Chuyên đề phương trình, bất phương trình chứa căn thức luyện thi đại học môn toán (FULL)

T
T
À
À
I
I


L
L
I
I


U
U


T
T
H
H
A
A
M
M

K
K
H
H


O
O


T
T
O
O
Á
Á
N
N


H
H


C
C


P
P

H
H




T
T
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_

_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_

_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_

_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_

_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_






xyz


-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

-
-
-
-
-
-








C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N











P
P
H
H




N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H

V
V
À
À


B
B


T
T


P
P
H
H




N
N
G
G

T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H






L
L
Ý
Ý


T
T
H
H
U
U
Y
Y



T
T


S
S




D
D


N
N
G
G




N
N


P
P

H
H




C
C


N
N


T
T
H
H


C
C


(
(
P
P
H
H



N
N


4
4
)
)




4 3 6
D E F

Q
Q
U
U
Â
Â
N
N




O

O
À
À
N
N


B
B




B
B
I
I
N
N
H
H






C
C
H

H








O
O
:
:


S
S




D
D


N
N
G
G

H
H
A
A
I
I




N
N


P
P
H
H








A
A

V
V




P
P
H
H




N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H

H






N
N
G
G


B
B


C
C


–
–






N

N
G
G


C
C


P
P










T
T


H
H
A
A
I

I




N
N


P
P
H
H




–
–


P
P
H
H




N

N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H






N
N
G
G


B
B



C
C


B
B


C
C


H
H
A
A
I
I
.
.











T
T


H
H
A
A
I
I




N
N


P
P
H
H




–
–

P
P
H
H
Â
Â
N
N


T
T
Í
Í
C
C
H
H


N
N
H
H
Â
Â
N
N

T
T


.
.






B
B
À
À
I
I


T
T
O
O
Á
Á
N
N

N
N
H
H
I
I


U
U


C
C
Á
Á
C
C
H
H


G
G
I
I


I

I
.
.

C
C
R
R
E
E
A
A
T
T
E
E
D
D


B
B
Y
Y


G
G
I
I
A

A
N
N
G
G


S
S


N
N


(
(
F
F
A
A
C
C
E
E
B
B
O
O
O

O
K
K
)
)
;
;


X
X
Y
Y
Z
Z
1
1
4
4
3
3
1
1
9
9
8
8
8
8
@

@
G
G
M
M
A
A
I
I
L
L
.
.
C
C
O
O
M
M


(
(
G
G
M
M
A
A
I

I
L
L
)
)




T
T
H
H






Ô
Ô


H
H
À
À


N

N


I
I


–
–


M
M
Ù
Ù
A
A


T
T
H
H
U
U


2
2
0

0
1
1
3
3


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


2


C
C
H
H
U
U
Y
Y

Ê
Ê
N
N








P
P
H
H




N
N
G
G


T
T
R
R

Ì
Ì
N
N
H
H


V
V
À
À


B
B


T
T


P
P
H
H





N
N
G
G


T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H




L
L
Ý
Ý


T
T
H
H

U
U
Y
Y


T
T


S
S




D
D


N
N
G
G




N
N

P
P
H
H




C
C


N
N


T
T
H
H


C
C


(
(

P
P
H
H


N
N


4
4
)
)




Trong chng trình Toán hc ph thông nc ta, c th là chng trình i s, phng trình và bt phng
trình là mt ni dung quan trng, ph bin trên nhiu dng toán xuyên sut các cp hc, cng là b phn thng
thy trong các k thi kim tra cht lng hc k, thi tuyn sinh lp 10 THPT, thi hc sinh gii môn Toán các cp và
k thi tuyn sinh i hc – Cao đng vi hình thc ht sc phong phú, đa dng. Mc dù đây là mt đ tài quen
thuc, chính thng nhng không vì th mà gim đi phn thú v, nhiu bài toán c bn tng dn đn mc khó thm
chí rt khó, vi các bin đi đp kt hp nhiu kin thc, k nng vn làm khó nhiu bn hc sinh THCS, THPT.
Ngoài phng trình đi s bc cao, phng trình phân thc hu t thì phng trình cha cn (còn gi là phng
trình vô t) đang đc đông đo các bn hc sinh, các thy cô giáo và các chuyên gia Toán ph thông quan tâm sâu
sc. Chng trình Toán i s lp 9 THCS bc đu gii thiu các phép toán vi cn thc, k t đó cn thc xut
hin hu ht trong các vn đ đi s, hình hc, lng giác và xuyên sut chng trình Toán THPT. S đa dng v
hình thc ca lp bài toán cn thc đt ra yêu cu cp thit là làm th nào đ đn gin hóa, thc t các phng pháp
gii, k nng, mo mc đã hình thành, đi vào h thng. V c bn đ làm vic vi lp phng trình, bt phng

trình vô t chúng ta u tiên kh hoc gim các cn thc phc tp ca bài toán.
Phép s dng n ph là mt trong nhng phng pháp c bn nhm mc đích đó, ngoài ra bài toán còn tr nên
gn gàng, sáng sa và giúp chúng ta đnh hình hng đi mt cách n đnh nht. ôi khi đây cng là phng pháp
ti u cho nhiu bài toán cng knh. Tip theo lý thuyt s dng n ph cn thc (các phn 1 đn 3), kt thúc ý
tng s dng mt cn thc duy nht, tác gi xin trình bày ti quý đc gi lý thuyt s dng n ph cn thc (phn
4), ch yu xoay quanh mt lp các bài toán cha cn thc đc gii thông ý tng s dng hai n ph đa v
phng trình đng bc – đng cp bc hai c bn kt hp phân tích nhân t – phng trình tích. K nng này đng
hành cùng vic gii h phng trình hu t đng bc – đng cp, h phng trình cha cn quy v đng cp, ngày
mt nâng cao k nng gii phng trình – h phng trình cho các bn hc sinh.
Mc đ các bài toán đã nâng cao mt chút, do đó đ khó đã tng dn so vi các phn 1 đn 3, đng ngha đòi
hi s t duy logic, nhy bén kt hp vi vn kin thc nht đnh ca đc gi. Tài liu nh phù hp vi các bn hc
sinh lp 9 THCS ôn thi vào lp 10 THPT đi trà, lp 10 h THPT Chuyên, các bn chun b bc vào các k thi
hc sinh gii Toán các cp và d thi k thi tuyn sinh i hc – Cao đng môn Toán trên toàn quc, cao hn là tài
liu tham kho dành cho các thy cô giáo và các bn tr yêu Toán khác.

I
I
.
.


K
K
I
I


N
N

T
T
H
H


C
C


–
–


K
K




N
N


N
N
G
G

C
C
H
H
U
U


N
N


B
B




1. Nm vng các phép bin đi đi s c bn (nhân, chia đa thc, phân tích đa thc thành nhân t, bin đi
phân thc đi s và cn thc).
2. K nng bin đi tng đng, nâng ly tha, phân tích hng đng thc, thêm bt.
3. Nm vng lý thuyt bt phng trình, du nh thc bc nht, du tam thc bc hai.
4. Nm vng kin thc v đa thc đng bc, các thao tác c bn vi phng trình mt n ph.
5. Bc đu thc hành gii và bin lun các bài toán phng trình bc hai, bc cao vi tham s.
6. S dng thành tho các ký hiu logic trong phm vi toán ph thông.

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


3

I

I
I
I
.
.


M
M


T
T


S
S




B
B
À
À
I
I


T

T
O
O
Á
Á
N
N




I
I


N
N


H
H
Ì
Ì
N
N
H
H


V

V
À
À


K
K
I
I
N
N
H
H


N
N
G
G
H
H
I
I


M
M


T

T
H
H
A
A
O
O


T
T
Á
Á
C
C



B
B
à
à
i
i


t
t
o
o

á
á
n
n


1
1
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h




2
6 3 4 2 1x x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
1
2
x


.
Nhn xét
 
2
1
6 3 0,
2
x x x x
    
. Phng trình đã cho tng đng vi


     
 
 
 
4 2 3 2 4 3 2
2 2 2
2
2
2
30 12 36 9 16 2 1 20 46 36 9 0
1 18 1 9 1 0
18 9 1 0 9 6 2;1;9 6 2
x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x
           
      
        

i chiu điu kin thu đc nghim


9 6 2;1;9 6 2
S   
.
Li gii 2.
iu kin
1
2
x

. Phng trình đã cho tng đng vi
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
4 1
4 2 1 3 6 3 3 1
2 1
1
1 3 2 1 0
3 2 1

x x
x x x x x x
x x
x
x x x
x x

       
 


     

  



Ta có
 
 
2
0
9 6 2;9 6 2
18 9 0
x
x
x x


     


  

. i chiu điu kin ta thu đc ba nghim.
Li gii 3.
iu kin
1
2
x

.
Phng trình đã cho tng đng vi


2
4 2 1 3 2 1 0
x x x x
    
.
t


2 1 0
x y y
  
thu đc









2 2
4 3 0 3 0 3 0
x xy y x x y y x y x y x y
           


 
2
2
0
0
0 2 1 1
2 1 0
1 0
x
x
x y x x x
x x
x





        
 

  
 



.

 
2
0
3 0 3 2 1 9 6 2;9 6 2
18 9 0
x
x y x x x
x x


         

  


i chiu vi điu kin
1
2
x

, kt lun tp nghim



9 6 2;1;9 6 2
S   
.
Li gii 4.
iu kin
1
2
x

. Phng trình đã cho tng đng vi
 
   
2 2
2
3 2 1
4 2 1 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 1
x x
x x x x x x x x
x x

 
           

 



 Vi
 

2
0
3 2 1 9 6 2;9 6 2
18 9 0
x
x x x
x x


      

  

.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


4

 Vi
 

2
2
0
0
2 1 1
2 1 0
1 0
x
x
x x x
x x
x





     
 
  
 



.
i chiu vi điu kin
1
2
x


, kt lun tp nghim


9 6 2;1;9 6 2
S   
.

Nhn xét.
 Li gii 1 và 4 s dng phép bin đi tng đng thun túy, trong đó li gii 1 nâng ly tha trc tip có
kèm theo điu kin hai v không âm thông qua nhn xét da trên điu kin. Li gii 4 thêm bt hng t đa
v hiu hai bình phng cng cho kt qu nhanh chóng.
 Li gii 2 da trên phép nhm nghim, s dng đng thc liên hp đa phng trình đã cho v dng tích,
tác gi đã trình bày ti Lý thuyt s dng đi lng liên hp – trc cn thc – h tm thi.
 Li gii 3 là hng trng tâm ca tài liu, mc dù ch s dng mt n ph y nhng thc t đa phng
trình đã cho v phng trình hai n x và y. Các bn có th thy đa thc hai n
2 2
4 3
x xy y
  d dàng phân
tích thành hai nhân t, c th là




3
x y x y
  .
 S d nh vy vì đây là dng phng trình hai n đng bc hai
2 2
4 3 0

x xy y
  
. Ngoài cách gii trên,
các bn có th tham kho thêm cách trình bày cùng bn cht sau
Bin đi v
2 2
4 3 0
x xy y
  
.
Xét
1
0
2
y x
  
, không nghim đúng phng trình ban đu.
Xét trng hp
0
y

thì ta có
2
2 2
4 3 0 4 3 0
x x
x xy y
y y
   
      

   
   

t
x
t
y

ta có
  
2
1 2 1
4 3 0 1 3 0
3
3 2 1
t x x
t t t t
t
x x

  

        



 




B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


2
2
.
.


G
G
i
i



i
i


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h





2
3 1 4 4 4 3x x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
3
4
x

. Phng trình đã cho tng đng vi
2
3 4 3 4 4 3
x x x x
   
.
t


4 3 0
x y y
  

thu đc
  
2 2
3 4 0 3 0
3
x y
x xy y x y x y
x y


       





 
2
0
4 3 1;3
4 3 0
x
x y x x x
x x


      

  


.

2
0
3 3 4 3
9 4 3 0
x
x y x x
x x


    

  

(H vô nghim).
So sánh điu kin
3
4
x

ta thu đc tp nghim


1;3
S  .
Li gii 2.
iu kin
3
4

x

. Phng trình đã cho tng đng vi
 
2
2 2 2 2
4 3
3 4 3 4 4 3 4 4 4 3 4 3 2 4 3
3 4 3
x x
x x x x x x x x x x x x
x x

 
              

 



VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH

5


 
2
0
4 3 1;3
4 3 0
x
x x x
x x


    

  

.

2
0
3 4 3
9 4 3 0
x
x x
x x



  

  

(H vô nghim).
So sánh điu kin ta thu đc tp nghim


1;3
S  .
Li gii 3.
iu kin
3
4
x

. Nhn xét
 
2
3
3 4 3 0
4
x x x x
    
. Phng trình đã cho tng đng vi


  
 
4 3 2 2 4 3 2

2
9 24 2 24 9 16 4 3 9 40 46 24 9 0
1
1 3 9 4 3 0
3
x x x x x x x x x x
x
x x x x
x
           


      




Kt hp điu kin thu đc hai nghim,


1;3
S  .
Li gii 4.
iu kin
3
4
x

. Phng trình đã cho tng đng vi
 



 
 
2
2 2 2
4 4 3
4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 0
4 3
x x x
x x x x x x x x x x x
x x
 
              
 
.

2
1
4 3 0
3
x
x x
x


   





2
0
3 4 3
9 4 3 0
x
x x
x x


  

  

(H vô nghim).
i chiu điu kin ta thu đc tp nghim


1;3
S  .

B
B
à
à
i
i

t
t
o
o
á
á
n
n


3
3
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b



t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h



2
2 3 2 3 2x x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
2
3
x

. t


3 2 0
x t t
  
, ta thu đc








2 2
2 2 0 2 0
x t xt x x t t x t x t x t

          
(*).
Ta có
2
; 0 2 0
3
x t x t
    
. Do đó
 
2
2
0 3 2 1 2
3
3 2 0
x
x t x x x
x x



          


  

.
Vy bt phng trình đã cho có tp nghim



1;2
S  .
Li gii 2.
iu kin
2
3
x

. Bt phng trình đã cho tng đng vi


 
    
2 2 2
2
2
2
8 12 8 4 3 2 9 4 3 2 4 3 2
3 2 3 2 2 3 2 3 2 0
3 2
3 2 0 1 2
3 2 0
x x x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x
x x
         
         



       

  


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


6

Vy bt phng trình đã cho có tp nghim


1;2
S  .
Li gii 3.
iu kin
2
3
x


.
Nhn xét
 
2
2
2 3 2 0
3
x x x x
    
. Bt phng trình đã cho tng đng vi
     
   
  
 
2
4 2 2
2
4 2
2 2
4 3 2 4 3 2 3 2
4 5 3 2 3 2 0
3 2 4 3 2 0 1
x x x x x x
x x x x
x x x x
     
     
     

Ta có
2
2
3 23
4 3 2 4 0,
8 16
x x x x
 
       
 
 
฀
nên


2
1 3 2 0 1 2
x x x
      
.
Vy bt phng trình đã cho có tp nghim


1;2
S  .
Li gii 4.
iu kin
2
3
x


. Bt phng trình đã cho tng đng vi
 


 
 
 
2
2 2
2
3 2
3 2 3 2 0 3 2 0
3 2
3 2 2 3 2
0 2
3 2
x x x
x x x x x x x
x x
x x x x
x x
 
          
 
   
 
 

Nhn xét

2
2 3 2 0; 3 2 0
3
x x x x x
       
. Do đó


2
2 3 2 0 1 2
x x x
      
.
Vy bt phng trình đã cho có tp nghim


1;2
S  .

B
B
à
à
i
i


t
t
o

o
á
á
n
n


4
4
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b


t
t

p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h




2

4 3 3 8 1x x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
1
x
 
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi


2
4 8 1 3 1 0
x x x x
    
.
t


1 0
x y y
  
thu đc









2 2
4 8 3 0 2 2 3 2 3 0 2 2 3 0
x xy y x x y y x y x y x y
           


2
2
0
2 0 2 1
4 1 0
2 3 0
2 3 1
4 9 9 0
x
x y x x
x x
x y
x x
x x



   



    

  
 
 




  

(H vô nghim).

2
2
0
2 0 2 1
1 17
4 1 0 3
2 3 0
8
2 3 1
4 9 9 0
x
x y x x
x x x
x y
x x
x x




   




       
  
 
 




  

.
Kt lun tp nghim
1 17
;3
8
S
 


 
 
.
Li gii 2.
iu kin
1

x
 
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


7

 








2 2
2
4 8 1 4 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 1 0

x x x x x x x x x x x x
                

Xét hai trng hp

2
2
0
2 1
4 1 0
2 3 1
4 9 9 0
x
x x
x x
x x
x x



 


   
 
 



  


(H vô nghim).

2
2
0
2 1
1 17
4 1 0 3
8
2 3 1
4 9 9 0
x
x x
x x x
x x
x x



 



      
 
 




  

.
Kt lun tp nghim
1 17
;3
8
S
 


 
 
.
Li gii 3.
iu kin
1
x
 
.
Nhn xét rng
2
4 3 3 0,x x x
    
฀
. Bt phng trình đã cho tng đng vi
         
  
2 2
4 2 2 4 2

2 2
0 0
16 9 1 24 1 64 1 16 40 1 9 1 0
0
3 1 17
0
1 17
3
4 8
4 1 4 9 9 0
8
1 17
3
8
x x
x x x x x x x x x x
x
x
x
x
x x x x
x
 
 
 

 
          
 
 










 
  

    
 

    






 





So sánh điu kin, kt lun tp nghim cn tìm
1 17

;3
8
S
 


 
 
.
B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


5
5
.

.


G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p
p
h
h




n

n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
4 2
2
x
x x x
x

   
฀
.
Li gii.
iu kin
0 2

x
 
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
 




 
2
2 2 2
2 2 2
0 0
x x x x
x x x x
x x
   
   
   

Xét hai trng hp

0 2 2 2 0
x x x
     
. Khi đó
 
2
0 2

2 0 1 2
2 0
x
x x x
x x
 

        

  

.

0 2 0
x x x
    
;
 
2
0
2 2 0 2 2 2 2 3 0
4 8 0
x
x x x x x
x x


              

  


.
Kt lun nghim



2 2 3;0 1;2
S

   

.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n

6
6
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


   
2 2
3 2 7 3 1 3x x x x x     
฀
.
Li gii 1.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


8

iu kin
x

฀
.
Phng trình đã cho tng đng vi
   


2
2 2
1 3 1 3 2 3 0
x x x x
      
.
t
 
2
1 ; 3 0

x a x b b
    
. Phng trình trên tr thành
      
2 2
3 2 0 2 0 2 0
2
a b
a ab b a a b b a b a b a b
a b


            





2
2 2
1
1 3 1
2 1 3
x
a b x x x
x x x
 

       


   

.

2
2 2 2
1 1
2 1 2 3
2 1 4 12 3 2 11 0
x x
a b x x
x x x x x
   
 
      
 
      
 
(H vô nghim).
Vy phng trình đã cho có nghim duy nht
1
x

.
Li gii 2.
iu kin
x

฀
.

Phng trình đã cho tng đng vi
     


 
  
   
 
2
2 2
2
2
2
3 1 3 1 3 4 4 3 1 1 3 4 1
1
6 1 1
4 1 1 2 3 1 0
1 2 3
1 3
x x x x x x x x
x
x x
x x x x
x x
x x
            


 
         


  
  



Vi
2
2 2 2
1 1
1 2 3
2 1 4 12 3 2 11 0
x x
x x
x x x x x
   
 
    
 
      
 
(H vô nghim).
Vy phng trình đã cho có nghim duy nht
1
x

.
Li gii 3.
iu kin
x


฀
.
Phng trình đã cho tng đng vi
 


 


   
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
12 8 28 12 1 3 4 2 1 12 1 3 9 3 3
1 2 3
2 2 3 3 3
1 3
x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x
              

  

      


  



2
2 2 2
1 1
1 2 3
2 1 4 12 3 2 11 0
x x
x x
x x x x x
   
 
    
 
      
 
(H vô nghim).

2
2 2
1
1 3 1
2 1 3
x
x x x
x x x
 


     

   

.
Vy phng trình đã cho có nghim duy nht
1
x

.
Li gii 4.
iu kin
x

฀
.
Nhn xét
 
2
2 2
3 2 7 2 1 6 0,x x x x x
        
฀
. Phng trình đã cho tng đng vi
 
 
 
 
2
4 3 2 2

2
3 2
1 0
9 12 46 28 49 9 1 3
1
1
1
1 3 2 11 0
3 5 13 11 0
x
x x x x x x
x
x
x
x x x
x x x
 



      


 

 


   
 

   
   



.
Vy phng trình đã cho có nghim duy nht
1
x

.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


9

B
B
à
à
i

i


t
t
o
o
á
á
n
n


7
7
.
.


G
G
i
i


i
i


p

p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
2
2
7 1 7 2x x x x
x

     
฀
.
Li gii 1.
iu kin
0
x

.
Phng trình đã cho tng đng vi
2 2 2 2 2
7 2 7 2 2 7 2 6 0
x x x x x x x x x x x
            
(1).
t
 
2
2 0
x x t t
   
, phng trình (1) tr thành









2 2
2 2
2
2
2 2
7 6 0 6 0 6 0
0
2
2
1 281
70
0
2 6
2 36
t xt x t t x x t x t x t x
x
x x x
x x x
x
x
x x x
x x x
           
 




  
  





   


 
  




  



Kt lun phng trình đã cho có tp nghim
1 281
70
S
 

 

 
 
 
.
Li gii 2.

iu kin
0
x

. Phng trình đã cho tng đng vi
 
 
 
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
7 2 7 2 28 4 8 28 2
4 2 28 2 49 25 2 2 7 5
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
          
            

2 2
2
2
2 2
0
2
2
1 281
70
0
2 6

2 36
x
x x x
x x x
x
x
x x x
x x x
 




  
  




   


 
  




  



.
Vy phng trình đã cho có nghim duy nht, hay
1 281
70
S
 

 

 
 
 
.
Li gii 3.
iu kin
0
x

.
Phng trình đã cho tng đng vi
2 2
7 2 7 2
x x x x x
    
(*).
Nhn xét
2
7 2 0x x x
    

฀
nên
 
 
 
 
4 3 2 2 2
2
3 2
0
49 14 29 4 4 49 2
0
0
1 281
2 35 2 0
70
35 69 4 4 0
x
x x x x x x x
x
x
x
x x x
x x x



 

      









   
 
   
   




Kt lun phng trình đã cho có tp nghim
1 281
70
S
 

 

 
 
 
.
Li gii 4.
iu kin

0
x

.
Phng trình đã cho tng đng vi
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


10



 
2 2 2
2
2
2
2 2
7 7 2 7 2
2
2

2
7 2
2
0
1 281
2 6
2
35 2 0
70
x x
x x x x x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
x x
 
        
 

 

 







    






  
  




  




Th li nghim, kt lun
1 281
70
S
 


 

 
 
 
.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


8
8
.
.

G
G
i
i


i
i


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì

ì
n
n
h
h


 
2
2
6 4 8
5 2 3
1
x x
x x
x
 
  

฀
.
Li gii.
iu kin
1
x
 
. Phng trình đã cho tng đng vi
 
 
 

 
   
 
2 2
2 2 2
2
2 2
6 4 8 5 1 2 3
2 2 1 5 1 2 3 2 2 3 0
2 1 5 1 2 3 2 2 3 0
x x x x
x x x x x
x x x x
    
        
       

t
 
2
1 ; 2 3 0
x u x v v
    
thu đc
  
2 2
2
2 5 2 0 2 2 0
2
u v

u uv v u v u v
v u


       




Xét các trng hp

2 2 2
1 1
2
2 1 8 12 7 2 11 0
x x
u v
x x x x x
   
 
  
 
      
 
(H vô nghim).

 
2 2
2
1

1
4 14
2
2 3 4 2 1
2
2 8 1 0
x
x
v u x
x x x
x x
 

 

 

    
 
   
  



.
i chiu điu kin kt lun phng trình đ bài có duy nht nghim
4 14
2
x
 

 .

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


9
9
.
.


G
G
i
i



i
i


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h





2
5 2 3 4 2 3 0x x x x x     
฀
.
Li gii.
iu kin
3
2
x

.
t


2 3 0
x y y
  
thì phng trình đã cho tr thành
  
2 2
5 4 0 4 0
4
x y
x xy y x y x y

x y


       





 
2
2
0
0
2 3
2 3 0
1 2
x
x
x y x x
x x
x





     
 
  

  



(Vô nghim).

 
2
0
4 4 2 3 16 4 13;16 4 13
32 48 0
x
x y x x x
x x


        

  

.
i chiu điu kin ta thu đc hai nghim k trên.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6

D E F
 QUÂN OÀN B BINH


11

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


1
1
0
0
.
.

G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p
p
h
h




n
n

g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
2 2
5 2 2 5 1x x x x x x     
฀
.
Li gii.
iu kin
x

฀
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi



2 2 2
3 5 1 2 1 0
x x x x x x
      
.
t
 
2
2
1 0
3
x x y y y y
     
. Thu đc
      
2 2 2 2
3 5 2 0 3 3 2 2 0
2
3 2 0 3 2 0
3
x xy y x xy xy y
x x y y x y x y x y y x y
       
           

Nhn xét
2
0; 0
3
y y x y x

    
. Xét hai trng hp
o


2 2
2
4 1 9
5 4 4 0
2 2 6
2 3
5
0
0
x x x
x x
y x x
x
x

  

  


    
 






.
o
2 2
0
0
1
x
x y x
x x x


   

  

.
Kt hp hai trng hp ta có nghim
0
x

.

Nhn xét.
 Các bài toán t 2 đn 10 đu đc gii bng khá nhiu phng pháp, bao gm bin đi tng đng (nâng
ly tha trc tip, thêm bt đa v hiu hai bình phng), s dng đng thc liên hp và trng tâm là đt
n ph không hoàn toàn.
 im đc bit trong các bài toán trên, khi đt n ph hoàn toàn (hoc không hoàn toàn) đu đa v các
phng trình (hoc bt phng trình) bc hai có tính cht đng bc bc hai

2 2
0
ax bxy cy
  
, thao tác
phân tích nhân t tr nên đn gin. Các bn có th la chn mt trong các phng án sau
 Tính nghim, đa trc tip v nhân t
  
0
mx ny
mx ny px qy
px qy


   




 Xét trng hp
0
y

(hoc
0
x

) có là nghim ca phng trình ban đu hay không.
Xét trng hp
0

y

(tng ng
0
x

), chia hai v cho
2
0
y

thu đc
2
0
x x
a b c
y y
   
  
   
   
(tng ng
2
0
y y
c b a
x x
   
  
   

   
).
t
x
t
y

(tng ng
y
t
x

) quy v phng trình c bn
2
0
at bt c
  
(
2
0
ct bt a
  
).
Quan sát thy tính cht đng bc, đt trc tip
x ky

đa v
 
2 2 2 2 2 2
2

0
0 0
0
y
ak y bky cy y ak bk c
ak bk c


       

  


Suy ra hai trng hp Gii phng trình bc hai n k s thu đc t l gia x và y.
Lu ý do vai trò ca x và y bình đng nên các bn có th chia cho x hoc y mà không nh hng ti kt qu
ca bài toán. Nu bài toán là bt phng trình thì trc khi chia cn xét du ca y (tng ng x). Tùy theo
tng trng hp có th chn phép chia hp lý và tit kim nht, s dng các đánh giá thông thng đm
bo cho li gii đc gn gàng (đin hình bài toán 10).


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH

12

B
B
à
à
i
i


t
t


p
p


t
t




n
n
g
g

t
t


.
.


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


p
p

h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


v
v
à
à

b
b


t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n

h
h


s
s
a
a
u
u


t
t
r
r
ê
ê
n
n


t
t


p
p

h
h


p
p


s
s




t
t
h
h


c
c


1.
2
4 12 9 7 4 3
x x x x
   
.

2.
2
2
4 2 5 1
x x x
x
    
.
3.
2 2
4 10 5 4 4 2
x x x x x
    
.
4.


2
5 4 4 4 6 2 4
x x x x x
      

5.
 
2 2
7 4 10 7 2 1
x x x x
    
.
6.



2
1 2 1
x x x x
   

7.
 
2 2
6 6 5 5 1 2 2 1
x x x x x
     
.
8.
2
2008 4 3 2007 4 3
x x x x
   
.
9.
2
2
2 4 5
3 1
2
x x
x
x
 

 

.
10.
 
2 2
6 21 3 6
x x x x x
     
.
11.
4
2012 2011 5 4 5
x x
x
   
.
12.
2
11 42 2 11 42
x x x x
   
.
13.


2
4 12 1 27 1
x x x x
   

.
14.
2
4 1 5 1
x x x x
   
.
15.




3 1 3 1 8 1
x x x x x
    
.
16.


2
7 3 1 2 2
x x x x
    
.
17.
2
2
6 3 6 3 2
x x x
x

    
.
18.
4
3 4 7 1
x x
x
   
.
19.
2 2
5 5 4 2 5 0
x x x x x
     
.
20.
2
3 22 47
7 5
3
x x
x
x
 
 

.
21.
2
2 3 2 3 2

x x x x
   
.
22.


2
2 6 5 6 2
x x x x
   
.
23.
   
2
2 1 7 1 4 4
x x x x
     
.
24.
2 2
5 5 1 1
x x x x x
    
.
25.
3
3 5 1 8 3
x x
x
 

   
 
 
.
26.
 
2 2
9 8 9 9 1 2 1
x x x x
    
.
27.
 
2 2
12 5 2 3 5 20
x x x x x
     .
28.
2
1
3 2 3 4 2
x x x
x
    
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


13

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


1
1
1

1
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h




n
n
g
g


t

t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 
2 3
5 7 7 1x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
1
x
 
.
Phng trình đã cho tng đng vi
2 2
1 7 1. 1 6 6 0
x x x x x x
        
.
t
 
2
1 ; 1 0; 0

x x u x v u v
      
ta thu đc
  
2 2
7 6 0 6 0
6
u v
u uv u u v u v
u v


       





2
2
1
0
1 1
2
1 1
x
x
u v x x x
x
x x x

 



       



   




2
2
1
37 1509 37 1509
6 1 6 1 ;
2 2
37 35 0
x
u v x x x x
x x
 
 

 
 
        
  

  
 

 
.
Vy phng trình đã cho có nghim
37 1509 37 1509
0;2; ;
2 2
S
 
 
 

 
 
 
.
Li gii 2.
iu kin
1
x
 
.
Nhn xét
2
5 7 0x x x
    
฀
.

Phng trình đã cho tng đng vi


 
 
4 3 2 3 4 3 2
2
10 39 70 49 49 1 39 39 70 0
37 1509 37 1509
2 37 35 0 0;2; ;
2 2
x x x x x x x x x
x x x x x
          
 
 
 
      
 
 
 

Vy phng trình đã cho có nghim
37 1509 37 1509
0;2; ;
2 2
S
 
 
 


 
 
 
.
Nhn xét.
Li gii 1 đt n ph đa v phng trình đng bc bc hai vi hai n u và v. i vi các cn thc có th khai
phng theo hng đn thc, các bn chú ý




3 3 2 2
a b a b a ab b
     và




3 3 2 2
a b a b a ab b
     .

B
B
à
à
i
i

t
t
o
o
á
á
n
n


1
1
2
2
.
.


G
G
i
i


i
i


b

b


t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h

h
   
2
3
1 3 2 1x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
1
x

.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
 
2 3 2 2
2 4 2 1 1 2 1. 1 3 1 0
x x x x x x x x x
             
.
t
 
2
1 ; 1 0; 0
x x u x v u v
      
thu đc
  
2 2 2
2 2

2 3 0 3 0 3 1 3 1
1 1
4 6 4 6
1 9 9 8 10 0
u uv v u v u v u v x x x
x x
x
x x x x x
             
 
 
      
 
      
 

Kt lun tp nghim
4 6;4 6
S
 
  
 
.
Li gii 2.
iu kin
1
x

.
Nhn xét

 
2
1 3 0x x
    
฀
. Bt phng trình đã cho tng đng vi
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


14

  
4 3 2 3 4 3 2
2 2
4 12 16 16 4 4 8 12 16 20 0
8 10 2 0 4 6 4 6
x x x x x x x x x
x x x x
           
         

Kt lun tp nghim
4 6;4 6
S
 
  
 
.
Li gii 3.
iu kin
1
x

.
 Xét trng hp
1
x

không tha mãn bt phng trình ban đu.
 Xét trng hp
1
x

, bt phng trình đã cho tng đng vi
 


 
 
3 2
2 3 2 3 2

3
2 2
3 3 2
2 2 2
2 2 2 2 1 2 2 1 1 2
1 1
1 2 2 2 1
2 2 2 1 1
1 1 1 1 1 1
x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x x
  
             
  
  
        
         

Nhn xét:
2
2
2
2
1 1 0 1
1 1
x

x x x x
x x x

       
   
. Do đó

 
2 2
2
1
2 1 1 1 3 1 1 4 6;4 6
8 10 0
x
x x x x x x x x
x x


 
                 

 
  

.
Kt lun tp nghim
4 6;4 6
S
 
  

 
.
Nhn xét.
 Bài toán 12 thuc lp bt phng trình gii đc thông qua phép đt n ph, đa v phng trình đng bc
bc hai, kt qu phân tích nhân t rt đp mt. Trong thao tác gii bt phng trình, các bn cn chú ý
điu kin xác đnh (hoc điu kin có nghim), điu kin ca n ph đ gim thiu các trng hp xy ra,
gim nh tính toán và làm cho li gii tr nên súc tích.
 Li gii 2 s dng phép nâng ly tha trc tip (sau khi nhn xét hai v không âm).
 Li gii 3 s dng đng thc liên hp, nhóm hng t phân tích thành tha s, gin c đa v bt phng
trình cha n  mu thc. Tuy nhiên, s dng linh hot đng thc liên hp "thêm mt ln", h qu thu đc
đã tr nên đn gin.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n

1
1
3
3
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 
2 3
13 3 2 3 9x x x x x     
฀
.
Li gii 1.
iu kin





3 2
2 3 0 1 3 0 1
x x x x x x
         
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
 
2 2
3 3 1. 3 10 1 0
x x x x x x
        

t
 
2
3 ; 1 0; 0
x x a x b a b
      
thu đc








2 2
2

2
3 10 0 5 2 5 0 2 5 0 2 0
1
3 2 1 1
3 7 0
a ab b a a b b a b a b a b a b
x
x x x x
x x
              


       

  


Vy bt phng trình đã cho có nghim


1;S
 
.
Li gii 2.
iu kin




3 2

2 3 0 1 3 0 1
x x x x x x
         
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi


3 2
3 2 3 9 13
x x x x      (1).
 Xét
2
9 13 0
x x
  
, bt phng trình (1) nghim đúng.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


15

 Xét
2
9 13 0
x x
  
, ta có
 
 
  
 
2
2
3 4 3 2
4 3 2
2
2
2 2
2
9 13 0
9 13 0
1
9 2 3 18 107 234 169
27 107 252 196 0
9 13 0
9 13 0
3 7 24 28 0
24 28 0
x x
x x
x x x x x x

x x x x
x x
x x
x x x x
x x

  

  
 
 
 
      
    





  

  
 
  
 
    
  






Ta có


2 2 2
9 13 0; 1 9 13 15 1 0 24 28 0
x x x x x x x x
             
.
Vy (*) nghim đúng vi
2
9 13 0
x x
  
.
Kt hp hai trng hp, (1) nghim đúng vi mi giá tr x thuc tp xác đnh, hay
1
x

.
Li gii 3.
iu kin




3 2
2 3 0 1 3 0 1
x x x x x x

         
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi




 
 
 
 
 
3 2
2 3 2
3
2
2 2
3 3
3 4 10 7
3 7 3 2 3 2 2 0 3 7 0
2 3 2 2
3 1 3 7
3 1
3 7 0 3 7 1 0 2
2 3 2 2 2 3 2 2
x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
x

x x x x
x x x x x x
  
            
   
  
 
         
 
       
 

Nhn xét


2
3
3 1
3 7 0 ; 1 1 0
2 3 2 2
x
x x x x
x x x

        
   
฀
. Vy (2) nghim đúng vi
1
x


.
Kt lun tp nghim


1;S
 
.

Nhn xét.
 Li gii 1 s dng phép đt n ph đa v bt phng trình đng bc (đng cp) bc hai. Khi đó vi điu
kin mi ca n, chúng ta d dàng lp lun loi b mt trng hp.
 Li gii 2 nâng ly tha trc tip, thu đc bt phng trình đa thc bc 4, s dng h s bt đnh đa v
nhân t. Các bn chú ý kt hp điu kin xác đnh đ tránh đc các phép bin đi cn thc phc tp.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n

n


1
1
4
4
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p

p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 
2 3
3 27 7 10x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin





3 2
10 0 2 2 5 0 2
x x x x x x
         
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi


 
2 2
3 2 5 6 2 7 2 5. 2
x x x x x x
       

t
 
2
2 5 ; 2 13; 0
x x u x v u v
      
, quy v









2 2
2
2
3 7 6 0 3 3 2 3 0 3 3 2 0 3
2
2 5 3 2 2
7 23 0
u uv v u u v v u v u v u v u v
x
x x x x
x x
             


       

  


Kt lun tp hp nghim


2;S
 
.
Li gii 2.
iu kin





3 2
10 0 2 2 5 0 2
x x x x x x
         
. Bt phng trình đã cho tng đng vi
  
 
4 2 3 4 3 2
2 2
9 162 729 49 49 490 9 49 162 49 1219 0
7 23 9 14 53 0 1
x x x x x x x x
x x x x
          
     

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH

16

Ta có
2 2
7 23 0 ;9 14 53 0x x x x x x
         
฀ ฀
nên (1) nghim đúng vi mi giá tr x thuc tp xác đnh.
Kt lun tp hp nghim


2;S
 
.
Li gii 3.
iu kin




3 2
10 0 2 2 5 0 2
x x x x x x
         
.
 Nhn xét
2
x


không là nghim ca bt phng trình ban đu.
 Xét trng hp
2
x

, bt phng trình đã cho tng đng vi
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 2
2 3 2
3
2
2 2
3 3
2
2
2 2
7 9 37 46

3 21 69 7 10 3 6 3 7 23
10 3 6
7 2 7 23
7 2
3 7 23 7 23 3 0
10 3 6 10 3 6
7 2
7 2
3 3
2 5 3 2
2 2 5 3 2
7 2 3 2 5 9 2 3 2 5
x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
x
x x x x
x x x x x x
x
x
x x x
x x x x
x x x x x x
  
          
   
  
 


        
 
       
 


   
   
    
         
 
2 2 0 2x  

Bt phng trình (2) nghim đúng vi mi giá tr x thuc tp xác đnh.
Do đó ta có tp nghim


2;S
 
.

Nhn xét.
 Li gii 2 s dng phép bình phng trc tip và h s bt đnh, phân tích phng trình bc bn h qu v
hai phng trình bc hai, ht sc may mn khi hai tam thc bc hai luôn luôn dng vi mi giá tr ca
bin, suy ra tp nghim chính là tp xác đnh ca phng trình ban đu. Li gii 3 s dng đng thc liên
hp kt hp điu kin xác đnh, tránh đc vic bin lun du mu thc ca phng trình h qu, và cho
kt qu hoàn toàn tng t.
 Li gii 1 ngn gn, súc tích da trên quan sát
3 2
10 2. 2 5

x x x x x
     
. Có th thy phía ngoài
cn thc là
2
3 27
x

, d dàng đt n ph và phân tích nhân t. Trong mt s trng hp, điu này không
đn gin, mi các bn theo dõi các thí d tip theo.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


1

1
5
5
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h




n
n
g
g

t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 
2 4 2
5 5 5 1x x x x x     
฀
.
Li gii 1.
iu kin
x

฀
.
Nhn xét






2

4 2 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 1
x x x x x x x x x x x
             
.
Phng trình đã cho tng đng vi




2 2 2 2
2 1 3 1 5 1. 1
x x x x x x x x
         

t
 
2 2
1 ; 1 0; 0
x x u x x v u v
       
thu đc
      
2 2
2 3 5 2 3 2 3 0
2 3
u v
u v uv u u v v u v u v u v
u v



          





2 2
1 1 0
u v x x x x x
        
.

2 2 2
13 69 13 69
2 3 4 4 4 9 9 9 5 13 5 0 ;
10 10
u v x x x x x x x
 
 
 
            
 
 
 
.
Kt lun tp nghim
13 69 13 69
0; ;
10 10

S
 
 
 

 
 
 
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


17

Li gii 2.
iu kin
x

฀
.
Nhn xét

2
5 5 0x x x
    
฀
. Phng trình đã cho tng đng vi




 
4 2 2 2 4 2
3 2 2
25 50 25 10 1 25 1
13 69 13 69
10 26 10 0 5 13 5 0 0; ;
10 10
x x x x x x x
x x x x x x x
       
 
 
 
         
 
 
 

Kt lun tp nghim
13 69 13 69
0; ;

10 10
S
 
 
 

 
 
 
.

Nhn xét.
 Li gii 1 đt n đa v phng trình đng bc da trên quan sát
4 2 2 2
1 1. 1
x x x x x x
      
.
Tuy nhiên đ có đc biu th đp mt




2 2 2
5 5 2 1 3 1
x x x x x x
       
là mt vn đ không đn
gin, nguyên do c hai nhân t đu có dng tam thc bc hai. Ngoài cp h s



2;3
, các cp s khác cng
khá kh thi, chng hn










4;1 , 1;4 , 3;2 , 6; 1 , 2;7 ,
 
 Các bn có th s dng đng nht thc đ tìm đc các h s 2 và 3.
t n ph
 
2 2
1 ; 1 0; 0
x x u x x v u v
       
, gi đnh









2 2 2 2 2 2
5 5 1 1
x x mu nv m x x n x x m n x m n x m n
               
.
ng nht
5
2
1
3
5
m n
m
m n
n
m n
 




   
 



 


 Lu ý mt s phép bin đi đng nht quen thuc sau đây




  
  
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
4 1 4 4 1 4 2 2 1 2 2 1
64 16 64 16 4 8 4 8
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
         
         
         


B
B
à
à
i
i

t
t
o
o
á
á
n
n


1
1
6
6
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p

h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
2 4
2 1 4 1x x x x    
฀
.
Li gii 1.

iu kin
x

฀
. Phng trình đã cho tng đng vi
   
4 3 2 2 4 3 2 2
2
0
4 4 2 2 1 4 1 4 5 2 0 4 5 2 0
4 5 2 0
x
x x x x x x x x x x x x
x x


               

  


Phng trình
2
4 5 2 0
x x
  
vô nghim do
0
 
. Kt lun tp nghim



0
S  .
Li gii 2.
iu kin
x

฀
. Phng trình đã cho tng đng vi






2 2 2 2 2 2 2
8 4 4 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 1 4 2 2 1. 2 2 1
x x x x x x x x x x x x x x
                 

t
 
2 2
2 2 1 ; 2 2 1 0; 0
x x u x x v u v
       
ta thu đc
  
2 2

3 4 3 0
3
u v
u v uv u v u v
u v


      




VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


18


2 2
2 2 1 2 2 1 0
u v x x x x x

        
.



2 2 2 2 2
3 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1 9 2 2 1 16 20 8 0
u v x x x x x x x x x x
                
(Vô nghim)
Vy phng trình đã cho có tp nghim


0
S  .

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á

n
n


1
1
7
7
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
2 4
8 20 1 64 1x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
x

฀
.
Nhn xét







2
4 2 2 2 2
64 1 8 1 16 8 4 1 8 4 1
x x x x x x x
        
. Phng trình đã cho tng đng vi




2 2 2 2
3 8 4 1 2 8 4 1 8 4 1. 8 4 1
x x x x x x x x
         

t
 
2 2
8 4 1 ; 8 4 1 0; 0
x x a x x b a b
       
ta thu đc









2 2
2 2 2 2
3 2 3 2 0 3 2 0
8 4 1 8 4 1 8 4 1 8 4 1 0
a b ab a a b b a b a b a b
a b x x x x x x x x x
          
               

Vy phng trình đã cho có tp nghim


0
S  .
Li gii 2.
iu kin
x

฀
.
Phng trình đã cho tng đng vi
 
 
2

2
4 2 2 2 4
3 2
2
2
2
2
8 20 1 0
8 20 1 0
64 16 1 40 8 1 400 64 1
320 416 40 0
0
8 20 1 0
0
8 20 1 0
40 52 5 0
40 52 5 0
x x
x x
x x x x x x
x x x
x
x x
x
x x
x x x
x x

  


  
 

 
      
  






  



   
  
 

  




  




Vy phng trình đã cho có tp nghim


0
S  .

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


1
1
8
8
.
.

G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p
p
h
h




n
n

g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
4 2
3 81 4 27 42 6x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
x

฀
.
Nhn xét



 




2
2
4 4 2 2 2 2 2
81 4 81 36 4 36 9 2 6 9 6 2 9 6 2
x x x x x x x x x x
            
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi




2 2 2 2
3 9 6 2. 9 6 2 5 9 6 2 2 9 6 2
x x x x x x x x
         
.
t
 
2 2
9 6 2 ; 9 6 2 0; 0
x x u x x v u v
       
quy v









2 2
2 2 2 2
3 5 2 5 2 5 2 0 5 2 0
9 6 2 9 6 2 9 6 2 9 6 2 0
uv u v u u v v u v u v u v u v
x x x x x x x x x
            
             

Kt lun nghim


;0
S   .

Li gii 2.
iu kin
x

฀
. Xét hai trng hp

2

27 42 6 0
x x
  
, bt phng trình đã cho nghim đúng.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


19


2
27 42 6 0
x x
  
, bt phng trình đã cho tr thành
   
 
2
2
4 4 2 2
3 2

2
2
2
27 42 6 0
27 42 6 0
9 81 4 729 324 36 84 27 6
2268 324 504 0
27 42 6 0
27 42 6 0
63 9 14 0
0
x x
x x
x x x x x
x x x
x x
x x
x x x
x

  

  
 

 
     
  






  

  

 
 
  





Kt hp hai trng hp thu đc nghim


;0
S   .

B
B
à
à
i
i


t

t
o
o
á
á
n
n


1
1
9
9
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b



t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 

2 4
4 2 4x x x x    
฀
.
Li gii 1.
iu kin
x

฀
.
Nhn xét


 




2
2
4 4 2 2 2 2 2
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x
            
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi





2 4 2 2 2 2
2 8 4 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2. 2 2
x x x x x x x x x x x
              
.
t
 
2 2
2 2 ; 2 2 0; 0
x x a x x b a b
       
ta thu đc








2 2
2 2
2 2
3 2 3 3 0 3 0
2 2 2 2
2 2 2 2 0
a b ab a a b b a b a b a b
a b x x x x
x x x x x
          

       
       

Kt lun: Bt phng trình ban đu có tp nghim


;0
S   .

Li gii 2.
iu kin
x

฀
. Bt phng trình đã cho tng đng vi
   
2 2
2
4 2 2 2 4 2
4 2 0 4 2 0
4 2 0
0
4 4 8 2 16 4 2 5 4 0 0
x x x x
x x
x
x x x x x x x x x x
 
     


  
 
   
  
          

 
 
.
Kt lun: Bt phng trình ban đu có tp nghim


;0
S   .

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n

n


2
2
0
0
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h




n

n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 
2 4
3 4 23 3 8 63x x x x x     
฀
.
Li gii 1.
iu kin
4
8 63 0
x x
  
.
Nhn xét





 




2
2
4 4 2 2 2 2 2
8 63 16 64 16 8 1 8 4 1 4 9 4 7
x x x x x x x x x x x x
                
.
Phng trình đã cho tng đng vi


2 2 2 2
2 4 7 4 9 3 4 7. 4 9
x x x x x x x x
         

t
 
2 2
4 7 ; 4 9 0; 0
x x u x x v u v
       
ta thu đc
  

 
 
2 2
2 2
2 2
4 7 4 9 1
2 3 2 0
2
2 4 7 4 9 2
x x x x
u v
u v uv u v u v
u v
x x x x

    



       




    



 
2 2

1
1 4 7 4 9
4
x x x x x
        
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


20


 
 
2 2 2
10 43 10 43
2 4 4 7 4 9 3 20 19 0 ;
3 3
x x x x x x x
 
 

 
           
 
 
 
.
So sánh điu kin, kt lun nghim
1 10 43 10 43
; ;
4 3 3
S
 
 
 
 
 
 
 
.
Li gii 2.
iu kin
4
8 63 0
x x
  
.
Nhn xét
2
3 4 23 0x x x
    

฀
. Phng trình đã cho tng đng vi




 
 
4 3 2 2 2 4 3 2
3 2 2
9 24 16 46 3 4 23 9 8 63 24 154 112 38 0
10 43 10 43
12 77 56 19 0 4 1 3 20 19 0 0; ;
3 3
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
            
 
 
 
           
 
 
 

So sánh điu kin, kt lun nghim
1 10 43 10 43
; ;
4 3 3
S

 
 
 
 
 
 
 
.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


2
2
1

1
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h




n
n
g
g


t

t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
 
2 3
5 2 4 8x x x x    
฀
.
Li gii.
iu kin
2
x

.
o Xét
2
x

không tha mãn phng trình ban đu.
o Xét
2
x

, phng trình đã cho tng đng vi

 
2 2
2 2
2 4 2 4
2 4 3 2 4 2 4. 2 3 4
2 2
x x x x
x x x x x x
x x
   
          
 

t
 
2
2 4
0
2
x x
t t
x
 
 

thu đc
  
2
1
4 3 0 1 3 0

3
t
t t t t
t


       




Vi
2 2
1 2 4 2 6 0
t x x x x x
         
(Vô nghim).
Vi
2 2
3 2 4 9 18 7 22 0
t x x x x x
         
(Vô nghim).
Vy phng trình đã cho vô nghim.

B
B
à
à
i

i


t
t
o
o
á
á
n
n


2
2
2
2
.
.


G
G
i
i


i
i

b
b


t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n

n
h
h
 
2 3
2 5 1 7 1x x x x    
฀

Li gii.
iu kin
1
x

. Khi đó bt phng trình đã cho tng đng vi
 


2 2
3 1 2 1 7 1. 1
x x x x x x
       
.
t
 
2
1 ; 1 0; 0
x a x x b a b
      
thu đc
  

     
 
 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
9 4
3 7 2 0 3 2 0 . 0
3 2
9 4 0 8 19 8 3 6 3 0
19 105 19 105
8 19 8 1 0
16 16
a b a b
a ab b a b a b
a b a b
a b a b x x x x
x x x x
 
        
 
         
 
       

Kt hp điu kin ta có nghim
19 105
1

16
x

  .

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


21

B
B
à
à
i
i


t
t



p
p


t
t




n
n
g
g


t
t


.
.


G
G
i
i



i
i


c
c
á
á
c
c


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r

r
ì
ì
n
n
h
h


v
v
à
à


b
b


t
t


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


s
s
a
a
u
u


t
t
r

r
ê
ê
n
n


t
t


p
p


h
h


p
p


s
s




t

t
h
h


c
c


1.
2 3
5 6 4 6 1
x x x
   
.
2.
2 3
4 7 1 7 1
x x x
   
.
3.
2 3
3 5 5 1
x x x
   
.
4.
2
3

5 2 8
8
1
x x
x
 


.
5.
3
2
10 8
1
11 14
x
x x


 
.
6.
2 4
3 2 3 3 1
x x x
   
.
7.
2 4
11 6 22 11 4

x x x
   
.
8.
4
2
5 4 1
1
10 6 5
x
x x


 
.
9.
2 4
72 4 9 9 64 1
x x x
   
.
10.
2 3
5 6 28 9 8
x x x
   
.
11.
2 3
4 15 45 7 27

x x x
   
.
12.
2 3
21 5 27
x x x    .
13.
2
3
36
6
64
x x
x
 


.
14.
3 2
64 3 10 56
x x x
   
.
15.
2 4 2
4 1 1
x x x x
    

.
16.
2 4 2
7 5 7 7 1
x x x x
    
.
17.
4 2
2
1 1
3 5 3 3
x x
x x
 

 
.
18.
2 4 2
4 4 1 2 16 4 1
x x x x
    
.
19.
2 3
6 1 5 3 14
x x x x
    
.

20.
2
3
6 14 35
5
2 5 26
x x
x x
 

 
.
21.
2 3 2
4 17 99 4 24
x x x x
    
.
22.
2 4
2 2 1 1
x x x
   
.
23.
2 4
4 4 31 4 8 63
x x x x
    
.

24.
4 2
2
4
1
3 7 5 6
x x
x x
 

 
.
25.
2 4 2
4 7 1 2 4 3 1
x x x x
    
.
26.
2 4 2
20 3 5 5 16 1
x x x x
    
.
27.
 
2
2
7 1 2
1

5 12 8
x x
x x
 

 
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


22

B
B
à
à
i
i


t

t
o
o
á
á
n
n


2
2
3
3
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h

h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


    
4
2 1 2 2 3 2 1 2x x x x x      
฀
.
Li gii.
iu kin

1
2
2
x
 
.
Phng trình đã cho tng đng vi
4 4
2 1 2 2 3 2 1. 2
x x x x
     
.
t


4 4
2 1 ; 2 0; 0
x u x v u v
     
ta có
  
2 2
2 3 2 0
2
u v
u v uv u v u v
u v


      






2 1 2 1
u v x x x
      
.

 
4 4
11
2 2 1 2 2 2 1 16 2
6
u v x x x x          .
So sánh điu kin
1
2
2
x
 
ta thu đc tp nghim
11
;1
6
S
 

 

 
.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


2
2
4
4
.
.


G

G
i
i


i
i


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n

n
h
h


 
2
4
3 3 2 4 4 3 7 12 17 6x x x x x      
฀
.
Li gii.
iu kin
3
4
x

.
Phng trình đã cho tng đng vi
4 4
3 3 2 4 4 3 7 3 2. 4 3
x x x x
     
(*)
t


4 4
3 2 ; 4 3 0; 0
x u x v u v

     
thì (*) tr thành
  
2 2
3 4 7 3 4 0
3 4
u v
u v uv u v u v
u v


      





4 4
3 2 4 3 3 2 4 3 1
u v x x x x x
          
.

   
4 4
714
3 4 3 3 2 4 4 3 27 3 2 256 4 3
943
u v x x x x x           .
i chiu điu kin

3
4
x

ta có tp hp nghim
714
;1
943
S
 

 
 
.

B
B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n

n


2
2
5
5
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b


t
t


p

p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
2
4
2 5 2 3 30 17 2 6 1x x x x x      
฀

.
Li gii.
iu kin
2
5
x

.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
4 4
2 5 2 3 5 2. 6 1 6 1
x x x x
     
.
t


4 4
5 2 ; 6 1 0; 0
x a x b a b
     
thu đc









2 2
2 3 2 2 0 2 0
a ab b a a b b a b a b a b
          
(1)
Ta có
4 4
2
0 5 2 6 1 5 2 6 1
5
x x x x x a b
           
.
Do đó
   
4 4
31
1 2 2 5 2 6 1 16 5 2 6 1
74
a b x x x x x           
i chiu vi điu kin
2
5
x

, kt lun tp nghim
2 31
;
5 74
S

 

 
 
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


23

B
B
à
à
i
i


t
t
o

o
á
á
n
n


2
2
6
6
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


 
3
3
8
3 4
2
x
x x x
x


  

฀
.
Li gii 1.
iu kin
0 2
x
 
.
Phng trình đã cho tng đng vi
2 3 2 2
2 4 3 4 4 2 3 . 4
x x x x x x x x
        
.
t
 
2
4 ; 0; 0
x u x v u v
    
ta thu đc
      
2 2
2 3 2 0 2 0
2
u v
u v uv u u v v u v u v u v

u v


           





2 2 2
4 4 4 0
u v x x x x x x
          
(Vô nghim).

 
2
2 2
2 4 2 4 4 2 0 2
u v x x x x x x
           
.
So sánh điu kin, kt lun phng trình đã cho vô nghim.
Li gii 2.
iu kin
0 2
x
 
.
Phng trình đã cho tng đng vi

2 3
2 4 3 4
x x x x
   
(1).
Nhn xét
 
2
2
2 4 1 3 0x x x x
       
฀
nên


       
 
4 3 2 2 3 4 3 2
2
2 2 2 2 2
1 4 4 8 16 16 9 36 5 12 20 16 0
4 4 4 4 4 4 4 0 4 2 0 2
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
             
                

So sánh điu kin, kt lun phng trình đã cho vô nghim.

B

B
à
à
i
i


t
t
o
o
á
á
n
n


2
2
7
7
.
.


G
G
i
i



i
i


b
b


t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r

r
ì
ì
n
n
h
h


    
2
2
4
2 1 2 1 5 1 1x x x x x      
฀
.
Li gii.
iu kin
1 1
x
  
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
2 2
4
4
2 1 2 1 5 1 . 1
x x x x
     
.

t
 
2
4
4
1 ; 1 0; 0
x a x b a b
     
ta có








2 2
2 2 5 2 2 2 2 2 0
a b ab a a b b a b a b a b
         
.
Xét hai trng hp

2
2 24
4
24
4
1 15

1 1
16 15 0
1 1
2 0
2 1 1 16 15 0
15 15
2 0
1
1 1
16 16
1 2 1
1 1
x
x
x x
x x
a b
x x x x
a b
x x
x
x x
x
 


  


  

 
 


 


 
 
         
   
 
 
     

  
  
 
  




  




2
2 24

4
2
4
4
15
1
1 1
16 15 0
16
2 0
15
2 1 1 16 15 0 1 1 1
2 0
16
1 1
15
1 2 1
1
x
x
x x
a b
x x x x x x
a b
x
x
x x
x



  
  


  


 


 
               
   
 

  
  


  









.

Kt lun tp nghim ca bt phng trình là


1;1
S   .

Nhn xét.
Ngoài cách x lý "th công" phn cui bài toán 24, các bn có th th sc vi cách s dng đng thc liên hp.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


24

B
B
à
à
i
i

t
t
o
o
á
á
n
n


2
2
8
8
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p

h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


     
2 2
3 2
3 3
2 3 2 4 4x x x x     
฀

.
Li gii.
iu kin
x

฀
.
t
3 3
2 ; 2
x a x b
   
, phng trình đã cho tr thành
      
2 2
3 4 3 0 3 0
3
a b
a b ab a a b b a b a b a b
a b


           





2 2 0 4
a b x x x

      
(Vô nghim).

 
3 3
28
3 2 3 2 2 27 2
13
a b x x x x x           .
Kt lun phng trình có tp nghim
28
13
S
 

 
 
.

B
B
à
à
i
i


t
t
o

o
á
á
n
n


2
2
9
9
.
.


G
G
i
i


i
i


p
p
h
h





n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


     
2 2
3 2
3 3
4 2 1 3 1 2 8 4 1x x x x     
฀
.
Li gii.
iu kin

x

฀
.
t
3 3
2 1 ; 2 1
x u x v
   
, phng trình đã cho tr thành
      
2 2
2
4 3 8 2 2 3 2 3 0 2 2 3 0
2 3
u v
u v uv u u v v u v u v u v
u v


           





 
3 3
9
2 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1

14
u v x x x x x
           
.

   
3 3
35
2 3 2 2 1 3 2 1 8 2 1 27 2 1
38
u v x x x x x           .
Phng trình đã cho có hai nghim
9
14
x
 
hoc
35
38
x  .

B
B
à
à
i
i


t

t
o
o
á
á
n
n


3
3
0
0
.
.


G
G
i
i


i
i


b
b



t
t


p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h

 
3 3 32 2 2
6 9 4 6 9 5 9 0x x x x x x        
฀
.
Li gii.
iu kin
x

฀
.
Bt phng trình đã cho tng đng vi
   
2 2
3 2
3 3
3 4 3 5 9
x x x
    
.
t
3 3
3 ; 3
x u x v
   
ta thu đc









2 2
4 5 4 0 4 0
u v uv u u v v u v u v u v
          
(1).
Nhn xét
3 3
3 3 3 3
x x x x u v
        
.
Do đó
   
3 3
65
1 4 0 3 4 3 3 64 3
21
u v x x x x x             .
Vy bt phng trình đã cho có tp nghim
65
;
21
S
 
 



 
.

Nhn xét.
Các bài toán t
23 30

v hình thc gi ý chúng ta đt n ph đa v phng trình đng bc (bc hai), ngoài
ra có th nâng ly tha trc tip cng cho kt qu tng t. i vi lp bt phng trình, các bn chú ý chia các
trng hp chính xác hoc linh hot s dng tp xác đnh (điu kin có nghim) đ lp lun, đánh giá nhân t,
gim thiu các nghim ngoi lai và mt s tính toán cng knh, không cn thit.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4)
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


CREATED BY GIANG SN;
4 3 6
D E F
 QUÂN OÀN B BINH


25

B
B
à

à
i
i


t
t


p
p


t
t




n
n
g
g


t
t


.

.


G
G
i
i


i
i


c
c
á
á
c
c


p
p
h
h




n

n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


v
v
à
à


b
b


t
t

p
p
h
h




n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h


s
s
a

a
u
u


t
t
r
r
ê
ê
n
n


t
t


p
p


h
h


p
p

s
s




t
t
h
h


c
c


1.
2 3
5 7 6 7
x x x x
   
.
2.
2 3
6 7 8 9 3 4
x x x x
   
.
3.

2 3
16 7 4 11 4
x x x x
   
.
4.
 
2
3
1 3 2 4
x x x
    .
5.
2 4
7 10 14 5 4
x x x
   
.
6.
   
2 2
3 2
3 3
1 5 1 6 1
x x x
    
.
7.



2 3 2
2 2 3 5 5 3 2
x x x x x
     
.
8.


3 2
7 1 6 2
x x
  
.
9.
6 2
3 3
2 1 1 1
x x x
    
.
10.


2 4 2
3 9 3 3 1 0
x x x x
     
.
11.
2 3

5 4 3 5 5 3
x x x x
   
.
12.
   
2
2
4
1 2 1 3 1 1
x x x x
     
.
13.
24
3 2 8 3 11 5 6
x x x x
     
.
14.
 
2
4
5 5 6 11 1
x x x x    .
15.
   
2 2
3 2
3 3

1 3 1 4 1
x x x
    
.
16.
   
2 2
3 2
3 3
2 5 2 5 5 25
x x x
    
.
17.
 
4
4 11 3 7 3
x x x x
   
.
18.
   
2 2
3 2
3 3
10 3 2 7 3 2 3 9 4
x x x
    
.
19.

   
2 2
3 2
3 3
1 2 1 2 3 1
x x x x
     
.
20.
   
2 2
3 2
3 3
2 3 1 3 4 1 5 12 7 1
x x x x
     
.
21.
2 34
3 2 2 2 2 5 2 4
x x x x x
      
.
22.
 
 
2
2
32 3
3

3
2 2 2 4 8
x x x x
     
.
23.
 
 
2
2
32 3
3
3
5 1 8 1 3 1
x x x x
     
.
24.
 
 
2
2
32 3
3
3
17 3 4 3 9 13 27
x x x x
     
.
25.

   
2 2
32 2 4 2
3 3
6 1 5 1 1
x x x x x x
       
.
26.
  
4
2 3 2 2 3 3 2 2
x x x x
     
.
27.
  
4 2 2
5 3 3 8 1 1
x x x x x
    
.
28.
2 3 24
1 4 1 5 1
x x x x x
      
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM