Đề thi giữa HK I Toán 12, 2013-2014

Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai
Trường THPT Trấn Biên
Tổ Toán


ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I.
Môn Toán lớp 12. Thời gian 90 phút.
Năm học 2013 – 2014.


Câu 1 (3 điểm)
Cho hàm số
42
2 3.y x x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()C
của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị
( ),C
tìm các giá trị của tham số
m

để phương trình

42
2 3 0x x m
có đúng hai nghiệm thực.

Câu 2 (2 điểm)

Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị
( ).H

1) Tìm hai đường tiệm cận của đồ thị
( ).H

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
()H

biết tiếp tuyến này tạo với hai trục tọa độ
một tam giác vuông cân.

Câu 3 (2 điểm)

1) Tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
( ) sin cos .f x x x

2) Tìm các giá trị của tham số
b
để hàm số
1
3
bx
y

xb



đồng biến trong khoảng
(0; ).


Câu 4 (3 điểm)
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, mặt phẳng
 
SAB

vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác
SAB
cân tại
,S
góc giữa đường thẳng
SC

và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Gọi
H

là trung điểm của cạnh
.AB

1) Chứng minh
SH
là đường cao của hình chóp
S ABCD

2) Tính theo
a
thể tích của khối chóp
S ABCD

3) Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
B

đến mặt phẳng
 
.SHC


Hết

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I. TOÁN 12.

Đáp án
Điểm
Câu 1
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()C
của hàm số
42
2 3.y x x


2đ

Tập xác định:
D

0,25
Giới hạn:
lim , lim
xx
yy
 
   

0,25
Đạo hàm:
3
44y x x

0.25
Cho
0
0
1
x
y
x


0,25
Bảng biến thiên:

x

1
0 1

y
0 0 0


3

y


4

4



0,25

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ; 1)
và
(0 ;1)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( 1;0)
và
(1 ; )

Hàm số đạt cực đại tại
0,x
Đ
3
C
y
,
Hàm số đạt cực tiểu tại
1,x

4
CT
y


0,25
Đồ thi : đi qua các điểm
( 2;5),(2;5)


Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.









0,5







2).Dựa vào đồ thị
( ),C

tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình

42
2 3 0x x m
có đúng hai nghiệm thực.

1đ
Vẽ đường thẳng
ym
trên cùng hệ trục với
( ).C

Phương trình

4 2 4 2
2 3 0 2 3 .x x m x x m       

0,25

Phương trình
42
2 3 0x x m   
có đúng hai nghiệm thực

Đường thẳng
ym
và
()C

có đúng hai điểm chung

0,25

4
3
m
m








0,5

Câu 2
Cho hàm số
21
1
x
y
x
có đồ thị
( ).H



2đ

1).Tìm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
21
1
x
y
x





1đ

Ta có

lim 2, lim 2.
xx
yy
 


0,25
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị
()H
là đường thẳng :
2y 

0,25

Ta có

11
lim , lim
xx
yy


   

0,25
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị
()H
là đường thẳng :
1x 

0,25
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
()H

biết tiếp tuyến này tạo với hai trục tọa
độ một tam giác vuông cân.


1đ
Gọi
0
x
là hoành độ tiếp điểm, hệ số góc của tiếp tuyến tại
0

x
là
0
2
0
1
()
( 1)
yx
x

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ tam giác vuông cân hệ số góc của tiếp tuyến là
1






0,25

Do đó
0
2
0
2
0
0
0
1

1 ( 1) 1
2
( 1)
x
x
x
x


0,25
Với
0
0x
thì phương trình tiếp tuyến là
1
( ): 1d y x

Với
0
2x
thì phương trình tiếp tuyến là
2
( ): 5d y x


0,25
Các đường thẳng
1
()d
và

2
()d
không đi qua gốc tọa độ nên thỏa yêu cầu của bài toán
Vậy các tiếp tuyến cấn tìm là
1
( ): 1d y x
và
2
( ): 5d y x


0,25
Câu 3











2đ
1) Tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
( ) sin cos .f x x x


1đ

Tập xác định
D 

( ) cos sinf x x x


,
( ) sin cosf x x x

  


0,25
Cho

2
4
( ) 0 sin cos 0 ( )
3
2
4
xk
f x x x k
xk

  


     















0,25
2 2 0 2 ( )
44
f k x k k


        




là các điểm cực tiểu của hàm số
f



0,25

33
2 2 0 2 ( )
44
f k x k k


       




là các điểm cực đại của hàm số
f


0,25
2).Tìm giá trị của tham số
b

để hàm số
1
3
bx
y
xb



đồng biến trong khoảng

(0 ; ).



1đ
Tập xác định:
\
3
b
D






0,25
Đạo hàm:

2
2
3
(3 )
b
y
xb





0.25
Hàm số
1
3
bx
y
xb




đồng biến trong khoảng
(0 ; )
2
30
0
3
b
b









0,25
33
0
b
b

  






30b   


0,25
Câu 4
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, mặt phẳng
 
SAB

vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác
SAB
cân tại
,S
góc giữa đường thẳng
SC

và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Gọi
H
là trung điểm của cạnh
.AB


3đ
1) Chứng minh
SH
là đường cao của hình chóp
S ABCD


1đ
H
A
B
C
D
S

0,25
Ta có
SBC
cân tại
S
có
SH
là trung tuyến
SH AB

0,25

( ) ( ) ( )
( ) ( )
SH AB
SAB ABC SH ABC
SAB ABC AB



  





0,25
Vậy

SH
là đường cao của khối chóp
S ABCD

0,25

2).Tính theo
a
thể tích của khối chóp
S ABC


1đ
Xác định góc giữa cạnh
SC
và mặt đáy
()ABC
là
SCH

60
O
SCH

0,25
Ta có
HBC
vuông tại
B

22
5
2
a
CH BH HC   


0,25

Mặt khác
SHC
vuông tại
H 
15
.tan60
2
o
a
SH HC


0,25
Vậy
3

.
1 15
.
36
S ABCD ABCD
a
V S SH


0,25
3) Tính theo
a
khoảng cách từ điểm
B

đến mặt phẳng
 
.SHC


1đ
Ta có
3

1 15
4 24
S HBC S ABCD
a
VV

0,25

2
1 5 3
.
28
SHC
a
S HS HC


0,25
Mà
.
3
( ,( ))
S HBC
SHC
V
d B SHC
S



0,25
Vậy
5
( ,( ))
5

a
d B SHC 


0,25

Lưu ý: Thí sinh giải cách khác đúng, giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm trong đáp án.