Tiết 25: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

HỘI THI GIÁO VIÊN GIỎI HUYỆN SÔNG MÃ NĂM HỌC 2013 - 2014
Giáo viên: Đèo Thị Kiểu
Trường PTDT Nội Trú Sông Mã.

Các vị trí của mặt trời so với đường chân trời cho ta hình ảnh ba
vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

?1
Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không
thể có nhiều hơn hai điểm chung?
Nếu đường thẳng và đường tròn có nhiều hơn
hai điểm chung thì khi đó đường tròn sẽ đi qua ít nhất
ba điểm thẳng hàng. Điều này vô lý. Vậy đường thẳng
và đường tròn chỉ có thể có hai điểm chung hoặc một
điểm chung hoặc không có điểm chung nào.
Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và
đường tròn mà ta có các vị trí tương đối của chúng.
Xét đường tròn (O;R) và đường thẳng a. Gọi H là
chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng a, khi
đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.
Trả lời

a
O.

?2 Hãy chứng minh khẳng định trên.
* Khi đường thẳng a đi qua tâm O thì H trùng
với O nên: OH < R và HA = HB = R
nên: OH < OB hay: OH < R
và HA = HB =

2 2
R OH−
⊥
( Theo định lý Pytago )
* Khi đường thẳng a không đi qua tâm O.
Kẻ OH AB. Xét tam giác vuông OHB có:
OH là cạnh góc vuông, OB là cạnh huyền

H
●
B
●
A
●
O
a
A B C H
*Khi A trùng B
ta đặt là điểm C.

C
O .
a
H
≡
* Có nhận xét gì về vị trí của OC đối với đường thẳng a?
Khi đó: OC a,
⊥
≡
Độ dài đoạn OH = ?

H C và OH = R

Giả sử H không trùng với C.
Lấy D thuộc a sao cho H là trung điểm của CD.
Khi đó C không trùng với D. Do OH là đường trung
trực của CD nên OC = OD.
Mà OC = R nên OD = R hay D thuộc (O).
Vậy ngoài C ta còn có điểm D cũng là
điểm chung của đường thẳng a và (O).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết là
đường thẳng a và đường tròn (O)
chỉ có một điểm chung.
Suy ra C
≡
H.
Chứng tỏ
OC a
⊥
và OH=R
. O
C
H
D
a

Định lý: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một
đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp
điểm.
O
a

C
Đường thẳng a là tiếp tuyến
của (O), C là tiếp điểm thì:
OC a; OC = R
⊥

a
O.

Các vị trí của mặt trời so với đường chân trời cho ta hình ảnh ba
vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Hình 1 Hình 2 Hình 3
Hình nào cho ta hình
ảnh về đường thẳng và
đường tròn cắt nhau
Hình nào cho ta hình
ảnh về đường thẳng và
đường tròn tiếp xúc
nhau
Hình nào cho ta hình
ảnh về đường thẳng và
đường tròn không giao
nhau

2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến
đường thẳng và bán kính đường tròn.
d
O
H
a

d
O
a
C
≡
H
H
O
a
d
A
B
d < R
d = R d > R
Gọi d là khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a; OH = d
⇐
⇐
⇒
⇐
⇒
Đường thẳng a
và (O) cắt nhau.
Đường thẳng a và
(O) tiếp xúc với
nhau.
Đường thẳng a và
(O) không giao
nhau.
⇒
Hình 1 Hình 2 Hình 3

Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
Số điểm
chung
Hệ thức giữa
d và R
Đường thẳng và đường tròn cắt
nhau
2
d < R
1
d > R
BẢNG TÓM TẮT
Đường thẳng và đường tròn tiếp
xúc nhau
Đường thẳng và đường tròn
không giao nhau
0
d = R

Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là
3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm.
a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào so với
(O)? Vì sao ?
b. Gọi B và C là các giao điểm của đường
thẳng a và (O). Tính độ dài BC
Bài giải :
a. Đường thẳng a cắt (O) vì :
d = 3cm

< R = 5cm
b.
Áp dụng định lí Py-ta-go
trong tam giác vuông OHB.
Ta có:
2 2 2
OB HB OH= +
2 2 2 2
5 3 4( )HB BO OH cm⇒ = − = − =
3
3cm
O
a
C
B
H
5

c
m
2.4 8( )BC cm⇒ = =

Bài 17 /SGKT109
R d
Vị trí tương đối của đường thẳng và
đường tròn
5 cm 3cm
6 cm
Tiếp xúc với nhau
4 cm 7 cm

Điền vào các chỗ trống trong bảng sau (R là bán kính
đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng )
Cắt nhau
6 cm
Không giao nhau


Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có
bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm
trên đường nào?
x
y
1cm
.

O
.

O
’
1cm
d
d’
Hướng dẫn
Bài 19/SGK T110

Bài 20 /SGKT110
Cho đường tròn tâm O, bán kính 6cm và một điểm
A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn
(B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

10cm
6cm
O
B
A
Hướng dẫn
Vì AB là tiếp tuyến của
đường tròn (O) nên AB OB.
Áp dung định lí Py-ta-go vào tam giác
vuông BOA.
Ta có:
2 2 2
OA OB AB= +
2 2
AB OA OB⇒ = − =
⊥

HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ
* Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
* Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến
đường thẳng và bán kính của đường tròn.
* Chuẩn bị bài mới: “Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến
của đường tròn”.
* Làm bài tập 18;19;20 SGKT110 và 38; 40 SBT – 133.


a
O.

a

O.

O .
a
H C≡