Đề ôn tập HKI - Khối 11

ĐỀ 1 ( ĐỀ THAM KHẢO )
I 1) tìm tập xác định của hàm số
tan
1 cos
x
y
x
=
+

2) giải a)
sin 2 3 cos2 2x x− = −
b)
4 4
cos sin sin 4x x x− =
II 1) người ta lấy ngẫu nhiên 7 viên bi từ hộp kín
gồm 9 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh.
Tính xác suất để trong 7 viên bi lấy được
a) có ít nhất 1 bi xanh
b) số lượng bi xanh không ít hơn số lượng bi đỏ
2) tìm hệ số của x
3
trong khai triển
12
2
1
2x
x
 
+
 ÷

 

III Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA, SC, SD
1) Chứng minh AC || (MNP)
2) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNP)
IV Cho các số nguyên m, n, k thỏa mãn
1 ≤ m ≤ k ≤ n Chứng minh
0 1 1 2 2

k k k k m m k
n m n m n m n m n m
C C C C C C C C C
− − −
+
+ + + + =
V 1) Cho đường thẳng d: x + 2y – 5 = 0. viết
phương trình d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến
theo véctơ
( 1;3)v −
r
2) Cho đường tròn (C ) : (x + 2)
2

+ (y- 4)
2
= 16.
Tìm phương trình (C’) ảnh của đường tròn (C)
qua phép vị tự tâm E(1;2) và tỉ số k = 2 ?
ĐỀ 2

Câu I: (3đ) Giải các phương trình sau :
1)
( )
− + + − =
2
3
1 3 tan 1 3 0
cos
x
x
2)
x x
2
3
2cos 3 cos2 0
4
π
 
− + =
 ÷
 
3)
x
x
x
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
−

+ =
Câu II: (2đ)
1) (1đ) Tìm số hạng không chứa
x
trong khai
triển của
n
x
x
2
4
1
 
+
 ÷
 
, biết:
n n n
C C A
0 1 2
2 109− + =
.
2) (1đ) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và
thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác
nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu
lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị.
Câu III: a) Trên một giá sách có các quyển sách
về ba môn học là toán, vật lý và hoá học, gồm 4
quyển sách toán, 5 quyển sách vật lý và 3 quyển

sách hoá học. Lấy ngẫu nhiên ra 3 quyển sách.
Tính xác suất để
1) Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất một
quyển sách toán.
2) Trong 3 quyển sách lấy ra, chỉ có hai loại sách về
hai môn học.
Câu IV: (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường
tròn
( ) ( )
C x y
2 2
( ): 1 2 4− + − =
. Gọi f là phép biến hình
có được bằng cách sau: thực hiện phép tịnh tiến theo
vectơ
v
1 3
;
2 2
 
=
 ÷
 
r
, rồi đến phép vị tự tâm
M
4 1
;
3 3
 

 ÷
 
, tỉ số
k 2
=
. Viết pt ảnh của (C) qua phép biến hình f.
Câu V: (2đ) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SA, SC, BC
1) tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD)
2) tìm giao điểm của CD với (MNP)
3) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNP)
4) Chứng minh SB || (MNP)
ĐỀ 3
PHẦN CHUNG: cho tất cả học sinh (7 điểm)
Câu I Giải các phương trình sau
1)
2
2cos 3cos 2 0x x+ − =
2)
sin 4 sin 0x x− =
3)
sin 7 cos5 sin3 0x x x− − =
Câu II Tìm hệ số của
12
x
trong khai triển
20
2
x
x

 
+
 ÷
 
Câu III Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tìm số các số
có bốn chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ các
số đã cho. Trong các số đó có bao nhiêu số luôn có mặt
chữ số 8.
Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ
giác lồi. Gọi M là trung điểm SD.
1) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).
2) Tìm giao tuyến của (ABM) và (SCD).
PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm)
THEO CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Câu Va Trong một hộp có 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu
xanh có cùng kích thước. Người ta lấy ngẫu nhiên ra 3
quả. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu cùng màu.
Câu VIa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
∆: 2x − 3y − 1 = 0 và vectơ
(2; 3)u = −
r
. Gọi ∆' là ảnh
của đường thẳng ∆ qua phép
tịnh tiến theo vectơ
u
r
. Viết phương trình ∆'.
Câu VIIa Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số
2sin cos 1

sin 2cos 3
x x
y
x x
+ +
=
− +
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu Vb Trong một hộp có 4 quả cầu đỏ, 7 quả cầu
vàng, 8 quả cầu xanh có cùng kích thước. Người ta lấy
ngẫu nhiên ra 5 quả. Tính xác suất để lấy được 5 quả
cầu sao cho số cầu vàng bằng số cầu đỏ.
Câu VIb Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường
tròn (C):
2 2
( 1) ( 2) 4x y− + + =
và vectơ
( 1; 2)v = − −
r
. Gọi (C') là ảnh của đường tròn (C)
qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
. Viết phương
trình đường tròn (C').
Câu VIIb Tìm các giá trị m để phương trình sau
có nghiệm
2 2
4cos 2 sin cos sin 2x m x x x m− + =
ĐỀ 4

Bài 1 (2,0 điểm). Giải các phương trình
a.
2 2
(sin cos ) (sin cos 1)x x x x− = + +
b.
2
2sin 3cos 2 1 0x x+ + =
Bài 2 (1,5 điểm).
a) Từ các chữ số 1,3,5,7,9 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và có 1
chữ số 9
b) lấy ngẫu nhiên một số từ các số tự nhiên gồm
ba chữ số. Tìm xác suất để lấy được số chia hết
cho 3
Bài 3 Một tổ gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ .
a) Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh này một
hàng ngang sao cho các học sinh nữ đứng kề
nhau
b) Chọn ngẫu nhiên 3 bạn để trực nhật. Tính xác
suất sao cho trong ba bạn đó có cả nam và nữ ?
Bài 4. (1,5 điểm). Trong mp Oxy cho A(2;1) và
đường thẳng (l) 3x + 4y – 10 = 0,
( 1;4)u = −
r
a. tìm ảnh của A qua 2 phép liên tiếp: Đ
O
và
u
T
r

b. Phép đối xứng qua trục Oy biến (l) thành (l’).
Hãy viết phương trình (l’).
Bài 5. (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình bình hành, SAB là tam giác đều,
SCD là tam giác cân tại S. Gọi M là trung điểm
của AD, mặt phẳng ( α) qua M và song song với
AB và SA cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a. Xác định N, P, Q.
b. Chứng minh MNPQ là hình thang cân. Tính
diện tích MNPQ theo a khi AB = a
Bài 6. Tính tổng
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
ĐỀ 5
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
sin(2 1) cos 0
4
x
π
− + =
.
b. sin2x + 2
3
sinxcosx + 1 = cos2x.
Bài 2:
a. Một tổ có 12 người gồm 9 nam và 3 nữ.Cần lập một
đoàn đại biểu gồm 6 người,trong đó có 4 nam và 2
nữ .Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu ?

b. Một tổ gồm 8 bạn nam và 6 bạn nữ . Chọn ngẫu
nhiên 3 bạn để trực nhật. Tính xác suất sao cho trong
ba bạn đó có cả nam và nữ ?
c. Gieo 3 đồng xu. Tính x/suất để có đồng xu lật ngửa
Bài 3 (2,0 điểm).
a. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 4x - 6y - 12=0. Viết pt
đường tròn (C') là ảnh của (C) qua
u
T
r
với
(2; 3)u = −
r
b. Tìm trục đối xứng của 1 hình xác định bởi
d: x + 2y -3 = 0 và (C): x
2
+ y
2
+ 4x - 6y – 12 = 0
Bài 4. (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
a.Tìm giao điểm của SO với mp (MNB). Suy ra thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mp (MNB).
b. Tìm giao điểm E, F của AD, CD với mp(MNB).
c. Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng.

Bài 5. (1 điểm) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
2 2
sin 2sin 2 3cosy x x x= + +

ĐÁP ÁN ÔN TẬP HK1 2013 – 2014
ĐÁP ÁN ĐỀ 1
I 1)
tan
( )
1 cos
x
f x
x
=
+
có nghĩa khi và chỉ khi
( )
2 2
cos 1 2
x k x k
k Z
x x k
π π
π π
π π
 
≠ + ≠ +
 
⇔ ∈

 
 
≠ − ≠ +
 
Tập xác định
\ , 2 ( )
2
D R k k k Z
π
π π π
 
= + + ∈
 
 
2) a)
sin 2 3 cos2 2x x− = −
1 3 2
sin 2 cos 2
2 2 2
x x
⇔ − = −
2
cos sin 2 sin cos2
3 3 2
sin 2 sin
3 4
x x
x
π π
π π

⇔ − = −
   
⇔ − = −
 ÷  ÷
   
2 2
3 4
24
19
2 2
3 4 24
x k
x k
k Z
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π π


− = − +
= +


⇔ ⇔ ∈





− = + + = +




b)
4 4
cos sin sin 4x x x− =
2 2 2 2
2 2
(cos sin )(cos sin ) sin 4
cos sin sin 4
x x x x x
x x x
⇔ + − =
⇔ − =
cos 2 2sin2 cos2
cos 2 0
cos 2 (1 2sin 2 ) 0
1
sin 2
2
x x x
x
x x
x
⇔ =
=



⇔ − = ⇔⇔

=

5
, , ( )
4 2 12 12
x k x k x k k Z
π π π π
π π
= + = + = + ∈

II 1)
có
7
14
C
cách chọn 7 bi từ 14 bi trong hộp
7
14
C⇒ Ω =
a) Gọi A là biến cố : “ chọn được ít nhất 1 bi xanh ”
Thì
A
là biến cố : “ chọn được 7 bi đỏ ”
7
7
9

9
7
14
3
( )
286
A
A
C
C P A
C
Ω
Ω = ⇒ = = =
Ω
b) gọi B là biến cố : “ chọn được số bi xanh nhiều hơn
số bi đỏ “
các trường hợp thuận lợi cho B là
chọn được 4 bi xanh và 3 bi đỏ thì có
4 3
5 9
.C C
cách
chọn được 5 bi xanh và 2 bi đỏ thì có
5 2
5 9
.C C
cách
4 3 5 2
5 9 5 9B
C C C CΩ = +

4 3 5 2
5 9 5 9
7
14
19
( )
143
B
C C C C
P B
C
Ω
+
= = =
Ω
2)
( )
12 12
12
2 2
12
0
1 1
2 2
k
k
k
k
x C x
x x

−
=
   
+ =
 ÷  ÷
   
∑
Số hạng tổng quát là
( )
12
2 2
1 12 12
12
1 1
2 2
k
k
k k k k
k
k
T C x C x
x
x
−
+
−
 
= =
 ÷
 

1k
T
+
chứa x
3
khi
2 12 3 3k k k
= − + ⇔ =
Hệ số của x
3
là
3 3
12
2 1760C =

III 1) MN là đường trung bình của ∆ SAC ⇒ MN || AC
MN || AC, AC ⊂ (SAC) ⇒ MN || (SAC)
2) gọi O = AC ∩ BD
trong mp(SAC), gọi I = MN ∩ SO
trong mp(SBD), gọi R = PI ∩ SB
(MNP) cắt các mặt (SAD), (SDC),
(SCB), (SAB) lần lượt theo các đoạn
giao tuyến MP, PN, NR, RM
Suy ra tứ giác MPNR là thiết diện cần tìm
IV Ta có
0
(1 )
n m
n m k k
n m

k
x C x
+
+
+
=
+ =
∑
Hệ số của x
k
là
k
n m
C
+
(1)
Mặt khác
(1 ) (1 ) (1 )
n m n m
x x x
+
+ = + +
0 1
0 1
( ).
( ) .
j j n n
n n n n
i i m m
m m m m

C C x C x C x
C C x C x C x
= + + + + +
+ + + + +
Nên hệ số của x
k
là
0 1 1 2 2

k k k k m m
n m n m n m n m
C C C C C C C C
− − −
+ + + +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
0 1 1 2 2

k k k k m m k
n m n m n m n m n m
C C C C C C C C C
− − −
+
+ + + + =
V 1) Cho đường thẳng d: x + 2y – 5 = 0. viết phương trình
d’ là ảnh của d qua
v
T
r
, với

( 1;3)v −
r
2) Cho đường tròn (C ) : (x + 2)
2

+ (y- 4)
2
= 16. Tìm
phương trình (C’) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự
tâm E(1;2) và tỉ số k = 2 ?
V 1)
( ) '
v
T d d=
r
nên d’ || d hoặc d’ ≡ d
⇒ d’: x + 2y + c = 0
Lấy điểm M(1; 2) ∈ d
Gọi
( ) '
v
T M M=
r
, với M’(x’, y’) thì
' 1 ( 1) 0
'(0;5)
' 2 3 5
x
M
y

= + − =

⇒

= + =

'(0;5) ' 0 2.5 0 10M d c c∈ ⇔ + + = ⇔ = −
Vậy d: x + 2y – 10 = 0
2) đường tròn (C ) có tâm I(-2; 4), bán kính R = 4
( ;2)
(( )) ( ')
E
V C C=
nên (C’) có bán kính R’ = | 2 |R = 8
Và tâm
( ;2)
' ( )
E
I V I=
, ta có
'
'
2( )
' 2
2( )
I E I E
I E I E
x x x x
EI EI
y y y y

− = −

= ⇔

− = −

uuur uur
' '
' '
1 2( 2 1) 5
2 2(4 2) 6
I I
I I
x x
y y
− = − − = −
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 

Vậy (C’):
2 2
( 5) ( 6) 64x y+ + − =
ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Câu 1 1)
( )
⇔ − + + =
2

3tan 1 3 tan 1 0pt x x
π π
π π
=

⇔ ⇒ = + = +

=


x
x k hoaëc x k
x
tan 1
1
tan
4 6
3
2)
x x
2
3
2cos 3cos2 0
4
π
 
− + =
 ÷
 
(1)

π
 
⇔ + − + =
 ÷
 
x x
3
1 cos 2 3cos2 0
2
(2)
Ta có
π π π π
     
− = + = − +
 ÷  ÷
 
     
x x x
3
cos 2 cos 2 sin (2 )
2 2 2 2

= − = −
x xsin( 2 ) sin2
do đó
(2)
⇔ − + =x x1 sin2 3cos2 0
⇔ − =x xsin2 3cos2 1

π π

 
⇔ ⇔ − =
 ÷
 
x sin 2 sin
3 6
π π
π π
⇒ = + = +x k x k
7
,
4 12
3)
x
x
x
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
−
+ =

ĐK:
x x ksin2 0
2
π
≠ ⇔ ≠
( ) ( )
−

⇔ + =
⇔ + = −
⇔ + + − =
= −

⇔

+ =

x x
pt
x
x
x x x x
x x x
x
x x
2
2
cos2 1 cos2
1
sin2
sin 2
sin 2 cos2 sin2 1 cos2
sin2 1 sin2 cos2 1 0
sin2 1 (1)
sin2 cos2 1 (2)
π π
π π
⇔ = − + ⇔ = − +x k x k(1) 2 2

2 4
π π
π
π
π
π
π
 
⇔ + = ⇔ + =
 ÷
 
=


⇔ ⇔ = +
= +


x x x
x k (loai)
x k
x k
(2) sin2 cos2 1 sin 2 sin
4 4
4
4

Câu 3 1) ĐK:
n n2;
≥ ∈

¥
;
( )
− + =
⇔ − + − = ⇔ =
n n n
C C A
n n n n
0 1 2
2 109
1 2 1 109 12
( )
k
k k k k
k k
x C x x C x
x
12
12 12
12
2 2 4 24 6
12 12
4
0 0
1
−
− −
= =
 
+ = =

 ÷
 
∑ ∑
k k24 6 0 4
− = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa x là
C
4
12
495=
2) Gọi số cần tìm là
a a a a a a
1 2 3 4 5 6
.
ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
suy ra
1 2 3 4 5 6
11, 10 a a a a a a+ + = + + =

+TH 1:
{ } { }
a a a
1 2 3
; ; 2;4;5=
thì
{ } { }
a a a
4 5 6
; ; 1;3;6=

Thì có
3
6P =
cách chọn
1 2 3
a a a
3
6P =
cách chọn
4 5 6
a a a

Nên có 6.6 = 36 số
+TH 2:
{ } { }
a a a
1 2 3
; ; 2;3;6=
thì
{ } { }
a a a
4 5 6
; ; 1;4;5=
có 36 số
+TH 3:
{ } { }
a a a
1 2 3
; ; 1;4;6=
thì

{ } { }
a a a
4 5 6
; ; 2;3;5=
có 36 số
Theo quy tắc cộng, ta có: 36 + 36 + 36 = 108 (số)
III 1) A là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, có ít nhất
một quyển sách toán”.
A
là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, không có quyển
sách toán nào”.
( )
C
P A
C
3
8
3
12
14
55
= =
⇒
( )
( )
P A P A
14 41
1 1
55 55
= − = − =

2) B là biến cố “Trong 3 quyển sách lấy ra, có đúng hai loại
sách về hai môn học”
B
C C C C C C C C C C C C
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
4 5 4 5 4 3 4 3 5 3 5 3
145
Ω
= + + + + + =
( )
P B
C
3
12
145 29
44
= =

IV Gọi I là tâm của (C) thì I(1 ; 2) và R là bán kính của (C)
thì R = 2.
Gọi A là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ
3
v ;
2
1
2
 
=
 ÷
 

r
, suy ra
7
A ;
2
3
2
 
 ÷
 
Gọi B là tâm của (C’) thì B là ảnh của A qua phép vị tự tâm
1
M ;
3
4
3
 
 ÷
 
tỉ số
k 2=

nên :
B A M
B A M
x x x
MB MA
y y y
5
2

3
2
14
2
3

= − =


= ⇒


= − =


uuur uuur
. Vậy
20
B ;
3
5
3
 
 ÷
 
Gọi R’ là bán kính của (C’) thì R’ = 2R = 4
Vậy
C x y
2 2
5 20

( '): 16
3 3
   
− + − =
 ÷  ÷
   
V

ĐÁP ÁN ĐỀ 3
I 1)
2
cos 2 )
2cos 3cos 2 0
1
cos
2
x
x x
x
= −


+ − = ⇔

=

(lo¹i
cos cos 2
3 3
x x k

π π
⇔ = ⇔ = ± + π
2)
sin 4 sin 0 sin 4 sinx x x x
− = ⇔ =
2
4 2 3 2
3
4 2 5 2 2
5 5
x k
x x k x k
x x k x k k
x
π

=

= + π = π
 
⇔ ⇔ ⇔

 
= π− + π = π + π π π
 

= +


3)

sin 7 cos5 sin3 0 2cos5 sin 2 cos5 0x x x x x x
− − = ⇔ − =
cos5 (2sin 2 1) 0x x⇔ − =
cos5 0
10 5
1
5
sin 2
;
2
12 12
x
x k
x
x k x k
π π

=
= +



⇔ ⇔


π π
=

= + π = + π




II Số hạng thứ k + 1 là
20 20 2
1 20 20
2
. .2
k
k k k k k
k
k
T C x C x
x
− −
+
= =
Để số hạng chứa
12
x
thì 20 − 2k = 12 ⇔ k = 4
Hệ số của
12
x
là
4 4
20
.2 77520C =
III Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau là
4
8

A
Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau không có
mặt số 8 là
4
7
A
Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau có mặt số 8
là
4 4
8 7
840A A− =
IV
1) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.
2) Gọi I là giao điểm của BM và SO, N là giao điểm
của AI và SC
Giao tuyến của (ABM) và (SCD) là MN.
Va Ta có:
3
12
( )n CΩ =
Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu cùng màu.”
Ta có
3 3
4 5
( )n A C C= +
Xác suất để lấy được 3 quả cầu cùng màu là
( )
( ) 0,064
( )

n A
P A
n
= ≈
Ω
VIa Giả sử M(x; y) ∈ ∆, M '(x' ; y') là ảnh của M qua phép
tịnh tiến theo vectơ
u
r
Ta có:
' 2 ' 2
'
' 3 ' 3
x x x x
MM u
y y y y
− = = −
 
= ⇔ ⇔
 
− = − = +
 
uuuuur r
Thay vào pt ∆ ta có: 2(x' − 2) − 3(y' + 3) − 1 = 0
⇔ 2x' − 3y' − 14 =0.
Vậy phương trình đường thẳng ∆': 2x − 3y − 14 =0
VIIa TXĐ:
¡
2sin cos 1
( 2)sin (2 1)cos 1 3

sin 2cos 3
x x
y y x y x y
x x
+ +
= ⇔ − − + = −
− +
Điều kiện có nghiệm
2 2 2
( 2) (2 1) (1 3 )y y y− + + ≥ −
2
1
2 3 2 0 2
2
y y y⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy
max
2 cos 1 2y x x k= = ⇔ = π khi
;
min
1
sin 1 2
2 2
y x x k
π
= − = − ⇔ = − + π khi
Vb Ta có:
5
19
( )n CΩ =

Gọi A là biến cố: “Lấy được 5 quả cầu sao cho số cầu vàng
bằng số cầu đỏ”
Ta có
1 1 3 2 2 1 5
4 7 8 4 7 8 8
( )n A C C C C C C C= + +
Xác suất để lấy được 5 quả cầu sao cho số cầu vàng bằng số
cầu đỏ là
( )
( ) 0, 24
( )
n A
P A
n
= ≈
Ω
VIb Giả sử M(x; y) ∈ (C), M '(x' ; y') là ảnh của M qua phép
tịnh tiến theo vectơ
v
r
Ta có:
' 1 ' 1
'
' 2 ' 2
x x x x
MM u
y y y y
− = − = +
 
= ⇔ ⇔

 
− = − = +
 
uuuuur r
Thay vào phương trình đường tròn (C) ta có:
2 2 2 2
( ' 1 1) ( ' 2 2) 4 ' ( ' 4) 4x y x y+ − + + + = ⇔ + + =
Vậy phương trình đường thẳng (C'):
2 2
( 4) 4x y+ + =
VIIb
2 2
4cos 2 sin cos sin 2 2 sin 2 3cos2 1 4x m x x x m m x x m− + = ⇔ − = −
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2
4 9 (1 4 )m m+ ≥ −
2
1 7 1 7
3 2 2 0
3 3
m m m
− +
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
ĐÁP ÁN ĐỀ 4
Bài 1 a.
2 2 2 2
sin 2sin cos cos 1 sin 2sin cos cosx x x x x x x x
⇔ − + − = + +
⇔ − = + ⇔ = −
1

sin2 1 sin2 sin2
2
x x x
⇒ nghiệm
b.
2
2sin 3 cos 2 1 0x x+ + =

1 cos2 3 cos2 1 0x x
⇔ − + + =
2
( 3 1)cos2 2 cos2
3 1
x x
−
⇔ − = − ⇔ =
−
VN
Bài 2 a) ĐS 2.3.6 = 36
b) xét một dãy hàng ngang gồm 3 ô
Có 3 cách chọn 1 ô để xếp chữ số 9
Có
2
4
12A =
cách chọn 2 chữ số trong 4 chữ số còn
lại và xếp vào 2 ô còn lại
vậy có 3.12 = 36 số
cách 2 có tất cả
3

5
60A =
số gồm 3 chữ số k/ nhau
số không thỏa yêu cầu bài toán không chứa chữ số 1
hoặc chữ số 9
trong đó có
3
4
24A =
số gồm 3 chữ số k/ nhau và
không chứa chữ số 9
Suy ra có 60 – 24 = 36 số cần tìm
Bài 3
a) ghép 4 HS nữ thành một nhóm, mỗi HS nam một
nhóm ta được 7 nhóm. Có P
7
cách sắp thứ tự của 7
nhóm này
có P
4
cách sắp thứ tự của 4 nữ trong cùng 1 nhóm
vậy có P
7
. P
4
= 120960 cách
b) có
3
10
C

cách chọn 3 HS từ 10 HS của tổ
⇒
3
10
CΩ =

Gọi A là biến cố : “ chọn được 3 bạn có cả nam và
nữ”
Gọi B là biến cố “ chọn được 3 bạn gồm toàn là nam
hoặc toàn là nữ “
3 3
6 4B
C CΩ = +
3 3
6 4
3
10
24 1
( )
120 5
B
C C
P B
C
Ω
+
= = = =
Ω
4
( ) 1 ( )

5
A B P A P B= ⇒ = − =
Bài 4. a) Đ
O
(A) = A’, gọi A
1
(x
1
; y
1
) ta có
1 1
1
1 1
2
( 2; 1)
1
A
A
x x x
A
y y y
= − = −
 
⇒ ⇒ − −
 
= − = −
 
1 2
( )

u
T A A=
r
, gọi A
2
(x
2
; y
2
) ta có

2 1 2
2
2 1 2
1 2 1 3
( 3;3)
4 1 4 3
x x x
A
y y y
= − = − − = −
 
⇒ ⇒ −
 
= + = − + =
 
Vậy thực hiện liên tiếp hai phép Đ
O
và
u

T
r
thì điểm A
có ảnh là điểm A
2
( - 3; 3)
b) giả sử Đ
Oy
(l) = l
1
và
1
( ) '
u
T l l=
r
Xét điểm M(x; y)
Đ
Oy
(M) = M
1
, với M
1
(x
1
; y
1
)
Và
1

( ) '
u
T M M=
r
với M’(x’; y’). Ta có
1
1
x x
y y
= −


=

và
1
1
' 1
' 4
x x
y y
= −


= +


Do đó
' 1 ' 1
' 4 ' 4

x x x x
y y y y
= − − = − −
 
⇔
 
= + = −
 

M’ ∈ l’ ⇔ M ∈ l ⇔ 3x + 4y – 1 = 0
⇔ 3(-x’ –1) + 4(y’ –4) – 1 = 0 ⇔ - 3x’ + 4y’ –20 = 0
Vậy l’: - 3x + 4y – 20 = 0
Bài 5
a) M ∈ (ABCD) ∩ (α), (ABCD) ⊃ AB, mà AB || (α) nên
(ABCD) ∩ (α) = MN (N ∈ BC), với MN || AB
Tg tự (SAD) ∩ (α) = MQ (Q ∈ SD), với MQ || SA
(SCD) ∩ (α) = QP (P ∈ SD), với QP || CD
b) QP || CD, MN || CD ⇒ QP || MN
(SAD) ⊃ AD, (SBC) ⊃ BC mà AD || BC nên
(SAD) ∩ (SBC) = d , d đi qua S và d || AD, BC
Gọi I = MQ ∩ NP ta có
I ∈ MQ, MQ ⊂ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD)
I ∈ NP, NP ⊂ (SBC) ⇒ I ∈ (SBC)
Do đó I ∈ d
Các tứ giác SIMA, SINB là hbhành ta có IM = SA, IN = SB
Ta còn có MN = AB
Suy ra ∆IMN = ∆SAB nên ∆IMN đều ta có
·
·
IMN INM=

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang cân
M là trung điểm của AD nên Q là trung điểm của SD
PQ là đường trung bình của ∆IMN, ta có
2 2
3 1 3 3
,
4 4 16
IMN IPQ IMN MNPQ
a a
S S S S= = ⇒ =

Bài 6. Tính tổng
0 1 2 1004
2009 2009 2009 2009
= + + + +S C C C C
n k k
n n
C C
−
=
ta có
0 2009 1 2008 1004 1005
2009 2009 2009 2009 2009 2009
, , ,C C C C C C= = =
Suy ra
0 1 2 2009 2009 2008
2009 2009 2009 2009
1 1
( ) 2 2
2 2

= + + + + = =
S C C C C
ĐỀ 6
Bài 1: (2điểm) Giải các phương trình sau:
a.
tan cot 3 0
3 6
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
b.
2 2
5sin 4sin2 6cos 2x x x
+ + =
Bài 2:
1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5, lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn số 235.
2. Một học sinh có 5 quyển sách Toán, 6 quyển sách
Lý và 7 quyển sách Hoá. Mỗi buổi học lấy ra 3 quyển
a Có bao nhiêu cách lấy 3 quyển thuộc 3 môn khác
nhau.
b Tính xsuất để lấy được ít nhất 1 quyển sách Toán
Bài 3
a). Trong mpOxy cho điểm A(1; 0) và đường tròn
2 2
( ) :( 3) 9C x y− + =
.Viết pt đường tròn (C’) là

ảnh của (C) qua phép vị tự
( , 2)A k
V
=
b. Cho
: 2 3 0, (5;2 ) d x y v m− + = = −
r
. Tìm m
để
: '
v
T d d d→ ≡
r
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SB và SC.
a.Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).
b.Xác định giao điểm của AN với (SBD).
c.Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt
bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 5. Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường
chéo bằng 35 ?
ĐỀ 7
Câu 1: Giải a)
4 4
cos sin cosx x x− =

b)
=sin9 cos3 sin8 .cos4x x x x
c)

+ = + + +
4 2 4 2
3(cos 3 sin ) sin 4cos cos 4sinx x x x x x
Câu 2 một hộp đựng 6 quả cam, 7 quả quýt, 5 quả
chanh. Lấy ngẫu nhiên 4 quả. tính xác suất sao cho
a) Có đúng 2 quả cam b) có ít nhất 2 quả cam
Câu 3
a) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
( )
+
30
1 2x

b) Từ các phần tử của X={0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập
được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và
luôn có mặt chữ số 4.
Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, G là trọng tâm ΔSCD
a) Chứng minh OG || (SBD)
b) M là trung điểm của SD. Chứng minh CM || (SAB)
c) I ∈ đoạn SC sao cho 2SC = 3SI . C/m SA || (BDI)
Câu 5 Cho hai số x và y thỏa x
2
+ y
2
= 1
tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2

2 4 1
2 1
x xy
P
x
+ −
=
+
ĐỀ 8
Câu 1: Giải các phương trình :
)sin 3 cos 2 b)5cos 2sin 3 0
2 2 2
x x x
a x
+ = − − − =
c)
π
= +
+
3
2
cos 2
3 sin4
cos ( )
4
x
x
x

Câu 2: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu

số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và tổng ba chữ
số đó bằng 10.
Câu 3: Cho tập X={0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ tập X lập được
bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt
chữ số 4.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có
phương trình:
2 2
x y 2x 4y 4 0
+ − + − =
. Tìm ảnh của (C)
qua phép tịnh tiến theo
v ( 2,3)
= −
r
Câu 5: Trong mặt phẳng oxy cho vectơ
v (3,1)
=
r
và đường
thẳng d có phương trình
2x y 0− =
. Tìm ảnh của d qua
phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
quay tâm O góc
0
90
và phép tịnh tiến theo véctơ
v
r

.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Gọi M,N,K lần lượt là trung điểm các cạnh SB,BC và CD.
a) Tìm giao tuyến của (MNK) và (SAB)
b) Chứng minh: NK || (SBD)
c) Tìm thiết diện của (MNK) và hình chóp S.ABCD
ĐỀ 9:
Câu 1: ( 3 điểm) Giải các phương trình lượng giác:
a/
+ =sin6 sin3 0x x
b/
= +5cos cos2 3x x

c/
4 4 2
5
sin cos 3sin 4 sin 2 0
2
x x x x
+ − + =
.
Câu 2: ( 3 điểm)
1/ Cho tập X={0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ tập X lập được bao
nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
2/ Một tổ có 9 nam và 3 nữ.Giáo viên chủ nhiệm cần chia ra
làm 4 nhóm trực nhật, mỗi nhóm có 3 học sinh
a/ Có mấy cách chia nhóm như vậy
b/ Tính xác suất để được mỗi nhóm có đúng 01 nữ.
Câu 3: .Trong mp Oxy cho đường tròn (C):
+ − + − =

2 2
2 4 4 0x y x y
. Viết pt của (C’) là ảnh của (C)
qua phép tịnh tiến theo
( 2;1)v = −
r
Câu 4 Cho
( ) ( ) ( )
= + + + + +
9 10 11
( ) 1 2 1 3 1P x x x x
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
9

Câu 5 Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AC và BC . Trong ∆ACD ta lấy điểm K sao cho MK
không song song với CD.
1/ Tìm giao tuyến của (MNK) và (BCD).
2/ Tìm giao điểm của BD với mp(MNK).
ĐỀ 10
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a)
cos2 5sin 3 0x x
+ − =
.
b)
cos3 3 sin3 2sin 2 0x x x
+ + =
.

Câu 2:
1) Một tổ có 8 nam và 2 nữ được xếp vào một dãy
bàn ngang gồm 10 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
sao cho
a) hai nữ ngồi cạnh nhau b) hai nữ ngồi ở đầu và
cuối dãy
2) Xếp ngẫu nhiên 10 khách lên 3 toa tàu hoả. Hãy
tìm xác suất của các biến cố:
A:” toa đầu có 3 khách”
B:”toa đầu có 3 khách và toa thứ 2 có 4 khách”
C: “ mỗi toa đều có ít nhất 3 khách ”
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi G là trọng tâm ∆SAB và I là
trung điểm của AB. Lấy điểm M trên đoạn AD sao
cho: AD = 3AM.
a) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại J.
Chứng minh: JG || (SCD).
b) Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt
phẳng (MGJ) là hình gì? Giải thích.
Câu 4:
1) Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6
trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong 3 đứa trẻ được
chọn.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
2) Trong mpOxy, cho đường thẳng
: 2 4 0d x y− − =
.
Viết pt ảnh của d qua phép vị tự
( )

; 3O
V
−
.
ĐỀ 5
Bài 1: a.
sin(2 1) cos 0
4
x
π
− + =
2
sin(2 1) cos sin(2 1)
4 2
x x
π
⇔ − = − ⇔ − = −

sin(2 1) sin
4
x
π
 
⇔ − = −
 ÷
 
1
2 1 2
2 8
4

5 1 5
2 1 2
4 2 8
x k
x k
x k x k
π
π
π
π
π π
π π


= − +
− = − +


⇔ ⇔




− = + = + +




b. sin2x + 2
3

sinxcosx + 1 = cos2x.
2sin cos 2 3sin cos 1 cos2 0x x x x x+ + − =
2
2( 3 1)sin cos 2sin 0x x x⇔ + + =
(1)
+ cosx = 0 không thỏa (1)
+ với cosx ≠ 0 chia hai vế cho 2cos
2
x ≠ 0 ta được
2
(1) tan ( 3 1)tan 0x x⇔ + + =

tan 0
tan ( 3 1) arctan( 3 1)
x x k
k
x x k
π
π
= =
 
⇔ ⇔ ∈
 
= − + = − − +
 
Z

Bài 2: a) Có
4
9

C
cách chọn 4 nam trong số 9 nam
Có
2
3
C
cách chọn 2 nữ trong số 3 nữ
Vậy có
4 2
9 3
126C C =
cách lập đoàn đại biểu
b)
3
14
| | 364C
Ω
= =
cách chọn 3 HS trong số 14 HS
Gọi A là biến cố “trong 3 HS đó có cả nam và nữ”
Chọn 1 nam và 2 nữ thì có
1 2
8 6
C C
cách
Chọn 2 nam và 1 nữ thì có
2 1
8 6
C C
cách

1 2 2 1
8 6 8 6
| | 8.15 28.6 288A C C C C= + = + =
| | 288
( ) 0,79
| | 364
A
P A
Ω
= = ;

c) gọi A
k
(k ∈ N*, k ≤ 3) là biến cố
“ đồng xu xuất hiện mặt sấp “
1 1
( ) ( ) , *, 3
2 2
k k
P A P A k N k= ⇒ = ∀ ∈ ≤
gọi A là biến cố “ có đồng xu xuất hiện mặt ngửa “
A
là biến cố “cả ba đồng xu đều sấp”
3
1 2 3 1 2 3
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 8
A A A A P A P A P A P A
 

= ⇒ = = =
 ÷
 

1 7
( ) 1 ( ) 1
8 8
P A P A= − = − =

Bài 3 a. phương trình đường tròn (C) có dạng :
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 (a
2
+ b
2
– c > 0)
ta có
2 4 2
2 6 3
12 12
a a
b b
c c
− = = −
 
 
− = − ⇔ =

 
 
= − = −
 

đtròn (C ) có tâm I(-2; 3) bán kính R =
2 2
5a b c+ − =
u
T
r
[ (C) ] = (C’) nên (C’) có bán kính R’ = R = 5 và
tâm là
I’, với
( ) '
u
T I I=
r
, gọi I’(x’; y’) ta có
' 2 2 0
'(0;0)
' 3 3 0
x
I
y
= − + =

⇒

= − =



Vậy (C’): x
2
+ y
2
= 25
b. Tìm trục đối xứng của 1 hình xác định bởi
d: x + 2y -3 = 0 và (C): x
2
+ y
2
+ 4x - 6y – 12 = 0
đtròn (C ) có tâm I(-2; 3) bán kính R = 5
- 2 + 2.3 – 3 ≠ 0 ⇒ I ∉ d
Vậy trục đối xứng của hình gồm d và (C ) là đường
thẳng ∆ đi qua I và vuông góc với d
∆ ⊥ d ⇒ ∆: 2x – y + c = 0
I ∈ ∆ ⇔ 2(-2) – 3 + c = 0 ⇔ c = 7
Vậy ∆: 2x – y + 7 = 0
Bài 4. Hướng dẫn
a) gọi I = SO ∩ MN thì I = SO ∩ (BMN)
Q = BI ∩ SD ⇒ tứ giác BMNQ là thiết diện
b) E = AD ∩ MQ, F = CD ∩ NQ
c) E, B, F là ba điểm chung của (BMN) và (ABCD)
Bài 5.
ĐỀ 6
Bài 1: (2điểm) Giải các phương trình sau:
a)
tan cot 3 0

3 6
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
tan cot 3 cot cot 3
3 6 6 6
x x x x
π π π π
       
⇔ + = − − ⇔ − = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

cot 3 cot
6 6
x x
π π
   
⇔ − = −
 ÷  ÷
   
(1)
Điều kiện
,
6 6
x n x n n Z
π π

π π
− ≠ ⇔ ≠ − ∈

(1) 3 ,
6 6 12 4
x x k x k k Z
π π π π
π
⇔ − = − + ⇔ = + ∈
b.
2 2
5sin 4sin2 6cos 2x x x+ + =
.

2 2 2 2
5sin 4sin2 6cos 2(sin cos )x x x x x+ + = +
2 2
3sin 8sin cos 4cos 0x x x x+ + =
(1)
Cos x = 0 không thỏa (1)
Với cos x ≠ 0 ta có

2
(1) 3tan 8tan 4 0x x⇔ + + =

( )
tan 2
arctan( 2)
2
2

arctan
tan
3
3
x
x k
k Z
x k
x
π
π
= −

= − +



⇔ ⇔ ∈

= − +
= −




Bài 2:
1) đặt X = {1, 2, 3, 4, 5 }
Số cần tìm có dạng
abc
với a, b, c ∈ X

{ }
235 1;2abc a< ⇒ ∈
* TH1 a = 1 thì
có
2
4
12A =
cách chọn
bc
⇒ có 12 số
* TH2 a = 2 thì b ∈ {1; 3}
b = 1 thì c có 3 cách chọn
b = 3 thì c ∈ {1; 4} có 2 cách chọn
Vậy trường hợp này có 3 + 2 = 5 số
* KL có tất cả 12 + 5 = 17 số
2 a)
3
18
| | C
Ω
=

Gọi A là biến cố “lấy 3 quyển thuộc 3 môn”
1 1 1
5 6 7
| | . .C C C
Α
=

1 1 1

5 6 7
3
18
. .| |
( ) 0,257
| |
C C CA
P A
C
Ω
= = ;

b) Gọi B là biến cố
“lấy được ít nhất 1quyển sách Toán “
B
là biến cố “ không có quyển sách Toán nào ”
3
13
| |B C=
cách chọn 3 quyển sách thuộc hai môn
Lý và Hóa
3
13
3
18
( ) 0,35 ( ) 1 ( ) 0,65
C
P B P B P B
C
= ⇒ = −; ;

Bài 3 a) Đường tròn (C ) có tâm I(3; 0) bán kính R = 3
( ,2)
( ) ( ')
→
A
V C C
nên (C’) có bán kính R’ = | 2 |.3 = 6 và
Tâm là
( ,2)
' ( ) ' 2= ⇒ =
A
I V I AI AI
uuur uur
. Gọi I’(x’; y’) ta có

' 1 2(3 1) ' 5
'(5;0)
' 0 2(0 0) ' 0
x x
I
y y
− = − =
 
⇒ ⇒
 
− = − =
 

Vậy (C’): (x – 5)

2
+ y
2
= 36
b)
: 2 3 0− + =d x y
có VTPT
(2; 1)
d
n = −
uur
⇒ VTCP
(1;2)
d
u =
uur

: ' ,→ ≡ ⇔ = ∈
v
T d d d v ku k R
r
r r

5 5
2 2 8
k k
m k m
= =
 
⇔

 
− = = −
 
KL m = - 8
Bài 5. Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường
chéo bằng 35 ?
Gọi n (n ∈ N, n ≥ 4) là số cạnh của đa giác
Nối 2 đỉnh bất kì ta được một cạnh hoặc một đường
chéo
Do đó tổng số cạnh và đường chéo là
2
n
C

Số đường chéo là
2
n
C n−

Ta có
2
( 1)
35 35
1.2
n
n n
C n n
−
− = ⇔ − =
2

10
3 70 0 : 10
7( )
n
n n KL n
n l
=

⇔ − − = ⇔ ⇒ =

= −

Bài 6 Chứng minh ∀
*
n N
∈
, ta có
2
2 2 5
n
n
+
> +
+ n = 1 ta có
2 1
2 2.1 5
+
> +
đúng nên (*) đúng với n
= 1

+ giả sử (*) đúng với n = k ≥ 1 ta có
2
2 2 5
+
> +
k
k
(1)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức cm
( 1) 2 3
2 2( 1) 5 2 2 7
k k
k k
+ + +
> + + ⇔ > +
(2)
3 2
(1) 2 2.2 2(2 5) 2 7 2 3 2 7
k k
k k k k
+ +
⇒ = > + = + + + > +
Vậy (*) đúng với n = k + 1
Suy ra (*) đúng với mọi n ∈ N*
ĐỀ 7
Câu 1: Giải các phương trình
a)
4 4
cos sin sin 2x x x− =

b)
=
sin9 cos3 sin8 .cos4x x x x
c)
+ = + + +
4 2 4 2
3(cos 3 sin ) sin 4cos cos 4sinx x x x x x
a)
4 4
cos sin sin2x x x− =
2 2 2 2
2 2
(cos sin )(cos sin ) sin2
cos sin sin2
x x x x x
x x x
⇔ − + =
⇔ − =

cos2 sin2x x⇔ =
cos2x = 0 không thỏa pt
tan2 1 2 ,
4 8 2
x x k x k k Z
π π π
π
⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈
b)
=
sin9 cos3 sin8 .cos4x x x x

1 1
(sin12 sin6 ) (sin12 sin4 )
2 2
x x x⇔ + = +
sin6 sin4x x⇔ =
⇒ nghiệm
Câu 3
a) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
( )
+
30
1 2x


( )
30 30
30
30 30
0 0
1 2 (2 ) 2
k k k k k
k k
x C x C x
= =
+ = =
∑ ∑
(k ∈ Z)
Ta có
1 1
30 30

2 2
k k k k
C C
+ +
≤

1
30! 30!
2 2
(30 )! ! (30 1)!( 1)!
1 2 59
1 60 2 19
30 1 3
k k
k k k k
k k k k
k k
+
⇔ <
− − − +
⇔ < ⇔ + < − ⇔ < ⇒ ≤
− +
và
1 1
30 30
59
2 2 20
3
k k k k
C C k k

+ +
> ⇔ > ⇒ ≥

Suy ra hệ số lớn nhất là
20 20
30
2C
b) số cần tìm có dạng
abcd
với a, b, c, d thuộc X
Vì
abcd
có chứa chữ số 4 nên có các dạng
4 , 4 , 4 , 4bcd a cd ab d abc
+ Số cần tìm có dạng
4bcd
thì có
3
7
210A =
số
+ Số cần tìm có dạng
4a cd
a ≠ 0 nên có 6 cách chọn a. Sau đó
có
2
6
30A =
cách chọn
cd

nên có 6.30 = 180 số
Số cần tìm có các dạng
4 , 4ab d abc
tương tự trên mỗi
dạng đều có 180 số
Vậy có 210 + 3.180 = 750 số cần tìm
Câu 5 Cho hai số x và y thỏa x
2
+ y
2
= 1
tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2
2 4 1
2 1
x xy
P
x
+ −
=
+
vì x
2
+ y
2
= 1 đặt x = sint, y = cost thì
2
2

2sin 4sin cos 1
2sin 1
t t t
P
t
+ −
=
+

Số thực m là một giá trị của biểu thức P khi và chỉ khi pt
2
2
2sin 4sin cos 1
2sin 1
t t t
m
t
+ −
=
+
(1) có nghiệm (ẩn t)
2 2
(1) 2 sin 2sin 4sin cos 1m t m t t t⇔ + = + −

(1 cos2 ) 1 cos2 2sin2 1m t m t t⇔ − + = − + −


2sin2 (1 )cos2 2t m t m⇔ − + − = −
(2)
(2) có nghiệm ⇔ a

2
+ b
2
≥ c
2

2 2 2
4 (1 ) 4 3 2 5 0m m m m⇔ + − ≥ ⇔ − − + ≥
5
1
3
m⇔ − ≤ ≤

2 2
2 2
1
1
5
max 1, min
3
x y
x y
P P
+ =
+ =
= = −

Một hộp đựng 16 viên bi gồm hai màu xanh và đỏ. Biết số
cách chọn 2 viên bi màu xanh bằng 3 lần số cách chọn 2
viên bi màu đỏ. Hỏi trong hộp có bao nhiêu viên bi mỗi loại

gọi n (n ∈N, 2 ≤ n ≤ 16 ) là số viên bi màu xanh trong hộp
số viên bi màu đỏ trong hộp là 16 – n
ta có
2 2
16
( 1) (16 )(15 )
3 3
1.2 1.2
n n
n n n n
C C
−
− − −
= ⇔ =

2
( 1) 3(16 )(15 ) 2 92 720 0n n n n n n⇔ − = − − ⇔ − + =
2
10
46 360 0
36 ( )
n
n n
n l
=

− + = ⇔

=


Vậy trong hộp có 10 bi xanh và 6 bi đỏ
ĐỀ 10
2) Xếp ngẫu nhiên 10 khách lên 3 toa tàu hoả. Hãy
tìm xác suất của các biến cố:
A:” toa đầu có 3 khách”
B:”toa đầu có 3 khách và toa thứ 2 có 4 khách”
C: “ mỗi toa đều có ít nhất 3 khách ”
+ mỗi khách đều có 3 cách chọn 1 toa tàu ⇒
10
| | 3
Ω
=

+ có
3
10
C
cách chọn 3 khách lên toa đầu trong số 10
khách 7 khách còn lại mỗi khách đều có 2 cách chọn
1 trong 2 toa kia
3 7
2 7
10
10
10
2
| | .2 ( )
3
C
A C P A= ⇒ =

+ có
3
10
C
cách chọn 3 khách lên toa đầu trong số 10
khách
4
7
C
cách chọn 3 khách lên toa thứ 2 trong 7 khách
còn lại
Có 1 cách chọn 3 khách cuối cùng lên toa thứ 3
3 4
3 4
10 7
10 7
10
| | ( )
3
C C
B C C P B= ⇒ =

+ mỗi toa đều có ít nhất 3 khách nên có 2 toa có 3
khách và 1 toa có 4 khách. Suy ra
3 4
3 4
10 7
10 7
10
3

| | 3| | 3 ( )
3
C C
C B C C P C= = ⇒ =

2
(1 3)sin (1 3)sin cos 3 0x x x+ − − − =

cos2 sin2 3cos sin 2x x x x− = − −