Trao đổi nhiệt trong một số quá trình lan truyền của sóng trong môi trường hai pha
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.8 MB, 64 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ HẢI
TRAO ĐỔI NHIỆT TRONG MỘT SỐ
QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN CỦA SÓNG TRONG
MÔI TRƢỜNG HAI PHA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ HẢI
TRAO ĐỔI NHIỆT TRONG MỘT SỐ
QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN CỦA SÓNG TRONG
MÔI TRƢỜNG HAI PHA
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Văn Tuấn
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ HẢI
TRAO ĐỔI NHIỆT TRONG MỘT SỐ
QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN CỦA SÓNG TRONG
MÔI TRƢỜNG HAI PHA
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Văn Tuấn
Thái Nguyên - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả có được trong luận văn là do bản thân
tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Tuấn.
Ngoài tài liệu tham khảo đã được trích dẫn, các số liệu và các kết quả có
được trong luận văn là trung thực và chưa có ai công bố trong bất cứ công
trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
Ngƣời thực hiện
Phạm Thị Hải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
MỤC LỤC
Trang bìa phụ
Lời cam đoan……………………………………………………………… i
Mục lục… ii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv
Danh mục các hình vẽ v
MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN 4
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10
2.1. Hệ phương trình thuỷ - Nhiệt động lực học cho môi trường hai pha lỏng hơi . 10
2.1.1. Xây dựng mô hình 10
2.1.2. Hệ phương trình cơ sở 10
2.1.2.1. Hệ phương trình cơ học của hỗn hợp hai pha 11
2.1.2.2. Điều kiện đầu và điều kiện biên 19
2.2. Phương pháp giải số và chương trình tính toán 20
2.2.1. Phương pháp giải số 20
2.2.2. Chương trình tính toán 22
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ SỰ ẢNH
HƢỞNG CỦA SÓNG LÊN QUÁ TRÌNH TRAO ĐỔI NHIỆT GIỮA
CÁC PHA TRONG HỖN HỢP CHẤT LỎNG CHỨA BỌT HƠI 23
3.1. Quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha khi có sóng ngắn lan truyền trong
hỗn hợp của nước và ni tơ lỏng. 23
3.1.1. Quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp của nước chứa bọt hơi. 23
3.1.1.1. Sự phụ thuộc vào cường độ ban đầu của sóng xung kích 24
3.1.1.2. Sự phụ thuộc vào bán kính bọt 26
3.1.1.3. Sự phụ thuộc vào thể tích pha hơi 28
3.1.2. Quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp của ni tơ lỏng
chứa bọt hơi 30
3.1.2.1. Sự phụ thuộc vào cường độ ban đầu của sóng xung kích 31
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
3.1.2.2. Sự phụ thuộc vào bán kính bọt 33
3.1.2.3. Sự phụ thuộc vào thể tích pha hơi 34
3.1.3. Nhận xét 38
3.2.1. Quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp của nước chứa bọt hơi. 38
3.2.1.1. Sự phụ thuộc vào cường độ ban đầu của sóng xung kích 39
3.2.1.2. Sự phụ thuộc vào bán kính bọt 41
3.2.1.3. Sự phụ thuộc vào thể tích pha hơi 43
3.2.2. Quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp của ni tơ chứa bọt hơi 45
3.2.2.1. Sự phụ thuộc vào cường độ ban đầu của sóng xung kích 45
3.2.2.2. Sự phụ thuộc vào bán kính bọt 47
3.2.2.3. Sự phụ thuộc vào thể tích pha hơi 49
KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 52
Kết luận 52
Kiến nghị những nghiên cứu tiếp theo 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG
Chỉ số trên - Trạng thái cân bằng sau sóng tới và sau sóng phản xạ của hỗn
hợp. (i= 1, 2)
Chỉ số dưới - Trạng thái ban đầu của hỗn hợp, chỉ pha lỏng, pha khí, khí hoà
tan và không tan. (i = 0,12,v,g)
B - Hằng số khí.
c, c
p2
, c
v2
- Nhiệt dung riêng, nhiệt dungriêng khi áp suất và vận tốc không
đổi
D
(1)
- Vận tốc của sóng
j - Cường độ chuyển pha
l - Nhiệt độ hoá hơi của nước
n - Số lượng bọt
p - áp suất của hỗn hợp
p
e
- Cường độ của sóng xung kích ban đầu
q - Dòng nhiệt
R - Bán kính bọt
T - Nhiệt độ của hỗn hợp
t - Thời gian
v, v
(i)
- Vận tốc của hỗn hợp
w
1
- Vận tốc hướng kính của chất lỏng chuyển động xung quanh bọt
w
1
- Vận tốc màng bọt
X
i
- Phần khối lượng của pha i
- Phần thể tích của pha trong hỗn hợp
- Hệ số sức căng bề mặt
- Toạ độ Lagrange
1
,
2
- Hệ số điều chỉnh của hỗn hợp
1
- Hệ số nhớt động lực của chất lỏng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang
Hình 3.1: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi áp suất
lan truyền trong hỗn hợp khi
5.1
max
P
. 24
Hình 3.2: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi áp suất
lan truyền trong hỗn hợp khi
max 2P
. 24
Hình 3.3: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi áp suất
lan truyền trong hỗn hợp khi
5.2
max
P
. 25
Hình 3.4: Sự giảm nhiệt độ dọc theo ống xung kích khi xung áp suất lan truyền trong
hỗn hợp của nước. 25
Hình 3.5: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha hơi sang pha lỏng
khi xung áp suất lan truyền trong hỗn hợp khi
0
0.001Rm
. 26
Hình 3.6: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha hơi sang pha lỏng
khi xung áp suất lan truyền trong hỗn hợp khi
0
0.0012Rm
. 27
Hình 3.7:Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha hơi sang pha lỏng
khi xung áp suất lan truyền trong hỗn hợp khi
0
0.0015Rm
. 27
Hình 3.8: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp
suất lan truyền trong hỗn hợp khi
20
2%
. 28
Hình 3.9: quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp
suất lan truyền trong hỗn hợp khi
20
4%
. 29
Hình 3.10: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp
suất lan truyền trong hỗn hợp khi
20
6%
29
Hình 3.11: Sự giảm nhiệt độ dọc theo chiều dài của ống xung kích. 30
Hình 3.12: Quá trình truyền nhiệt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp suất lan truyền
trong hỗn hợp khi
5.1
max
P
. 31
Hình 3.13: Quá trình truyền nhiệt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp suất lan truyền
trong hỗn hợp khi
2
max
P
. 31
Hình 3.14: Quá trình truyền nhiệt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp suất lan truyền
trong hỗn hợp khi
5.2
max
P
. 32
Hình 3.15: Sự giảm nhiệt độ dọc theo ống xung kích khi xung áp suất lan truyền trong
hỗn hợp của nước. 33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
vi
Hình 3.16: Quá trình truyền nhiệt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp suất lan truyền
trong hỗn hợp của ni tơ khi
0
0.001Rm
. 33
Hình3.17: Quá trình truyền nhiệt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp suất lan truyền
trong hỗn hợp của ni tơ khi
0
0.0012Rm
. 34
Hình 3.18: Quá trình truyền nhiệt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp suất lan truyền
trong hỗn hợp của ni tơ khi
0
0.0015Rm
. 34
Hình 3.19: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp
suất lan truyền trong hỗn hợp khi
20
2%
. 35
Hình 3.20: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp
suất lan truyền trong hỗn hợp khi
20
4%
. 35
Hình 3.21: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi xung áp
suất lan truyền trong hỗn hợp khi
20
6%
36
Hình 3.22: Sự giảm nhiệt độ dọc theo ống xung kích khi xung áp suất lan truyền trong
các hỗn hợp của nước và nitơ. 37
Hình 3.23: Sự giảm nhiệt độ xung quanh bọt khi xung áp suất lan truyền trong các hỗn
hợp của nước và nito, tương ứng với các đường cong (1), (2) 37
Hình 3.24: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi cường
độ sóng dài
4.1max P
. 39
Hình 3.25: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi cường
độ sóng dài
5.1
max
P
40
Hình 3.26: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi cường
độ sóng dài
6.1
max
P
. 40
Hình 3.27: Sự giảm nhiệt độ dọc theo ống xung kích trong hỗn hợp của nước. 41
Hình 3.28: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi bán
kính bọt
mR 001.0
0
. 42
Hình 3.29: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi bán
kính bọt
mR 0012.0
0
42
Hình 3.30: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi bán
kính bọt
mR 0015.0
0
42
Hình 3.31: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi thể tích
pha hơi
%2
20
. 43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
vii
Hình 3.32: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi thể tích
pha hơi
%4
20
. 44
Hình 3.33: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi thể tích
pha hơi
%5
20
. 44
Hình 3.34: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi cường
độ sóng dài
4.1
max
P
. 45
Hình 3.35: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi cường
độ sóng dài
5.1max P
. 46
Hình 3.36: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi cường
độ sóng dài
max 1.6P
. 46
Hình 3.37: Sự giảm nhiệt độ dọc theo ống xung kích trong hỗn hợp của ni tơ. 47
Hình 3.38: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi bán
kính bọt
mR 001.0
0
. 47
Hình 3.39: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi bán
kính bọt
mR 0012.0
0
48
Hình 3.40: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi bán
kính bọt
mR 0015.0
0
48
Hình 3.41: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi thể tích
pha hơi
%2
20
. 49
Hình 3.42: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi thể tích
pha hơi
%4
20
. 50
Hình 3.43: Quá trình truyền nhiệt xung quanh bọt từ pha hơi sang pha lỏng khi thể tích
pha hơi
%5
20
. 50
Hình 3.44: Sự giảm nhiệt độ dọc theo ống xung kích khi xung áp suất lan truyền trong
hỗn hợp của nước và ni tơ. 51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Hỗn hợp chất lỏng chứa bọt - hơi là một môi trường hai pha rất phức tạp.
Môi trường này thường gặp nhiều trong các quá trình tự nhiên, trong công nghệ
hóa học, vật lý và cũng được ứng dụng rất nhiều trong các ngành công nghiệp
năng lượng như: khai thác, vận chuyển và chế biến dầu khí Tuy nhiên, chỉ từ
năm 1950 trở lại đây, việc nghiên cứu về dòng hai pha lỏng - khí mới được tiến
hành một cách có hệ thống cả về lý thuyết và thực nghiệm. Trong các hỗn hợp
dạng này thì quá trình trao đổi nhiệt - khối lượng là một trong những hiện tượng
quan trọng không thể tách rời nhất là trong trường hợp tồn tại sóng xung kích lan
truyền trong hỗn hợp và xảy ra hiện tượng tương tác pha trong hỗn hợp.
Môi trường hỗn hợp hai pha có tính chất đặc biệt ở chỗ trong hỗn hợp do
có sự kết hợp các tính chất phi tuyến vật lý mạnh, sự tán sắc và hao tán năng
lượng nên biểu đồ mô tả các sóng có nhiều dạng. Chính vì vậy, khi thay đổi các
điều kiện thuỷ động lực sẽ dẫn đến sự thay đổi cấu trúc về sóng, các tính chất
vật lý nhiệt, và các quá trình tương tác giữa các pha. Tính chất đặc trưng của
hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí trong các quá trình động lực học là sự xuất hiện
biến dạng cục bộ của hỗn hợp khi thay đổi thể tích môi trường do sự thay đổi
thể tích của bọt. Khả năng mức độ co nén của bọt phụ thuộc mạnh vào sự trao
đổi nhiệt và khối lượng giữa pha lỏng và pha khí. Sự xuất hiện đồng thời những
năng lượng do biến dạng này sẽ dẫn tới sóng có cấu trúc khác nhau. Ngoài ra
sự truyền sóng áp suất trong những môi trường như vậy cũng dẫn đến khả năng
hóa hơi và ngưng tụ của pha khí, từ đó dẫn đến sự thay đổi chủ yếu cấu trúc
của môi trường.
Do hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí có tính chất đặc biệt như trên hơn nữa
đây là hỗn hợp xuất hiện rất nhiều trong các lĩnh vực công nghiệp năng lượng,
công nghệ hóa học và các quá trình tự nhiên cho nên, sự hiểu biết về các hiện
tượng có thể xuất hiện khi sóng áp suất lan truyền qua chất lỏng chứa bọt và
nhất là khi xảy ra quá trình tương tác giữa các sóng là rất cần thiết.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Căn cứ vào tình hình phát triển của các nghiên cứu ở trong và ngoài nước
về các quá trình lan truyền của sóng xung kích trong hỗn hợp các chất lỏng -
bọt dẫn tới quá trình trao đổi nhiệt và khối lượng giữa các pha trong hỗn hợp,
mục tiêu của đề tài được đặt ra như sau:
- Từ hệ phương trình vi phân và đạo hàm riêng thủy nhiệt động lực học
mô tả các quá trình lan truyền của sóng trong hỗn hợp hai pha, sử dụng chương
trình tính sau khi kết hợp với các điều kiện biên phù hợp giải hệ phương trình
trên để nghiên cứu quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha.
- Sử dụng các kết quả số của chương trình tính để nghiên cứu và phân
tích quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha khi có sóng xung kích lan truyền trong
hỗn hợp. Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các điều kiện đầu, điều kiện biên,
cường độ của sóng xung kích ban đầu, thể tích của pha hơi và các tính chất vật
lý nhiệt của hỗn hợp lên quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong một số quá
trình lan truyền của các sóng xung kích trong các hỗn hợp.
Để thực hiện được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tôi đã thực hiện đề tài
có tên: "Trao đổi nhiệt trong một số quá trình lan truyền của sóng trong môi
trường hai pha". Nội dung của luận văn sẽ được chia làm ba chương như sau:
Chƣơng 1: Tổng quan
Trình bày tổng quan về sự phát triển và xu hướng phát triển trong lĩnh
vực truyền sóng xung kích trong hỗn hợp bọt khí hòa tan, ngưng tụ. Về quá
trình trao đổi nhiệt và trao đổi khối lượng giữa các pha trong hỗn hợp, các hiện
tượng xảy ra khi sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp.
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết
Đặt bài toán thông qua hiện tượng vật lý của quá trình trao đổi nhiệt giữa
các pha. Từ đó mô tả toán học bởi hệ phương trình thủy nhiệt - động lực học
của quá trình. Sử dụng thuật toán và chương trình tính phù hợp để nghiên cứu,
phân tích và đánh giá quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp chất
lỏng chứa bọt hơi khi có sóng xung kích lan truyền.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chƣơng 3: Một số kết quả nghiên cứu về ảnh hƣởng của sóng lan truyền
lên quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp.
Từ kết quả của chương trình tính có được nghiên cứu, đánh giá sự ảnh
hưởng của cấu trúc hỗn hợp như nồng độ thể tích pha hơi, bán kính của bọt,
cường độ sóng xung kích ban đầu lên các quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha
trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi của nước và ni tơ lỏng.
So sánh các quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp chất lỏng
chứa bọt hơi của nước và ni tơ lỏng nhằm chỉ ra được sự ảnh hưởng của các tính
chất vật lý của nó lên các quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp.
Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành từ ý tưởng nghiên cứu, sự tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ về mặt khoa học của PGS.TS Nguyễn Văn Tuấn, em xin được bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của Thầy trong
suốt quá trình giúp em thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và
Quan hệ quốc tế, Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã quan tâm và tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
tại trường.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đồng nghiệp đã động
viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập của mình.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 25 tháng 09 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Hải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN
Môi trường hai pha lỏng - khí thường tồn tại ở dạng hỗn hợp chất lỏng
chứa bọt khí hòa tan ngưng tụ hoặc không hòa tan không ngưng tụ. Hỗn hợp
dạng này có tính chất đặc biệt, đó là sự kết hợp của các tính chất phi tuyến vật
lý mạnh, phân tán và hao tán năng lượng, nên biểu đồ mô tả các sóng có thể có
nhiều dạng. Chính vì vậy khi thay đổi các điều kiện thủy động lực, sẽ dẫn đến
sự thay đổi các cấu trúc về sóng và các quá trình tuơng tác giữa các pha. Do
hỗn hợp có tính chất đặc biệt như trên, đồng thời hỗn hợp lại xuất hiện nhiều
trong các lĩnh vực công nghiệp, năng lượng, công nghệ hóa học và các quá
trình tự nhiên cho nên sự hiểu biết về các hiện tượng và những hiệu ứng bất
thường có thể xuất hiện khi sóng áp suất lan truyền qua chất lỏng chứa bọt hơi
như quá trình tương tác pha, quá trình trao đổi nhiệt và khối lượng giữa các pha
là rất cần thiết để giải quyết một loạt các bài toán thực tế như để phân tích chế
độ làm việc quá độ của các thiết bị năng lượng, phân tích tình huống hư hỏng
và đảm bảo an toàn khi khai thác của các nhà máy điện nguyên tử, phân tích
các hiện tượng xâm thực trong các máy tuốc bin, trong các hệ thống truyền dẫn
thủy lực, để ứng dụng trong công nghiệp khai thác, vận chuyển và chế biến dầu
khí. Dẫn đến sự cấp thiết của việc nghiên cứu thủy động lực học về các quá
trính sóng trong môi trường có bọt, tài liệu chuyên khảo nổi tiếng được biết đến
như [18].
Môi trường hỗn hợp của chất lỏng với bọt của khí hòa tan và ngưng tụ
(hay khí không hòa tan và không ngưng tụ) thú vị ở chỗ trong chúng được cấu
thành từ ba yếu tố chính: tính phi tuyến, sự tán sắc và quá trình hao tán năng lư-
ợng. Bức tranh sóng có thể có nhiều dạng và nó dễ dàng thay đổi bằng cách
thay đổi các điều kiện thuỷ động lực, cấu trúc và tính chất vật lý nhiệt của hỗn
hợp với các quá trình tương tác của các pha. Điều đặc biệt của hỗn hợp chất
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
lỏng chứa bọt trong các quá trình thủy động lực là sự xuất hiện của năng lượng
biến dạng cục bộ của hỗn hợp khi thay đổi thể tích môi trường, sự thay đổi này
chủ yếu do sự thay đổi thể tích của bọt trong hỗn hợp do tính chất dễ co lại hay
giãn nở của khí (hoặc hơi) trong bọt.
Sóng xung kích trong hỗn hợp chứa bọt khí hòa tan hay ngưng tụ, về lý
thuyết đã được nghiên cứu trong các công trình [7], [8], còn bằng thực nghiệm
đã được nghiên cứu bởi các công trình [14], [15], [16]. Môi trường chất lỏng
chứa bọt khí hòa tan, ngưng tụ (gọi tắt là môi trường lỏng - hơi) là một môi
trường mà xuất hiện hiện tượng trao đổi nhiệt - khối lượng mạnh hơn nhiều so
với hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí. Chính vì thế nên các hiệu ứng do tính chất
phi tuyến của hỗn hợp trong một số trường hợp sẽ xảy ra mạnh hơn môi trường
lỏng chứa bọt khí khi có sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp. Như đã phân
tích, sự tăng áp suất đã thể hiện được tính chất phi tuyến mạnh của hỗn hợp,
một nguyên nhân quan trọng gây ra hiện tượng đó chính là quá trình trao đổi
nhiệt - khối lượng giữa các pha trong hỗn hợp, đề cập nghiên cứu vấn đề này
được thể hiện ở các công trình [8], [9]. Nghiên cứu lý thuyết về sự di chuyển
của bọt và về sự co lại hay giãn nở của bọt trong dòng chảy hai pha có thể xem
trong [13]. Một hiện tượng không thể tách rời trong môi trường lỏng - bọt khi
có sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp. Đó chính là hiện tượng ngưng tụ
hoặc hóa hơi trong hỗn hợp. Từ hiện tượng này đã dẫn tới quá trình trao đổi
nhiệt - khối lượng giữa các pha trong hỗn hợp. Nhận biết được tính chất đặc
biệt quan trọng này, hàng loạt các công trình nghiên cứu lý thuyết và thực
nghiệm về quá trình truyền nhiệt và chuyển khối lượng giữa các pha trong hỗn
hợp đã được thực hiện. Lý thuyết trình bày về sự ngưng tụ của quá trình truyền
nhiệt và chuyển khối lượng trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi có thể xem
trong [11], [12]. Một số lượng lớn các công nghiên cứu thực nghiệm về quá
trình trao đổi nhiệt -khối lượng đã được thực hiện trong các hỗn hợp lỏng - hơi
khác nhau. Quá trình truyền nhiệt và chuyển khối lượng giữa các pha trong hỗn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
hợp lỏng khí được hình thành do phản ứng hóa học đã được trình bày trong [9].
Sự ngưng tụ dẫn tới quá trình truyền nhiệt của một số chất làm lạnh như R22,
R410 khi hỗn hợp này chuyển động trong ống nhỏ, đã được nghiên cứu bằng
thực nghiệm, qua đó đã xác định được hệ số ngưng tụ - truyền nhiệt, được
nghiên cứu bởi [18], từ các kết quả của công trình đã chỉ ra rằng khi muốn tăng
quá trình trao đổi nhiệt - khối lượng cần dẫn tới tăng khối lượng của pha khí
trong hỗn hợp. Tính chất này cũng phù hợp với các nghiên cứu thực nghiệm đề
cập trong các công trình [10], [15]. Môi trường lỏng - bọt còn được sử dụng
trong công nghiệp năng lượng nguyên tử. Phân tích các chế độ làm việc quá độ
của của các thiết bị năng lượng, phân tích các tình huống hư hỏng và đảm bảo
an toàn khi khai thác các nhà máy điện nguyên tử đã được đề cập đến trong
công trình [2].
Nhận biết được những tính chất phi tuyến mạnh của môi trường hai pha
lỏng - bọt, mà trong đó có thể xuất hiện nhiều hiện tượng bất thường khi có
sóng xung kích lan truyền qua như hiện tượng tăng áp suất hoặc giảm đột ngột
của áp suất trong hỗn hợp. Hơn nữa, môi trường này lại được ứng dụng rộng rãi
trong rất nhiều ngành trong các lĩnh vực công nghiệp khác nhau. Chính vì vậy,
đây là một môi trường đã tập trung được rất nhiều nhà khoa học trong nước và
trên thế giới quan tâm. Với tổng quan tóm tắt trình bày thực trạng của vấn đề
đối với mô hình thủy - nhiệt mô tả dòng chảy hai pha lỏng - bọt, có sóng xung
kích lan truyền trong đó, tác giả đã cố gắng tìm hiểu và trình bày một số nghiên
cứu về lý thuyết cũng như về thực nghiệm của quá trình trao đổi nhiệt và khối
lượng giữa các pha trong hỗn hợp lỏng - bọt, phân tích các hiện tượng, các hiệu
ứng bất thường có thể xảy ra trong hỗn hợp và một số nguyên nhân cơ bản gây
ra các hiệu ứng đó. Qua kết quả nghiên cứu của các công trình đã cho sự hiểu
biết đúng đắn về các hiện tượng có thể xuất hiện, để giải quyết hàng loạt các
bài toán thực tế như phân tích các chế độ làm việc của các trạm năng lượng,
phân tích các điều kiện hư hỏng và đảm bảo an toàn khi khai thác các nhà máy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
điện nguyên tử, trong khai thác vận chuyển và chế biến dầu khí, trong công
nghệ hoá học và các quá trình tự nhiên…
Về lĩnh vực nghiên cứu này, ở trong nước đã có một số công trình như
[1], [5], tác giả đã trình bày hệ phương trình nhiệt thủy động lực học, giải hệ
phương trình bằng phương pháp số và đưa ra một số kết quả về sự ảnh hưởng
của quá trình trao đổi nhiệt - khối lượng lên động lực học sóng của môi trường
hai pha lỏng - khí hoặc hơi có xét đến khả năng ngưng tụ của hơi hay khí hòa
tan của pha khí. Trong trường hợp không đi sâu nghiên cứu về cấu trúc của
sóng xung kích, tác giả đã trình bày một số kết quả nghiên cứu về sự tăng áp
suất của sóng xung kích trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt khí hoặc hơi khi
sóng này tác động và bị phản xạ bởi một tường cứng.
Công trình [3], [5] trình bày quá trình lan truyền và tương tác của các
sóng ngắn trong một số hỗn hợp lỏng - hơi. Trong trường hợp nghiên cứu này
chưa đi sâu về nghiên cứu quá trình trao đổi nhiệt và khối lượng giữa các pha
trong hỗn hợp mà chỉ mới quan tâm đến sự lan truyền và tương tác của các
sóng ngắn. Còn công trình [6], [7], đã trình bày các kết quả nghiên cứu về sự
tăng áp suất của sóng xung kích khi bị phản xạ bởi tường cứng trong hỗn hợp
chất lỏng chứa bọt hai thành phần là khí hòa tan và không hòa tan. Trong
trường hợp nghiên cứu này đều không quan tâm tới cấu trúc của sóng xung
kích mà chỉ xem sự truyền sóng xung kích như sự truyền của mặt gián đoạn
trong hỗn hợp. Tiếp theo những nghiên cứu trên, khi quan tâm tới các điều kiện
đầu, các điều kiện biên, cấu trúc của hỗn hợp và các tham số vật lý nhiệt (quá
trình trao đổi nhiệt - khối lượng giữa các pha trong hỗn hợp), công trình [8] đã
trình bày quá trình phản xạ của sóng xung kích trong hỗn hợp lỏng hơi chứa bọt
hơi, khi tồn tại sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp tới tác động vào tường
cứng và bị phản xạ ngược lại, đã trình bày quá trình tương tác giữa các sóng
trong các hỗn hợp lỏng - hơi. Sau đó, trong công trình [7], các tác giả đã trình
bày quá trình tăng áp suất trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi, khi dòng chảy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
này bị van đóng đột ngột. Đã chỉ ra quá trình tăng áp suất phụ thuộc vào nồng
độ thể tích của pha hơi trong hỗn hợp, vào vận tốc của dòng chảy và vào thời
gian đóng van hoàn toàn. Đặc biệt trong công trình [5], [8], các tác giả đã quan
tâm, nghiên cứu tới quá trình trao đổi nhiệt và khối lượng giữa các pha khi có
sóng xung kích lan truyền trong hỗn hợp và trường hợp phản xạ của sóng bởi
tường cứng. Đã chỉ ra được sụ ảnh hưởng của nó lên các quá trình lan truyền
của sóng trong hỗn hợp hai pha.
Các kết quả nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm của các công trình
được trình bày trên đây đã quan tâm đến hầu hết các vấn đề, các hiện tượng có
thể xuất hiện trong hỗn hợp lỏng - bọt khi tồn tại sóng xung kích truyền qua
như sự tăng áp suất hay giảm áp suất trong hỗn hợp. Đã tìm hiểu về hiện tượng
ngưng tụ hay hóa hơi của pha khí. Đã tìm hiểu quá trình chuyển động của bọt
trong hỗn hợp, đến sự tách rời hay sự kết hợp lại của bọt trong hỗn hợp vì
chính bọt là nguyên nhân gây ra tính phi tuyến mạnh của môi trường. Trong
trường hợp phân tích và tính toán sự tăng áp suất của sóng xung kích trong các
hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi khi sóng này lan truyền tới tác động vào tường
cứng và bị phản xạ ngược lại. Cũng như trong trường hợp tính toán đến quá
trình tăng áp trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi khi dòng chảy bị đóng van
đột ngột, hoặc trong trường hợp nghiên cứu quá trình tăng áp suất do sự tương
tác giữa các sóng trong hỗn hợp. Trong tất cả các quá trình được dẫn ra trên
đây đều xảy ra hiện tượng trao đổi nhiệt và khối lượng giữa các pha, có thể nói
đó là một hiện tượng không thể tách rời trong hỗn hợp. Tuy nhiên việc nghiên
cứu về quá trình trao đổi nhiệt và khối lượng này vẫn ít được quan tâm hoặc
quan tâm chưa đúng mức.
Chính vì vậy, khi nhận biết được vấn đề này và hiểu được tầm quan trọng
của môi trường lỏng - bọt bởi nó được ứng dụng rất nhiều trong thực tế, nên
bản thân tôi đã cố gắng nghiên cứu, tìm hiểu và đã đưa ra được một số kết quả
nghiên cứu về quá trình trao đổi nhiệt giữa các pha trong hỗn hợp. Đã nghiên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
cứu, phân tích và tìm hiểu về sự ảnh hưởng của các tham số đặc trưng như: Các
điều kiện ban đầu, các điều kiện biên, các tính chất vật lý nhiệt của hỗn hợp,
cường độ xung kích, phần thể tích của pha hơi trong hỗn hợp, bán kính của bọt
trong hỗn hợp lên sự trao đổi nhiệt các pha trong hỗn hợp của chất lỏng chứa
bọt hơi trong cả hai trường họp sóng ngắn và sóng dài. Các vấn đề đặt ra trên
đây cũng là nội dung chính sẽ được trình bày trong luận văn này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
CHƢƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Hệ phƣơng trình thuỷ - nhiệt động lực học cho môi trƣờng hai pha
lỏng hơi
2.1.1. Xây dựng mô hình
Khảo sát hỗn hợp chất lỏng tĩnh chứa bọt hơi hình cầu được chứa trong ống
nằm ngang. Cùng với các giả thiết mật độ thực của chất lỏng chính không thay
đổi = const, trong quá trình tương tác không có sự phân chia bọt, bọt không
bị vỡ và vẫn có hình cầu.
Giả sử có sóng xung kích tác động và lan truyền trong hỗn hợp. Các sóng
được sử dụng là các sóng ngắn và sóng dài. Sóng ngắn (còn được gọi là xung
áp suất) là sóng có quy luật của sự thay đổi nhanh áp suất, còn sóng dài là sóng
có cường độ luôn luôn không đổi. Quá trình sóng xung kích lan truyền vào,
tương tác và lan truyền ra được mô tả như sau:
Khi lan truyền trong hỗn hợp, sóng xung kích sẽ làm cho các bọt trong
hỗn hợp bị co nén và áp suất trong bọt sẽ tăng lên. Do tính chất vật lý nhiệt của
hơi trong bọt, sẽ có hiện tượng chuyển pha từ hơi sang lỏng, từ đó xuất hiện
quá trình trao đổi nhiệt và khối lượng giữa các pha và làm nhiệt độ trong hỗn
hợp tăng lên. Luận văn sẽ nghiên cứu và phân tích quá trình trao đổi nhiệt giữa
các pha trong hỗn hợp này.
2.1.2. Hệ phƣơng trình cơ sở
Hệ phương trình cơ học của hỗn hợp chất lỏng hai pha được xây dựng
trên cơ sở các định luật vật lý về bảo toàn khối lượng, xung lượng và năng
lượng bằng lý thuyết của động lực học của môi trường nhiều pha [18], [7].
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
2.1.2.1. Hệ phƣơng trình cơ học của hỗn hợp hai pha
Ta qui ước: chỉ số dưới i = 1 sẽ liên quan tới thông số pha chính
(chất lỏng), còn i = 2 liên quan tới pha phân tán (pha hơi). Để cho các phương
trình nhận được bớt phức tạp trong việc sử dụng phương pháp số ta giả thiết
như sau:
- Các phần tử bọt của pha phân tán trong từng thể tích
V
tồn tại dạng
hình cầu có cùng bán kính R và mật độ thể tích của pha phân tán không quá
lớn:
1
2
2
- Bỏ qua năng lượng và các ảnh hưởng khác của chuyển động hỗn loạn,
chuyển động quay, biến dạng của phần tử phân tán.
- Bỏ qua tác dụng trực tiếp và sự va đập giữa các phần tử.
- Không tồn tại quá trình chia nhỏ và sự hình thành các phần tử phân tán mới.
- Độ nhớt và tính dẫn nhiệt chỉ quan trọng trong quá trình tương tác
giữa các pha, không quan trọng trong sự truyền xung và năng lượng.
- Mật độ thực của chất lỏng chính là không thay đổi
const
0
1
.
Do giả thiết các phần tử của pha phân tán là hình cầu bán kính R, cho nên :
3
2 1 2
4
,1
3
Rn
.
Khi đó, mật độ pha
i
đặc trưng cho khối lượng pha trong một đơn vị thể tích
hỗn hợp được tính như sau:
,1
212
0
22
1
0
11
và mật độ của cả hỗn hợp :
2
0
21
0
121
Trong toạ độ Lagrange (
t,
), hỗn hợp chuyển động với vận tốc môi
trường v(
t,
), phương trình bảo toàn khối lượng pha, phương trình bảo toàn
số lượng bọt và phương trình bảo toàn xung lượng của cả hỗn hợp trong
trường hợp chuyển động liên tục một chiều có dạng sau: [7]
,4
2
0
11
nja
v
t
(2.1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
,4
2
0
22
nja
v
t
(2.2)
,4
3
4
20
2
3
jaa
t
(2.3)
,0
1
0
p
t
v
(2.4)
.0
0
vv
t
n
,
3
4
,,1,
3
22121
0
na
iii
.
2
2211
a
ppp
(2.5)
trong đó, t là thời gian, chỉ số i = 1, 2 liên quan tới tham số tương ứng của
chất lỏng và hơi nước;
0
,,,
iiii
p
là phần thể tích, áp suất, mật độ trung bình
và mật độ thực của pha thứ i;
vp,,
là mật độ, áp suất và vận tốc trung bình
của hỗn hợp; n là số lượng bọt trong một đơn vị thể tích hỗn hợp; j là cường
độ của sự chuyển pha trong một đơn vị bề mặt diện tích giữa các pha (j >0
tương ứng với trường hợp hóa hơi còn j < 0 ứng với trường hợp ngưng tụ);
là hệ số sức căng bề mặt. Từ đây về sau lấy đạo hàm riêng
t
khi cố định toạ
độ Lagrăng có nghĩa là đạo hàm toàn phần theo thời gian.
Với giả thiết chất lỏng mang là không nén được, hơi nước tuân theo
phương trình trạng thái pha của khí hoàn hảo và tồn tại trạng thái bão hòa trên
bề mặt nó tuân theo phương trình Claperon-Clausiut chúng được cho dưới
dạng sau:
.1,,
0
1
0
2
0
2
2
2
2
2
0
22
0
1
l
T
dp
dT
TBpconst
(2.6)
trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối, B là hằng số khí, l nhiệt dung riêng của hơi
nước bão hòa.
Trong hệ toạ độ Lagrăng - Ơle (
tr,,
), phương trình truyền nhiệt của chất
lỏng xung quanh bọt đối xứng cầu có dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
,
1
1
2
1
2
1
1
1
1
0
1
r
T
r
r
r
r
T
w
t
T
c
(2.7)
trong đó c
1
là nhiệt dung riêng của chất lỏng, w
1
là vận tốc hướng kính của
chuyển động nhỏ của chất lỏng xung quanh bọt thử nghiệm, được xác định từ
phương trình chuyển động nhỏ của chất lỏng xung quanh bọt thử nghiệm cùng
với tính không nén được của nó:
2
2
1
1
r
aw
w
a
. (2.8)
Điều kiện biên đối với phương trình (2.7) và (2.8) trong khuôn khổ mô
hình có thể được viết như sau:
r = a :
ar
aaa
r
T
qqqjlTT
1
112121
,,
,
.0:
1
3
1
2
r
T
ar
(2.9)
Trong trường hợp bọt hơi đồng đều như nhau thì:
,,,),(,),(
22
0
2
0
221
tppttTT
(2.10)
Dòng nhiệt
a
q
2
trong hơi nước từ giữa biên của các pha có thể nhận được
đường cong tích phân của phương trình dòng nhiệt của pha hơi từ 0 đến a với
tính toán tương ứng (3.5):
t
p
l
Tc
a
q
p
a
2
0
1
0
2
22
2
11
3
. (2.11)
Trong đó c
p2
là nhiệt dung riêng của hơi khi áp suất không thay đổi.
Áp suất pha và kích cỡ của bọt liên quan tới điều kiện biến dạng tương
thích của mà nó được dùng trong phương trình tổng quát Rơlây-Lamba
(phương trình bảo toàn xung của chuyển động đối xứng cầu của chất lỏng
xung quanh bọt thử nghiệm) với điều kiện ban đầu:
)1(
2
21
4
)1(5.1)1(
1
0
1
1
12
0
1
1
1
2
12
1
1
a
aa
a
jw
a
ppw
a
w
t
w
a
(2.12)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
,)0()0(,
1
0
2
0
1
1 aa
wa
jj
w
t
a
.
1
3)2(
,
12
3
,)0(
2
22
3
1
2
2
2
2
3
1
2
1
0
aa
(2.13)
Hệ phương trình (2.1) đến (2.13) là hệ phương trình kín và khi với điều
kiện biên và điều kiện đầu thích hợp có thể sử dụng để khảo sát quá trình sóng
không dừng trong hỗn hợp chất lỏng chứa bọt hơi nước.
Để thuận lợi cho việc giải hệ phương trình trên bằng phương pháp số, ta
có thể biến đổi hệ phương trình này về dạng sau:
Kết hợp với (2.8), (2.9) ta viết phương trình bảo toàn khối lượng về dạng :
.
3
.
3
0
2
2
0
2
1
0
2
2
0
2
2
a
j
v
t
a
j
v
t
(2.14)
Đưa phương trìmh (2.2) về dạng :
.
3
0
222
0
2
0
2
2
v
j
att
(2.15)
Phương trình (2.3) có thể viết:
,44
3
4
20
2
2
0
2
3
ja
t
a
a
t
a
Kết hợp với (2.13):
0
1
1
j
w
t
a
a
, ta có:
.
3
0
1
0
2
1
0
2
0
2
j
wj
at
a
Thay vào (2.15), ta có:
v
j
at
j
wj
a
a
0
222
0
2
0
1
0
2
1
0
22
3
3
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Suy ra:
v
j
w
at
a
0
2
0
1
0
2
1
0
2
2
0
2
2
3
1
. (2.16)
Với giả thiết:
1,,
2121
0
1
vvvconst
, ta có:
a
w
a
v
1
2
0
3
,
Do đó:
a
w
a
v
1
02
3
. (2.17)
Thay phương trình (2.17) vào phương trình bảo toàn khối lượng hỗn hợp :
0
0
2
v
t
.
Ta có:
aa
w
a
w
at
1
2
1
02
0
2
3
3
. (2.18)
Lấy đạo hàm phương trình bảo toàn xung lượng hỗn hợp (2.4) theo
:
.
11
0
11
0)
1
(
1
0)
1
(
0
2
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
v
t
pp
pp
t
v
pp
t
v
p
t
v
Thế biểu thức (2.17) vào biểu thức trên, ta có:
a
w
at
pp
1
020
2
0
2
2
0
3
11
.3
)(
)(
1
3
33
1
2
12
2
121
22
1
2
0
12
12
22
2
0
1
2
2
01
02
0
0
0
2
2
t
a
a
w
t
a
w
t
w
ata
w
w
t
a
a
t
w
a
w
at
w
at
pp
aaaa
a
a
aa
(2.19)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Phương trình (2.12) được viết lại như sau:
)1(
2
21
4
)1(
2
3
)1(
1
1
0
1
1
12
0
1
1
1
2
12
1
1
a
aa
a
jw
a
ppw
a
w
at
w
.
Biểu thức (2.16) sau khi sử dụng (2.17), có dạng:
aa
aa
w
a
j
a
w
a
w
a
j
w
at
1
0
2
22
0
1
2
1
2
1
02
0
2
0
1
0
2
1
0
2
2
0
2
2
333
3
3
1
0
1
11
2
12
0
1
1
2
33
j
w
a
w
j
w
a
aaa
. (2.21)
Khi đó thế biểu thức (2.18), (2.21), (2.20) và
0
1
1
j
w
t
a
a
vào (2.19)
và biến đổi:
t
a
a
w
ta
w
t
w
ata
wpp
aaaa
2
12
2
121221
2
0
0
0
2
2
3
1
0
1
1
2
12
1
2
2
12
1
0
1
1
12
0
1
1
1
2
12
1
2
0
1
11
21
2
0
3
)1(
221
4
)1(
2
3
)1(
13
3
j
w
a
w
w
aa
w
jw
a
pp
w
a
w
aa
j
w
aa
w
a
a
a
a
a
aa
a
a
.
21
)1()1(
2
4
1
3
)1()1(3)1(
2
3
)1(3
)1(
3
)1()1(3
21
)1(
2
4
)1(
2
3
13
)1(
3
12
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
112211
2
1
1
2
2
2
0
1
0
1
11
2
112
12
0
1
1
0
1
1
1
1
2
12
0
1
1111
1
2
2
2
0
a
pp
jj
a
j
w
w
a
j
www
a
pp
jw
w
a
w
j
ww
a
a
a
aaa
a
aaaa
(2.20)
