DE CUONG ON TAP HK I LOP 11

NỘI DUNG ƠN THI HK I - MƠN TỐN - KHỐI 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
A. PHẦN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH:
I. CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Nội dung cơ bản:
a. Hàm số lượng giác: Tập xác định, tập giá trị
b. Phương trình lượng giác cơ bản: Cơng thức nghiệm, điều kiện phương trình cơ bản có nghiệm
c. Phương trình lượng giác thường gặp
2. Dạng bài tập:
- Giải phương trình lượng giác
II. CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
1. Nội dung cơ bản:
a. Qui tắc đếm: Định nghĩa, phân biệt hai qui tắc: cộng và nhân
b. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp: Định nghĩa, cơng thức tính P , A , C , công thức về giai thừa
c. Nhị thức Niu - Tơn: Công thức khai triển, công thức số hạng tổng quát
d. Phép thử và biến cố: Khái niệm không gian mẫu và biến cố, cách tính số phần tử của không gian mẫu
và biến cố
e. Xác suất của biến cố: Định nghĩa, cơng thức tính, một số tính chất
2. Dạng bài tập:
- Vận dụng các qui tắc đếm vào bài toán lập số
- Vận dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài tốn tính cách sắp xếp
- Tính giá trị biểu thức chứa: P , A , C ( khơng tính trực tiếp bằng máy tính )
- Khai triển nhị thức Niu - Tơn, vận dụng công thức tính số hạng tổng quát của khai triển Niu - Tơn
- Giải phương trình có ẩn số là số tự nhiên
- Tính xác suất của biến cố
III. CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
1. Nội dung cơ bản:
a. Phương pháp qui nạp toán học: Các bước chứng minh mệnh đề P(n) bằng phép qui nạp
b. Dãy số: Định nghĩa, cách cho dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm
c. Cấp số cộng - Cấp số nhân: Định nghĩa, tính chất, các yếu tố trong cấp số
2. Dạng bài tập:

- Tính các số hạng trong dãy số, cấp số
- Xét tính tăng, giảm của dãy số, chứng minh dãy số là một cấp số
- Tìm được một trong các yếu tố: u , d , u , n , S của các cấp số


NỘI DUNG ƠN THI HK I - MƠN TỐN - KHỐI 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
B. PHẦN HÌNH HỌC:
I. CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH - PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Nội dung cơ bản:
a. Phép tịnh tiến: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
b. Phép đối xứng trục: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
c. Phép đối xứng tâm: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
d. Phép quay: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
e. Phép vị tự: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
f. Phép dời hình - Phép đồng dạng: Định nghĩa, tính chất
2. Dạng bài tập:
- Tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường trịn qua phép dời hình hoặc phép đồng dạng cụ thể
II. CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG
1. Nội dung cơ bản:
a. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng: Các khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng, giao tuyến,
giao điểm, hình chóp trong không gian
b. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song: Dấu hiệu nhận biết vị trí tương đối của hai
đường thẳng, tính chất
c. Đường thẳng và mặt phẳng song song: Dấu hiệu nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt
phẳng, tính chất
2. Dạng bài tập:
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng
--- HẾT --Bình Long, ngày ..… tháng ….. năm 2013

Duyệt Tổ trưởng


I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. sinu = a
• a > 1 ⇒ phương trình vơ nghiệm
• −1 ≤ a ≤ 1 , đưa phương trình về dạng:

2. cosu = a
• a > 1 ⇒ phương trình vơ nghiệm
• −1 ≤ a ≤ 1 , đưa phương trình về dạng:

u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k 2π

cosu = cosv ⇔ u = ±v + k 2π

Nếu a không đưa về sin v được ta viết u = arcsin a
Lúc đó áp dụng cơng thức nghiệm:
u = arcsin a + k2π
sin u = a ⇔ 
u=π − arcsin a + k2π

cos u = a ⇔ u = ±arccos a + k2π

• Đặc biệt:

π

+ k 2π
2
π
° sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π
2
° sin u = 0 ⇔ u = kπ

x = β o + k360 0
sin x = sin β 0 ⇔ 
o
o
0
 x = 180 − β + k360

• Đặc biệt:

° sin u = 1 ⇔ u =

°cos u = 1 ⇔ u = k 2π

°cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π
π
°cos u = 0 ⇔ u = + kπ
2
0
cos x = cos β ⇔ x = ± β 0 + k3600
4. cotu = a Đk: u ≠ kπ
cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

π

+ kπ
2
tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

3. tanu = a Đk: u ≠

Nếu a không đưa về tan v được ta viết u = arctan
a
Lúc đó áp dụng cơng thức nghiệm:
tan u = a ⇔ u = arctan a + kπ

π
+ kπ
4
π
* tan x = –1 ⇔ x = – + k π
4

* tan x = 0 ⇔ x = k π
tan x = tan β 0 ⇔ x = β 0 + k1800
Ví Dụ: Giải các phương trình sau: a) sinx =

3
2

π

 x = 3 + k 2π
⇔  2π
x =

+ k 2π

3


1
3

c) tan(x – 600) =

Đk: x – 60o ≠ 90o + k.180o ⇔ x ≠ 30o + 180o
tan(x – 600) =

1
3

cot u = a ⇔ u = arccot a + k π

• Đặc biệt:

π
+ kπ
4
π
* cot x = –1 ⇔ x = – + k π
4
π
*cot x = 0 ⇔ x =
+ kπ
2

cot x = cot β 0 ⇔ x = β 0 + k1800

* tan x = 1 ⇔ x =

3 ⇔ sin x = sin π
3
2
π

 x = 3 + k 2π
⇔
 x = π − π + k 2π

3


Nếu a không đưa về cot v được ta viết u = arccot a
Lúc đó áp dụng cơng thức nghiệm:

* cot x = 1 ⇔ x =

• Đặc biệt:

a) sinx =

Nếu a không đưa về cos v được ta viết u = arccos a
Lúc đó áp dụng cơng thức nghiệm:

⇔ tan( x − 600 ) = tan 300

⇔ x − 600 = 300 + k1800 ⇔ x = 900 + k1800 là nghiệm

π
1
)= −
4
2
2π
π
1
π
cos(2x + ) = − ⇔ cos(2x + ) = cos
3
4
2
4

b) cos(2x +

π 2π
5π


 2 x + 4 = 3 + k 2π
 x = 24 + kπ
⇔
⇔
 2 x + π = − 2π + k 2π
 x = − 11π + kπ



4
3
24



d) cot(x –
cot(x –
⇔x=

π
)=5
3

π
π
) = 5 ⇔ x − = arc cot 5 + kπ
3
3

π
+ arc cot 5 + kπ
3


Bài tập:
Phương trình

Đáp số

a) sin
c) tan(2x + 3) = tan

π
3

π

 x = 6 + kπ

 x = π + kπ

2

π
3
x=– +
6
2

Phương trình
b) cos(x – 2) = 2/5

+k

π
2

d) cot(450 – x) =

3
3

Đáp số
x = 2 ± arccos

2
5

+ k2 π

x = – 150 + k1800

B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Các phương trình dạng at + b = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương
trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Cách giải:
• Chuyển b sang vế phải và chia hai vế cho a ta được pt cơ bản.
• Chú ý: −1 ≤ sin x ≤ 1; −1 ≤ cosx ≤ 1
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương
trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những
phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Cách giải:
• Đặt HSLG làm ẩn phụ với đk cho ẩn phụ (nếu có)
• Giải pt với ẩn phụ.
• Đưa pt về dạng phương trình cơ bản.

• Chú ý: −1 ≤ sin x ≤ 1; −1 ≤ cosx ≤ 1
Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác bằng các phép biến đổi lượng giác.

Ví Dụ: Giải các phương trình sau:
a) 3tan x +

=0

π

Đk: x ≠ 2 + kπ

Phương trình ⇔ tanx = –

3
3

⇔x=–

π
+ kπ
6

b)
2
Đặt t = cosx ( t ≤ 1 ) Phương trình ⇔ 2t2 + 2 t – 2 = 0 ⇔ t 1 = ; t2 = – 2 (loại )
2

Khi t =

2
2

⇔ cosx =

2 ⇔
2

π
x = ± +k2 π
4

c)
Thay cos2x = 1 – sin2x ta được phương trình 8 sin2x – 6 sinx – 5 = 0
Đặt u = sinx, ( |u| ≤ 1). Phương


1
u = − 2
trình ⇔ 8u2 – 6u – 5 = 0 ⇔ 
u = 5 (loai)

4

π
π
1
⇔ sinx = – ⇔ sinx = sin (– 6 ) ⇔ x = − 6 + 2kπ
2

7π

; x = 6 + 2kπ


Bài tập:
Phương trình
a) 3 tan(2x –

Đáp số

π
)+3=0
6

x=–

π
12

+k

Phương trình
π
2

Đáp số
x=

b) cos2x - 2sin2x + 2 =
0
x=–

2

c) 6 sin x – 5 sinx – 4 = 0

π
+ k 2π
2

π
5π
+ k2 π hoặc x = –
+ k2 π
6
6

C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cos x
Dạng phương trình : asinx + bcosx = c
ĐK có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2
• Chia 2 vế phương trình cho a 2 + b2 ≠ 0.

a

Đặt

• Phương trình ⇔ sin x.cos α + cos x.sin α =

a +b
2

c
a +b
2

2

= cos α ;

b

⇔ sin (x + α ) =

2

= sin α

a + b2
2

c
a + b2
2

Ví Dụ: Giải các phương trình sau:

b)

a) 3sin x+ 4cos x = 5

Phương trình ⇔ sin cos3 x + cos sin3 x =

π
3

π
2
3
2
π π

3 x + 3 = 4 + k 2π
π
π
⇔ sin(3x + ) = sin
⇔
3
4
3 x + π = π − π + k 2π

3
4

π
2π

 x = − 36 + k 3
⇔  5π

2π
x =
+k

36
3


3
4
Phương trình ⇔ sinx + cosx =1
5

Đặt sin α =

3
5

5

và cos α =

4
5

⇒ α = arcsin

Phương trình ⇔ sin (x + α ) = 1
⇔x=

Chú ý:

3
5

3
π
– arcsin + k2 π
5
2

sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b

sin(a − b) = sin a.cos b − cos a.sin b
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b

Bài tập:
Phương trình
a) 4sinx – 3cosx = 5

Đáp số
x= α+

π
+ k 2π
2

4
với cosα = và

5
3
sinα =
5

c)

sin x + cos x = 2

x=

π
+ k2 π
3

Phương trình
b) cosx + 3 sinx = 2

d)

sin x – cos x = 3

Đáp số
x = π + kπ ; x = 7π + k 2π
12
12

Phương trình vơ nghiệm

II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
A. QUI TẮC ĐẾM
1. Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc có thể tiến hành 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai
theo một trong hai phương án A và B. Phương án A công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện
có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể
bởi n cách; cơng đoạn B có thể thực hiện bởi m
thực hiện bởi m cách. Khi đó, cơng việc được thực cách. Khi đó, cơng việc được thực hiện bởi n.m
hiện theo n + m cách.
cách.
Bài tốn về quy tắc đếm: Cần phân biệt cơng việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để
chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Ví Dụ: a) Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41
có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Giải
Bạn X có hai phương án để chọn:
Phương án A cỡ 40: Có 3 cách chọn (chọn theo 3 màu)
Phương án B cỡ 41: Có 4 cách chọn.
Vậy X có 3 + 4 = 7 cách chọn.
b) Từ tập hợp A = { 1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Giải
Số có 7 chữ số nên có 7 vị trí
Vậy ta lấy các phần tử của A cho vào các vị trí này sao cho thỏa mãn đề bài
Cho số 2 vào 7 vị trí: ta có 7 cách chọn
Cho số 3 vào các vị trí cịn lại: có 6 vị trí chọn
Cho số 4 vào các vị trí cịn lại sau khi cho số 2, 3: có 5 vị trí để chọn
Cho số 5 vào các vị trí cịn lại sau khi đã cho số 2, 3, 4: có 4 vị trí để chọn
Cịn lại 3 số 1 và 3 vị trí cịn lại có 1 cách chọn
Vậy có: 7.6.5.4.1 = 840 số
B. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Định nghĩa

Công thức

Công thức khác
n! = 1.2.3…. n
n! = (n - 1) ! n
= (n - 2)!(n - 1) n
Pn = Akn

Hoán vị
Pn

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi kết quả sắp thứ tự n phần
Pn = n!
tử là 1 hoán vị

Chỉnh hợp
Akn

n!
Mỗi cách chọn k phần tử có thứ tự của tập hợp A được k
An=
gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử.
(n − k )!

Tổ hợp
Ckn

n!

Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A được gọi là 1 k
Cn=
tổ hợp chập k của n phần tử.
k !(n − k )! C k −1 + C k = C k
n −1
n −1
n

P = n!
Phương trình ứa n
Pn , A k ,Ck
n
n

( n ≥ 1) ;

A k = n ( n −1) ... ( n − k +1) =
n

0! = 1 , 1! = 1
Ckn =Cnn –k

n!
( 1 ≤ k ≤ n ) ; Ck = k! nn! k !
n
( n − k)!
( − )

(0 ≤ k ≤ n)

Ví Dụ: a) Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các
chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Giải
Đây là bài toán hoán vị.
Xếp hai bạn nam vào hai ghế kề nhau: có 2! cách xếp.
Xếp ba bạn nữ vào ba ghế kề nhau: có 3! cách xếp.
Xếp theo nhóm nam, nữ: có 2! cách xếp.
Vậy số cách xếp là: 2!.(2!3!) = 24 cách.


b) Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các
điểm đó?
Giải
Mỗi vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp gồm 7 điểm.
2
Số vectơ muốn tìm là số chỉnh hợp chập 2 của 7: A7 = 7.6 = 42 (vectơ).
c) Từ tập A = { 0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Giải:
Gọi số cần tìm là abcd
Có a ∈ A \ { 0} : có 5 cách chọn
3
bcd là một chỉnh hợp chập 3 của tập A\{a}: có A5
Vậy có 5.A3 = 300 số
5
d) Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam
giác?
Giải
Một tam giác gồm 3 đỉnh (không cần thứ tự) chọn trong 7 điểm. Như vậy để tạo một tam giác xem
như chọn một tập còn gồm 3 phần tử trong số 7 phần tử.
7!

= 35 (tam giác)
Số tam giác là số tổ hợp chập 3 của 7: C3 =
7
3!4!
2Pn
3
e) Tìm n ∈ N* , nếu có: P = A n ( 1)
n −1
Giải
Điều kiện: n ≥ 3
 n = 0 ( lo¹i )
2.n!
2
( 1) ⇔ n −1 ! = n.( n −1) ( n − 2) ⇔ 2 = ( n −1) ( n − 2 ) ⇔ n − 3n = 0 ⇔ 
 n = 3 tháa m·n
( )
(
)



Vậy n = 3
f) Tìm n ∈ N* , nếu có: 6n − 6 + C3 = C3 +1
n
n

Giải

Điều kiện: n ≥ 3

Pt ⇔ 6n − 6 + C3 = C2 + C3 ⇔ 6n − 6 = C2 ⇔ 6 ( n −1) =
n
n
n
n

n!
2!( n − 2 ) !

⇔ n 2 −13n + 12 = 0 ⇔ n = 1(loai),n = 12(nhan)
Vậy n = 12
Bài tập:
Phương trình

Đáp số

a)

n=6

c)

x=5

Phương trình

Đáp số

b)

x=4

d)

x=2

C. NHỊ THỨC NIU – TƠN

(

1. Khai triển nhị thức Newton: a + b

)

n

= C0 a n b0 + C1 a n −1b1 + ... + Ck a n −k b k + ... + Cn a 0bn
n
n
n
n

2. Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Niu-tơn có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.
– Số hạng tổng qt thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Tk +1 = Ck a n −k bk
n
Ví Dụ: Khai triển nhị thức:
a)

=
= 16
b) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển của (11 + x)11
a = 11, b = x, n = 11
k
11− k k
Ta có số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển trên là: Tk +1 = C1111 x

( 0 ≤ k ≤ 10 )

3
Để xk = x3 thì k = 3, Vậy số hạng chứa x3 là: T4 = C11118 x 3

Bài tập:
1) Khai triển các nhị thức:
2) Viết năm số hạng đầu tiên trong khai triển các nhị thức sau:
3) Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức:
4) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức:
5) Tìm số hạng thứ 13 trong khai triển nhị thức:
D. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. Biến cố
• Không gian mẫu Ω: là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A: là tập hợp các kết quả của phép thử làm xảy ra A, A ⊂ Ω.
• Biến cố không: ∅
• Biến cố chắc chắn: Ω
2. Xác suất
n( A )

• Xác suất của biến cố: P(A) =
n (Ω )
P(A): Xác suất của biến cố A
n(Ω): Số phần tử của không gian mẫu
n(A): Số phần tử của biến cố A
• 0 ≤ P(A) ≤ 1;
P(Ω) = 1;
P(∅) = 0
Bài tập:
1. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi.
Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
2. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.
Tính xác suất để lấy được:
a) It nhất 2 bóng tốt
b) It nhất 1 bóng tốt.
3. Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh
giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi.
4. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên
3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
5. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy
ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
a) Số đó là số lẻ.
b) Số đó chia hết cho 5
c) Số đó chia hết cho 9

III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN


A. DÃY SỐ
1. Dãy số

u : N* → R
n a u(n)

Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …

2. Dãy số tăng, dãy số giảm
• (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*.

⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔

un+1

• (un) là dãy số giảm⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N*.
⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔

un

un+1
un

> 1 với ∀n ∈ N* ( un > 0)

< 1 với ∀n ∈ N* (un > 0)

Bài tập:
1. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
a) un =

2n2 − 1
2

n +1

b) u1 = 2, un+1 =

1
( u + 1)
3 n

c) un =

(n + 1)!
2n

A. CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghóa:

(un) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d
với n ≥ 2
u +u
3. Tính chất các số hạng: uk = k −1 k +1
với k ≥ 2
2
n(u1 + un ) n  2u1 + (n − 1)d 

4. Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = u1 + u2 + ... + un =
= 
2
2

Bài tập:
1. Trong các CSC dưới đây hãy tính số hạng (un ) đã chỉ ra :
a. 1,5,9,….. u17 =?

b.

2 + 1, 2,3 − 2,...u10 = ?

2. Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai
của nó:
3n + 2
a) un = 3n – 7
b) un =
c) un = n2
d) un = 3n
5
3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
u + u − u = 10
u + u − u = 10
 u = −15
u − u = 8
a)  1 5 3
b)  2 5 3
c)  3
d)  7 3
u1 + u6 = 17
u4 + u6 = 26


u14 = 18

 u2 .u7 = 75
4. Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi CSC dưới đây :
u1=5

{u10 =50

a.

u1=1
b.
u2 =5

{


5. Một CSC có u2 + u22 = 60 . Tính tổng 23 số hạng đầu tiên của CSC đó ?
A. CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghóa: (un) là cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N*
2. Số hạng tổng quát:

un = u1.qn−1

3. Tính chất các số hạng:
4. Tổng n số hạng đầu tiên:

(q: công bội)

với n ≥ 2

2

uk = uk −1.uk +1

với k ≥ 2

 Sn = nu1

n
 S = u1(1 − q )
 n
1− q


với q = 1
với q ≠ 1

Bài tập:
1. a) Tìm cơng bội q của CSN

biết rằng;

b) Cho CSN
có
. Tìm năm số hạng đầu tiên của
?
c) Cho CSN có số hạng đầu tiên bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54, số hạng cuối cùng bằng 39366. Tính
tổng tất cả các số hạng của CSN đó ?
2. Cho CSN
có:
. Tìm
của CSN đó.

3. Cho ba số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một CSC và ba số x – 1, y + 2, x – 3y theo
thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm x và y ?

I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I. Phép tịnh tiến
uuuuu r
r
r
• Tv : M a M′ ⇔ MM ' = v
uuuuuu uuuu
r
r
r
r
• Tv (M) = M′, Tv (N) = N′ ⇒ M ' N ' = MN
x ' = x + a
r
• Tv : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 
y ' = y + b
II. Phép đối xứng trục uuuuuu
r
uuuuur
• Đd: M a M′ ⇔ M0 M ' = − M0 M (M0 là hình chiếu của M trên d)
• Đd(M) = M′ ⇔ Đd(M′) = M
• Đd(M) = M′, Đd(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN
x ' = x
• ĐOx: M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 
y ' = −y
x ' = −x
ĐOy: M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 

y ' = y
III. Phép đối xứng tâm
uuur
uuu
r
• ĐI: M a M′ ⇔ IM ' = − IM
• ĐI(M) = M′ ⇔ ĐI(M′) = M uuuuuu
r
uuuu
r
• ĐI(M) = M′, ĐI(N) = N′ ⇒ M ' N ' = − MN
 x ' = 2a − x
• Cho I(a; b). ĐI: M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 
 y ' = 2b − y
x ' = −x
Đặc biệt: ĐO: M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 
y ' = −y

IV. Pheùp quay


 IM ' = IM
• Q(I,α): M a M′ ⇔ 
( IM ; IM ') = α
• Q(I,α)(M) = M′, Q(I,α)(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN

π
neáu 0 < α ≤
α
·

2
• Q(I,α)(d) = d′. Khi đó: ( d , d ' ) = 
π
 π − α neáu ≤ α < π

2
x ' = −y
• Q(O,900): M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 
y ' = x
x ' = y
Q(O,–900): M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: 
y ' = − x
V. Phép vị tự
uuur
uuu
r
• V(I,k): M a M′ ⇔ IM ' = k .IM
(k ≠ 0)
uuuuuu
r
uuuu
r
• V(I,k)(M) = M′, V(I,k)(N) = N′ ⇒ M ' N ' = k .MN
 x ' = kx + (1 − k )a
• Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) a M′(x′; y′). Khi ñoù: 
 y ' = ky + (1 − k )b
BÀI TẬP:
r
1. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh tiến Tv trong các trường hợp sau:
r

r
r
a) v = (1; 1)
b) v = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
2. Trong mp Oxy, cho đường thaúng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh
r
của (d) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:
r
r
r
a) v = ( 4; −3)
b) v = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
2

2

3. Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 2 ) = 4 . Tìm phương trình của đường tròn (C′) là
r
ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau:
r
r
r
a) v = ( 4; −3)
b) v = (2; 1)
c) v = (–2; 1)
4. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
5. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
6. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
b) x2 + (y – 2)2 = 4
7. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với:
a) Tâm O(0; 0)
b) Tâm I(1; –2)
c) Tâm H(–2; 3)
8. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0
b) x + y + 2 = 0
b) 2x + y – 4 = 0
9. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm H(2; 1):
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
b) x2 + (y – 2)2 = 4
10. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm O góc α với:
a) α = 900
b) α = –900
11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 900:
a) 2x – y = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x + y – 4 = 0
12. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O goùc 900:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
b) x2 + (y – 2)2 = 4
13. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2:
A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
1
14. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = :
2
A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).

15. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp
1
1
sau: a) k = – 1
b) k = – 2
c) k =
d) k = −
2
2
2
2
16. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1) + (y – 3) = 9 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các
1
1
trường hợp sau: a) k = 1
b) k = 2
c) k =
d) k = −
2
2
r
v = (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực
17. Cho
r
hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v
18. Cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + (y – 1)2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua
phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối
xứng qua trục Oy.

II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ SONG
SONG
A.TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (α) VÀ (β) :

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) ta đi tìm hai điểm chung I , J của (α) và(β)
Giao tuyến là: (α) ∩ (β) = I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
β
 Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung
J
I
•
•
 M ∈ d và d ⊂ (α) ⇒ M ∈ (α)
a ∩ b = M trong (P)

 a ⊂ α ; b ⊂ β


⇒

M là điểm chung

α

BÀI TẬP:

1. Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD)
với các mặt phẳng (ABC), (ABD), (BCD), (ACD)
2.Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA, d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB, BC lần

lượt tại J, K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB), (SAC), (SBC)
3. Cho hình chóp SABCD. Tìm giao tuyến của :
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAB) và (SCD)
c) (SAD) và (SBC)
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi, M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao
tuyến của các mặt phẳng :
a) (SAM) và (SBD)
b) (SBM) ; (SAC)
5. Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm trong tam giác ABC, N là điểm nằm trong tam giác ACD.
Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD)
b) (CMN) và (ABD)
6. Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =

1
MB, N nằm trên AC sao cho AN =
4

3NC, điểm I nằm trong ∆BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD)
b) (MNI) và (ABD)
c) (MNI) và (ACD)
7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC
a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD)
b) M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

B. TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG DVÀ MẶT PHẲNGd(α)

Giả sử phải tìm giao điểm của d ∩ (α) = ?

•

α

M

a


Phương pháp 1:
Tìm a ⊂ (α)
Chỉ ra được a, d nằm trong cùng mặt phẳng và
chúng cắt nhau tại M ⇒ d ∩ (α) = M ( hình vẽ )
Phương pháp 2:
Tìm (β) chứa d thích hợp
Giải bài tốn tìm giao tuyến a của (α) và (β)
Trong (β) : a ∩ d = M ⇒ d ∪ (α) = M ( hình vẽ)

α

BÀI TẬP:

a

•

M
d

β

1. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói

CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).
2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và
không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).
4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong ∆BCD. Tìm
giao điểm của:
a) MN và (ABO).
b) AO và (BMN).
HD:
a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD).
b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO).
C. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Giả sử phải chứng minh d song song với mp (P)
Ta chứng minh d không nằm trong (P)
và d song song với d’ nào đó thuộc mặt phẳng (P)
Chú ý: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng
đồng phẳng và khơng có điểm chung

a
P

b

BÀI TẬP:
1. Cho tứ diện ABCD .Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD.
Chứng minh rằng HK // ( AB)
2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP)
3. Cho tø diƯn ABCD .Gäi I, J là trung điểm của BC và CD
a) Chứng minh rằng BD//(AIJ)
b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Chứng minh rằng HK//(ABD)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, G là trọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên
cạnh AD sao cho DE = 2EA. Chứng minh rằng GE // (SCD).