Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THPT

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Chuyên đề 1: Đại số
• Bất đẳng thức
 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tham số hóa.
 Bất đẳng thức dạng đồng bậc.
 Sử dụng đònh lý LAGRANGE chứng minh bất đẳng thức.
• GTLN và GTNN của hàm nhiều biến.
• Hệ phương trình.
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải hệ phương trình:








=−+
=−+
=−+
16)(
30)(
2)(
23
23
23
yxzz
xzyy
zyxx
(1) (TQ-Bảng A-2004)

Hướng dẩn giải:
Ta có:
(II) (I)







=++−
=++−
=−++
⇔







=−++
=−++
=−++
⇔
14))((
14))((
22)(
162)(
302)(

22)(
)1(
222
222
222
222
222
222
zyxzy
zyxzy
xyzzyxx
xyzzyxz
xyzzyxy
xyzzyxx
Dể thấy (0,0,0) không là nghiệm của hệ (II). Do đó








−=
=−+−
=+−
⇔








−=
=+−+−
=+−
⇔







−=
=++−
=−++
⇔
xzy
xzxxzz
xzzx
xzy
zxzzxx
xzzx
xzy
zyxzy
xyzzyxx
II
2

01620165
22
2
1415962
22
2
14))((
22)(
)(
3223
22
3223
22
222
222
(*)
2x

2x

3
3
Vì
0,
≠
zx
nên ta có thể đặt
x
z
t

=
thì

2t
2)(5t-(t
2
=⇔
=+−⇔
=−+−⇔
0)86
01620165(*)
23
t
ttt
Từ đó:
xz 2
=
nên:






=
=
=
⇔






−=
=
=+−
⇔
2
3
1
2
2
222
)(
223
z
y
x
xzy
xz
xzzxx
II
Bài 1: Giải hệ phương trình:






−=+−

−=+
yxyxyx
xyx
1788
493
22
23
(1) (TQ-Bảng B-2004)
Hướng dẩn giải:
Cách 1: Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ với 3, rồi cộng với phương trình thứ nhất, vế với vế, ta
được:

[ ]
[ ]








=
−=
−=
⇔
=−+++⇔
=+−+++⇔
=+++−+++++⇔
−−=+−++

4
1
1
0)4(3)1()1(
048243)1()1(
0)1(48)1(24)1(3133
49512432433
22
22
223
2223
y
x
x
yxx
yyxx
xxyxyxxx
xyyxyxyxx
Chuyên đề 2: Giải tích
• Giới hạn của dãy số.
 Đònh lý STOLZ và ứng dụng
• Đa thức.
 Đa thức với hệ số nguyên và đồng dư thức
• Phương trình hàm.
 Bất phương trình hàm
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1:
Hãy tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn hệ thức
Chuyên đề 3: Hình học phẳng & hình học phẳng
• Tứ giác điều hòa.

• Các đònh lý cổ điển và ứng dụng.
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Chuyên đề 4: Số học
 Đồng dư và phương trình đồng dư.
 Phương trình PELL.
 Phương trình DIOPHANT.
 Đònh lý phần dư trung hoa
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Chuyên đề 5: Tổ hợp
 Thiết lập hệ thức truy hồi trong tổ hợp
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN THƯỜNG SỬ DỤNG
• Sử dụng đạo hàm tìm GTLN và GTNN của hàm số
• Sử dụng các phép biến hình trong mặt phẳng
• Các kiến thức cơ bản của hình học phẳng
• Giải toán bằng phương pháp chứng minh phản chứng
• Kiến thức về đồng dư và áp dụng giải toán
• Đònh lý phân tích đa thức theo các nghiệm và áp dụng tìm đa thức
• Giải toán bằng phương pháp chứng minh quy nạp toán học
• Phương trình đặc trưng trong việc tìm số hạng tổng quát của dãy số
• Hệ thức lượng trong đường tròn
• Hệ đẳng cấp
• Nguyên lý Dirichlet
• Phân hoạch tập hợp
• Sử dụng tam thức bậc hai hoặc hệ phương trình chứa tham số để GTLN và GTNN
• Sử dụng lượng giác giải toán hình học phẳng
• Tìm GTLN và GTNN bằng pp hình học, các bất đẳng thức cổ điển