tai lieu on thi TNTHPT mon toan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (754.28 KB, 44 trang )
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
1
ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN 12
Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1) Tìm TXĐ .
2) Tính y’.
3) Tìm các nghiệm của phương trình y’=0.
4) Tìm
lim , lim
x x
y y
và
0 0
lim , lim
x x x x
y y
(nếu có).
5) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có).
6) Lập bảng biến thiên (Cần điền đầy đủ các yếu tố: giới han, cực trị).
7) Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có).
8) Tìm các điểm đặc biệt và một số điểm mà đồ thị hs đi qua.
9) Vẽ đồ thị.
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
0 0 0
'( )( ) (*)
y y f x x x
.
Như vậy để viết phương trình tiếp tuyến ta cần tìm 3 yếu tố là x
0
, y
0
và f’(x
0
) ( đôi khi người ta lại viết là
y’(x
0
), tức là giá trị y’ tại điểm x
0
, còn gọi là hệ số góc k, k = f’(x
0
)).
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm M(x
0
;y
0
)
- Xác định x
0
và y
0
.
- Tính y’ sau đó tính y’(x
0
) hay f’(x
0
).
- Viết phương trình
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
* Lưu ý
1) Nếu chỉ biết x
0
( hoành độ) thì ta thế vào hàm số ban đầu để tìm y
0,
sau đó tính y’, thế
x
0
vào y’ tìm y’(x
0
). Thế các giá trị tìm được vào phương trình (*), ta có Phương trình
tiếp tuyến cần tìm.
2) Nếu chỉ biết y
0
( tung độ) thì ta thế vào hàm số ban đầu để tìm x
0,
sau đó tính y’, thế x
0
vào y’ tìm y’(x
0
). Thế các giá trị tìm được vào phương trình (*), ta có Phương trình tiếp
tuyến cần tìm.
3) Ngoài ra ta còn gặp các bài tập cho x
0
là nghiệm của một phương trình cho trước hay
x
0
là giao điểm của các đồ thị hàm số. Ta làm tương tự trường hợp 1.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Tính y’ suy ra f’(x
0
).
- Giải phương trình f’(x
0
) = k tìm x
0
.
- Có x
0
tìm y
0
, viết phương trình
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
.
* Ngoài ra ta thường gặp một số trường hợp cho trước hệ số góc như: tiếp tuyến song
song, vuông góc với đường thẳng y = ax +b hoặc tạo với trục Ox một góc A. Các trường
hợp này làm tương tự như trên.
+ Vuông góc: k = -1/a
+ Song song: k = a.
+ tanA = k hoặc tanA = -k
3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)
- Đưa phương trình về dạng f(x) = a (m). ( tức là biến đổi 1 vế của phương trình về dạng f(x),
phần còn lại chuyển sang vế còn lại).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = a
(m).
- Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả.
Lưu ý:
-Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm m để phương trình có 3, 4 nghiệm, ta chỉ trả lời đúng yêu cầu
của mỗi bài toán đưa ra.
- Cần chú ý rằng, thông thường y = a (m) là đường thẳng song song với trục Ox. Do đó điểm cực đại và
cực tiểu là 2 mốc quan trọng trong quá trình biện luận.
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
2
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)
* Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
- Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b].
- Tính y’.
- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm x
i
trên [a;b].
- Tính f(a), f(b), f(x
i
).
- So sánh các giá trị và kết luận GTLN, GTNN.
* Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên (a; b)
- Tính y’.
- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm x
i
.
- Lập BBT , suy ra GTLN , GTNN
chú ý : Đôi khi ta còn sử dụng bất đẳng thức CôSi, Bunhiacopski…
5) Điều kiện để hàm số có cực trị
- Hàm số đạt cực trị tại x
0
thì f’(x
0
) = 0 (f(x) có đạo hàm tại x
0
). Nếu y’ là một tam thức bậc hai
có biệt thức
thì hàm số đạt cực trị
'
0
y
.
- Hàm số đạt cực đại tại x
0
thì
0
0
f’ x 0
f'' x < 0
- Hàm số đạt cực đại tại x
0
thì
0
0
f’ x 0
f'' x > 0
6) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
- Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
7. Tính đơn điệu hàm số
Đối với các hàm số y = f(x), có y’ là hàm số bậc hai hoặc tử là hàm số bậc hai thì.
1. Hàm số y = f(x) luôn đồng biến thì
0'
y
x
0
0a
2. Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến thì
0'
y
x
0
0a
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 0
x x m
.
Bài giải
a)
TXĐ: D = R.
2
' 3x 6x
y
2
0
' 0 3x 6x=0
2
x
y
x
Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
Bảng biến thiên:
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
3
Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên
( ;0)
và
(2; )
.
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= -1.
Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
b)
3 2 3 2
3 0 3 1 1
x x m x x m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 1
y x x
với đường
thẳng y = m – 1.
Vậy
1 3 4
m m
: Phương trình có 1 nghiệm.
1 3 4
m m
: Phương trình có 2 nghiệm.
3 1 1 4 0
m m
: Phương trình có 3 nghiệm.
1 1 0
m m
:Phương trình có 2 nghiệm.
1 1 0
m m
: Phương trình có 1 nghiệm.
Bài 2:
Cho hàm số
4 2
2
y x x
có đồ thị (C ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 2.
Bài giải
a)
TXĐ: D = R.
3
' 4 4
y x x
3
0
' 0 4 4 0
1
x
y x x
x
Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên (-1; 0) và (1;
); hàm số nghịch biến trên (
; 0) và (0;1).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 0; hàm số đạt cực tiểu tại
1
x
, y
CT
= -1.
Đồ thị: Điểm đặc biệt:
( 2;0),( 2;0),(0;0)
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
4
b)
Hàm số
4 2
2
y x x
và x
0
= 2.
0
16 2.4 8
y
3
' 4 4 , '(2) 4.8 4.2 24
y x x y
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
8 24( 2)
24 40
y y y x x x
y x
y x
Bài 3:
Cho hàm số
2 3
2 1
x
y
x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài giải
a)
TXĐ:
1
D \
2
2
8
' 0,
(2x 1)
y x D
Giới hạn:
lim 1; lim 1
x x
y y
,
1 1
2 2
lim ; lim
x x
y y
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1
2
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị: Điểm đặc biệt:
3
;0 , (0; 3)
2
b)
Tại giao điểm với trục tung thì x
0
= 0.
0
3
y
2
8
' '(0) 8
(2x 1)
y y
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
5
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
3 8( 0)
8 3
y y y x x x
y x
y x
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:
a)
3 2
3x 2
y x
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
b)
4 2
2x
y x
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x.
c)
2 3
2 1
x
y
x
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x
Bài giải
a)
2
' 3x 3
y
Hệ số góc k = 9
2
0 0 0
'( ) 9 3x 3 9 2
y x x
Với x
0
= 2
0
4
y
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
4 9( 2)
9x 14
y y y x x x
y x
y
Với x
0
= -2
0
0
y
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
0 9( 2)
9 18
y y y x x x
y x
y x
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến:
9x 14
y
và
9 18
y x
.
b)
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24.
3
' 4x 4x
y
3
0 0 0
24 4x 4x 24 2
k x
0 0
x 2 8
y
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
8 24( 2)
24 40
y y y x x x
y x
y x
c)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x
nên có hệ số góc k = -2.
2
8
'
(2x 1)
y
0
2
0
3
8
2
2 2
1
(2x 1)
2
x
k
x
Với
0 0
3
3
2
x y
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
3
'( )( ) 3 2( ) 2 6
2
y y y x x x y x y x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
6
Với
0 0
1
1
2
x y
phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
1
'( )( ) 1 2( ) 2 2
2
y y y x x x y x y x
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
2 6
y x
và
2 2
y x
.
Bài 5:
Cho hàm số
4 2
3x 1
y x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình
4 2
x 3x 0
m
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
3x 1
y x
trên [0; 2].
Bài giải
a)
Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:
b)
4 2 4 2
x 3x 0 3 1 1
m x x m
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
Dựa vào đồ thị , phương trình có 4 nghiệm phân biệt
13 9
1 1 0
4 4
m m
c)
Hàm số
4 2
3x 1
y x
liên tục trên [0;2].
3
' 4 6
y x x
3
0 0;2
3
' 0 4 6 0 0;2
2
3
0;2
2
x
y x x x
x
3 13
(0) 1, (2) 3,
2 4
y y y
Vậy
[0;2]
min 3
y
tại x = 2.
[0;2]
13
ax
4
m y
tại
3
2
x
.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
( 1) (2 1) 1 3
y x m x m x m
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có cực trị.
c) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R
Bài giải
a)
3
1 3 2
m y x x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
7
Thực hiện các bước tương tự bài 1, ta được đồ thị như sau:
b)
TXĐ: D = R.
2
' 3 2( 1) (2 1)
y x m x m
Hàm số
3 2
( 1) (2 1) 1 3
y x m x m x m
có cực trị
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt.
Xét
2
' 0 3 2( 1) (2 1) 0
y x m x m
phải có 2 nghiệm.
2
2 2
' ( 1) 3(2 1)
4 4 ( 2) 0,
m m
m m m m
Vậy với
2
m
thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Hay với
2
m
thì hàm số có
cực trị.
c. Để hàm số
3 2
( 1) (2 1) 1 3
y x m x m x m
luôn đồng biến trên R
'
0
' 0
0
y
a
y x
2 2 2
1 0
' ( 1) 3(2 1) 4 4 ( 2) 0
a
m m m m m
Vậy không tồn tại giá trị m để hàm số đồng biến trên R.
Bài 7: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt.
Bài giải
a)
Thực hiện tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) như sau:
b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2 1
2
x
x m
x
có hai nghiệm phân biệt.
d) Xét phương trình:
2 1
( 2)
2
x
x m x
x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
8
2
2
2 1 ( )( 2)
4 1 2 0
(4 ) 1 2 0
x x m x
x x mx m
x m x m
Có
2
(4 ) 4(1 2 )
m m
2
2
8 16 4 8
12 0
m m m
m m
Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
1
3
y x x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 2: Cho hàm số
3 2 2
2 3( 1) 6 2
y x m x mx m
(C
m
)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm số tại đó.
c) Xác định m để (C
m
) luôn nghịch biến trên txđ của nó.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : 9 7
y x
.
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
3 4
y x x
trên [1; 3].
Bài 4:
Cho hàm số
3 2
1
y x mx m
, m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 1
d :
3 3
y x
.
c) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
BT 5: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1
y x mx m x
a) Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
c) Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Bài 6:
Cho hàm số
4 2
( 1)
y x mx m
có đồ thị (C
m
).
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
c) Tìm m để hàm số
4 2
( 1)
y x mx m
có cực đại và cực tiểu.
Bài 7:Cho hàm số
4 2
1 3
3
4 2
y x x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
= 2.
c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
4 2
6 1 0
x x m
BT8: Cho hàm số
4 2
1 3
( )
4 2 2
m
m
y x x C
.
a) Khảo sát hàm số khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
c) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 6 4 0
x x m
.
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
9
BT 9: Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2, 2).
BT 10: Cho hàm số
1
1
x
y
x
a) Khảo sát hàm số.
b) CMR đường thẳng y =2x+m luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.
c) Tìm m để AB ngắn nhất.
Bài 11:Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx m
, m là tham số
a) Tìm m để hàm số không tồn tại cực trị.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’ =
0.
Bài 12:Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng
2
y mx
cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 13:
Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3
y x
và tiếp xúc với đồ thị
(C).
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)
3 2
( ) 3 9 2
f x x x x
trên [ -2;2].
b)
4
( ) 1
2
f x x
x
trên [-1; 2].
c)
3
4
( ) 2sin sin
3
f x x x
trên
[0; ]
d)
2
4
y x x
e)
1
2 6
x
y
x
trên [-1;0].
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Công thức lũy thừa
Cho a>0, b>0 và
,m n
. Khi đó
.
m n m n
a a a
.
( )
m n m n
a a
( ) .
n n n
ab a b
m
m n
n
a
a
a
m
n m
n
a a
m
m
m
a a
b b
1
n
n
a
a
1
n
n
a
a
n n
a b
b a
( ) ( )
( ) ( ) ( 0)
f x g x
a a f x g x a
Nếu a>1 thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
Nếu 0 < a < 1 thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
2) Công thức lôgarit
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
10
Với các điều kiện thích hợp ta có:
log
a
b a b
log 1 0
a
log 1
a
a
log
a
a
log
a
b
a b
log log
a a
b b
1
log log
a
a
b b
log log
m
n
a
a
n
b b
m
log ( . ) log log
a a a
m n m n
log log log
a a a
m
m n
n
log
log
log
c
a
c
b
b
a
1
log
log
a
b
b
a
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
với a>0.
Nếu a>1 thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
Nếu 0<a<1 thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
3) Phương trình mũ
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
, 0
x
t a t
.
Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t.
Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
Nếu có nghiệm thỏa thì thay
x
t a
để tìm x và kết luận.
c) Phương pháp lôgarit hóa
lấy lôgarit 2 vế đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
4) Phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
( ) 0, ( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
log
a
t x
.
Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t.
Giải phương trình tìm t.
Thay
log
a
t x
tìm .
c) Phương pháp mũ hóa
Mũ hóa hai vế của phương trình với cơ số hợp lí để đưa phương trình về dạng đơn giải hơn.
5)
Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit
Cách giải tương tự như cách giải phương trình mũ và lôgarit.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1:
Giải cac phương trình sau
2
3x
)5 625
x
a
2
3 6
) 2 16
x x
b
1
) 2 .5 200
x x
c
Bài giải
2 2
3 3 4 2 2
1
)5 625 5 5 3 4 3 4 0
4
x x x x
x
a x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
2 2
3 6 3 6 4 2 2
5
) 2 16 2 2 3 6 4 3 10 0
2
x x x x
x
b x x x x
x
Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
1
) 2 .5 200 2.2 .5 200 10 100 2
x x x x x
c x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
11
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2: Giải các phương trình sau
) 9 10.3 9 0
x x
a
) 25 3.5 10 0
x x
b
3
) 2 2 2 0
x x
c
) 6.9 13.6 6.4 0
x x x
d
Bài giải
2
) 9 10.3 9 0 3 10.3 9 0
x x x x
a
Đặt
3 , 0
x
t t
.
Phương trình trở thành:
2
1 ( )
10 9 0
9 ( )
t nhan
t t
t nhan
1 3 1 0
9 9 2
x
x
t x
t x x
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
2
) 25 3.5 10 0 5 3.5 10 0
x x x x
b
Đặt
5 , 0
x
t t
Phương trình trở thành:
2
2( )
3 10 0
5( )
t nhan
t t
t loai
5
2 5 2 log 2
x
t x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
5
log 2
x
.
3 2
8
) 2 2 2 0 2 2 0 2 2.2 8 0
2
x x x x x
x
c
Đặt
2 , 0
x
t t
Phương trình trở thành:
2
4 ( )
2. 8 0
2 ( )
t nhan
t t
t loai
4 2 4 2
x
t x
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2
9 6 3 3
) 6.9 13.6 6.4 0 6 13 6 0 6 13 6 0
4 4 2 2
x x x x
x x x
d
Đặt
3
, 0
2
x
t t
Phương trình trở thành
2
3
( )
2
6 13 6 0
2
( )
3
t nhan
t t
t nhan
3 3 3
1
2 2 2
2 3 2
1
3 2 3
x
x
t x
t x
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1.
Bài 3: Giải các phương trình sau
2 4 8
) log log log 11
a x x x
5 25 0,2
1
) log log log
3
b x x
2
2 2
) log log 6 0
c x x
2
2
2
) 4log log 2
d x x
2
3 3
) 3log 10log 3
e x x
2
) ln( 6 7) ln( 3)
f x x x
Bài giải
2 4 8
) log log log 11
a x x x
(1)
Điều kiện: x > 0.
2 3
2
2 2
(1) log log log 11
x x x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
12
2 2 2
2
6
2
1 1
log log log 11
2 3
11
log 11
6
log 6 2 64 ( )
x x x
x
x x nhan
Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
5 25 0,2
1
) log log log
3
b x x
(2)
Điều kiện: x > 0.
2 1
1
5
5 5
(2) log log log 3
x x
5 5 5
5 5
5 5
2
3
3
5 5 5 5
3
1
log log log 3
2
3
log log 3
2
2
log log 3
3
log log 3 log log 3
3
x x
x
x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm
3
3
x
.
2
2 2
) log log 6 0
c x x
(3)
Điều kiện: x > 0.
Đặt
2
log
t x
.
2
3
(3) 6 0
2
t
t t
t
3
2
3 log 3 2 8 ( )
t x x nhan
2
2
2 log 2 2 4 ( )
t x x nhan
Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
2
2
2
) 4log log 2
d x x
(4)
Điều kiện x > 0.
1
2
2 2
2 2 2
2
(4) 4log log 2 4 log 2log 2 0
x x x x
(4’)
Đặt
2
log
t x
2
1
(4') 4 2 2 0
1
2
t
t t
t
1
2
1
1 log 1 2 ( )
2
t x x nhan
1
2
2
1 1
log 2 2 ( )
2 2
t x x nhan
Vậy phương trình có nghiệm
1
2
x
và
2
x
2
3 3
) 3log 10log 3
e x x
(5)
Điều kiện x > 0
Đặt
3
log
t x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
13
2 2
3
(5) 3 10 3 3 10 3 0
1
3
t
t t t t
t
3
3
3 log 3 3 27 ( )
t x x nhan
1
3
3
3
1 1
log 3 3 ( )
3 3
t x x nhan
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và
3
3
x
.
2
) ln( 6 7) ln( 3)
f x x x
(6)
Điều kiện
2
6 7 0
3 0
x x
x
2 2
2 ( )
(6) 6 7 3 7 10 0
5 ( )
x loai
x x x x x
x nhan
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
2
6 3 7
) 7 49
x x
a
2
7 2
3 9
)
5 25
x x
b
) 4 3.2 2 0
x x
c
Bài giải
2 2
6 3 7 6 3 7 2 2 2
) 7 49 7 7 6 3 7 2 6 3 9 0
x x x x
a x x x x
2
1
0 6 3 9 0
3
x
VT x x
x
Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
2 2
7 2 7 2 2
2 2
3 9 3 3
) 7 2 2 7 0
5 25 5 5
x x x x
b x x x x
2
0
0 7 0
7
x
VT x x
x
Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình
;0 7;S
2
) 4 3.2 2 0 2 3.2 2 0
x x x x
c
(1)
Đặt
2 , 0
x
t t
Bất phương trình trở thành:
2
3 2 0
t t
2
1
0 3 2 0
2
t
VT t t
t
Xét dấu VT, kết hợp điều kiện ta được
1 2 1 2 2 0 1
x
t x
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
Bài 5:
Giải các bất phương trình sau:
3
) log (4 3) 2
a x
2
0,5
) log ( 5 6) 1
b x x
2
1 1
3 3
) log (2 4) log ( 6)
c x x x
2
) lg(7 1) lg(10 11 1)
d x x x
Bài giải
3
) log (4 3) 2
a x
Điều kiện
3
4 3 0
4
x x
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
14
2
3
log (4 3) 2 4 3 3 4 12 3
x x x x
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
3
;3
4
S
2
0,5
) log ( 5 6) 1
b x x
Điều kiện
2
2
5 6 0
3
x
x x
x
1
2 2 2
0,5
log ( 5 6) 1 5 6 0,5 5 4 0 1 4
x x x x x x x
Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm
1;2 3;4
S
2
1 1
3 3
) log (2 4) log ( 6)
c x x x
Điều kiện:
2
2
2 4 0
3
2
6 0
3
x
x
x
x
x x
x
2 2
1 1
3 3
2
log (2 4) log ( 6) 2 4 6
3 10 0 2 5
x x x x x x
x x x
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm
3;5
S
2
) lg(7 1) lg(10 11 1)
d x x x
Điều kiện:
2
1
7
7 1 0
1 1
; 1;
1
7 10
10 11 1 0
10
1
x
x
x
x
x x
x
2 2
2
lg(7 1) lg(10 11 1) 7 1 10 11 1
9
10 18 0 0
5
x x x x x x
x x x
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
1 9
0; 1;
10 5
S
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình
1
) 64
8
x
a
2
3 3
) 4 64
x x
b
2
2
4
1
) 3
3
x x
x
c
2
1
) 7 343
x x
d
2 4
.
1
) 2 2
4
x x
e
1 1
) 2.3 6.3 3 27
x x x
f
1
) 9 3 10 0
x x
g
1
) 5 .4 100
x x
h
2 1
) 7 8.7 1 0
x x
i
1 1
1
) 6 6 2
2
x x
j
) 81 9 0
x x
k
2
) 7. 8 0
x x
l e e
2 3 3 7
5 3
)
3 5
x x
m
1 2 1 2
) 2 2 2 3 3 3
x x x x x x
n
2 6 7
) 2 2 17 0
x x
o
) 2.16 17.4 8 0
x x
p
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
15
) 3.16 2.81 5.36
x x x
q
) 27 12 2.8 0
x x x
r
) 4 15 4 15 2
x x
s
3
) 5 5 20
x x
t
Bài 2: Giải các phương trình sau
3
) log 2
a x
2
)log ( 2) 3
b x
2 1
8
) log log 16
c x x
3 9
3
) log (1 2 ) log (1 2 )
2
d x x
2
)log 1 1
e x x
2 4 8
) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0
f x x x
2
5 5
)7log 8log 1 0
g x x
2
3
3
) log ( 1) log ( 1) 4
h x x
7 7
) log 5. log 6 0
i x x
2
2 1
2
2
) log 3log log 2
j x x x
2
2 2
) log ( 6 5) log (1 ) 0
k x x x
2
7 1
7
) log ( 2) log (8 ) 0
l x x
l
2
5 5
)log 4log 3 0
m x x
2
5
) log 2 log
2
x
n x
3 3
log log
) 4 5.2 4 0
x x
o
2 4 8
11
) log log log
3
p x x x
4 3
) log log(4 ) 2 log
q x x x
5
5
) log ( 2) log (4 5)
r x x
2
0,5 2
) log log 2
s x x
2
) ln( 2 4) ln(2 )
t x x x
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
2
) 3 9
x x
a
2
2x 3x
7 9
)
9 7
b
2
3x
) 2 4
x
c
) 4 3.2 1 0
x x
d
2 1
) 3 3 28
x x
e
) 2 2 3 0
x x
f
2x 6 7
) 2 2 17
x
g
1
) 4 16 3
x x
h
) 5.4 2.25 7.10
x x x
i
2x 2x
) 4. 3
j e e
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
4 4
) log ( 7) log (1 )
a x x
0,5 0,5
) log ( 7) log (1 )
b x x
2 2
2
) 2log ( 2) log ( 3)
3
c x x
2
2 2
) log log 0
d x x
1
3
5
)log log 3
2
x
e x
3 3
) log ( 3) log ( 5) 1
f x x
Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Công thức nguyên hàm
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
16
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
dx x C
. , a
a dx ax C
1
, 1
1
x
x dx C
1
1 ( )
( ) .
1
ax b
ax b dx C
a
ln , x 0
dx
x C
x
1
.ln
dx
ax b C
ax b a
x x
e dx e C
1
.
ax b ax b
e dx e C
a
ln
x
x
a
a dx C
a
1
.
ln
x
x
a
a dx C
a
cos sin
xdx x C
1
cos( ) .sin( )
ax b dx ax b C
a
sin cos
xdx x C
1
sin( ) .cos( )
ax b dx ax b C
a
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1 1
tan( )
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
2
1
sin
dx cotx C
x
2
1 1
( )
sin ( )
dx cot ax b C
a
ax b
2) Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
3) Phương pháp đổi biến số
A. Dạng 1 : Tính I =
'
( ) ( )
b
a
f x x dx
+ Đặt t =
( )
x
'
( ).
dt x dx
+ Đổi cận :
x a b
t
( )
a
( )
b
I =
( )
( )
( )
( ). ( )
( )
b
a
b
f t dt F t
a
* Nhớ
: đổi biến thì các em phải đổi cận.
* Chú ý : Thường ta đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa
cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt
ln
t x
.
- Nếu tích phân chứa
x
e
thì đặt
x
t e
.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt
t x
.
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
17
- Nếu tích phân chứa
2
dx
x
thì đặt
1
t
x
.
- Nếu tích phân chứa
cos
xdx
thì đặt
sin
t x
.
- Nếu tích phân chứa
sin
xdx
thì đặt
cos
t x
.
- Nếu tích phân chứa
2
cos
dx
x
thì đặt
tan
t x
.
- Nếu tích phân chứa
2
sin
dx
x
thì đặt
cot
t x
.
B. Dạng 2 : Tính I =
( )
b
a
f x dx
bằng cách đặt x =
( )
t
- Dạng chứa
2 2
a x
: Đặt x = asint, t
;
2 2
(a>0)
4) Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
( )
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu
Đặt
)(
)(
hamnguyenlayv
hamdaolaydxdu
dv
u
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1:
( )
( ).sin ( ).
( ).cos ( ). ( )
( ). .
b
a
b
a
b
f x
a
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx
Trong đó
( )
P x
là đa thức bậc n.
*Loại 2:
( ).ln ( ). ln ( )
b
a
P x f x dx u f x
5) Tính chất tích phân
Tính chất 1
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
, k: hằng số
Tính chất 2:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b
6) Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
( )
b
a
S f x dx
(*)
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
18
Lưu ý:
( ) 0
f x
vô nghiệm trên (a;b) thì
( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx
( ) 0
f x
có 1 nghiệm
( ; )
c a b
thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx
Dạng 2: Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2
(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hai hàm số f
1
(x), f
2
(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
1 2
( ) ( )
b
a
S f x f x dx
(**)
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
7) Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
2
( )
b
a
V f x dx
Lưu ý: Diện tích , thể tích đều là những giá trị dương.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
BÀI 1: Tính các tích phân sau
a)
1
3
0
(2x 1) x
d
3
2
3
0
2
)
(1 )
x
b I dx
x
1
2
0
) 1
c J x dx
2
2
0
sinx
)
(1 cos )
d dx
x
2
2
1
) 3 .
x
e x e dx
1
ln 1
)
e
x
f dx
x
Bài giải
a)
1
3
0
(2x 1) x
d
Đặt u = 2x+1
2dx x
2
du
du d
Đổi cận:
0 1, 1 3
x u x u
3
1 3
3 3 4 4
1
0 1
1 1 1 1
(2x 1) x 3 1 .80 10
2 8 8 8
d u du u
3
2
3
0
2
)
(1 )
x
b I dx
x
Đặt
1
u x du dx
0 1, 3 4
x u x u
4
4 4
3 1 1 3 1 1 3
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
1
5
1 . ( 2 ) 2
3
I u u du u u u du u u u
1
2
0
) 1
c J x dx
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
19
Đặt
sin cos
x t dx tdt
0 0, 1
2
x t x t
2 2 2
2 2
0 0 0
1 sin cos | cos | cos cos
4
J t tdt t tdt tdt
2
2
0
sinx
)
(1 cos )
d dx
x
Đặt
1 cos sin x sin x
t x dt dx dx dt
Đổi cận :
0 2, 1
2
x t x t
1
1 1
2
2 2 2
2
0 2 2
sinx 1 1 1
1
(1 cos ) 2 2
dt dt
dx
x t t t
2
2
1
) 3 .
x
e x e dx
Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
Đổi cận:
1 1, 2 4
x t x t
2
4
2 4 4
4
1
1 1 1
3 3 3
3 . 3. ( )
2 2 2 2
x t t t
dt
x e dx e e dt e e e
1
ln 1
)
e
x
f dx
x
Đặt
1
ln 1
t x dt dx
x
Đổi cận:
1 1, 2
x t x e t
2
2
2
1 1
1
ln 1 1 3
2
2 2 2
e
x t
dx tdt
x
Bài 2: Tính các tích phân sau
a)
2
0
cos
I x xdx
2
1
) ln
e
b J x xdx
2
1
) 3
x
c K xe dx
Bài giải
a)
2
0
cos
I x xdx
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
2
2 2
0 0
0
sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
2
1
) ln
e
b J x xdx
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
20
2 3
1
ln
3
du dx
u x
x
dv x dx x
v
3 2 3 3
3
1
1 1 1
1
ln ln (2 1)
3 3 3 9 9
e e e
e
x x x x
J x dx x e
2
1
) 3
x
c K xe dx
3 3
x x
u x du dx
dv e dx v e
2
2 2
2 2 2 2
1 1
1
3 3 3 6
3 3 6 3 6 3 3
x x x
K xe e dx e e e e e
e e e e
Bài 3: Tính các tích phân sau
1
3
2
2
0
1
)
1
x
a I dx
x
2
0
) (1 2sin )sin x
b J x dx
Bài giải
1
3
2
2
0
1
)
1
x
a I dx
x
1 1
2
2 2
0 0
1 1
1 1
x x
dx x dx
x x
1
2
2
0
1 3
ln( 1) ln
2 8 2
x
x
2
0
2 2
2
0 0
2
0
) (1 2sin )sin x
sinx 2sin sinx 1 os2x
sin 2
cos
2
1 1
os sin os0 0 sin 0
2 2 2 2
1
2
b J x dx
x dx c dx
x
x x
c c
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
3
y x
, trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
b)
2
y x
,
2 3
y x
và hai đường thẳng x =0, x=2.
c)
2
, 2
y x y x
Bài giải
a)
3
y x
, trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
21
Trên [-2; 1] ta có:
3
0 0 [ 2;1]
x x
Diện tích của hình phẳng đã cho:
0 1
1 0 1
4 4
3 3 3
2 2 0
2 0
16 1 17
| |
4 4 4 4 4
x x
S x dx x dx x dx
b)
Đặt
2
1 2
( ) , ( ) 2 3
f x x f x x
Ta có:
2 2
1 2
1 [0;2]
( ) ( ) 0 ( 2 3) 0 2 3 0
3 [0;2]
x
f x f x x x x x
x
Diện tích hình phẳng đã cho
2
2
0
| 2 3 |
S x x dx
1 2
2 2
0 1
1 2
3 3
2 2
0 1
( 2 3) ( 2 3)
3 3
3 3
1 8 1 5 7
2 4 6 1 3 4
3 3 3 3 3
x x dx x x dx
x x
x x x x
c)
Ta có:
2 2
1
( 2) 0 2 0
2
x
x x x x
x
Diện tích hình phẳng
2
2
3 2
2
1
1
8 1 1 9
| 2 | x 2x 2 4 2
3 2 3 3 2 2
x x
S x x d
Bài 5:
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn bởi
2
1 , 0
y x y
Bài giải
Ta có:
2
1 0 1
x x
Áp dụng công thức:
2
( )
b
a
V f x dx
Ta có:
1
2 2
1
(1 )
V x dx
1
1
3 5
2 4
1
1
2x
1 2x
3 5
x
x dx x
2 1 2 1 4 2 16
1 1 2
3 5 3 5 3 5 15
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:
Tính các tích phân sau
1.
1
3
0
( 1)
x x dx
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
3.
2
1
1
x dx
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
22
4.
2
3
(2sin 3 )
x cosx x dx
5.
1
0
( )
x
e x dx
6.
1
3
0
( )
x x x dx
7.
2
1
( 1)( 1)
x x x dx
8.
2
3
1
(3sin 2 )
x cosx dx
x
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx
10.
3
3
1
( 1).
x dx
11.
2
1
7 2 5
e
x x
dx
x
12.
2
2
( 3)
x x dx
13.
4
2
3
( 4)
x dx
14.
2
2 3
1
1 1
dx
x x
15.
2
2
3
1
2
x x
dx
x
16.
8
3
2
1
1
4
3
x dx
x
Bài 2:
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số
1.
2
3 2
3
sin
xcos xdx
2.
6
0
1 4sin
xcosxdx
3.
1
2
0
1
x x dx
4.
1
2
0
1
x x dx
5.
1
2
3
0
1
x
dx
x
6.
1
2 2
0
(1 3 )
x
dx
x
7.
2
sin
4
x
e cosxdx
8.
2
2 3
0
sin 2 (1 sin )
x x dx
9.
1
5 3 6
0
(1 )
x x dx
12.
6
2
0
cos
6 5sin sin
x
dx
x x
11.
9
4
1
x
dx
x
12.
6
0
1 4sin .cos
x xdx
13.
2
1
2
0
x
e xdx
14.
1
1 ln
e
x
dx
x
15.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
16.
1
0
1
x x dx
17.
1
2 3
0
5
x x dx
18.
8
2
3
1
1
dx
x x
19.
ln 5
ln3
2 3
x x
dx
e e
20.
1
0
x
e dx
21.
3
3
0
sin
x
cos
x
d
x
22.
1
2
0
1
x dx
23.
1
2
0
1
4
dx
x
24.
1
2
0
1
1
dx
x
Bài 3: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần
1.
2
2
0
cos
x xdx
2.
1
0
sin
x
e xdx
3.
2
0
(2 1) osx
x c dx
4.
1
0
x
xe dx
5.
1
ln
e
x xdx
6.
2
2
0
( 1)sin x
x dx
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
23
7.
2
2
0
( os )sin x
x c x dx
8.
2
2
0
sin 3x
x
e dx
9.
1
2
0
( 2)
x
x e dx
10.
1
2
0
ln(1 )
x x dx
11.
1
(2 2) ln
e
x xdx
12.
2
0
cos
x x dx
13.
2
0
(2 7)ln( 1)
x x dx
14.
1
2
0
( 2)
x
x e dx
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
3 2
1 2
3 3
y x x
, trục hoành, x = 0 và x = 2.
b)
2
1, 1, 2
y x x x
và trục hoành.
c)
3 2
12 ,
y x x y x
d)
3
1
y x
và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
e)
2
4 , 0, 0, 3
y x x y x x
f)
3
sinx, y=0, x=0, x=
2
y
g)
, Ox, 0, 3
x
y e x x
Bài 5:
Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a)
2
4 , 0, 0, 3
y x x y x x
b)
cos , 0, 0,y x y x x
c)
tan , 0, 0,
4
y x y x x
d)
2
2 , 1
y x y
e)
1
ln , , , 0
y x x x e y
e
Chủ đề 4: SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Số i:
2
1
i
Số phức:
z , ,a bi a b
Số phức liên hợp:
z a bi
.
Môđun của số phức:
2 2
| |
z a b
Phép toán trên tập số phức:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( d) ( d )
( )( )
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di ac b a bc i
a bi a bi c di
c di
c d
Căn bậc hai của số thực a âm là :
| |
i a
Phương trình bậc hai trên tập số phức
2
z+c=0 (a 0)
az b
:
* Nếu
= 0 thì p.trình có một nghiệm kép (thực) x = -
2
b
a
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
24
* Nếu
> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x
1,2
=
2
b
a
.
* Nếu
< 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x
1,2
=
2
b i
a
.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1:
Thực hiện các phép tính
) (4 2 ) (1 3 )
a i i
) (2 ) (6 5 )
b i i
c)
(2 )(1 2 )
i i
d)
2
(2 3 )
i
e)
2
3 2
i
i
f)
1
(4 3 )
2
i
i
i
Bài giải
) (4 2 ) (1 3 ) (4 1) ( 2 3) 3
a i i i i
) (2 ) (6 5 ) (2 6) (1 5) 4 6
b i i i i
c)
2
(2 )(1 2 ) 2 4 2 2 3 2 4 3
i i i i i i i
d)
2 2
(2 3 ) 4 12 9 5 12
i i i i
e)
1 (1 )(2 3 ) 1 5 1 5
2 3 (2 3 )(2 3 ) 4 9 13 13
i i i i
i
i i i
f)
1 3 1 23 14
(4 3 ) (4 3 )
2 5 5 5 5
i
i i i i
i
Bài 2: Tìm cặp số thực a, y biết
(3 2) (2 1) ( 1) ( 5)
x y i x y i
Bài giải
(3 2) (2 1) ( 1) ( 5)
3
3 2 1 2 3
2
4
2 1 ( 5) 3 4
3
x y i x y i
x
x x x
y y y
y
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức
2
) 1 0
a z z
2
) 2 5 0
b x x
4 2
) 2 3 0
c z z
Bài giải
2
) 1 0
a z z
2
1 4 3 3
i
căn bậc hai của
là
3
i
Phương trình có nghiệm:
1 2
1 3 1 3 1 3
,
2 2 2 2 2
i
z i z i
2
) 2 5 0
b x x
2
4 20 16 16
i
Căn bậc hai của
là
4
i
.
Phương trình có nghiệm:
1 2
1 2 , 1 2
x i x i
4 2
) 2 3 0
c z z
Đặt t = z
2
.
Phương trình trở thành:
2
2
2
1
1 1
2 3 0
3
3
3
z
t z
t t
t
z i
z
Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1,
3, 3
i i
Trường THPT U Minh Thượng GV: Nguyễn Phương Quyết
Năm học 2013-2014
25
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm nghịch đảo của các số phức sau:
a) z = 3 + 4i b) z = 1 2i
c) z = 2 + 3i
Bài 2:Thực hiện các phép tính sau:
2 2 3
A = (1 i) B = (2 + 4i) D = (1+ i)
13
1 5 6 7 2
E = F = G =
(1 )(4 3 ) 4 3 8 6
i
i i
i i i i
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1
c) (2 i)z 4 = 0
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2 2 2
a') z 1 b') z 2 5 0 c') z 1 0
z z z
2
2 2
) 9 5 7 2 0 ) 9 0
) 2 3 0 ) 5 7 0
a i z i b z
c z z d z z
2 2 4 2
). 3 6 0 ).3 5 2 0 ). 3 6 0
e z z f z z g z z
Bài 5: Tìm phần thực,phần ảo, số phức đối và số phức liên hợp của các số phức sau :
2
3 3
33
10
9
9
2 100
) 2 4 1 2 ) 3 2 ) 3 2 1 2
1 1 1 1
) ) 1 2 5 2 5
2 1
) 1 1 1 1
a z i i i b z i c z i i
i
d z i e z i i i
i i i i
f z i i i
Bài 6 : Tìm các số thực x và y, biết:
a)
3 1 (2 3 ) 7 ( 6)
x y i x y i
b)
2 3 (2 1) 3 1 ( 2)
x y i y x i
c)
4 2 ( 2 ) 3 ( 4)
x y x y i x y y x i
d)
(1 2 ) (1 2 ) 1
i x y i i
e)
3 3
3 3
x y
i
i i
f)
2 1
1 2 1 2
x y
i
i i
Bài 7 :
Tính
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, , . , 2 , 2
z z z z z z z z z z
biết:
a)
1 2
5 6 , 1 2
z i z i
b)
1 2
3 2 , 4 3
z i z i
c)
1 2
1 1 1
,
2 3 2
z i z i
Bài 8 : Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của
z
bằng hai lần phần ảo của nó.
b) Phần thực của
z
thuộc đoạn
[ 2;1]
.
c) Phần thực của
z
thuộc đoạn
[ 2;1]
và phần ảo của
z
thuộc đoạn
[1;3]
.
d)
2
z
. e)
2 3
z
.
f)
1 2
z
và phần ảo lớn hơn hoặc bằng
1
2
. g)
1 2 2
z i
Bài 9 : Giải các PT sau trên tập hợp số phức:
a)
2
2 3 0
x x
b)
2
2 5 3 0
z z
c)
2
2 2 1 0
x x
d)
2
3 3 2 0
z z
e)
4 2
2 8 0
z z
f)
4 2
4 3 1 0
z z
g)
4 2
6 8 0
z z
h)
4
16 0
z
i)
3
8 0
z
j)
3 2
4 6 3 0
z z z
k)
4 2
12 0
z z
Chủ đề 5: DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH HÌNH KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Thể tích:
1
3
V Bh
