Chuyên đề bồi dường HSG Toán 7

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 16/1/2012
Buổi 1
Đề khảo sát

Cõu 1: a, cho A = 4 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ …

+ 2
20

Hỏi A có chia hết cho 128 không?
b, Tính giá trị biểu thức
104.2
65.213.2
10
1212
+
+
49
1010
2.3
5.311.3 +
Bài 2 : a, Cho A = 3 + 3
2

+ 3
3
+ …+ 3
2009
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3
n
b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 và 9 biết rằng chữ số hàng chục bằng
trung bình cộng của hai chữ số kia
Bài 3 : Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 84 ,
ƯCLN của chúng bằng 6.
Bài 5: Gọi A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm ;
OB = 6 cm . Trên tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm .
So sánh AB với AC
Hướng dẫn chấm
Bài Hướng dẫn chem. Điểm
1
a, 2A – A = 2
21


2
7
A

128
b, =
104.2
78.2

10
12
+
16.3
16.3
9
10
= 3 + 3 = 6
0.5
0.5
0.5
0.5
2 a, Tìm được n = 2010
b, Gọi số phải tìm là
abc
theo bài ra ta có a + b +
1
0.5

1
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

c

9 và
2b = a + c nên 3b

9
⇒
b


3 vậy b
{ }
9;6;3;0∈
abc

5
⇒
c
∈
{ }
5;0
Xét số
abo
ta được số 630
Xét số
5ab
ta được số 135 ; 765
0.5
3
P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k
∈
N
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
⇒
p = 3k + 1
⇒
p + 8 = 3k + 9

3

⇒
p + 8 là hợp số
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Gọi 2 số phải tìm là a và b ( a
≤
b) ta có (a,b) = 1 nên
a = 6a
/
b= 6b
/
trong đó (a
/
,b
/
) = 1 ( a,b,a
/
,b
/
∈
N)
⇒
a
/
+ b
/
= 14

a
/
1 3 5
b
/
13 11 9
a 6 1
8
30
b 7
8
66 54

0.5
0.5
1
5
x
O
B
C
A
Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA< OB (4<6)
nên điểm A năm giữa O và B suy ra AB = OB – OA
AB = 6 – 4 = 2 (cm)
Hai điểm Avà C trên tia BA mà BA < BC ( 2<3 )
nên điểm A năm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC = BC – BA = 3 – 2 = 1 (cm)
Vậy AB > AC ( 2 >1)
0.5

0.5
0.5
0.5

2
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 23/1/ 2012
Buổi 2:
Ôn tập số hữu tỉ số thực
Phần 1: Lý thuyết
1. Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ
Với x=
a
m
, y=
b
m
( a,b,m
∈
Z m
0
≠
)
a b a b
x y
m m m
a b a b
x y
m m m

+
+=+=
−
−=−=
, ( 0)
.
. .
.
.
: : .
.
a c
x y y
b d
a c a c
x y
b d b d
a c a d a d
x y
b d b c b c
= = ≠
= =
= = =
2,Giá tri tuyệt đối của một số hữu tỉ
+/ Với x
Q∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x = 
 -x neỏu x < 0

Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q∈
Ta có

x y x y+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y
0≥
)

x y− ≥
x y−
( // … // )
Phần II: Bài tập vận dụng
Bài 1. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +

3
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7


1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

− − − − −
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)
( ).
5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
− + + + + +
− + − + − + + −
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
− +
− =− =−
Bài 2: Thực hiện phộp tớnh:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −
= −
+
+
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9

1 10 7
6 3 2
A
− −
= −
+
+
− −
= −
+ +
− −
= −
+
+
−
= −
−
= − =
:
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−
Khi x thay đổi
Giải
a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+

Ta có: x + 2
≥

0 => x
≥
- 2.
+ Nếu x
≥
-
2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2
≤
x < -
2
3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2

4
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

=> x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−

Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006
≤
x
≤
2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006
≤
x
≤
2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
Bài 4: Tìm x biết:
a.
( )
1 4 2
3, 2
3 5 5
x
− + = − +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x

x x
+ +
− − − =
- GV: Hướng dẫn giải a,

( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3, 2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x

x x
x
x
− =
− =−
= + =
−
=− + =
−
− + = − + ⇔ − + = +
⇔ − + =


⇔ − = ⇔








⇔
b)
( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0

x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

5
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7


( )
( )
( )
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x

x
x x
x x
x x
+
 
 ÷
 
+
− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
 
⇔ − − − =
 


⇔




⇔



Bài tập về nhà : Bài 1,Cho
1,11 0,19 1,3.2 1 1
( ) : 2

2,06 0,54 2 3
7 1 23
(5 2 0,5) : 2
8 4 26
A
B
+ −
= − +
+
= − −
a, Rút gọn A và B
b, Tìm x
Z∈
để A < x < B.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=
2002 2001x x− + −

6
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 2 /2/2012
Buổi 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.

CI.Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x
Q∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0

x = 
 -x neỏu x < 0
2, Tính chất : Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q∈
Ta có

x y x y+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y
0
≥
)

x y− ≥
x y−
( // … // )
II.Bài tập
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức
a, A= 3x
2
- 2x+1 với x=
1
2
Ta có x=
1
2
suy ra x=
1
2

hoặc x=
1
2
−
HS tính giá trị trong 2 trường hợp +/ Với x=
1
2
thì A=
3
4
+/ Với x=
1
2
−
thì A=
11
4
b, B=
3 2
6 3 2 4x x x− + +
với x= -2/ 3
c, C=
2 3x y−
với x=1/2 và y=-3
d, D=
2 2 3 1x x− − −
với x=4
e, E=
2
5 7 1

3 1
x x
x
− +
−
với x=
1
2
(về nhà )
Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm và chữa phần b và c

KQ: B=20/ 9
C= -8
D = -5
Bài 2: Tìm x biết
a,
6527
=++−
xx

7−x
=1-2x
Do
7−x

0
≥
với mọi x nên xét với 1 – 2x
≥
0

2
1
≤⇔ x

7
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
3
8
(loại do không thoả mãn điều kiện x
2
1
≤
)
Trường hợp 2:
x – 7 = 2x -1
⇒
x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
b,
2 3 2x x x− − = −
c,
xxx 313 =+++
GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày
Bài 3: Tìm x và y biết
a,
1
2 2 3
2
x − =

b,
7,5 3 5 2 4,5x− − = −
c,
3 4 5 5 0x y− + + =
GV: Tổ chức cho học sinh làm bài
- Học sinh lên bảng trình bày
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A=
3,7 4,3 x+ −
Ta có
4,3 0x− ≥
với mọi x
4,3 3,7 3,7x⇒ − + ≥
Hay A
3,7≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4,3 0
4,3 0
4,3
x
x
x
− =
− =
=
Vậy giá tri nhỏ nhất của A= 3,7 khi x= 4,3

Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c
b, B=
3 8,4 24,2x + −

c, C=
4 3 5 7,5 17,5x y− + + +
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau


, 5,5 2 1,5
, 10,2 3 14
, 4 5 2 3 12
a D x
b E x
c F x y
= − −
= − − −
= − − − +

`

8
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 10 /2/2012
Buổi 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Lý thuyết
1/ Định nghĩa
+/ Với x
Q∈
Ta có
 x neỏu x ≥ 0
x = 

 -x neỏu x < 0
2, Tính chất
Vụựi moùi x ∈ Q, ta coự:
x≥ 0, x = -xvaứ x≥ x
+/ Với x,y
Q∈
Ta có

x y x y+ ≤ +
( Dấu bằng xảy ra khi cùng dấu nghĩa là x.y
0≥
)

x y− ≥
x y−
( // … // )
II. Bài tập :
Bài 1: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|;
d) |a| = - a; e) a
≤
|a|.
Bài 2: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng:
a) |a| = |b|
⇒
a = b; b) a > b
⇒
|a| > |b|.
Bài 3: Cho |x| = |y| và x < 0, y > 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai
a) x

2
y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0;
d)
;0
11
=−
yx
d)
.01 =+
y
x
Bài 4: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3.
b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4;
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a;
e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|.
Bài 6: Tìm x trong các đẳng thức sau:
a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|;
c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7.
Bài 7: Tìm các số a và b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|.
Bài 8: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20.
Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) các dấu
=≤≥
,,
để các khẳng định sau đúng với mọi a
và b.

9
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Hãy phát biểu mỗi khẳng định đó thành một tính chất và chỉ rõ khi nào xảy ra dấu
đẳng thức ?
a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a|
≥
|b|;
c) |ab|…|a|.|b|; d)
.
||
||

b
a
b
a
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1;
c) C = x
2
+ 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|.
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A = 5 - |2x – 1|; b) B =
;
3|1|
1
+−x
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = (x + 2)/|x| với x là số nguyên.
Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chứng minh rằng: |a – b| < 5.

Bài 14: Đưa biểu thức A sau đây về dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|.

10
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày soạn : 15 /10/ 2012
Buổi 5: Luỹ thừa của số hữu tỉ
A Lý thuyết
.
1, .
2, : ( 0, )
3,( )
4,( . ) .
5,( ) ( 0)
1
6,
m n m n
m n m n
m n m n
m m m
m
m
m
n
n
x x x
x x x x m n
x x
x y x y

x x
y
y y
a
a
+
−
−
=
= ≠ ≥
=
=
= ≠
=
- GV: Cho học sinh ghi lại nội dung các công thức
Dang1: Tìm chữ số tận cùng:
Tìm chữ số tận cùng của A
n
, n
¹
0
*Nhận xét:
“Nếu chữ số tận cùng của A là b, thì chữ số tận cùng của A
n
cũng là chữ số tận cùng của
b
n
”.
Từ nhận xét suy ra:
1)Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì A

n
có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6
2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A
2k
có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1
3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A
4k
có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6
*Áp dụng:
VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau:
19
2008
; 12
100
;

12
103

Lời giải:
a) 19
2008
=19
2.1004
=(19
2
)
1004
=361
1004

361
1004
có tận cùng là 1

⇒
19
2008
có tận cùng là 1
b) 12
100
=12
4.25
=(12
4
)
25
12
4
có tận cùng là 6

⇒
(12
4
)
25
có tận cùng là 6
Vậy 12
100
có tận cùng là 6
c)

12
103
=12
3
. 12
102
có tận cùng là 8.

11
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7

VD2: Tỡm ch s tn cựng ca lu tha sau:
17
2007
, 19
21
; 13
1003
Li gii:
Ta s tỡm cỏch liờn h cỏc lu tha trờn vi lu tha dng A
2k
, A
4k
vn dng
cỏc ý trong nhn xột trờn õy.
Tht vy, 17
2007
=17. 17
2006

=17. 17
4.501
=17.(17
4
)
501
17
4
cú tn cựng l 1
(17
4
)
501
cú tn cựng l 1
17.(17
4
)
501
cú tn cựng l 7
Vy 17
2007
cú tn cựng l 7.
Tng t
19
21
=19. 19
2.10
suy ra 19
21
cú tn cựng l 9.

13
1003
=13
3
. 13
4.250
suy ra 13
1001
cú tn cựng l 7.
VD3: Chng minh rng 33
66
+77
55
2 chia ht cho 5
Li gii:
Ta chng minh 33
66
+77
55
-2 cú tn cựng l 0 sau ú vn dng du hiu chia ht cho 5
Tht vy, 33
66
cú cựng ch s tn cựng vi 3
66
, m 3
66
=9
33
=9.9
2.16

suy ra 3
66
cú tn
cựng l 9, 77
55
cú cựng ch s tn cựng vi 7
55
, vỡ 7
55
=7
3
.7
4.13
nờn 7
55
cú tn cựng l 3. Do
ú 33
66
, 77
55
cú ch s tn cựng ln lt l 9, 3 suy ra 33
66
+77
55
2 tn cựng l 0 (pcm)
Bi tp: 1/ a) 2
100
; b) 3
100
; c) 4

100
d) 5
100
; e) 6
100
; f) 7
100
g) 8
100
; 9
100
Ta nhn thy cỏc lu tha 5
100
, 6
100
thuc v dng c bn trỡnh by trờn
nay cũn li cỏc lu tha m c s l 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9
2/Tỡm ch s tn cựng ca:
a) 7
1992
(HD: = 7
4
tn cựng bng 1)
b) 9
101
c) 24
100
d) 1945
1945
; e) 2

1000
f) 74
30
; 49
31
; 87
32
; 58
33
; 23
35
3: Tìm ch số tận cùng của các lu thừa sau :
a) 1292
1997
; b) 3333
1997
; c) 1234
1997
; d) 1237
1997
; e) 1238
1997
; f) 2569
1997

Bài giải
Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của ly thừa bậc n của mộtsố tự nhiên chỉ
phụ thuộc vào chử số tận cùng của số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) . Nh vậy bài toá 3 thực
chất là bài toán 2
a) 1292

1997
= 1292
4. 499

+1
= (1292
4
)
499
.1292 =
21292.6 MA =
b) 3333
1997
= 3333
4. 499 +1
=(3333
4
)
499 +1
. 3333 =
)1(B
499
.3333 =
3D
c) 1234
1997
= 1234
4 .499 +1
= (1234
4

)
499
. 1234 = (
6C
)
499
. 1234 =
4G
d) 1237
1997
= 1237
4 .499 +1
= (1237
4
)
499
. 1237 =
).1(D
499
.1237 =
7X
Dng 2: chng minh Chia ht
Vn dng vo cỏc bi toỏn chng minh chia ht ỏp dng du hiu chia ht

12
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chữ số tận cùng giống nhau thì khi thực hiện phép trừ
sẽ có chữ số tận cùng là 0 ta sẽ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } . Nếu
một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẽ có bài toán chứng minh

tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng của tổng là 4)
Các bài toán cụ thể : Hãy chứng minh
a) 1292
1997
+ 3333
1997


5
Theo bài toán trên ta có
1292
1997
=
2M
3333
1997
=
3D
như vậy tổng của hai số này sẽ có tận cùng là 5
⇒
1292
1997
+ 3333
1997


5
a) Chứng minh 1628
1997
+ 1292

1997


10
Áp dụng qui tắc tìm chữ số tận cùng ta có
1628
1997
sẽ có tận cùng là
8M

1292
1997
Sẽ Có tận cùng là
2N
Như vậy 1628
1997
+ 1292
1997


10 (vì chữ số tận cùng của tổng này sẽ là 0)
Ta cũng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng
minh tương tự
a) 43
43
-17
17
chia hết cho 10
b) 36
36

-9
10
chia hết cho 45
c) 7
1000
-7
1000
chia hết 10
d) (2
10
+ 2
11
+2
12
) chia hết cho 7
e) 8
10
-8
9
-8
8
chia cho 45 là một số tự nhiên
Giải:
a) 43
43
= 43
4
)
10
.43

3
= (số có tận cùng bằng 1)
10
.( số có tận cùng bằng 7)= (số có
tận cùng bằng 7
17
17
= 17
4
.17
3
( 1)
4
= ( 7) = số có tận cùng bằng 7
Vậy 43
43
-17
17
có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
b) 36
36
có tận cùng bằng 6 và có tổng các chữ số chia hết cho 9
9
10
= (81)
5
có tận cùng bằng 1 và chia hết cho 9
Vậy là sô có tận cùng bằng 5 => chia hết cho 5, mỗi số hạng chia hết cho 9
nên tổng chia hết cho 9
Số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9 nên chia hết cho 45

c) 7
1000
=(7
4
)
250
= ( 1)
250
= tận cùng bằng 1
3
1000
= (3
4
)
250
=( 1)
250
tận cùng bằng 1
Vậy hiệu tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
d) Đặt thừa số chung
e) Đặt thừa số chung
f) Chứng minh: 17
5
+24
4
-13
21

10
g) Chứng minh: 7

1999
-43

100
h) Chøng minh r»ng:
3338
4136 +=A
chia hÕt cho 77.
i) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d¬ng ta cã:
j)
nnnn
S 2323
22
−+−=
++
chia hÕt cho 10.

13
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Dạng 3: So sánh hai lũy thừa
I. Phương pháp : Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ
số hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn
- Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0 ) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn

- Ngoài ra để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu ( Nếu a > b và b > c thì a >
c ) , tính chất đơn điệu của phép nhân ( Nếu a > b thì ac > bc với c > 0 )
II. Các ví dụ
[

Ví dụ 1 : So sánh 16
19
và 8
25
- Cách giải : Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta
tìm cách đưa 16
19
và 8
25
về luỹ thừa cùng cơ số 2
- Giải : So sánh 16
19
và 8
25
Ta có :
16
19
= ( 2
4
)
19
= 2
4.19
= 2
76
8
25
= ( 2
3
)

25
= 2
3.25
= 2
75
Vì 2
76
> 2
75
nên 16
19
> 8
25
Ví dụ 2 : So sánh 2
300
và 3
200
- Cách giải: Ta thấy các số mũ 300 và 200 đều chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa 2 số
2
300
và 3
200
về 2 cơ số có luỹ thừa bậc 100
- Giải: So sánh 2
300
và 3
200
Ta có :
2
300

= 2
3.100
= 8
100
3
200
= 3
2.100
= 9
100
Vì 8
100
< 9
100
nên 2
300
< 3
200
Ví dụ 3: So sánh 31
11
và 17
14
- Cách giải: Ta thấy bài toán này không dùng cách như ví dụ 1 và ví dụ 2 được, nên phải
tìm cách so sánh gián tiếp qua một số khác ( hoặc có thể thêm, bớt, vận dụng một số tích
chất khác )
- Giải: : So sánh 31
11
và 17
14
Ta có :

31
11
< 32
11
Mà : 32
11
= (2
5
)
11
= 2
55
Vậy 31
11
< 2
55
17
14
> 16
14
Mà : 16
14
= (2
4
)
14
= 2
56
Vậy 17
11

> 2
56
Mà 2
56
> 2
55
Nên 31
11
< 17
14
III. Các bài tập: So sánh hai số sau
a) 25
5
và 125
7
; 5
36
và 11
24
; 3
2n
và 2
3n
( n là số tự nhiên khác 0 )
b) 5
23
và 6.5
22
; 7.2
13

và 2
16
; 3
39
và 11
21
c) 107
50
và 73
75
; 2
91
và 5
35
; 54
4
và 21
12
; 4
21
và 64
7
; 5
30
và 124
10

14
Nếu m > n thì a
m

> a
n

( a >
1 )
Nếu a > b thì a
n
> b
n
( n >
0 )
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7

Dng 4 : Thc hin phộp tớnh
Tính tổng: G= 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
2008
Lời giải:
3G = 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3

5
+3
2009
2G = 3G G = (3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
5
+3
2009
) (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+3
2008
)
= 3
2009
3


G=
2
33

2009

Ta có thể tổng quát bài toán 1 thành bài toán sau:
Tính tổng:
G= a + a
2
+ a
3
+ a
4
++a
n
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Lời giải:
aG = a
2
+ a
3
+ a
4
+a
5
+ +a
n
(a-1)G = aG G = (a
2
+ a
3

+ a
4
+a
5
+ +a
n+1
) ( a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ +a
n
)
= a
n+1
a


G=
1
1


+
a
aa
n
Bài toán 3:

Tính tổng
H =
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt
a=
5
1
thì
H = a + a
2
+ a
3
+ a
4
++a
2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5.H =
200732
5

1

5
1
5
1
5
1
1 +++++
4H=5H H = (
200732
5
1

5
1
5
1
5
1
1 +++++
) (
200832
5
1

5
1
5
1

5
1
++++
)
= 1-
2008
5
1
=
2008
2008
5
15

15
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7



H =
2008
2008
5.4
15
Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
H =
a
aaaa
1

111
32
++++
(với mọi a và n là số nguyên dơng a

1)
Bài giải:
a.H=
132
1

111
1

+++++
a
aaaa
(a-1)H = aH H = (
132
1

111
1

+++++
a
aaaa
) (
a

aaaa
1

111
32
++++
)
=1-
n
a
1
=
n
n
a
a 1


H =
n
n
aa
a
)1(
1


Từ kết quả của bài toán 3 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Bài toán 4:
a. Chứng minh rằng:

I =
200832
5
1

5
1
5
1
5
1
++++
<
4
1
Từ bài toán 3 ta có:
4.I = 1-
2008
5
1
< 1

I <
4
1
b. Chứng minh rằng:
K=
200832
3
2008

3
3
3
2
3
1
++++
<
4
3
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải nh sau:
3K=
20072
3
2008

3
3
3
2
1 ++++
2K = 3K K = (
20072
3
2008

3
3
3

2
1 ++++
) (
200832
3
2008

3
3
3
2
3
1
++++
)
=
2008200732
3
2008
3
1

3
1
3
1
3
1
1 +++++

16
Giỏo ỏn : Bi dng hc sinh gii lp7



2K <
200732
3
1

3
1
3
1
3
1
1 +++++
( *)
Đặt: L =
200732
3
1

3
1
3
1
3
1
++++

Ta có: 3L=
20062
3
1

3
1
3
1
1 ++++
2L = 3L L = (
20062
3
1

3
1
3
1
1 ++++
) (
200732
3
1

3
1
3
1
3

1
++++
)
=
2007
3
1
1
< 1


L <
2
1
Từ (*) ta có: 2K< 1+L < 1+
2
1
=
2
3


I <
4
3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a

1 thì:
a.

n
aaa
a
1

111
32
++++
<
1
1
a
b.
n
a
n
aa
a
++++
321
32
<
2
)1(
1
a
Bi 1: Tớnh

2 2 3 2 2 2
3 0 2 2

5 3
,(3 ) (2 ) ( 5 )
1 1 1
,2 3.( ) ( ) .4 ( 2) : :8
2 2 2
1
,(4.2 ) :(2 . )
16
a
b
c


+ +


GV : Yờu cu hc sinh lm v gi hc sinh lờn bng trỡnh by

Bi 2: Thc hin phộp tớnh :
a-
)
1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1

.6
2









+














b-
( )
32
2003

23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2

? Hóy nờu th t thc hin phộp tớnh

17
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

- GV: yêu cầu học sinh làm bài , gọi học sinh trình bày
Bài 3: Tính
a,
( )
4
8
0
15
12
6
.
3
1
.9.
3
1

15
4
.
7
3






+
b,
675.4
15.1681.10
4
24
−
Gv: Hướng dẫn học sinh giải
a,
( )
4
8
0
15
12
6
.
3
1

.9.
3
1
15
4
.
7
3






+
=1.
48
88
3.2
3.2
.
3
1
= 3
5
b,
675.4
15.1681.10
4
24

−
=
238
224444
5.3.2
5.3.23.5.2 −
=
238
22224
5.3.2
)13.5(5.3.2
−
=….
=
3.2
124
4
=
3.2
7.2
4
5
=
3
2
4
3
14
=
Bài 4: a)Tính tổng A = 1+5+5

2
+5
3
+… +5
2008
+5
2009

b ) B= 2
100
-2
99
+2
98
-2
97
+… +2
2
Suy ra 2B = 2
101
-2
100
+2
99
-2
98
+…+2
3
-2
2

suy ra
2B+B= 2
101
-2
3B = 2( 2
100
-1)
Suy ra B = 2(2
100
-1)/3
C, Bài tập về nhà
Bài 1: Tính tổng C = 3
100
- 3
99
+ 3
98
- 3
97
+…. +3
2
- 3 + 1
Bài 2: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x
2
+ x
4
+ x
6
+ x

8
+ … + x
100

18
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Ngày dạy :10/11
Chuyên đề : Luỹ thừa của một số hữu tỉ.(tiếp theo)
I. Mục tiêu.
- Kiến thức: Nắm được các kiến thức, quy tắc và công thức cơ bản về biến đổi
các lũy thừa của một số hữu tỉ và một số kiến thức bổ sung nâng cao
- Biết vận dụng linh hoạt các công thức, kiến thức để biến đổi các biểu thức lũy
thừa của một số hữu tỉ trong quá trình làm bài tập
- Kỹ năng :- Có kĩ năng thành thạo trong việc biến đổi các lũy thừa và trình bày
chính xác khoa học một biểu thức có chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
- Thái độ : Nhận thức đúng đắn tầm quan trọng của việc biến đổi các biểu thức
có cả lũy thừa qua đó có thái độ tích cực hơn trong việc học bài và làm bài
II. Chuẩn bị :
- Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
- Các tài liệu, tư liệu liên quan hỗ trợ cho việc giảng dạy chuyên đề
III. Tiến trình tiết dạy:
Bài 1: Dùng 10 chữ số khác nhau để biểu diễn số 1 mà không dùng các phép tính
cộng, trừ,
nhân, chia.
Bài 2: Tính:
a) (0,25)
3
.32; b) (-0,125)
3

.80
4
; c)
2 5
20
8 .4
2
; d)
11 17
10 15
81 .3
27 .9
.
Bài 3: Cho x ∈ Q và x ≠ 0. Hãy viết x
12
dưới dạng:
a) Tích của hai luỹ thừa trong đó có một luỹ thừa là x
9
?
b) Luỹ thừa của x
4
?
c) Thương của hai luỹ thừa trong đó số bị chia là x
15
?
Bài 4: Tính nhanh:
a) A = 2008
(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9)
;
b) B = (1000 - 1

3
).(1000 - 2
3
).(1000 - 3
3
)…(1000 – 50
3
).
Bài 5: Tính giá trị của:
a) M = 100
2
– 99
2
+ 98
2
– 97
2
+ … + 2
2
– 1
2
;
b) N = (20
2
+ 18
2
+ 16
2
+ … + 4
2

+ 2
2
) – (19
2
+ 17
2
+ 15
2
+ … + 3
2
+ 1
2
);
c) P = (-1)
n
.(-1)
2n+1
.(-1)
n+1
.
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)
3
= 27; b) x
2
+ x = 0; c) (2x + 1)
2
= 25; d) (2x – 3)
2
= 36;

e) 5
x + 2
= 625; f) (x – 1)
x + 2
= (x – 1)
x + 4
; g) (2x – 1)
3
= -8.
h)
1 2 3 4 5 30 31
. . . . .
4 6 8 10 12 62 64
= 2
x
;

19
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2
n
< 128; b) 2.16 ≥ 2
n
> 4; c) 9.27 ≤ 3
n
≤ 243.
Bài 8: Cho biểu thức P =
( 5)

( 6)
( 6)
( 5)
( 4)
x
x
x
x
x
+
+
−
−
−
. Hãy tính giá trị của P với x = 7 ?
Bài 9: So sánh:
a) 99
20
và 9999
10
; b) 3
21
và 2
31
; c) 2
30
+ 3
30
+ 4
30

và 3.24
10
.
Bài 10: Chứng minh rằng nếu a = x
3
y; b = x
2
y
2
; c = xy
3
thì với bất kì số hữu tỉ x và y
nào ta
cũng có: ax + b
2
– 2x
4
y
4
= 0 ?
Bài 11: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
99
+ 2
100
= 2
101

– 1.
Bài 12: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết
bằng các
chữ số 0; 1; 2; 2; 2.
Ngày dạy : 17/11 Buổi 7
Chuyên đề: biểu thức đại số ( tiết 1)
I. Mục tiêu
Kiến thức : Nắm được các kiến thức liên quan để giải các dạng toán cơ bản nhất :

20
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

- Tính giá trị của một biểu thức. Thực hiện phép tính một cách hợp lý. Bài toán
về dãy có quy luật
- Một số bài toán khác về biểu thức đại số
Kĩ năng : Giải được hoàn chỉnh, nhanh và chính xác các bài toán cơ bản. Biết vận
dụng vào các bài toán khác tương tự. Tự tìm tòi sáng tạo để hiểu sâu thêm và tổng
quát hóa cho các bài toán
Thái độ : Yêu thích, say mê, tìm tòi sáng tạo khi học bài. Cẩn thận, cầu tiến, không
nao núng khi làm bài
IIChuẩn bị:
GV : Giáo án soạn tỉ mỉ và các tài liệu liên quan để có thể đưa ra các bài
tập đầy đủ và đa dạng
Hsinh: - Ôn tập kiến thức cũ có liên quan .
III.Tiến trình tiết dạy:
Phần 1 . Một số dạng chính
Dạng 1
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật
A- Kiến thức cần nắm vững:
B- Bài tập áp dụng

I. Dãy số cộng
Bài 1: Tỡm chữ số thứ 1000 khi viết liờn tiếp liền nhau cỏc số hạng của dóy số lẻ 1;
3; 5; 7;
Bài 2: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số
c) Tớnh:
1 3 5 2 1S n= + + + + +L
với
( )n N∈
d) Tớnh:
2 4 6 2S n
= + + + +
L
với
*
( )n N∈
Bài 3: Có số hạng nào của đây sau tận cùng bằng 2 hay không?
1;1 2;1 2 3;1 2 3 4; + + + + + +
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng:
( 1)
2
n n +
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4.
Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bài 4: a) Viết liờn tiếp cỏc số hạng của dóy số tự nhiờn từ 1 đến 100 tạo thành một số
A. Tớnh tổng cỏc chữ số của A
b) Cũng hỏi như trờn nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trớ đầu tiờn của dóy số (khụng làm
thay đổi kết quả). Tạm chưa xột số 100. Từ 0 đến 99 cú 100 số, ghộp thành 50 cặp: 0
và 99; 1 và 98; 2 và 97;… mỗi cặp cú tổng cỏc chữ số bằng 18. Tổng cỏc chữ số của

50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thờm số 100 cú tổng cỏc chữ số bằng 1. ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001

21
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Bài 5: Cho
1
2
3
4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,
10 11 12 13 14,

S
S
S
S
= +
= + +
= + + +
= + + + +
Tớnh
100
S
?
Hướng dẫn: Số số hạng của S
1

, , S
99
theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; …100
ĐS: S
100
= 515100
Bài 6: Khi phõn tớch ra thừa số nguyờn tố, số 100! chứa thừa số nguyờn tố 7 với số
mũ băng bao nhiờu?
Bài 7: Tớnh số hạng thứ 50 của cỏc dóy sau:
a) 1.6; 2.7; 3.8;
b) 1.4; 4.7; 7.10;
Bài 8: Cho
2 3 20
1 3 3 3 3A = + + + + +
;
21
3 : 2B =
Tớnh
B A−
Bài 9: Tớnh cỏc tổng sau:
2 3 2007 2 3 2 4 2008
2 4 2 3 5 2007 3 5 2 1
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+
= + + + + + = + + + + + = + + + +
= + + + + = + + + + = + + + +
n
n n
A B C

D E F
Bài 10: Tổng quỏt của bài 8
Tớnh : a)
2 3
1
n
S a a a a= + + + + +
, với (
2, a n N≥ ∈
)
b)
2 4 6 2
1
1
n
S a a a a= + + + + +
, với (
2, a n N≥ ∈
)
c)
3 5 2 1
2

n
S a a a a
+
= + + + +
, với (
*
2, a n N≥ ∈

)
Bài 11: Cho
2 3 99 100
1 4 4 4 4 , 4A B= + + + + + =
. Chứng minh rằng:
3
B
A <
.
Bài 12: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
50 200
) 9 99 999 999 9 ) 9 99 999 999 9
ch÷ sè ch÷ sè
= + + + + = + + + +
1 2 3 1 2 3
a A b B
Ngày dạy :24/11
Dãy Số viết theo quy luật - Dãy các phân số viết theo quy luật ( tiếp )
II. Dãy phân số có quy luật
1. Cỏc cụng thức cần nhớ đến khi giải cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số viết theo qui
luật:

22
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

1)
1 1 1
( 1) 1n n n n
= −
+ +

.
2)
1 1
( 1) 1
k
k
n n n n
 
= × −
 ÷
+ +
 
.
3)
1 1 1 1
( )n n k k n n k
 
= × −
 ÷
+ +
 
.
4)
1 1
( )
k
n n k n n k
 
= −
 ÷

+ +
 
.
5)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 (2 2) 4 ( 1) 2 2 2 2 4 1n n n n n n n n
   
= = × − = × −
 ÷  ÷
+ + + +
   
.
6)
1 1 1 1
(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n n
 
= × −
 ÷
+ + + +
 
.
7)
2
1 1 1
.( 1) ( 1).n n n n n
< <
+ −
.
(Trong đú:
, Nn k

∗
∈
,
1n
>
)
2. Bài tập
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau :
Bài toỏn A :
Tớnh tổng :
Lời giải :
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn
chỳt xớu.
Bài 1 : Tớnh tổng :
Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược.
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết :
Hơn nữa ta cú :

23
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

ta cú bài toỏn
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khú”
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng :
khụng phải là số nguyờn.
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a
1
; a

2
; ; a
44
là cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và khỏc
nhau thỡ
Giỳp ta đến với bài toỏn Hay và Khú sau :
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a
1
; a
2
; a
3
; ; a
43
; a
44
sao cho
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau :
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a
1
; a
2
; ; a
44
thỏa món
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a
1
; a
2

; a
3
; ; a
44
; a
45
thỏa món a
1
< a
2
a
3
< < a
44
< a
45

và
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài toán : Tính nhanh:
a)
2 3 4 7 8
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
A = + + + + + +L
.
b)
2 3 4 2007 2008
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3

B = + + + + + +L
.
c)
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
;
3 3 3 3 3 3
n n
C n N
∗
−
= + + + + + + ∈L
.
Bài toán 3: (Bài toán tổng quát của bài toán 2 2)
Tính nhanh:
2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
; ( ; 0)
n n
S n N a
a a a a a a
∗
−
= + + + + + + ∈ ≠L
.
Bài toỏn 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a)
1 1 1 1
; ; ; ;
1.2 2.3 3.4 4.5

b)
1 1 1 1
; ; ; ,
6 66 176 336

24
Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7

Hướng dẫn: b) Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,…
Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài toỏn 4: Tính tổng:
a)
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
S = + + + +L
.
b)
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008
S = + + + +L
.
c)
1 1 1 1
; ( )
1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1).( 2)
S n N
n n n
∗
= + + + + ∈
+ +

L
.
Bài toỏn 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a)
1 1 1 1
1
3 5 97 99
1 1 1 1 1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1
A
+ + + + +
=
+ + + + +
L
L
. b)
1 1 1 1 1
2 3 4 99 100
99 98 97 1
1 2 3 99
B
+ + + + +
=
+ + + +
L
L
.
Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100

(1 ) ( ) ( ) ( )
99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
+ + + + + + + + = + + +L L
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b) Biến đổi số chia:
100 1 100 2 100 3 100 99
1 2 3 99
100 100 100 100 1 2 3 99
1 2 3 99 1 2 3 99
1 1 1 1 1 1 1
100 100 99 1 100
2 3 99 2 3 99 100
− − − −
+ + + + =
   
= + + + + − + + + + =
 ÷  ÷
   
   
= + + + + − = + + + + +
 ÷  ÷
   
L
L L
L L
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy
1
100
B =
.

Bài toỏn 6: Tỡm tớch của 98 số hạng đầu tiờn của dóy:
1 1 1 1 1
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;
3 8 15 24 35
Hướng dẫn: cỏc số hạng đầu tiờn của dóy được viết dưới dạng:
4 9 16 25 36
; ; ; ; ;
3 8 15 24 35

Hay
2 2 2 2 2
2 3 4 5 6
; ; ; ; ;
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7

Do đú số hạng thứ 98 cú dạng
2
99
98.100
.
Ta cần tớnh:
2 2 2 2 2 2
2 3 4 5 6 99 99
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50

A = × × × × =L

25