bài tập giải tích

PHẠM GIA HƯNG















BÀI TẬP GIẢI TÍCH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG
Bộ Môn Toán 6/2011




Newversion 2011
Phgia 2011
2
Chương 1. Giới hạn

A. Lý thuyết.

• Hàm số: Định nghĩa hàm số, tập xác định của hàm số. Các phép toán về hàm số. Hàm
ngược. Các hàm sơ cấp cơ bản. Hàm sơ cấp.
• Giới hạn dãy số: Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số. Các giới hạn cơ bản. Dãy con và cách
chứng minh một dãy không có giới hạn. Các phép toán về giới hạn dãy số.
• Giới hạn hàm số: Lân cận. Định nghĩa giới hạn hàm số. Giới hạn một phía. Các giới hạn cơ
bản. Các phép toán về giới hạn hàm số. VCB, VCL và ứng dụng của chúng.
• Hàm liên tục: Định nghĩa tính liên tục tại một điểm, trên các khoảng mở, khoảng đóng. Các
phép toán về hàm liên tục.

B. Bài tập
1. Tìm miền xác định của các hàm số
a)
()
1
2

1
x
yx
x
+
=−
−
b)
sin
x
y
xπ
= c)
()
2
1
lg 2 8
4
yx
x
=+−
−
x−

d)
lg sin
2
x
y
π

⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
e)
()
lg cos lgyx
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
f)
2
arcsin
1
x
y
x
=
+

2. Tìm miền giá trị của các hàm số
a)
2
2yx=+−x
)
x
b) c)
(
lg 1 2 cosy=−
2
2
arccos
1
x
y
x
=
+

3. Chứng minh rằng ánh xạ
a)
()
1
:* ,|fxyfx
x
→→==\\ là đơn ánh
b)
()
2

2
:1,1,|
1
x
fxyfx
x
⎡⎤
→− → = =
⎢⎥
⎣⎦
+
\
là toàn ánh
c)
(
)
(
)
1
:0,,|
x
fxyfx
+
→+∞ →= =\ e là song ánh
4. Tìm hàm ngược của các hàm số sau đây
a)
1
1
x
y

x
−
=
+
b)
2
2yx x=−
c)
2
12
x
x
y =
+
d)
()
2
3log 1 2yx=−
5. Tính với
()
()
()
()
()
()
()
(
,,,f f x ggx fgx gfx
)
2= a) b)

() ()
2
,
x
fx x gx=
() ()
2
1
25,
2
x
fx x x gx
x
+
=−+ =
−

Phgia 2011
3
c)
() ()
1
,arct
1
fx gx x
x
==
+
g
d)

() ()
24
ln 1, cosfx x gx x=+=
6. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau đây
a)
() ( ) ()
2
33
11fx x x=−++
2
b)
(
)
xx
fx a a
−
=+

c)
()
1
ln
1
x
fx
x
−
=
+
d)

(
)
(
)
2
ln 1fx x x=++
7. Chứng minh các hàm số sau là tuần hoàn và tìm chu kỳ của chúng
a)
()
11
sin sin 2 sin 3
23
fx x x x=+ + b)
()
2tg 3tg
23
x
fx=−
x
≠

c) d)
()
cos sin , 0fx A x B xλλλ=+
(
)
2
sinfx x=

8. Chứng minh rằng các dãy số sau không có giới hạn

a)
()
1
1
2
n
n
n
x
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=− +
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
b) sin
2
n
n
xn=
π
c)
2
cos
12

n
nn
x
n
=
+
π

9. Tính các giới hạn
a)
()()
()()
44
44
11
lim
11
n
nn
nn
→∞
+−−
++−
b)
11
23
lim
23
nn
nn

n
++
→∞
+
+
c)
()
lim 1
n
nn n
→∞
+−

d)
(
)
3
3
lim 1
n
n
→∞
+−n e)
2
sin !
lim
1
n
nn
n

→∞
+
f)
(
)
(
)
1
lim
1
n
n
n
n
n
→∞
+−
−−

10. Tính các giới hạn
a )
(
48 2
lim 2. 2. 2 2
n
n→∞
)
b)
2
2

1
lim , 1, 1
1
n
n
n
aa a
ab
bb b
→∞
++ + +
<<
++ + +

c)
()
11 1
lim
1.2 2.3
1
n
nn
→∞
⎡⎤
⎢⎥
+++
⎢⎥
+⎢⎥
⎣⎦
d)

lim
!
n
n
e
n
→∞

11. Tính các giới hạn
a)
3
7
4
2
lim
92
x
xx
x
→
+− +
+−
20
b)
3
2
0
cos cos
lim
sin

x
x
x
→
− x
c)
0
1
lim , 0
x
x
a
a
x
→
−
>

d )
0
lim
ax bx
x
ee
x
→
−
e)
tg
0

lim
tg
xx
x
ee
xx
→
−
−
f)
0
lim ,
sin sin
ax bx
x
ee
ab
ax bx
→
−
≠
−
g)
1
1
lim
ln
x
x
x

xx
→
−
h)
(
)
(
)
0
ln cos
lim , 0
ln cos
x
ax
b
bx
→
≠
i)
0
2arcsin
lim
5
x
x
x
→

j)
1

lim 1
x
x
xe
→∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
k)
(
)
2
lim 1
x
xx x
→±∞
+−

l)
(
)

32 2
3
lim 3 2
x
xx xx
→±∞
+−+
12. Tính các giới hạn
Phgia 2011
4
a)
1
23
lim
21
x
x
x
x
+
→∞
⎛⎞
+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟

⎜
+
⎝⎠
b)
2
2
2
1
lim
2
x
x
x
x
→∞
⎛⎞
+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎝⎠
c)
2
1

1
0
lim 2 1
x
x
x
x
x
e
+
+
→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

d)
3
1
sin

0
1tg
lim
1sin
x
x
x
x
→
⎛⎞
+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
⎝⎠
e)
(
)
2
2
0
lim cos
x
x

x
→
f)
()
1
2
1cos
0
lim 1
x
x
x
xe
−
→
+
13. Tính các giới hạn một phía sau đây
a)
0
1
lim
x
x
+
→
và b)
1/
0
lim
x

x
e
+
→
1
1
lim
1
x
x
−
→
−
và
(
)
1/ 1
1
1
lim
2
x
x
−
−
→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟

⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

c)
0
lim
x
x
x
+
→
và
0
lim
x
x
x
−
→
d)
3
3
lim
3
x
x

x
+
→−
+
+
và
3
1
lim
3
x
x
−
→−
+

14. Chứng minh các VCB và g sau đây là tương đương nhau khi
f
0x →
a) b)
() ()
22
sin , sinfxxxgxx==x
() ()
2
1cos,
2
x
fx xgx=− =

c)
(
)
(
)
1, ln
x
fx a gx x a=− =
d)
(
)
(
)
2
, sin 2 sin
xx
fx e egx x x=− = −

15. Tìm các giới hạn sau bằng cách thay thế các VCB tương đương
a)
()
()
23
23
0
ln 1 3 2
lim
ln 1 3 4
x
xx x

xxx
→
+− +
+− +
b)
()
1
1
sin 1
lim
ln
x
x
e
x
−
→
−
c)
2
0
1cos2 tg
lim
sin
x
xx
xx
→
−+

d)
()
2
0
ln 1 3 sin
lim
tg
x
xx
x
→
+
e)
(
)
(
)
34
0
11cos
lim
x
x
ex
xx
→
−−
+
f)
2

0
sin
lim
1sincos
x
x
xx x
→
+−

16. Xét tính liên tục của các hàm số sau
a)
()
sin
, 0
1, 0
x
x
x
fx
x
⎧
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
=
⎨
⎪

⎪
=
⎪
⎪
⎩
b)
()
1, 1
cos , 1
2
xx
fx
x
x
π
⎧
⎪
−>
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
≤
⎪
⎪
⎪
⎩

17. Xác định để hàm số liên tục trên
\
a)
()
1
sin , 0
, 0
xx
fx
x
ax
⎧
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
b)
()
2
32
,2

2
, 2
xx
x
fx
x
ax
⎧
⎪
−+
⎪
≠
⎪
⎪
=
⎨
−
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩

c)
()
sin 3( 2)
,2
(2)
, 2

x
x
fx
x
ax
⎧
⎪
−
⎪
≠
⎪
⎪
=
−
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎩
d)
()
2
2, 1
1cos( 1)
,1
(1)
xx
fx

ax
x
x
⎧
⎪
+≤
⎪
⎪
⎪
=
−+
⎨
⎪
>−
⎪
⎪
+
⎪
⎩
−


C. H
ướng dẫn và đáp số
1. a)
1
0[1
1
x
x

x
+
≥⇔∈−
−
,1).
Phgia 2011
5
b) .
00
[0, ) \
sin 0
xx
x
xxkπππ
⎧⎧
⎪⎪
≥≥
⎪⎪
⇔⇔∈+∞
⎨⎨
⎪⎪
≠≠
⎪⎪
⎩⎩
]
c) .
()
2
40
4

;2
24
280
x
x
x
xx
xx
⎧
⎧
⎪
⎪
−>
<
⎪
⎪
⎪
⇔⇔∈
⎨⎨
⎪⎪
<− ∨ >
−−>
⎪⎪
⎩
⎪
⎩
−∞−
d)
() ( )
sin 0 2 2 1 4 , 4 2 ,

22
xx
kkxkk
ππ
ππ>⇔ < < + ⇔∈ + ∈]k.
e)
()
22
22
0
0
10 ,10 ,
cos lg 0
2lg 2
22
kk
x
x
xk
x
kx k
ππ
ππ
ππ
ππ
−+ +
⎧
⎪
>
⎧

⎛⎞
⎪
⎪
>
⎟
⎪⎪
⎜
⎪⎪
⎟
⎜
⇔⇔∈
⎨⎨
⎟
⎜
⎟
⎪⎪
>
⎜
⎟
−+ < <+
⎝⎠
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎩
]∈.
f)
231

1
10
1
21
11
11
3
21
13
11
10
11
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
xx
⎧
⎪
+
⎧
⎪
⎪
+= ≥
⎪
⎪

⎡⎤
<− ∨ ≥−
⎪
⎪
⎪⎪
++
⎢⎥
−≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ∈−
⎨⎨
⎢⎥
⎪⎪
−+
+
⎪⎪
⎣⎦
−< ≤
−= ≥
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
++
⎪
⎩
,1.
2. a)
22 2
2
20,940
3

20
0
2
xx y y
yxx y
y
⎧
⎪
−−+ = Δ=− ≥
⎪
⎪
=+−⇔ ⇒≤≤
⎨
⎪
≥
⎪
⎪
⎩
.
Cách 2. .
1, 2D
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
2
22
91
02 2
42

yxx xx x
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
≤= +− = −− = − − ≤
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
3
2
.
b) :D
1
cos 2 2
23 3
xkx
ππ
ππ≤⇔−+ ≤≤+k
()
110
lg 1 2 cos 1 2 cos 10 1 cos 1
2
y
y
yxx x
−

=− ⇔− =⇒−≤ = ≤

010 3 lg3
y
y⇒< ≤⇔−∞≤≤
.
Cách 2.
()
1
1 cos 1 1 2 cos 3 lg 1 2 cos lg 3
2
xxy−≤ < ⇔≤−<− ≤ ⇔−∞< = − ≤x.
c)
()
2
22
22
arccos cos , 0, cos 2 cos 0
11
xx
yyyyx
xx
π
⎡⎤
=⇔=∈⇔−+
⎢⎥
⎣⎦
++
xy=

22
1cos sin 0,
0,
0,
0,
y
yyy
y
y
y
π
π
π
⎧
⎧
⎪
⎪
∈
Δ= − = ≥ ∀
⎪
⎪
⎪⎪
⎡
⎤
⇒⇒
⎨⎨
⇔∈
⎢
⎥
⎡⎤ ⎣⎦

⎡⎤
⎪⎪
∈
∈
⎢⎥
⎪⎢⎥ ⎪
⎣⎦
⎣
⎦
⎪
⎩
⎪
⎩
\
.
Cách 2. Ta có
2
2
11,
1
x
xy
x
π
0,
⎡
⎤
−≤ ≤ ∀∈ ⇒ ∈
⎢
⎥

⎣
⎦
+
\
.
3. a)
{} ( ) ( )
12 1 2 1 2
12
11
,\0:xx fx fx x x
xx
∀∈ = ⇒=⇒=
\
⇒ ĐPCM.
Phgia 2011
6
b)
2
2
2
1, 1 , 1 1 :
1
x
yx yy
x
⎡⎤
∀∈− ∃=± − ∈ =
⎢⎥
⎣⎦

+
\

22
2
2
do 2 0, 1 0
1
x
yyxxy y
x
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=⇔−+=Δ=−≥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
.
c) Do
1
1ln ln
x
ye x y x y
+

=⇔+=⇔=−1

nên
(
)
1
0, , ! ln 1 :
x
yxyy
+
∀∈ +∞∃ = − =e
.
4. a)
{}
1
\1: 1
1
x
xD y yyx x
x
−
∀∈ = − = ⇔ + =−
+
\

() { }
1
,\
1
y

xyfD
y
−
⇔= ∀∈ = −
+
\
1
0
.
b)
22
:220,1xD yx x x xy y
′
∀∈ = = − ⇔ − − = Δ=+ ≥\
()
11, [1,xyyfD⇔=± +∀∈ =−+∞) ⇒ Hàm số không có hàm ngược.
c)
2
:2202
1
12
x
xx x
x
y
xD y y y
y
∀∈ = = ⇔ − += ⇔ = >
−
+

\
0

() ( )
2
log , 0,1
1
y
xyfD
y
⇔= ∀∈ =
−
.
d)
()
2
1
,: 3log12
2
xD y x
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
∀∈ =−∞ = −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜

⎝⎠

()
/3
/3
12
12 2 ,
2
y
y
xx yfD
−
⇔− = ⇔ = ∀∈ =\
.
5. a)
()
()
() ()
()
()
2
42
,2
x
gx
f fx fx x ggx
⎡⎤
== ==
⎢⎥
⎣⎦

2,
x
()
()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
22, 22
fx
xx
fgx gx gfx
⎡⎤
=== ==
⎢
⎥
⎣
⎦
.
b)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
2
2
22
25 25225ffx fx fx x x x x
⎡⎤
=−+=−+−−+
⎢⎥
⎣⎦
5+
0,

43 2
412162xx x x=− + − +


()
()
()
()
1
1
1
21

2
,
15
2
2
2
x
gx
x
x
ggx
xx
gx
x
+
+
+
−
−
== =
+−+
−
−
−


()
()
() ()
()

2
2
2
2
11416
25 2 5
22
2
xx xx
fgx gx gx
xx
x
⎛⎞
++ −+
⎟
⎜
⎡⎤
⎟
=−+= −+=
⎜
⎟
⎢⎥
⎜
⎣⎦
⎟
⎜
−−
⎝⎠
−
25

,

()
()
()
2
2
2
26
25
23
xx
gfx gx x
xx
−+
=−+=
−+
.
Phgia 2011
7
c)
()
()
()
1
1
11 1
12
1
x

x
x
x
fx
+
+
===
++
+
(
ff
,
(
)
)
(
)
(
)
arctg arctg arctgggx gx x==

()
(
)
(
)
11
1arctg
1
fgx

x
gx
==
+
+
,
()
()
()
()
1
arctg arctg
1
gfx fx
x
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
==
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
⎝⎠
.
d)
()

()
()
()
2
22
ln 1 ln ln 1 1ffx f x x=+= ++

,
()
()
()
()
()
4
4
4
cos cos cosggx gx x==

()
()
()
()
2
24
1lncos 1fgx g x x=+= +
,

()
()
()

()
()
4
4
2
cos cos ln 1gfx fx x==+.
6. a)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
33
11 ,fx x x fx x−= + + − = ∀∈ ⇒\
chẵn.
f
b)
(
)
(
)
,
xx
fx a a fx x
−
−= + = ∀∈\

⇒ chẵn.
f
c)
() () ( )
11
ln ln , 1,1
11
xx
fx fx x
xx
+−
− = =− =− ∀ ∈ −
−+
⇒ lẻ.
f
d)
() ()
()
22
2
2
2
1
ln 1 ln 1 ln
1
xx
fx x x x x
xx
⎛⎞
+−

⎟
⎜
−= −+ +− ⎟= + − =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
++

()
()
2
2
1
ln ln 1 ,
1
xxfxx
xx
==−++=−∀
++
\
f
∈ ⇒ lẻ.
7. a) vì 2T π=
()()()()
11
2sin2 sin24 sin36
23

fx k x k x k x kππ π+= ++ ++ +π
()
11
sin sin 2 sin 3 ,
23
xxxfxk=+ + = ∈] .
b) . c) 6T π=
2
T
π
λ
=
. d)
() ()
1
1cos2
2
fx x T π=− ⇒=.
8. Để chứng minh một dãy không có giới hạn, ta chỉ cần chỉ ra nó hai dãy con có giới hạn khác nhau
như sau
a) Khi k →∞, ta có
22
221
11
11,1
22
kk
kk
xx
+

+
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
=+ → =−+ →−
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
1
1
.
b) Khi k → , ta có ∞
()
241
2sin2 00, 41sin 2 41
2
kk
xkk x k k kππ
+
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
==→=++=+→
⎜
⎟

⎜
⎟
⎜
⎝⎠
π
+∞
.
c) Khi k →∞, ta có
Phgia 2011
8
(
)
421
22 1
88
cos 2 2, cos 0 0
41 41 22 2
kk
k
kk
xkx k
kk k
ππ
+
+
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
==→= +=

⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++ +
⎝⎠
π
→

9. a)
()()
()()
()()
()()
44 44
11
44 44
11
11 11
lim lim 0
11 11
nn
nn
nn
nn
nn
→∞ →∞
+−− +−−
==

++− ++−
.
b)
(
)
(
)
2
11
3
2
3
23
23 2
lim lim 3 do lim 0
3
23
1
n
n
nn
nn n
nn n
++
→∞ →∞ →∞
+
⎛⎞
+
⎟
⎜

⎟
==
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
+
=
.
c)
()
1
11
lim 1 lim lim
2
11
nnn
n
n
nn n
nn
→∞ →∞ →∞
+− = = =
++ ++
1
.
d)

()
()
3
3
2
3
233
3
1
lim 1 lim 0
11
nn
nn
nn n n
∞−∞
→∞ →∞
+− = =
−−+−

e)
2
sin !
lim 0
1
n
nn
n
→∞
=
+

vì
22
sin ! 1
0
11
nn n
n
nn
≤≤
++
≤
và
1
lim 0
n
n
→∞
= .
f)
()
()
()
()
1
1
1
1
lim lim 1
1
1

n
n
n
n
n
nn
n
n
n
−
→∞ →∞
−
+−
+
==
−−
−
vì
() ()
11
1
lim lim lim 0
nn
nn n
nnn
→∞ →∞ →∞
−−
==
=
.

10.a )
()
2
1
11 1
1

2
48 2
2
22
lim 2. 2. 2 2 lim 2 lim 2 2
n
n
n
nnn
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
−
+++
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
→∞ →∞ →∞

===.
b)
21
2
1 1 1 1
lim lim :
111
1
nnn
n
nn
aa a a b b
ab
bb b
++
→∞ →∞
++ + + − − −
==
−−
++ + +
1
a−
.
c)
()
11 1 111 11
lim lim 1
1.2 2.3 2 2 3 1
1
nn

nn
nn
→∞ →∞
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛
⎢⎥
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎞
⎟
⎢
⎥
⎟⎟
+ ++ = −+−++−
⎜⎜ ⎜
⎢⎥
⎟⎟
⎟
⎟
⎢
⎥
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
+
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝
+⎢⎥
⎟

⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣⎦

1
lim 1 1
1
n
n
→∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=− =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
⎝⎠
.
d)
lim 0
!
n

n
e
n
→∞
=
vì
3
2
19
0 . .
! 123 2 3 23
n
n
eeeee e e
e
nn
⎛⎞ ⎛⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
≤= ≤ =
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
và
lim 0
3

n
n
e
→∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
.
11.a)
()()
3
0/0
3
77
44
23 3 20
220
lim lim
92 92
xx
xx
xx

xx
→→
+− + − +
+− +
=
+− +−

()
(
)
(
)
()
(
)
(
)
22
33
33
32 32
44
44 44
77
11
0/0
23 23
92020 932020
7
1

77
92 94 98 92 94 98
lim lim
xx
xx
xx xx
x
xx
xxx xxx
−−
++ ++
++++ + +++
−
→→
++ ++ ++ ++ ++ ++
+−
==
11
627
1
32
112
27
−
==
.
Phgia 2011
9
b)
()()

3
0/0
3
22
00
cos 1 1 cos
cos cos
lim lim
sin sin
xx
xx
xx
xx
→→
−+−
−
=

22
22
33
33
22
22 22
00
22 22
2sin 2sin
cos 1 1 cos
cos 1 cos 1
1 cos cos 1 cos cos

lim lim
4sin cos 4sin cos
xx
xx xx
xx
xx
xx
xx xx
→→
−
−−
−+
++
++ ++
==

3
3
2
0
11
111 1
cos 1
1cos cos
lim
2223
x
x
xx
→

−
+
⎛⎞
+
++
⎟
⎜
⎟
=−+=−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
12
.
c)
0/0
ln
00
11
lim lim ln ln
ln
xxa
xx
ae
a
xxa
→→

−−
==
a
.
d )
(
)
()
()
0/0
00
1
lim lim .
abx
bx
ax bx
xx
ee
ee
ab ab
x
abx
−
→→
⎡⎤
−
⎢⎥
−
⎣⎦
=−

−
=−
.
e)
(
)
tg
0/0
tg
00
1
lim lim 1
tg tg
xxx
xx
xx
ee
ee
xx xx
−
→→
−
−
==
−−
.
f)
()
(
)

(
)
0/0
00
22
1
lim lim
sin sin
2cos .sin
abx
bx
ax bx
ab
ab
xx
ee
ee
ax bx
xx
−
+
−
→→
⎡
⎤
−
⎢⎥
−
⎣⎦
=

−
(
)
()
()
()
2
0
2
1
lim . 1
sin
ab
abx
ab
x
x
e
abx x
−
−
−
→
−
==
−
.
g)
0/0
ln

11
1
lim lim 1
ln ln
xxx
xx
xe
xx xx
→→
−−
=
1
=
.
h)
()
()
()
()
0/0
00
ln 1 cos 1
ln cos
lim lim
ln cos
ln 1 cos 1
xx
ax
ax
bx

bx
→→
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
=
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦

(
)
(
)
0 0
ln 1 cos 1
cos 1 cos 1 cos 1
lim . . lim
cos 1 cos 1 cos 1
ln 1 cos 1
x x
ax
bx ax ax
ax bx bx
bx
→ →
⎡⎤
+−

−−
⎢⎥
⎣⎦
==
⎡⎤
−−
+−
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦

(
)
(
)
2
22
22
2
22
2222
00
22
2
2sin sin
lim lim . .
2sin sin

ab
ax ax
xx bx
xx
ax
aa
bb
→→
−
==
−
2
=
.
i) Đặt
(
)
(
)
arcsin sinfx x x fx=⇒=
và . Ta được
()
00xfx→⇒ →
()
()
()
0/0
0
0
2arcsin 2 2

lim lim
55
sin
x
fx
fx
x
x
fx
→
→
==
5
.
j)
1
0/0
1/
0.
1
lim 1 lim 1
1/
x
x
xx
e
xe
x
∞
→∞ →∞

⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
⎜
−= =
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝⎠
.
k)
()
2
lim 1
x
xx x
→−∞
+− =−∞,
()
2
2
1
lim 1 lim
2
1
xx

x
xx x
xx
→+∞ →+∞
+− = =
++
.
Phgia 2011
10
l)
()
32 2
3
lim 3 2
x
xx xx
→−∞
+−+=−∞,
()()
32 2
3
lim 3 2
x
xxxxxx
→+∞
⎡
⎤
+−+−+
⎢
⎥

⎢
⎥
⎣
⎦

(
)
2
22
32 322
3
3
32
lim
2
33
x
xx
xx x
xx xxxx
→+∞
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
++
++++
⎢⎥

⎣⎦

2
222
32
lim 0
x
xx
xx
xxx
→+∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
++
⎝⎠
=
. (Thay thế VCL tương đương).
12.a)
(
)
21

21
21
1
1
2
23 2
lim lim 1
21 21
x
x
x
x
xx
x
e
xx
∞
+
+
+
+
→∞ →∞
⎡⎤
⎢⎥
⎛⎞ ⎛ ⎞
+
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎟⎟

=+
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎟⎟
⎜⎜
++
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
=
.
b)
2
2
2
2
3
2
2
2
1
3
3
22
13
lim lim 1
22
x

x
x
x
xx
x
e
xx
∞
−
−
→∞ →∞
⎡⎤
⎢⎥
⎛⎞
⎛⎞
+
⎟
⎟
⎜
⎜
⎢⎥
⎟
⎟
=+ =
⎜
⎜
⎟
⎟
⎢⎥
⎜

⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
−−
⎝⎠
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
c)
2
1
2
1
1
22
11
1
2
22
11
00
lim 2 1 lim 1 2 2
x
x
x
x

x
e
x
x
xx
x
e
xx
xx
ee
+
∞
+
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟+
⎜
⎟
⎟

⎜
⎝⎠
−
++
→→
⎡⎤
⎢⎥
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎟⎟
⎜⎜
−= +− =
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎥
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
e , vì
22
1
1
00

1
11
lim 2 2 2 lim . 2
1
x
x
x
x
x
xx
x
xex
e
xx
+
+
→→
+
⎛⎞
+−+
⎟
⎜
⎟
⎜
−=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟+

⎜
⎝⎠
1
=
.
d)
()
3
33
tg sin
111sin
sin 1 sin
1
tg sin
sin sin
00 0
1 tg 1 tg tg sin
lim lim 1 1 lim 1
1sin 1sin 1sin
xx
x
xx
xx
xx
xx x
xx xx
e
xx x
∞
−

+
+
−
→→ →
⎡⎤
⎢⎥
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
++ −
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎢⎥
⎟⎟⎟
=+ −= + =
⎜⎜ ⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎢⎥
⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎜
++ +
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣
⎦
, vì
()
2
2
222
3

000
22
2sin
tg sin 1 cos 1
lim lim lim
2
sin 4 sin cos
sin 1 sin
x
xx
xxx
xx x
x
xx
→→→
−−
==
+
=
.
e)
() ()
()
()
2
sin
2
2cos 1
2
2

2
2
2
11
1
1
cos1 cos1
00 0
1
lim cos lim 1 cos 1 lim 1 cos 1
x
x
x
x
x
xx
xx x
xx x
e
−
−
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜

⎝⎠
∞
−
−−
→→ →
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=+− =+− ==
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
e.
f)
() () ()
2
2
2
22
2
2
11 1
1cos
1
sin
22 2
1cos
2
00 0
lim 1 lim 1 lim 1
x

xx
x
xe
xx
xx x
x
xe xe
xx x
xe xe xe e
∞
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
−
−
→→ →
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
+=+ =+
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

2
=
.
Phgia 2011
11
13.a)
0
1
lim
x
x
+
→
=+∞, b)
1/
0
lim
x
x
e
+
→
=+∞
1
1
lim
1
x
x
−

→
=−∞
−
,
(
)
1/ 1
1
1
lim
2
x
x
−
−
→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=+∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

c)
0

lim 1
x
x
x
+
→
=
,
0
lim 1
x
x
x
−
→
=−
d)
3
3
lim 1
3
x
x
x
+
→−
+
=
+
,

3
1
lim
3
x
x
−
→−
=−∞
+

14.a)
()
()
2
2
00 0
sin sin
lim lim lim 1
sin
xx x
fx
xx x
x
xx
gx
→→ →
===
.
b)

(
)
()
(
)
(
)
2
2
22
00 0
22
sin
1cos
lim lim lim 1
x
xx x
xx
fx
x
gx
→→ →
−
==
=
.
c)
()
()
ln

00 0
11
lim lim lim 1
ln ln
xxa
xx x
fx
ae
xa xa
gx
→→ →
−−
==
=

d)
()
()
2
00 0
1
lim lim lim . . 1
sin2 sin sin 2cos 1
xx x x
xx x
fx
ee e x e
xx x x x
gx
→→ →

−−
==
−−
=

15.a)
(
)
(
)
23
0/0
23
23
23
00
ln 1 3 2
32
lim lim lim
33
34
ln 1 3 4
xx
xx x
xx x x
x
xxx
xxx
→→
+− +

−+
==
−+
+− +
0
1
x→
=
.
b)
()
()
1
0/0 0/0
1
11 1
sin 1
11
lim lim lim 1
ln 1
ln 1 1
x
x
xx x
e
ex
xx
x
−
−

→→ →
−
−−
==
−
+−
=
.
c)
0/0
2222
2
000
1cos2 tg 2sin tg 2
lim lim lim 3
sin sin
xxx
xx xx xx
xx xx
x
→→→
−+ + +
==
2
=
.
d)
(
)
0/0

2
22
00
ln 1 3 sin
3sin 3
lim lim lim 3
tg
xxx
xx
xx x
xx
→→→
+
==
2
0
x
=
.
e)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

2
2
0/0
2
2
34 3 2
000
11cos 2sin
2.
1
lim lim lim
2
x
x
x
xxx
exx
xx x x
→→→
−− −
==−
+
=−
.
f)
2
0/0
22
2
2

sin 1 cos
000
1sincos
sin 2
lim lim
sin sin
1sincos
xx x
xxx
xx x
xx x
xx x
xx x
+−
→→→
++
==
+
+−
lim
2
22
0
2
lim 1
x
x
xx
→
==

+
.
16.a) •
()
sin
0:
x
xfx
x
>=
và
()
sin
0:
x
xfx
x
<=−
là các hàm sơ cấp nên liên tục.
• 0:x =
() ()
00
sin
lim lim 1 1
xx
x
fx f
x
++
→→

=== ⇒ liên tục phải tại .
f
0x =

() ()
00
sin
lim lim 1 1
xx
x
fx f
x
−−
→→
==−≠
−
⇒ không liên tục trái tại .
f
0x =
⇒ không liên tục tại . Vậy liên tục trên
f
0x =
f
{
}
\0\
.
Phgia 2011
12
b) •

()
11: cos
2
x
xfx
π
−< < = và là các hàm sơ cấp nên liên
tục.
()
11:xxfxx<− ∨ > = −1
• 1:x =
() ( ) ()
11
lim lim 1 0 cos 1
2
xx
fx x f
π
++
→→
=−=== ⇒ liên tục phải tại .
f
1x =

() ()
11
lim lim cos 0 1
2
xx
x

fx f
π
−−
→→
=== ⇒ liên tục phải tại .
f
1x =
⇒ liên tục tại .
f
1x =
• 1:x =−
() (
11
lim lim cos 0 1
2
xx
x
fx f
π
++
→− →−
===
)
f
− ⇒ liên tục phải tại . 1x =−

() ( ) ()
11
lim lim 1 2 0 cos 1
2

xx
fx x f
π
−−
→− →−
=−=−≠==− ⇒ không liên tục trái
tại ⇒ không liên tục tại . Vậy liên tục trên
f
1x =−
f
1x =−
f
{
}
\1−\
.
17.a) liên tục trên liên tục tại
f
⇔\
f
0x =
⇔
() ()
00
1
lim 0 lim sin 0
xx
fx f x a a
x
→→

=⇔ =⇔=.
Do
0
1
lim sin 0
x
x
x
→
= theo tiêu chuẩn kẹp vì
1
0sinxx
x
≤≤
và
0
lim 0
x
x
→
= .
b)
f
liên tục trên liên tục tại ⇔
⇔\
f
2x =
() ()
2
lim 2

x
fx f
→
=
()
2
22
32
lim lim 1 1
2
xx
xx
axaa
x
→→
−+
⇔=⇔−=
−
⇔=
.
c)
f
liên tục trên liên tục tại ⇔
⇔\
f
2x =
() ()
2
lim 2
x

fx f
→
=
() ()
()
22
sin3 2 sin3 2
lim 3 lim 3
2
32
xx
xx
aa
x
x
→→
−−
⇔=⇔ =
−
−
a⇔=
.
d) Ta có
()
()
()
()
()
()
2

1
22
2
22
11 1
1
2
sin
1cos 1
1 lim lim lim .
22
1
ax
xx x
ax
ax
aa
ffx
x
++ +
+
+
→− →− →−
+
⎡⎤
⎢⎥
−+
⎣⎦
−= = = =
⎡⎤

+
⎢⎥
⎣
⎦
,
(
)
(
)
(
)
(
)
11
1lim lim21
xx
ffxx
−−
−
→− →−
−= = +==−1f
.
Vậy
f
liên tục trên liên tục tại ⇔ liên tục phải và trái tại
⇔\
f
1x =−
f
1x =−

() ()
()
2
111 1
2
a
fff a
+−
⇔− =− =−⇔ =⇔=±2
.

Phgia 2011
13
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến

A. Lý thuyết

• Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Công thức vi phân và
ứng dụng của vi phân. Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản. Các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của
tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp). Công thức tính đạo hàm và vi phân cấp cao.
• Ứng dụng của phép tính vi phân: Công thức Taylor, Maclaurin. Các quy tắc L’Hospital.
Khảo sát hàm số.

B. Bài tập
1. Tính các đạo hàm của các hàm số
a)
3
2
2
yx

x
=−
b) c)
1/x
yx=
()
tg
sin
x
yx=
d) e) f)
arctgx
ye=
(
2
3
log sinyx=−
)
x
1
arctg
1
x
y
x
−
=
+

g)

3
siny= x h)
2
2
1
khi 1

khi 1
x
e
xe x
y
x
−
⎧
⎪
≤
⎪
⎪
=
⎨
⎪
>
⎪
⎪
⎩
i)
()()
1 , 1
12, 1

2, 2
2

xx
yxxx
xx
⎧
⎪
−<
⎪
⎪
⎪
=− − ≤≤
⎨
⎪
⎪
−>
⎪
⎪
⎩

2. Cho hàm số liên tục tại xa.
()
xϕ
=
a) Chứng minh rằng
(
)
(
)

(
)
fx x a xϕ=−
có đạo hàm tại . Tính xa=
()
.fa
′
b) Tìm điều kiện của để
()
aϕ
() ()
gx x a xϕ=−
có đạo hàm tại . xa=
3. Tính vi phân của các hàm số sau đây
a)
(
1
arctg , 0
x
y
aa
=≠
)
a
b)
(
arcsin , 0
x
ya
a

=
)
≠ c)
()
1
ln , 0
2
xa
ya
axa
−
=≠
+

4. Dùng vi phân cấp 1 tính gần đúng giá trị các biểu thức sau
a)
4
1
0, 983
A =
b)
(
)
50
1, 0 03B =
c)
1,003
Ce=
d) e) f)
ar

lg11D =
0
sin 60 3 'E =
ctg1,05F =
5. Cho
()
3
fx x=

a) Tính
(
)
(
)
&fx f x
′′′
b) Có tồn tại không?
()
0f
′′′
6. Tính đạo hàm và vi phân cấp 2 của các hàm số
a)
(
2
1yx x=+ +
)
x
e
b) c)

cos x
ye=
2
arctgyx=
7. Chứng minh rằng
a) Hàm số thoả phương trình .
cos sin
x
ye=+
2
0
x
yyye
′′ ′
−+ =
phgia 2011
14
b) Hàm số thoả phương trình .
() (
cos ln sin lnya x b x=+
)
2
0xy xy y
′′ ′
++=
8. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây
a)
1
y
ax b

=
+
b)
(
)
sinyax=+b
c)
log
a
y= x
x

d) e) f)
2
sin 2 .cos 5yx=
22x
yxe
−
=
2
sin 2yx x=
9. a) Khai triển đa thức
(
)
32
32px x x x=+ −+4
3
theo các luỹ thừa của nhị thức . 1x −
b) Khai triển hàm số đến cấp 2 tại . Từ đó tính giá trị gần
đúng của

()
87 6
25fx x x x x=−+−+
2x =
(
)
1, 9 7f
và
(
)
2, 02f
.
10. Viết công thức Maclaurin của các hàm số
a)
()
2
1
32
fx
xx
=
−+
b)
()
1
x
fx
x
=
+

c)
(
)
2
cosfx x= d)
(
)
x
fx xe=
11. Sử dụng các quy tắc L’Hospital tính các giới hạn sau đây
a)
3
0
arctg
lim
x
x
x
→
− x
b)
0
sin
lim
tg
x
x
xx
→

−
−
x
c)
()
1
2arctg
lim
ln 1
x
x
x
→+∞
−
+
π

d)
3
3
6
0
1
lim
sin 2
x
x
e
x
→

−−x
e)
0
lim
sin 2 cos 3
xx
x
ee
xx
−
→
−
f)
0
lim
xx
x
x
ab
cd
→
−
−
x

g)
()
()
0
ln sin 2

lim
ln sin
x
x
x
+
→
h)
()
lim i) 2arctg ln
x
xx
→+∞
−π
1
1
lim
1ln
x
x
xx
→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜

⎟
⎜
−
⎝⎠

j)
0
1
lim cotg
x
x
x
→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
k)
()
1
2
1
lim

cos .ln 1
x
x
x
π
−
→
−
l)
(
)
2
2
lim tg
x
x
x
−
→
π
π

m) n)
sin
0
lim
x
x
x
+

→
tg
0
1
lim
x
x
x
+
→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
o)
tg
2
lim 2
x
a
xa
x
a
π

→
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

12. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
a)
3
2
4x
y
x
+
=
b)
2
1
x
y
x
=
−

c)
x
e
y
x
=

d)
ln x
y
x
=
e)
2
2
3
x
y
x
−
=
+
f)
()()
22
33
11yx x=+−−


C. Hướng dẫn và đáp số

1. a)
2/3 1/2 1/3 3/2
3
3
22
2
3
3
yx x y x x
x
x
−−−
′
=− ⇒= + = +
1
.
phgia 2011
15
b)
()
11 1
ln ln 2
1/
22
111
.ln ln 1ln
xx
x
xx x
ye y e x x x x x

x
xx
−
′
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜
′
⎟⎟
=⇒= =− += −
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠
.
c)
()
tg lnsin tg ln sin tg
2
ln sin
tg ln sin (sin ) 1
cos
xx xx x
x
ye y e x x x
x
⎛⎞
′

⎟
⎜
′
⎟
=⇒= =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
.
d)
arctg
2
1
x
e
y
x
′
=
+
.
e)
()
2
2cos
sin ln 3

xx
y
xx
−
′
=
−
.
f)
()
()
()
()()
()
()()
2
22
2
2
1
1
1
2 2
22
11
1
1
1
21
1

12 12
1
x
x
x
xx
x
x
x
y
x
xx xx
−
+
+
++−
−
+
+
′
−
′
===− −
+
++ +−+
+
.
g) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ vì π
(
)

(
)
(
)
3
33
sin sin sinyx k x k x x yxππ+= + =± = =

nên ta chỉ xét . Ta có
0,x π
⎡
∈
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
3
sin , 0,yxxπ
⎡
⎤
=∈
⎢
⎥
⎣
⎦
.
• .
()
2

0, : 3 sin cosxyxπ
′
∈= x
•
()
() ()
3
2
000
0
sin 0 sin
0 : 0 lim lim lim sin 0
0
xxx
fx f
xx
xy x
xxx
+++
+
→→→
−
−
′
== = =
−
=
.
•
()

() ()
3
sin 0
:lim lim
xx
fx f
x
xy
xx
ππ
π
ππ
ππ
−−
−
→→
−
−
′
== =
−−

()
()
2
0
sin
lim sin 0
x
x

x
x
π
π
π
+
→
−
=− − =
−
.
Vậy
22
3sin cos , 0, 3sin cos ,yxxx yxxxπ
⎡
⎤
′′
=∈⇒=
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
\
.
h) •
(
)
222
23

11: 2 2 21
xxx
xyxe yxe xe xxe
−−−
′
−< < = ⇒ = − = −
2
2x−

•
1
11:xxyy
e
′
<− ∨ > = ⇒ =
0
.
• 1:x =−
()
(
)
(
)
2
2
1
11
1
1 lim lim
11

x
e
xx
fx f
xe
y
xx
++
−
+
→− →−
−−
−
′
−= =
++

2
21
1
11
lim
1
x
x
xe
ex
+
−+
→−

−
=
+
()
2
1
2
1
11
lim . 1 0
1
x
x
e
x
e
x
+
−+
→−
−
=−
−+
+=
.

()
(
)
(

)
()
11
11
1
1lim lim 0 1
11
ee
xx
fx f
yy
xx
−+
−
→− →−
−−
−
′′
−= = =⇒−=
++
0
.
phgia 2011
16
•
1:x =
()
() ()
11
11

1
1 lim lim 0
11
ee
xx
fx f
y
xx
−+
+
→→−
−
−
′
==
−+
=
.

()
() ()
2
2
2
21
1
111
1
11
1 lim lim lim

11
x
x
e
xxx
fx f
xe
xe
y
xxex
−−−
−
−+
−
→→→
−
−
−
′
===
−−
1
−

()
2
1
2
1
11

lim . 1
1
x
x
e
x
ee
x
−
−+
→
−
=−−
−+
2
=−

⇒ không tồn tại đạo hàm của tại .
f
1x =
i) • .
1: 1 1xy xy
′
<=−⇒=−
•
(
)
(
)
(

)
(
)
12:12 2 1 2xy xxy x xx
′
<< =− −⇒=−−−−= −3
.
• .
2: 2 1xyx y
′
>=−⇒=
•
()
()()
()
()
11
12
1
1: 1 lim 1, 1 lim 1 1 1
11
xx
xx
x
xy y y
xx
+ −
+−
→→
−−

−
′′
= = =− = =− ⇒ =−
−−
′
.
•
() ()
()()
()
22
12
2
2: 2 lim 1, 2 lim 1 2
22
xx
xx
x
xy y y
xx
+−
+−
→→
−−
−
/
′′
== =−= =⇒∃
−−
′

.
2. a) Ta có
() () ()()
() () ()
0
lim lim
xa xa
fx fa x a x
afa a
xa xa
ϕ
ϕϕ
→→
−−−
′
==⇒
−−
=
.
b) Ta có
()
() () ()()
()
lim lim ,
xa xa
gx ga x a x
ga a
xa xa
ϕ
ϕ

++
+
→→
−−
′
==
−−
=

()
(
)
(
)
(
)
(
)
()
lim lim
xa xa
gx ga x a x
ga a
xa xa
ϕ
ϕ
−−
−
→→
−−−

′
== =
−−
−
.
Vậy
(
)
gx
có đạo hàm tại .
() ()
() () ()
0x a ga ga a a aϕϕϕ
+−
′′
=⇔ = ⇔ =− ⇔ =
3. a)
()
1
22
1
1
a
x
a
dx
dy y dx dx
a
xa
′

== =
+
+
2
.
b)
() (
22 22
0, 0
dx dx
dy a dy a
ax ax
=>=−
−−
)
<
.
c)
()
()
2
2
11
22
a
xa
xa
xa
xa
xa

xa xa
xa
dy dx dx
aa x
−
+
+
+
−
+−
′
+
== =
−
a
.
4. Trong bài này, ta áp dụng công thức
()()()
fa x fa f a x
′
+Δ ≈ + Δ (*).
a) Đặt
phgia 2011
17
() ()
4
4
5
11
4

fx f x
x
x
′
=⇒ =−
và .
() ()
1, 0, 01 7 1, 0 .2 5ax fafa
′
= Δ =− ⇒ = =−
Áp dụng công thức (*), ta được
()
1 0,25 0, 017 1,00425Afa x=+Δ≈+× =
.
b) Đặt
() ()
50 49
50fx x f x x
′
=⇒ =
và
(
)
(
)
1, 0,003 1, 50ax fafa
′
=Δ= ⇒ = =
.
Áp dụng công thức (*), ta được

(
)
1 50 0,003 1,15Bfa x=+Δ≈+× =
.
c) Đặt
() ()
xx
fx e f x e
′
=⇒ =
và
(
)
(
)
1, 0,003 ,ax faefa
′
=Δ= ⇒ = =e
.
Áp dụng công thức (*), ta được
(
)
0, 003 1,003Cfa x ee=+Δ≈+× = e
.
d) Đặt
() ()
1
lg
ln10
fx x f x

x
′
=⇒ =
và
() ()
1
10, 1 1,
ln10
axfafa
′
=Δ=⇒ = =
.
Áp dụng công thức (*), ta được
()
1
1
ln10
Dfa x=+Δ≈+
.
e) Đặt
(
)
(
)
sin cosfx x f x x
′
=⇒ = và
() ()
33
,3 ,

3 60 180 3600 2 2
ax fa fa
πππ×
′′
=Δ== = ⇒ = =
×
1
.
Áp dụng công thức (*), ta được
()
3
2 3600
Efa x
π
=+Δ≈+ .
f) Đặt
() ()
2
1
arctg
1
fx x f x
x
′
=⇒=
+
và
() ()
1
1, 0, 05 ,

42
ax fafa
π
′
=Δ= ⇒ = =
.
Áp dụng công thức (*), ta được
()
0, 025
4
Ffa x
π
=+Δ≈+ .
5. a) • Tính .
()
fx
′
* * .
() ()
32
0: 3xfxxfx
′
>=⇒=x x
() ()
32
0: 3xfxxfx
′
<=−⇒=−
*
0:x =

phgia 2011
18
()
() ()
()
() ()
()
()
2
00
2
00
0
0 lim lim 0
0
00
0
0 lim lim 0
0
xx
xx
fx f
fx
x
f
fx f
fx
x
++
−−

+
→→
−
→→
⎧
⎪
−
⎪
⎪
′
===
⎪
⎪
−
′
⇒=
⎨
⎪
−
⎪
⎪
′
==−=
⎪
⎪
−
⎩
.
Vậy
()

2
2
3, 0
3, 0
xx
fx
xx
⎧
⎪
≥
⎪
⎪
′
=
⎨
⎪
−>
⎪
⎪
⎩
.
• Tính .
()
fx
′′
* .
() ()
2
0: 3 6xfxxfx
′′′

>=⇒=x
x
* .
() ()
2
0: 3 6xfx xfx
′′
<=−⇒=−
*
0:x =
()
() ()
()
() ()
()
()
00
00
0
0 lim lim 3 0
0
00
0
0lim lim30
0
xx
xx
fx f
fx
x

f
fx f
fx
x
++
−−
+
→→
−
→→
⎧
⎪
′′
−
⎪
⎪
′′
===
⎪
⎪
−
′′
⇒=
⎨
⎪
′′
−
⎪
⎪
′

==−=
⎪
⎪
−
⎩
.
Vậy
()
6, 0
6, 0
xx
fx
xx
⎧
⎪
≥
⎪
′′
=
⎨
⎪
−>
⎪
⎩
.
b) Ta có
()
() ()
()
() ()

0
0
0
0 lim 6
0
0
0 lim 6
0
x
x
fx f
f
x
fx f
f
x
+
−
+
→
−
→
⎧
⎪
′′ ′′
−
⎪
⎪
′′′
==

⎪
⎪
−
⇒
⎨
⎪
′′ ′′
−
⎪
⎪
′′′
==
⎪
⎪
−
⎩
−
không tồn tại .
()
0f
′′
6. a)
() ()
2
2
23
22
1
1
1

11
xd
yydy
x
xx
′′′
=+ ⇒ = ⇒ =
+
++
3
x
dx
.
b) .
() ()
cos cos 2 2 cos 2 2
sin sin cos sin cos
xx x
yxeyexxdyexx
′′′
=− ⇒ = − ⇒ = −
c)
(
)
(
)
44
2
42
44

22626
1
11
xx
y y dy dx
x
xx
−−
′′′
=⇒= ⇒=
+
++
2
x
x
e
.
7. a)
22
sin cos , sin cos cos sin
xxxx xxxxxxx
yeeeey eeeeeee
′′′
=− + =− − + −
(
)
22
sin cos cos sin
x x xx xx xx x
yyye e ee ee ee e

′′ ′
⇒−+ =− − + −
2
)

()(
2
sin cos cos sin 0
xxxx x xx
eeee e ee−− + + + = .
b)
() ()
sin ln cos ln ,
ab
yx
xx
′
=− + x
phgia 2011
19
() () () ()
22 2 2
sin ln cos ln cos ln sin ln
aa bb
yxxx
xxxx
′′
=−−−
x
.

(
)
(
)
(
)
(
)
2
sin ln cos ln cos ln sin lnxy xy y a x a x b x b x
⎡⎤
′′ ′
⇒++= − − −
⎢⎥
⎣⎦

(
)
(
)
(
)
(
)
sin ln cos ln cos ln sin ln 0axbxa xbx
⎡⎤⎡
+− + + + =
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤

⎥
⎦
3
,
−
.
8. a)
() () ()
12
2
,1! ,2! ,y axb y aaxb y aaxb
−−
′′′
=+ =− + = +
()
(
)
(
)
()
1
1!
nn
n
n
ynaaxb
−+
=− +
.
b)

()
cos sin ,
2
y a ax b a ax b
π
⎛⎞
⎟
⎜
′
⎟
=+=++
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

()
22
cos sin 2 , , sin
22
n
n
y a ax b a ax b y a ax b n
ππ
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
′′

⎟⎟
=++=++ =++
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝
2
π
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
c)
()
()( )
1
12 3
11!
0! 1! 2!
, , , ,
ln ln ln ln
n
n
n
n

yxy xy xy
aa a a
−
−− −
−−
−
′′′′′′
== = =
x
−
.
d) Ta có
()
111
1 cos 4 cos 5 cos 5 cos 9 cos
224
yxxxx=− = − −
1
4
x
.
Thực hiện tương tự câu b), ta được
()
591
cos 5 cos 9 cos
22424
nn
n
yxn xnx
ππ

⎛⎞⎛⎞⎛
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟
=+−+−+
⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜⎜
⎝⎠⎝⎠⎝
2
n
π
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
e) Ta có
() () ()
(
)
()
2
: , 2 , 2, 0, 3, 4,
k
fx x f x xf x f x k

′′′
== ===
()
(
)
() ( )
22
: , 2 , 0,1,2,
k
k
xx
gx e g x e k
−−
==−=
.
Áp dụng công thức Newton-Leibnitz, ta được
()
()
() ( )
() ()
()
()
12
22 2
0
1
. 2 .2 . 2 .2. 2
2
n
nnn

knk
kxx
n
k
nn
fg C f g x e n x e e
−−
−
−−
=
−
==−+−+−
∑
2
n
x−

()()
2
22
44 1.2
n
x
xnxnn e
−
−
⎡⎤
=−+−−
⎢⎥
⎣⎦

.
f) Ta có
() () ()
(
)
()
2
: , 2 , 2, 0, 3, 4,
k
fx x f x xf x f x k
′′′
== ===
()
()
()
: s in2 , 2 sin 2 , 0,1,2,
2
k
k
gx xg x x k k
π
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
==+=
⎜
⎟
⎜
⎟

⎜
⎝⎠
.
Áp dụng công thức Newton-Leibnitz, ta được
()
()
() ( )
0
n
n
knk
k
n
k
fg C f g
−
=
=
∑
2
.2 .sin 2
2
n
xx
π
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=+

⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
n

phgia 2011
20
()
()
()
12
1
.2 .2 .sin 2 1 .2.2 sin 2 2
22
nn
nn
nx xn xn
ππ
−−
⎛⎞ ⎛
−
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
++−+ +
⎜⎜
⎟⎟

⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝
2
⎞
−
⎠

() () ()
2 2
4 sin 2 4 sin 2 1 1 sin 2 2 .2
22
n
xxn nxxn nn xn
ππ
−
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟⎟
⎜⎜ ⎜
⎢⎥
⎟⎟
=+++−+−+−
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎢⎥
⎜⎜ ⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎜

⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
2
π
⎟
⎟
⎟
⎟
,
.
9. a) Ta có
() () () ( ) ()
2
16, 3 62 17, 6 6 112ppxxxp pxxp
′ ′ ′′ ′′
==+−⇒= =+⇒=

(
)
(
)
()
(
)
6 1 6, 0, 4, 5,
k
px p px k
′′′ ′′′
=⇒ = = =

Áp dụng công thức Taylor, ta được
()
(
)
()
() ()
()
()
()
()
()
()
23
0
111
11 1 1
!1!2!3!
k
n
k
k
pppp
px x p x x x
k
=
′ ′′ ′′′
=−=+−+−+
∑
1
1−

()()()
23
67 1 6 1 1xxx=+ −+ − + −
.
b) Ta có
(
)
(
)
(
)
76 5
2 321, 8 14 30 1 2 191,ffxxxxf
′′
==−+−⇒=

() ()
65 4
56 84 150 2 6592fx x x x f
′′ ′′
=−+ ⇒ =
.
Áp dụng công thức Taylor, ta được
()
(
)
()
()()
()

()
()
()()
22
0
222
22 2 20
!1!2!
k
n
k
k
pff
px x f x x x
k
=
′′′
=−=+−+−+
∑
2−

() ()()
22
321 191 2 3296 2 0 2xxx=+ −+ −+−
.
Áp dụng công thức gần đúng
(
)
(
)

(
)
2
321 191 2 3296 2fx x x≈+ −+ −

ta tính được
(
)
(
)
(
)
2
1,97 321 191. 0, 03 3296. 0, 03 318,2364f ≈+ − + − =
,
(
)
(
)
(
)
2
2, 02 321 191. 0, 02 3296. 0, 02 326,1384f ≈+ + =
.
10. a)
() ()()
1
2
111
2

21
32
fx x x
xx
xx
−
==−=−−
−−
−+
1
1
−
−

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11 1 11
1.! 1.! 1.! 1.! 1
01
22

21 1
kk kkk
kk
kk k kk
kk kk
fx f k
xx
++ + ++
⎛⎞
⎟
⎜
−− −−−
⎟
⎜
⎟
⎜
=−⇒=−=+
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+− −
⎟
⎜
⎝⎠
!
,
()

()
(
)
()
()
(
)
(
)
1
1
11
11
11
1.
1!
21
n
n
nn
n
nn
fc
Rx x x
n
cc
+
+
++
++

⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥
==− −
⎢⎥
+
+−
⎢⎥
⎣
⎦
.
Vậy
phgia 2011
21
()
()
()
()
()
()
1
1
111
0
1
11
11 ,0
2
21

k
n
n
kn
knn
k
fx x x c x
cc
+
+
+++
=
⎛⎞ ⎡ ⎤
⎟
⎜
−
⎢⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢⎥
=++− − ∈
⎟
⎜
⎟
⎢⎥
⎜
⎟
⎜

+−
⎟
⎜
⎢⎥
⎝⎠
,
⎣
⎦
∑

b)
() ()() () () ()
11
22
1111
1, 1 , .1
222
1
gx x g x x g x x
x
−−
⎛⎞
⎟
⎜
′′′
⎟
==+ =+ =−+
⎜
⎟
⎜

⎟
⎜
⎝⎠
+
3
2
,

() ()
()
()
() ( )
()
1
52
2 2
1 .1.3 2 1
11 3
1 , , .1
22 2
2
k
k
k
k
k
gx x gx x
−
+
−−

⎛⎞⎛⎞
−−
⎟⎟
⎜⎜
′′′
⎟⎟
=−− + = +
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠⎝⎠
1

()
()
() ( )
() ( )
11
1.1.3 2 1 1.2 1!!
0,
22
kk
k
kk
kk
g
−−
−−−

⇒= =
−

()
(
)
()
()
()( )
()
()
1
23
12
2
1
1.2 1!!
.1
1! 2 . 1!
n
n
n
nn
n
n
fc n
Rx x c x
nn
+
+

−
++
+
−+
== +
++
.
Vậy
() ()
() ( )
()( )
()
()
()
1
23
12
2
1
0
1.2 1!! 1.2 1!!
1,
2. !
2. 1!
kn
n
n
kn
k
n

k
kn
fx xgx x c x c x
k
n
−
+
−
++
+
=
−− −+
== + + ∈
+
∑
0,
.
c)
() ()
()
() ( )
21
cos s in2 , , 2 sin 2 1
2
k
k
fx x f x x f x x k
π
−
⎛⎞

⎟
⎜
′
⎟
= ⇒ =− =− + −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠

⇒
()
()
()
(
)
21
0 khi 2 1
0 1, 0 , 1,2,
1.2 khi 2
k
m
m
km
ff m
km
−
⎧

⎪
=+
⎪
⎪
== =
⎨
⎪
−=
⎪
⎪
⎩

(
)
()
()
()
22
22 21
22
2sin2 2 1
2
22!
m
mm
m
fc
Rx cm
m
π

+
++
+
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
==−+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
⎝⎠
+

Vậy
()
(
)
() ()
23456 212
21
22 2 2
sin 1 1 2 sin 2 2 1 , 0, .
1! 4! 6! 2
2!
mm
m

m
xxx x
xc
m
π
−
+
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=− + − + +− − + + ∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
mcx

11.a)
()
2
1
0/0
1
32
2
000
1

arctg 1 1
lim lim lim
3
3
31
x
xxx
xx
xx
x
+
→→→
−
−
==
+
=
.
b)
(
)
2
2
0/0
2
2
1
000 0
cos
cos 1 cos

sin 1 cos cos 1
lim lim lim lim
tg 1 cos 1 2
cos 1
xxx x
x
xx
xx x x
xx x
x
→→→ →
−
−−
= = =− =−
−− +
−
.
c)
()
2
2
2
0/0 / /
2
1
2
1
1
1
2arctg 2 1

lim lim 2 lim 2 lim 2
2
1
ln 1
1
x
xxxx
x
x
x
xxx
x
x
∞∞ ∞∞
+
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
−
−+
== =
−
+
+
+
π x+
=
.
d) Sử dụng VCB tương đương, ta được
phgia 2011
22
()

(
)
3
3
2
0/0
35
65
00 0
31
13
lim lim lim
128
sin 2 12sin 2
12 2
x
x
xx x
xe
ex x
xx
x
→→ →
−
−−
==
5
1
=
.

e)
0/0
00
2
lim lim 1
sin 2 cos 3 2 cos 2 cos 3 3 sin 2 sin 3 2
xx xx
xx
ee ee
xx xx xx
−−
→→
−−−
==
−
−
=−

f)
0/0
00
ln ln ln ln
lim lim
ln ln
ln ln
xx x x
xx x x
xx
ab aabb a b
cd

cd ccdd
→→
−−
==
−
−−
−
.
g)
()
()
/0/0
2
2
000 0
ln sin 2
2cotg2 2/sin 2 1
lim lim 2 lim 2 lim 1
cotg
1/sin 2cos
ln sin
xxx x
x
xx
x
xx
x
+++ +
∞∞
→→→ →

−
== =
−
2
=
.
h)
()
0/0
1
111
1ln1ln11
lim lim lim
1ln ln
1ln
x
xxx
x
xxxxx
xx x
xx
∞−∞
−
→→→
⎛⎞
−+ +−
⎟
⎜
⎟
−= =

⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
−+
−
⎝⎠
0/0
1
ln 1
lim
ln 1 2
x
xx
xxx
→
==
+−
.
i)
0/0
00 0 0
1 cos sin sin sin cos
lim cotg lim lim lim 0
sin sin cos 2 cos sin
xx x x
xx x xx xxx
x
xxx xxxxx

∞−∞
→→ → →
⎛⎞
−− −−
⎟
⎜
⎟
−= = = =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
++
⎝⎠
x
.
k)
()
()
2
sin
22
1
/
0.
cos
cos
2
2

1
11
1
1
lim lim lim
ln 1
cos ln 1
2
x
x
x
xx
x
x
x
x
ππ
π
π
π
−−
⎛⎞
⎟
⎜
∞∞
⎟
∞
⎜
⎟
⎜

⎟
⎟
⎜
⎝⎠
→→
−
==
−
−
−
1x
−
→

(
)
(
)
(
)
0/0
2222
2
11
22
2
1sin sin 1cos
lim lim
22cossin
cos

xx x
xx
xx
x
xx
ππππ
ππ
π
ππ
π
−−
→→
−+−
==
−
=∞
.
l) Đặt
()
2
2
lim tg
x
x
Ix
π
−
→
=
π

(Dạng ). Tính
0
∞
()()
()
()
2
22
2
1
/
tg . cos
12
2
22
ln tg
ln lim 2 ln tg lim lim
xx
L
xx
x
x
x
x
Ix x
ππ
π
π
π
π

∞∞
−
→→
→
−
−
=− = =
(
)
(
)
22
2
0/0
242
lim lim 0
sin 2 2 cos2
xx
xx
xx
ππ
ππ
→→
−−
=− =− =
⇒ .
0
1Ie==
m) Đặt (Dạng ). Tính
sin

0
lim
x
x
Ix
+
→
=
0
0
2
/
1
1c
os
0
+
→00
sin
sin
ln
ln lim sin ln lim lim
x
x
L
xxx
x
x
x
Ixx

++
∞∞
−
→→
===
0
sin sin
lim . 0 1
cos
x
xx
I
xx
+
→
=− = ⇒ = .
n) Đặt
tg
0
1
lim
x
x
I
x
+
→
⎛⎞
⎟
⎜

⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
(Dạng ). Tính
0
∞
2
/
1
1
000
sin
1ln
ln lim tg ln lim lim
cotg
x
L
xxx
x
x
Ix
xx
+++
∞∞
→→→

−
−
===
−
0
sin
lim .sin 0 1
x
x
xI
x
+
→
==⇒=.
phgia 2011
23
o) Đặt
tg
2
lim 2
x
a
xa
x
I
a
π
→
⎛⎞
⎟

⎜
⎟
=−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
(Dạng 1 ). Tính
∞
() ()
2
2
0/0
2
2
2
1/
sin
ln 2 /
22
2
ln lim tg ln 2 lim lim lim
2cotg/22
sin
ax
a
x
xa xa Lxa xa

a
x
a
a
x
axa
xx a
a
I
aa a ax
π
π
π
π
ππ
−
→→→→
−
⎛⎞
−
⎟
⎜
⎟
=−== =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
−−

⎝⎠
π
=
= \

2/
Ie
π
⇒=
.
12. a) * MXĐ:
D
.
{}
\0
* ĐH:
3
34
82
02;
x
yxy
xx
−
′′
==⇔==
4
0
′
>

.
3
04yx=⇔=− .
* TC:
0
lim
x
y
→
=+∞⇒
TCĐ: x . 0=
()
3
3
3
22
4
lim lim 1
44
lim lim lim 0
xx
xx x
yx
k
x
x
x
bykx x
xx
→∞ →∞

→∞ →∞ →∞
⎧
⎪
+
⎪
== =
⎪
⎪
⎪
⇒
⎨
⎛⎞
⎛⎞
+
⎪
⎟
⎟
⎜
⎜
⎪
⎟
⎟
=−= −= =
⎜
⎜
⎟
⎪
⎟
⎜
⎜

⎟
⎟
⎜
⎪
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎪
⎩
TCX: . yx=
* BBT & ĐT:









b) * MXĐ:
D
.
{}
\1=±\
* ĐH:
()
2
2
2

1
0
1
x
y
x
−−
′
=<
−
;
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
33
22
2141 2 3
00
11
xx x x xx
yx
.

xx
−−++ +
′′
===⇔=
−−
=± =
x

−∞ 0 2
00yx=⇔=.
* TC:
1
lim
x
y
→±
=∞⇒
TCĐ: x ; TCN: y . 1
lim 0
x
y
→±∞
=⇒
0
* BBT & ĐT:
+
∞

y
′

+ − +
y
′′

+
y

+∞ +∞
+
∞

−∞ 3
2
0
x
y
3
phgia 2011
24








c) * MXĐ:
{}

\0D = \
x

−∞ 1− 0 1
+
∞

y
′


−
−
−

y
′′


−
+ 0
−
+
y
0 +∞
+
∞
0

−∞

−
∞
0
1
−
0
x
y
1
* ĐH:
(
)
2
1
01
x
ex
yx
x
−
′
==⇔
=
;
()
2
3
22
0

x
ex x
x
−+
′′
=≠
y
.
* TC:
0
lim
x
y
±
→
=±∞⇒ TCĐ: ; 0x =
lim lim 0
x
xx
e
y
x
→−∞ →−∞
==⇒
TCN (1 phía): ; 0y =
///
2
lim lim lim lim lim lim
22
xxx

x
xxLx xLxLx
eee
yek
xx
x
∞∞ ∞∞ ∞∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞
===+∞⇒== ==
x
e
+∞

=+∞

⇒ không có TC.
* BBT & ĐT:








d) * MXĐ:
D
.
(0, )
* ĐH:

2
2ln
0
2
x
yx
e=
xx
−
′
==⇔
;
8/3
2
3ln 8
0
4
x
e
xx
−
′′
==⇔=
=
yx
.
* TC:
0
lim
x

y
+
→
=−∞⇒ TCĐ (1 phía): x . 0
01yx=⇔=
.
/
ln 1 / 2
lim lim lim 0
1/2
xLx x
xx
xxx
∞∞
→+∞ →+∞ →+∞
===⇒
= TCN (1 phía): y . 0
* BBT & ĐT:
x

−∞ 0 1
+
∞

y
′


−
−

0 +
y
′′


−
+
y
0
+∞
+
∞


−∞ e
1
0
x
y
e
phgia 2011
25