dụ 3
Một người đầu tư một khoản vốn 500.000.000 đồng, tính lãi kép với các mức lãi
suất biến đổi như sau:
- 8% năm trong thời gian 3 năm đầu tiên.
- 8,5% năm trong thời gian 3 năm tiếp theo.
- 9% năm trong thời gian 4 năm cuối cùng.
Hãy xác định:
a. Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10.

b. Lãi suất trung bình của các khoản vốn đầu tư trên.
Giải
a. Sử dụng công thức tính lãi kép V
n
= V
0
(1 + i)
n
, ta có:
Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 3 là:
V
3
= V
0
(1 + 8%)
3

Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 6 là:
V
6
= V
3
(1 + 8,5%)
3
= V
0
(1 + 8%)
3
(1 + 8,5%)
3

Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10 là:
( )
"mi n%75,10
61051,1685058,1
61051,1666667,1
%10%11%10 =
-
-
-+=
( )
( )
i
V
V
n
V
V
i
n
n
n
+
=Þ=+Þ
1log
log
1
0
0
( )

tháng1n4
13,1log
647059,1log
%131log
000.000.170
000.000.280
log
"mn ==
+
=
( )
( ) ( )
%
i
V
ViVV
n
n
n
n
000.000.360
%8,41
000.258.536
1
1
5,8
00
=
+
=

+
=Þ+=
15

V
10
= V
6
(1 + i)
4
= V
0
(1 + 8%)
3
(1 + 8,5%)
3
(1 + 9%)
4

Thay V
0
= 500.000.000 ta có V
10
= 1.135.629.000 đồng.
Vậy với khoản vốn đầu tư ban đầu là 500.000.000 đồng, ta sẽ đạt được
1.135.629.000 đồng sau 10 năm.
b. Để đạt được khoản vốn 1.135.629.000 đồng ở cuối năm thứ 10, nhà đầu tư sẽ
phải đầu tư khoản vốn ban đầu 500.000.000 đồng qua 10 năm với lãi suất trung bình .
Ta có:
V

10
= V
0
(1 + )
10
= 1.135.629.000 đồng




Vậy với lãi suất trung bình sẽ thay thế các mức lãi suất khác nhau trong
thời gian đầu tư 10 năm để khoản vốn đầu tư ban đầu 500.000.000 đồng sẽ đạt được giá trị
là 1.135.629.000 đồng ở tương lai.
Xây dựng công thức tổng quát
Do V
n
= V
0
(1 + )
n







Với:
i
1

, i
2
,…, i
k
là lãi suất ở giai đoạn 1, 2,…, k
n
1
, n
2
,…, n
k
là thời gian đầu tư ở giai đoạn 1, 2,…, k
Và n = n
1
+ n
2
+ … + n
k

IV. LÃI SUẤT THỰC TRONG LÃI KÉP
Ví dụ 4
Một người vay ngân hàng 400 triệu đồng, lãi suất 9% năm, kỳ ghép lãi là 6 tháng,
vốn và lãi được trả 1 lần khi đáo hạn. Lệ phí vay là 0,5% vốn gốc. Hãy xác định lãi suất
thực mà người đi vay phải gánh chịu với:
i
i
(
)
"mi
i

n%55,81271258,2
271258,2
000.000.500
000.629.135.1
1
10
10
=-=Þ
==+
%55,8=i
i
(
)
(
)
(
)
(
)
k
n
k
i
n
i
n
i
n
iV
n

V ++++= 1
3
3
1
2
2
1
1
1
1
0
Và
(
)
( ) ( )
( )
(
)
k
n
k
i
n
i
n
i
n
i
n
++++=+Þ 1

3
3
1
2
2
1
1
1
1i1
11
3
3
1
2
2
1
1
1
1i -
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç

è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=Þ
n
k
n
k
i
n
i
n
i
n
i
16

a. Thời gian vay là 3 năm.
b. Thời gian vay là 1 năm.
Giải
Ta có i = 9% năm = 4,5% kỳ 6 tháng.
a. Với n = 3 năm = 6 kỳ 6 tháng.
Số tiền người đi vay phải trả khi đáo hạn:
V
n
= 400(1 + 4,5%)
6
= 509.904.000 đồng
Vốn thực sử dụng mà người khi vay nhận được ở hiện tại:
400.000.000 – (400.000.000 x 0,5%) = 398.000.000 đồng
Gọi i
t
là lãi suất thực mà người đi vay phải gánh chịu, ta có:
V
n
= 398.000.000(1 + i
t
)
6
= 509.904.000 đồng




b. Với n = 1 năm = 2 kỳ 6 tháng
Số tiền người đi vay phải trả khi đáo hạn:
V

n
= 400(1 + 4,5%)
2
= 436.810.000 đồng
Vốn thực sử dụng mà người khi vay nhận được ở hiện tại:
400.000.000 – (400.000.000 x 0,5%) = 398.000.000 đồng
Ta có lãi suất thực mà người đi vay phải gánh chịu:
V
0
= 398.000.000(1 + i
t
)
6
= 436.810.000 đồng



Một cách tổng quát ta có:


Với V
n
là số tiền phải trả khi đáo hạn.
f là chi phí vay vốn khác (lệ phí vay, chi phí phát hành…)
Nhận xét:
(
)
281166,1
000.000.398
000.904.509

1
6
==+
t
i
%22,41281166,1
6
=-=
t
i
kỳ 6 tháng hoặc i
t
= 8,44% năm
%76,41
000.000.398
000.810.436
2
=-=
t
i
kỳ 6 tháng hoặc i
t
= 9,52% năm
1
0
-
-
=
n
n

t
fV
V
i
17

Thời gian đi vay càng ngắn, lãi suất thực i
t
càng cao do gánh nặng của khoản lệ phí
vay cố định.
V. SO SÁNH GIỮA LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP
Xem xét 2 công thức tính giá trị đạt được theo lãi đơn và lãi kép:
V
nĐ
= V
0
(1 + n.i)
V
nK
= V
0
(1 + i)
n

Chúng ta có thể rút ra nhận xét sau:
- Nếu n = 1; ta có: (1 + n.i) = (1 + i)
n

ð V
nĐ

= V
nK
ó I
Đ
= I
K
Þ Giá trị đạt được của lãi đơn và lãi kép sẽ bằng nhau nếu
thời gian đầu tư là 1 năm.
-
Nếu n > 1; ta có: (1 + n.i) < (1 + i)
n
ð V
nĐ
< V
nK
ó I
Đ
< I
K
Þ Giá trị đạt được của lãi đơn sẽ thấp hơn so với lãi kép
nếu thời gian đầu tư là trên 1 năm.
- Nếu n < 1; ta có: (1 + n.i) > (1 + i)
n

ð V
nĐ
> V
nK
ó I
Đ

> I
K
Þ Giá trị đạt được của lãi đơn sẽ cao hơn so với lãi kép
nếu thời gian đầu tư là dưới 1 năm.
Ví dụ 5
Một người đầu tư 100 triệu đồng với lãi suất 12% năm. Tính giá trị mà người đó
đạt được và lợi tức theo 2 phương pháp tính lãi đơn và lãi kép trong các trường hợp sau:
a. Thời gian đầu tư là 1 năm.
b. Thời gian đầu tư là 3 năm.
c. Thời gian đầu tư là 6 tháng.
Giải
Ta lập bảng so sánh V
nĐ
và V
nK
ứng với các thời gian đầu tư khác nhau như sau:
Thời gian
đầu tư (n)
Giá trị đạt được theo lãi đơn
V
nĐ
= V
0
(1 + n.i)
Giá trị đạt được theo lãi kép
V
nK
= V
0
(1 + i)

n

n = 1 năm
V
nĐ
= 100(1 + 12%) = 112 triệu
I
Đ
= 12 triệu
V
nK
= 100(1 + 12%)
1
= 112 triệu
I
K
= 12 triệu
n = 3 năm
V
nĐ
= 100(1 + 3.12%) = 136 triệu
I
Đ
= 36 triệu
V
nK
= 100(1 + 12%)
3
= 140.493 triệu
I

K
= 40,493 triệu
n = 6 tháng V
nĐ
= 100(1 + 12%.6/12) = 106 triệu V
nK
= 100(1 + 12%)
1/2
= 105,83 triệu
18

I
Đ
= 6 triệu I
K
= 5,83 triệu

Nhận xét:
- Lợi tức thu được tính theo lãi đơn sẽ bằng với lãi kép khi thời gian đầu tư là 1
năm.
- Lợi tức thu được tính theo lãi đơn sẽ nhỏ hơn so với lãi kép khi thời gian đầu tư
là trên 1 năm.
- Lợi tức thu được tính theo lãi đơn sẽ lớn hơn so với lãi kép khi thời gian đầu tư
là dưới 1 năm.

PHẦN 2 – BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1
Một doanh nghiệp đầu tư 1.200 triệu đồng trong 6 năm. Giá trị đạt được sau quá
trình đầu tư sẽ tăng gấp đôi so với số vốn bỏ ra ban đầu. Xác định lãi suất của hoạt động
đầu tư trên (lãi suất kép).

Giải
Ta có: V
n
= 2V
0
= 2.400 triệu đồng.
Từ công thức V
n
= V
0
(1 + i)
n
Þ

Ta có

Bài 2
Ngân hàng cho vay một khoản vốn 800 triệu đồng trong 4 năm, lãi gộp vốn 3 tháng
1 lần. Khi đáo hạn, ngân hàng thu được cả vốn lẫn lãi là 1.200 triệu đồng. Xác định lãi suất
cho vay.
Giải
Ta có n = 4 năm = 16 quý.
Tương tự như bài trên, lãi suất của hoạt động cho vay (quý) sẽ là:


i = 10,28% năm
Bài 3
( )
11
00

-=Þ=+
n
nn
n
V
V
i
V
V
i
"mi n%25,121
200.1
400.2
6
=-=
quýi %57,21
800
200.1
16
=-=
19

Tính lãi suất tương đương với các lãi suất sau:
a. Lãi suất 6 tháng tương đương với lãi suất năm 12%.
b. Lãi suất 3 tháng tương đương với lãi suất năm là 13%.
c. Lãi suất 3 tháng tương đương với lãi suất 6 tháng là 6%.
d. Lãi suất năm tương đương với lãi suất 6 tháng là 5%.
e. Lãi suất năm tương đương với lãi suất 3 tháng là 3%.
Giải
Từ công thức tính lãi suất tương đương trong lãi kép:

a.

b.

c.

d. i’
năm
= (1 + 5%)
2
– 1 = 10,25% năm

e. i’
năm
= (1 + 3%)
4
– 1 = 12,55% năm
Bài 4
Ngân hàng cho vay một khoản vốn 360 triệu đồng, tính lãi kép với lãi suất thay đổi
như sau:
- 7% năm trong 3 năm đầu tiên.
- 7,4% năm trong 3 năm tiếp theo.
- 7,7% năm trong 2 năm tiếp theo.
- 8% năm trong 2 năm cuối cùng.
Yêu cầu:
a. Tính giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10.
b. Tính lãi suất trung bình để giá trị đạt được không đổi.
Giải
a.
V

n
= 360(1 + 7%)
3
(1 + 7,4%)
3
(1 + 7,7%)
2
(1 + 8%)
2
= 739.172.000 đồng.

b.
11 -+=
m
ii
tháng6%83,51%121'
tháng6
=-+=i
tháng3%1,31%131'
4
tháng3
=-+=i
tháng3%96,21%61'
tháng3
=-+=i
(
)
(
)
(

)
(
)
k
n
k
i
n
i
n
i
n
iV
n
V ++++= 1
3
3
1
2
2
1
1
1
1
0
11
3
3
1
2

2
1
1
1
1i -
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ

+=
n
k
n
k
i
n
i
n
i
n
i
20



CHƯƠNG III
CHUỖI TIỀN TỆ (ANNUITIES)

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

I. KHÁI NIỆM
Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng cách
thời gian bằng nhau. Các khoản tiền phát sinh theo khoảng cách đều nhau về thời gian
(được gọi là kỳ khoản) nên chuỗi tiền tệ cũng được gọi là chuỗi kỳ khoản.
Một chuỗi tiền tệ hình thành khi đã xác định được:
- Số kỳ phát sinh (số lượng kỳ khoản) : n
- Số tiền phát sinh mỗi kỳ (thu hoặc chi) : a
- Lãi suất tính cho mỗi kỳ : i
- Độ dài của kỳ: khoảng cách thời gian cố định giữa 2 kỳ trả (có thể là năm, quý,

tháng…)
Chuỗi tiền tệ được thực hiện với mục đích tạo ra một khoản vốn hoặc trả dần một
khoản nợ.
Có thể có một số loại chuỗi tiền tệ sau:
- Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng
nhau.
- Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không
bằng nhau.
- Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh là hữu hạn.
- Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh là vô hạn.
Sơ đồ của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ:




"mn%46,71053256,2
10
i =-=
21






Sơ đồ của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ:

II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
2.1. Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ
Giá trị tương lai (definitive value) của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ (V
n
) là
tổng giá trị tương lai của các kỳ khoản được xác định vào thời điểm cuối cùng của chuỗi
tiền tệ (cuối kỳ thứ n).
Nếu ta gọi:
a
k
: giá trị của kỳ khoản thứ k
i : lãi suất.
n : số kỳ phát sinh.
Vậy giá trị tương lai (giá trị cuối) của chuỗi tiền tệ được biểu diễn như sau:
V
n
= a
1
(1 + i)
n-1
+ a
2
(1 + i)
n-2
+ a
3
(1 + i)

n-3
+…….+ a
n

Một cách tổng quát ta có:


Hiện giá (giá trị hiện tại – present value) của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ
(V
0
) là tổng hiện giá của các kỳ khoản được xác định ở thời điểm gốc (thời điểm 0).
Với các ký hiệu tương tự trong phần giá trị cuối của chuỗi tiền tệ, ta có hiện giá của
chuỗi tiền tệ được biểu diễn như sau:
V
0
= a
1
(1 + i)
-1
+ a
2
(1 + i)
-2
+ a
3
(1 + i)
-3
+…….+ a
n
(1 + i)

-n

Một cách tổng quát ta có:

0
1 2 3 4 n-1

n
Năm
a
n
a
n-1

a
4
a
3
a
2
a
1
4
0 1 2 3 n-1

n
Năm
a
n
a

n-1

a
4
a
3
a
2
a
1
(
)
nk ,1=
( )
å
=
-
+=
n
k
kn
kn
iaV
1
1
( )
å
=
-
+=

n
k
k
k
iaV
1
0
1
22


2.2. Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ
Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ ( )
Theo định nghĩa giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ và xét theo phương thức phát
sinh là chuỗi tiền tệ đầu kỳ, ta có:
= a
1
(1 + i)
n
+ a
2
(1 + i)
n-1
+ a
3
(1 + i)
n-2
+…….+ a
n-1
(1 + i)

2
+ a
n
(1 + i)
Một cách tổng quát:


Hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ ( )
Tương tự hiện giá chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ, hiện giá của chuỗi tiền tệ phát
sinh đầu kỳ được biểu diễn như sau:
= a
1
+ a
2
(1 + i)
-1
+ a
3
(1 + i)
-2
+ …….+ a
n-1
(1 + i)
-(n-2)
+ a
n
(1 + i)
-(n-1)

Một cách tổng quát ta có:

III. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ CỐ ĐỊNH
(CHUỖI ĐỀU)
3.1. Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ
Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ
Trong một chuỗi tiền tệ đều, giá trị của tất cả các kỳ khoản đều bằng nhau: a
1
= a
2
=… = a
n

Ta có:
V
n
= a(1 + i)
n-1
+ a(1 + i)
n-2
+…….+ a(1 + i) + a (1)
Nhân 2 vế phương trình (1) cho (1 + i), ta có:
Þ V
n
(1 + i)= a(1 + i)
n
+ a(1 + i)
n-1
+…….+ a(1 + i)

2
+ a(1 + i) (2)
Lấy (2) - (1), ta có: V
n
[(1 + i) – 1] = a[(1 + i)
n
– 1]


¢
n
V
¢
n
V
( ) ( )
å
=
+-
+=+=
¢
n
k
n
kn
kn
iViaV
1
1
11

¢
0
V
¢
0
V
( ) ( )
å
=
+-
+=+=
¢
n
k
k
k
iViaV
1
0
1
0
11
(
)
i
i
aV
n
n
11 -+

=Þ
23

Như vậy, giá trị tương lai V
n
của 1 chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ là tổng của 1
cấp số nhân có n số hạng, số hạng đầu là a, công bội là (1 + i).

Giá trị của được xác định bởi bảng tài chính số 3.

Hiện giá của 1 chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ
Do a
1
= a
2
= …… = a
n
= a
Nên V
0
= a(1 + i)
-n
+ a(1 + i)
-(n-1)
+…….+ a(1 + i)
-2
+ a(1 + i)
-1
(3)
Nhân 2 vế phương trình (3) cho (1 + i), ta có:

Þ V
0
(1 + i)= a(1 + i)
-(n-1)
+ a(1 + i)
-(n-2)
+…….+ a(1 + i)
-1
+ a (4)
Lấy (4) - (3), ta có:
V
0
.i = a[1 – (1 + i)
-n
]


Như vậy, hiện giá V
0
của 1 chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ là tổng của 1 cấp số
nhân có n số hạng, số hạng đầu là a(1 + i)
-n
, công bội là (1 + i).

Giá trị của được xác định bởi bảng tài chính số 4.

Giá trị của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ sau m kỳ nữa ( )
Thực chất của giá trị này là sự phát sinh lãi kép của giá trị cuối của một chuỗi tiền
tệ n kỳ khoản (V
n

) sau m kỳ kế tiếp. Do đó:


Hiện giá của một chuỗi tiền tệ cố định phát sinh vĩnh viễn (n
®
+
¥
)

Ta có

(
)
i
i
n
11 -+
(
)
i
i
aV
n-
+-
=
11
0
(
)
i

i
n-
+- 11
m
n
V
(
)
m
n
m
n
iVV += 1
(
)
i
i
aV
n-
+-
=
11
0
24

Khi n ® +¥ Þ (1 + i)
-n
® 0. Do đó:

Kỳ hạn trung bình của một chuỗi tiền tệ cố định (Average Term)
Nếu xem chuỗi n kỳ khoản a như là n thương phiếu, mệnh giá của mỗi thương phiếu
là a, kỳ hạn của mỗi thương phiếu là 1, 2, 3…., n kỳ (mỗi kỳ là 1 năm).
Giả sử có 1 thương phiếu khác có mệnh giá n x a và có kỳ hạn n năm.
Chuỗi n kỳ khoản a và thương phiếu mệnh giá na sẽ tương đương tại thời điểm gốc
nghĩa là giá trị hiện tại của chúng bằng nhau.


Với x được gọi là kỳ hạn trung bình của chuỗi n kỳ khoản.






Ví dụ 1
Tính kỳ hạn trung bình của 1 chuỗi kỳ khoản cố định có 8 kỳ khoản, lãi suất là 8%
kỳ.
Giải
Kỳ hạn trung bình của chuỗi trên là:




Þ x = 4,298621
= 4 năm 3 tháng 18 ngày
Hệ quả từ công thức tính V
n
của chuỗi tiền tệ đều
v Tính kỳ khoản a

i
a
V
n
=
¥®
0
(
)
( )
x
n
ina
i
i
a
-
-
+=
+-
1
11
( )
( )
n
x
i
ni

i
-
+-
=+Þ
11
1
( )
( )
i
i
ni
x
n
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+-
=Þ
-
1log
11
log
( )
( )
08,1log
392118,1log

%81log
%811
%88
log
8
=
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+-
´
=Þ
-
x
(
)
i
i
aV
n
n
11 -+
=
( )
11 -+
=Þ

n
n
i
iV
a
25

v Tính lãi suất i

Ta có nên

Có thể xác định ngay giá trị lãi suất i bằng bảng tài chính 3 hoặc áp dụng phương
pháp nội suy để xác định giá trị lãi suất i.
v Tính số lượng kỳ khoản n
Có thể xác định được n bằng bảng tài chính 3 hoặc sử dụng công thức:






Trong trường hợp n không phải là số nguyên ta phải biện luận thêm.
Gọi n
1
là số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n.
n
2
là số nguyên lớn hơn gần nhất với n.
Có 3 cách để quy tròn số n:
CÁCH 1: chọn n = n

1
nghĩa là quy tròn n sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất. Lúc
đó V
n1
< V
n
.
Để đạt được giá trị V
v
sau n
1
kỳ khoản, chúng ta phải thêm vào kỳ khoản cuối cùng
số còn thiếu (V
n
– V
n1
) nên:
a
n1
= a + (V
n
– V
n1
)
CÁCH 2: chọn n = n
2
, nghĩa là quy tròn sang số nguyên lớn hơn gần nhất. Lúc đó
V
n2
> V

n
.
Để đạt được giá trị V
v
sau n
2
kỳ khoản, chúng ta phải giảm bớt ở kỳ khoản cuối
cùng số còn thừa (V
n2
– V
n
) nên:
a
n2
= a – (V
n2
– V
n
)
CÁCH 3: chọn n = n
1
, và thay vì tăng thêm 1khoản ở kỳ khoản cuối cùng, ta có
thể để V
n1
trên tài khoản thêm một thời gian x để V
v1
tiếp tục phát sinh lợi tức (kép) cho
đến khi đạt được giá trị V
n
.

(
)
i
i
aV
n
n
11 -+
=
(
)
a
V
i
i
n
n
=
-+ 11
(
)
( )
11
11
+=+Þ
-+
=
a
iV
i

i
i
aV
n
n
n
n
( )
i
a
iV
n
n
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
1log
1log