Sóng âm và ứng dụng trong địa chấn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THU HƯƠNG
SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG
ĐỊA CHẤN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THU HƯƠNG
SÓNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG TRONG
ĐỊA CHẤN
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
THÁI NGUYÊN, 2014
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Mở đầu 2
1 Cơ sở vật lý của sóng âm 4
1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Hiện tượng Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tần số Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Súng bắn tốc độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Siêu âm Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Các sóng AM và FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Nguyên lý phát và thu sóng AM . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Nguyên lý phát và thu sóng FM . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Các sóng siêu âm và hạ âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Sóng siêu âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Sóng hạ âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Phương trình sóng âm. Sóng âm điều hòa. Địa chấn khúc xạ 14
2.1 Các định luật và phương trình sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Các ký hiệu toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Các ký hiệu cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law) . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law) . . . . 15
2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation) . . . . . . . . . . 16
2.3 Sóng âm điều hoà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Sóng điều hoà một chiều trong môi trường đồng nhất . . . 16
2.3.2 Sóng hai chiều trong môi trường đồng nhất . . . . . . . . . 17
2
2.3.3 Sóng ba chiều trong môi trường đồng nhất . . . . . . . . . 17
2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Vận tốc pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Vận tốc nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Năng lượng của quá trình truyền sóng âm . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Mật độ năng lượng của sóng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.2 Véctơ mật độ năng thông (mật độ dòng năng lượng ) . . . 21
2.6 Truyền sóng phẳng trong hai nửa không gian . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách . . . . . . . . . . 21
2.6.2 Sóng tới xiên góc với bề mặt phân cách. Định luật Snell
(Snell’s Law) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.3 Hệ số phản xạ của vận tốc hạt . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Phương pháp địa chấn khúc xạ nghiên cứu môi trường địa tầng . 28
2.7.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7.2 Môi trường hai lớp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.3 Môi trường ba lớp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng 33
3.1 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm suy rộng . . . . . . . . . 33
3.1.2 Các không gian hàm cơ bản D và S . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Không gian hàm suy rộng D

và S

. . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.4 Đạo hàm của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thông thường . . . . . . . . . 36
3.2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . 37
3.3 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng và ứng dụng . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy đối với toán tử sóng 38
3.3.3 Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . 39
4 Phương pháp sai phân giải các phương trình sóng 41
4.1 Phép tính gần đúng sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Các thuật toán số cho phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận 53
Tài liệu tham khảo 54
3
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn
Văn Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình hoàn thành luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường
Đại học Khoa học, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân
đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế, nên bản luận văn
chắc không tránh khỏi những khiếm khuyết. Kính mong nhận được ý kiến
đóng góp của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được
hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 08 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Thu Hương
1
MỞ ĐẦU
Âm học là một nhánh của vật lý học, nghiên cứu về sự lan truyền của
sóng âm thanh trong các môi trường khác nhau và sự tác động qua lại của
chúng với môi trường vật chất.
Âm thanh phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như tiếng nói của người,
tiếng động vật kêu, tiếng trống tiếng đàn phát ra từ các nhạc cụ v.v Nói
chung, âm thanh được phát ra khi có sự va chạm giữa các vật. Trong thực
tế, âm thanh được tạo ra từ nhiều cách khác nhau. Trong không gian rộng
mở sóng âm thanh truyền đi tự do theo mọi hướng. Trong không gian hạn
hẹp hay bị vật cản, sóng âm thanh sẽ bị phản hồi và sẽ giao thoa với các
sóng khác, tạo nên giao thoa sóng.
Sóng âm được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật và y học. Người
ta sử dụng sóng âm để tìm vị trí của các dị tật trong một khối nào đó,
vị trí của các mỏ trong lòng đất. Sóng âm khi bị một vật cản sẽ bị phản
xạ, sóng phản xạ cho biết vị trí của các vật bên trong một khối hay trong

lòng Quả Đất. Các sóng hạ âm và siêu âm được ứng dụng nhiều trong y
học và kỹ thuật cao.
Âm học đóng vai trò quan trọng trong hệ thống thông tin viễn thông,
như radio, tivi, điện thoại, máy tính, v.v Một trong những ứng dụng
quan trọng của âm học là phương pháp địa chấn khúc xạ để nghiên cứu
bên trong lòng Quả Đất.
Các hiện tượng âm được mô tả bởi phương trình toán học
∂
2
P
∂t
2
− c
2
∆P = f, (1)
trong đó P = P (x, t), x = (x
1
, x
2
, , x
n
) biểu thị áp suất trong môi trường
do sóng âm gây ra, c là vận tốc truyền âm của môi trường. Phương trình
(1) là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của vật lý toán.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học tập sâu thêm về các hiện
tượng âm và những ứng dụng của chúng trong địa chấn,tìm hiểu các phương
pháp toán học hữu hiệu giải phương trình sóng âm.
Bố cục của luận văn gồm Mở đầu, bốn chương nội dung, Kết luận và
Tài liệu tham khảo.
Chương 1 : Cơ sở vật lý của sóng âm

Chương này trình bày cơ sở vật lý của sóng âm, bao gồm các khái niệm
về âm học, các đặc trưng vật lý của sóng âm, hiệu ứng Doppler và ứng
dụng. Nguyên lý phát và thu sóng AM và FM. Các sóng siêu âm và hạ âm
v.v
Chương 2 : Phương trình sóng âm. Sóng âm điều hòa. Địa chấn
khúc xạ
Chương này trình bày Định luật Hooke, Định luật hai Newton và thành
lập phương trình sóng âm trên cơ sở hai định luật trên đây. Xét phương
trình sóng âm điều hòa, các định luật về sóng khúc xạ và phản xạ, vận
tốc pha, vận tốc nhóm, năng lượng sóng v.v Các ứng dụng của sóng âm
trong địa chấn học.
Chương 3 : Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng
Chương này trình bày bài toán Cauchy cho phương trình sóng âm. Đã
tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng và biến đổi tích phân Fourier trình bày
nghiệm suy rộng và nghiệm cổ điển tường minh của bài toán Cauchy đối
với phương trình sóng với các số chiều n = 1, 2 và 3.
Chương 4 : Phương pháp sai phân giải các phương trình sóng
Chương này trình bày phương pháp sai phân hữu hạn giải gần đúng bài
toán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng một chiều trên khoảng
hữu hạn.
3
Chương 1
Cơ sở vật lý của sóng âm
Chương này trình bày những cơ sở vật lý của các hiện tượng âm và những
ứng dụng thường nhật của các hiện tượng âm. Nội dung của chương này
được hình thành từ nhiều tài liệu khác nhau, đặc biệt là tài liệu [2].
1.1 Khái niệm
1.1.1 Định nghĩa
Sóng âm là sóng áp suất trong môi trường vật chất(sóng cơ học) dao
động nén-giãn theo phương truyền sóng (sóng dọc). Tai người chỉ cảm

nhận được những sóng âm có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz. Sóng có tần
số dưới 16 Hz gọi là sóng hạ âm (ví dụ, sóng địa chấn, các sóng sinh học,
v.v ). Sóng có tần số cao hơn 20 000 Hz gọi là sóng siêu âm. Tai người
nghe thính với các âm có tần số từ 1000 Hz đến 5 000 Hz.
1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng
Khoảng thời gian ngắn nhất để thực hiện một dao động(động toàn phần)
gọi là chu kỳ (period) và được hiệu là T, đơn vị của chu kỳ là giây (s). Số
lần dao động thực hiện trong một giây gọi là tần số (frequency) và ký hiệu
là f. Đơn vị của chu kỳ là hec (Hz). Như vậy :
f =
1
T
. (1.1)
Tần số góc (angular frequency) (rad/s):
ω = 2πf =
2π
T
. (1.2)
4
Khoảng cách giữa hai điểm gần nhất của môi trường dao động đồng pha
trên một phương truyền sóng gọi là bước sóng (wavelength). Bước sóng
ký hiệu là λ và có đơn vị là mét (m). Nếu c là vận tốc của sóng (vận tốc
truyền pha dao động: wave propagation velocity) thì
λ = cT =
c
f
. (1.3)
• Vận tốc của sóng âm trong dây kim loại hoặc lò xo:
c =


F
D
,

F lực căng (N),
D khối lượng của một đơn vị dài(kg/m).
• Vận tốc của sóng âm trong chất lưu:
c ≈
331, 3
√
273
√
τ, τ nhiệt độ tuyệt đối (K
o
),
• Vận tốc trung bình của sóng âm trong một số chất:
c
thép
≈ 4980m/s, c
nước
≈ 1450m/s c
không khí
≈ 332m/s
Độ rời cực đại của phần tử dao động so với vị trí cân bằng gọi là biên
độ (biên độ sóng). Biên độ sóng ký hiệu là A (Amplitute), có đơn vị là
mét (m).
Năng lượng của sóng không định cứ tại một chỗ, nó luôn được truyền từ
chỗ này đến chỗ khác. Do đó người ta đưa ra khái niệm " cường độ âm" là
lượng năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích vuông góc với véctơ vận
tốc sóng trong một đơn vị thời gian. Như vậy, cường độ âm có thứ nguyên

là oát/mét vuông. Dòng năng lượng của sóng được cho bởi công thức
I =
1
2
ρω
2
A
2
c = 2ρπ
2
f
2
A
2
c. (1.4)
• Tiếng nói thì thầm: I ≈ 10
−6
w/m
2
.
• Tiếng còi ô tô: I ≈ 10
−3
w/m
2
.
• Tiếng còi báo động: I ≈ 1w/m
2
.
• Nếu f = 50Hz, thì I
ngưỡng nghe

≈ 10
−7
w/m
2
.
• Nếu f = 1000Hz, thì I
ngưỡng nghe
≈ 10
−12
w/m
2
.
Mức cường độ âm tại một điểm là đại lượng vật lý được xác định theo
công thức
L = lg
I
I
o
,

I
0
= 10
−12
w/m
2
cường độ âm chuẩn,
I −cường độ âm tại điểm được xét.
(1.5)
5

Đơn vị của mức cường độ âm là ben (B). Thông thường người ta đo mức
cường độ âm là dexiben (dB): 1B=10 dB.
• Tiếng nói thì thầm: L ≈ 20dB.
• Tiếng chân người đi: L ≈ 48dB.
• Tiếng nói to: L ≈ 80dB.
Sóng âm có mức cường độ âm càng cao thì nghe càng rõ. Khi mức cường
độ của một âm lớn đến mức nào đó sẽ gây ra cảm giác đau trong tai. Độ
to của một âm nằm trong phạm vi từ ngưỡng nghe đến ngưỡng đau.
1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng
1.2.1 Hiện tượng Doppler
Khi chúng ta di chuyển, hoặc khi nguồn phát ra âm thanh di chuyển,
chúng ta chúng ta sẽ nghe thấy sự thay đổi âm thanh (cao, thấp) truyền
đến tai. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler. Hiện tượng vật lý
này được đặt theo tên của nhà vật lý người Áo, Christian Andreas (Johann)
Doppler, là người đã phát hiện ra hiện tượng trên.
Doppler cho rằng, nếu tiếng động đi đến gần bạn, thì có thể là do nguồn
phát ra nó tiến lại gần bạn, hoặc bạn đi về phía phát ra âm thanh, thì
cường độ của nó có vẻ như tăng lên hơn cường độ thật sự của nó. Ngược
lại, khi nguồn phát ra âm thanh đi ra xa, hoặc bạn đi ra xa nguồn âm, thì
âm thanh mà bạn nghe được có vẻ như có cường độ của thật nó.
Hiện tượng Doppler xảy ra do khoảng cách đến nguồn âm thay đổi và
độ dài ngắn của thời gian nghe âm thanh. Nếu bạn nghe một sóng âm có
tần số không đổi trong khoảng thời gian ngắn hoặc dài, thì bạn sẽ có cảm
giác âm thanh đó có tần số, cao thấp khác nhau.
Biểu diễn toán học của hiệu ứng Doppler
Đối với sóng chuyển động trong môi trường, như sóng âm, nguồn sóng và
người quan sát đều có thể chuyển động tương đối so với môi trường. Hiệu
ứng Doppler lúc đó là sự tổng hợp của hai hiệu ứng riêng rẽ gây ra bởi hai
chuyển động này.
Công thức biểu thị giữa tần số thật của sóng âm và tần số cuả âm do

6
người quan sát cảm nhận được như sau:
f =

c + v
r
c + v
s

f
o
, (1.6)
trong đó,
f
o
là tần số thật của sóng âm,
f là tần số của âm mà tai người quan sát cảm nhận được,
c là vận tốc lan truyền của sóng trong môi trường,
v
r
là vận tốc tương đối của người quan sát đối với môi trường, nhận
giá trị dương, nếu người quan sát tiến lại nguồn âm,
v
s
là vận tốc tương đối của nguồn âm đối với môi trường, nhận giá
trị dương nếu nguồn dịch chuyển ra xa người quan sát.
Nếu người quan sát đứng yên, thì công thức trên đây sẽ có dạng
f =

1

1 +
v
s
c

f
o
. (1.7)
Tương tự, khi nguồn đứng yên, ta có công thức
f =

1 +
v
r
c

f
o
. (1.8)
1.2.2 Tần số Doppler
Hiệu số giữa sóng tới và sóng phản xạ được gọi là tần số Doppler. Tần
số Doppler được cho bởi công thức
∆f = |F
r
− F
i
| = 2F
i
|cos θ|
v

c
, (1.9)
trong đó
F
r
là tần số sóng phản xạ.
F
i
là tần số sóng tới.
c là vận tốc truyền sóng trong môi trường.
v là vận tốc của vật chuyển động.
θ là góc được tạo bởi chùm tia siêu âm và phương chuyển động của vật.
1.2.3 Súng bắn tốc độ
Sử dụng cơ chế radar và hiệu ứng Doppler, phát ra một bước sóng radio
(tia hồng ngoại) có tần số f
i
, rồi thu nhận tần số sóng radio f
r
phản xạ
ngược trở lại từ phương tiện giao thông đang di chuyển với vận tốc v.
7
Từ các tần số f
r
, f
i
là các khoảng cách thu được súng laser đến phương
tiện giao thông, máy sẽ tính được vận tốc thực v của phương tiện giao
thông cần quan tâm.
Súng bắn tốc độ sử dụng tia laser đo thời gian kể từ lúc phát ra tia
sáng hồng ngoại đến khi tia sáng tiếp xúc với xe và phản hồi lại.

Để tính toán khoảng cách, hệ thống laser sẽ phát đi liên tục những
tia laser hồng ngoại trong một khoảng thời gian ngắn để có các khoảng
cách khác nhau. Bằng cách so sánh những khoảng cách thu được này, hệ
thống laser có thể tính toán chính xác tốc độ thực của xe.
Những hệ thống sử dụng tia laser này có thể ghi nhận hàng trăm
khoảng cách khác nhau chỉ trong khoảng thời gian nửa giây.
1.2.4 Siêu âm Doppler
Siêu âm Doppler là phương pháp ứng dụng hiệu ứng Doppler. Người
ta phát sóng siêu âm tới bộ phận cần khảo sát và thu hồi sóng phản xạ.
Từ sự khác biệt tần số tới và tần số phản hồi ta sẽ có các thiết bị xử lý và
hiển thị lên màn ảnh. Ảnh này cho biết chức năng hoạt động của các cơ
quan ra sao ?
Về mặt kỹ thuật, người ta quan tâm tới hai vấn đề:
Một là, phân tích sóng phản hồi để tính tần số Doppler, nhờ đó tính
toán khảo sát được sự chuyển động của vật cần khảo sát.
Hai là, hiển thị lên màn ảnh sự phân bố của các chuyển động đó.
Khi đánh giá tín hiệu phản hồi của dòng chảy, các vận tốc của dòng chảy
hướng về phía đầu dò được mã màu đỏ trên Doppler màu,còn các vận tốc
của dòng chảy hướng ra xa đầu dò sẽ được mã màu xanh.
Siêu âm Doppler được ứng dụng trong khá nhiều hợp, như:
• Khảo sát các mạch máu.
• Xem xét tình hình phát triển của thai nhi.
• Khảo sát bệnh lý của gan, thận
8
1.3 Các sóng AM và FM
1.3.1 Nguyên lý phát và thu sóng AM
• Tín hiệu âm tần.
Tín hiệu âm tần là tín hiệu của sóng âm thanh sau khi được đổi thành
tín hiệu điện thông qua Micro. Sóng âm thanh là một dạng của sóng cơ học
truyền trong không gian, khi sóng âm thanh va chạm vào màng Micro, làm

cho màng Micro rung lên, cuộn dây gắn với màng Micro được đặt trong
từ trường của nam châm sẽ dao động. Tại hai đầu cuộn dây ta thu đươc
một điện áp cảm ứng. Đó chính là tín hiệu âm tần.
Tín hiệu âm tần có dải tần từ 20Hz đến 20KHz và không có khả năng
bức xạ thành sóng điện từ để truyền trong không gian đi xa. Do đó để có
tín hiệu âm tần đi xa hàng trăm, hàng ngàn km, người ta phải đưa tín
hiệu âm tần vào sóng cao tần, gọi là sóng mang. Sau đó cho sóng mang
bức xạ thành sóng điện từ truyền đi xa với vận tốc ánh sáng.
• Tín hiệu cao tần và sóng điện từ.
Tín hiệu cao tần là các tín hiệu có tần số trên 30KHz. Tín hiệu cao
tần có tính chất bức xạ thành sóng điện từ. Sóng điện từ là sóng truyền
trong không gian với vận tốc ánh sáng, có tần số từ 30KHz đến hàng ngàn
MHz. Con người đã sử dụng sóng điện từ trong các lĩnh vực thông tin,
như truyền thanh, truyền hình, trong đó Radio là lĩnh vực truyền thanh
chiếm dải tần 30KHz đến 16MHz với các sóng điều chế AM, và từ 76MHz
đến 130MHz với các sóng điều chế FM.
• Quá trình điều chế AM (Amplitude Modulation).
Điều chế (biến điệu) AM là quá trình điều chế tín hiệu tần số thấp (như
tín hiệu âm tần, tín hiệu video) vào tín hiệu cao tần theo phương thức
biến đổi biên độ của tín hiệu cao tần theo dạng hình sin của tín hiệu âm
tần. Tín hiệu cao tần với biên độ âm tần thu được, được gọi là sóng mang.
• Phát và thu sóng AM.
Tín hiệu sau khi được điều chế thành sóng mang được khuếch đại lên
công suất hàng ngàn Wat sau đó được truyền ra Anten phát. Sóng AM
phát ra từ Anten được truyền đi trong không gian với vận tốc ánh sáng,
có thể truyền đi xa hàng ngàn km theo đường thẳng và cũng có tính chất
9
phản xạ, khúc xạ như ánh sáng.
Đối với các đài phát ở xa cách chúng ta nửa vòng Trái Đất, như đài
BBC, phát đi từ Anh Quốc, sóng điện từ truyền theo đường thẳng, gặp

tầng điện ly chúng phản xạ xuống Trái Đất rồi lại phản xạ ngược lên nhiều
lần mới đến được máy thu, vì vậy tín hiệu ở máy thu thường rất yếu và
không ổn định. Đặc điểm của sóng AM là dễ bị can nhiễu, dải tần âm
thanh bị cắt xén do đặc điểm của mạch tách sóng điều biên, do đó chất
lượng âm thanh bị hạn chế.
1.3.2 Nguyên lý phát và thu sóng FM
• Mạch điều chế FM.
FM là chữ viết tắt của Frequency Modulation ( điều chế tần số, hay
biến điệu tần số). Điều chế tần số là phương thức làm thay đổi tần số của
tín hiệu cao tần theo biên độ của tín hiệu âm tần, khoảng tần số biến đổi
là 150KHz. Sóng FM là sóng cực ngắn đối với tín hiệu Radio và thường
được phát ở dải tần từ 76MHz đến 108MHz.
Với mạch điều chế tần số, thì sóng mang có biên độ không đổi, nhưng
có tần số thay đổi theo biên độ của tín hiệu âm tần. Khi biên độ của tín
hiệu âm tần tăng thì tần số cao tần tăng, khi biên độ âm tần giảm thì tần
số của tín hiệu cao tần giảm. Như vậy sóng mang FM có tần số tăng, giảm
theo tín hiệu âm tần và giới hạn tăng giảm thường vào khoảng 300KHz.
Thí dụ, Đài Tiếng nói Việt Nam phát trên sóng FM 100MHz thì nó
truyền đi một dải tần từ 99,85 MHz đến 100, 15 MHz.
• Quá trình phát sóng FM.
Quá trình phát sóng FM tương tự như quá trình phát sóng AM, sóng
mang sau khi điều chế cũng được khuếch đại rồi đưa ra Anten để phát xạ
truyền đi xa.
• Đặc điểm của sóng FM.
Sóng FM có nhiều ưu điểm về mặt tần số, dải tần âm thanh sau khi
tách sóng điều tần có chất lượng tốt, cho âm thanh trung thực và có thể
truyền âm thanh theo Stereo. Sóng FM ít bị can nhiễu hơn so với sóng
AM.
Nhược điểm của sóng FM là cự ly truyền sóng ngắn, chỉ vào khoảng vài
10

chục đến vài trăm km, do đó sóng FM thường được sử dụng làm sóng phát
thanh trên các đài địa phương.
1.4 Các sóng siêu âm và hạ âm
1.4.1 Sóng siêu âm
Siêu âm là âm thanh có tần số cao hơn tần số tối đa mà tai người nghe
thấy được. Tần số tối đa này tùy vào từng người, nhưng thông thường nó
vào cỡ 20 000 Hz. Ngược lại với siêu âm, các âm thanh có tần số thấp hơn
ngưỡng nghe được bởi tai người là hạ âm (thường vào khoảng 20 HZ).
Sóng siêu âm có thể lan truyền trong nhiều môi trường ( tương tự như
môi trường lan truyền của âm thanh )như không khí, các chất lỏng, chất
khí và chất rắn với tốc độ gần bằng tốc độ của âm thanh. Do cùng tốc độ
lan truyền, trong khi tần số cao hơn, bước sóng của siêu âm ngắn hơn rất
nhiều của âm thanh.
Nhờ bước sóng ngắn, độ phân giải của ảnh chụp siêu âm thường đủ để
phân biệt các vật thể ở kích thước cỡ centimet, hoặc milimet. Do đó sóng
siêu âm được ứng dụng trong chẩn đoán hình ảnh y khoa (siêu âm y khoa),
hoặc chụp ảnh bên trong các cấu trúc cơ khí trong kiểm tra không phá
hủy. Nhờ khả năng không bị nhận biết bởi con người, sóng siêu âm còn
được dùng trong các ứng dụng quan trọng khác, như đo khoảng cách hay
vận tốc, làm sạch siêu âm, hàn siêu âm, v.v Sóng siêu âm ứng dụng trong
siêu chẩn đoán thuộc loại sóng ngang.
Siêu âm có thể được tạo ra từ một số loài hoa, hay từ dao động của tinh
thể áp điện. Nhiều loài động vật có thể tạo ra, hoặc cảm nhận được siêu
âm, chẳng hạn như Dơi là loài có thị giác kém phát triển, nhưng lại tạo
ra và cảm nhận được siêu âm để xác định các vật thể xung quanh trong
không gian.
1.4.2 Sóng hạ âm
•Khái niệm về sóng hạ âm và nguồn gốc phát sinh.
Sóng hạ âm là sóng âm có tần số rất thấp, dưới 20 Hz, tai người không
nghe thấy được. Nguồn phát sinh ra sóng hạ âm có thể là do tự nhiên và

11
do nhân tạo. Nguồn phát ra hạ âm tự nhiên là do mưa to gió lớn, tiếng
sấm sét, ánh chớp, mưa thiên thạch, núi lửa v.v Tần số của những sóng
hạ âm này thường dưới 0,1 Hz.
Sóng hạ âm do con người gây ra là máy bay bay qua, xe chạy với tốc
độ cao, phóng tên lửa, thử bom nguyên tử, v.v Tần số của những sóng
hạ âm này vào khoảng 1-5 Hz.
Bản thân con người cũng sinh ra sóng hạ âm, chẳng hạn như tiếng hít
thở gây ra sóng hạ âm có tần số khoản 0.25-0,30 Hz, nhịp tim đập gây ra
sóng hạ âm với tần số khoảng 1,2 Hz.
•Đặc điểm của sóng hạ âm .
Một đặc điểm quan trọng của sóng hạ âm là trong quá trình lan
truyền chúng ít bị suy giảm, khó bị không khí và nước hấp thụ. Sóng hạ
âm có bước sóng dài hàng trăm, thậm chí hàng nghìn mét. Theo nguyên
lý nhiễu xạ sóng, các sóng hạ âm rất dễ chạy vòng qua các vật cản. Sóng
hạ âm thâm nhập vào tất cả các công trình kiến trúc, tàu ngầm v.v
•Ảnh hưởng của sóng hạ âm tới sức khỏe con người.
Sóng hạ âm là một loại sóng âm, so với âm thanh bình thường nó rung
động chậm hơn khá nhiều, mỗi giây rung chưa đến 20 lần. Do nó rung động
quá chậm nên tai người không nghe thấy. Tuy không nghe thấy nhưng đối
với cơ thể con người sóng hạ âm rất có hại vì tổ chức và lục phủ ngũ tạng
trong thân thể người vô cùng nhạy bén với sóng hạ âm, hấp thụ rất dễ
dàng năng lượng chấn động của sóng hạ âm để rồi rung động mãnh liệt
lên.
Năm 1948 một tàu chở hàng của Hà Lan khi đi vào eo biển Malaca của
Malaysia, toàn thể thủy thủ đoàn khỏe mạnh và một con chó ở trên tàu
đã đột ngột chết. Vụ án li kỳ này đã làm xôn xao dư luận thời bấy giờ.
Mấy chục năm đã trôi qua, công tác điều tra về vụ án trên không có một
chút tiến triển nào. Mãi đến gần đây vụ án này mới có một số manh mối,
hung thủ tìm thấy được chính là sóng hạ âm.

Dưới sự kích thích không ngừng của sóng hạ âm bên ngoài, tim người
hấp thụ năng lượng cúa sóng hạ âm này, bị cộng hưởng để rồi rung động
dữ dội, mạch máu bị vỡ rồi chết.
Trong sinh hoạt hàng ngày người ta thường bị ảnh hưởng của những
12
rung động bên ngoài, như chịu ảnh hưởng của sự lúc lắc khi ngồi trong xe,
sự rung động của các động cơ, tiếng ồn v.v Khi mà những rung động đó
phù hợp với những sóng hạ âm do con người phát ra thì nó ảnh hưởng tới
con người càng cao. Nó có thể làm cho con người bị say xe, say tàu, nôn
mửa. Tình hình cũng xảy ra tương tự đối với con người khi trong phòng
tàu vũ trụ.
• Giảm thiểu tác động của sóng hạ âm .
Trong thiết kế ô tô, tàu thuyền, máy bay,nhất là tàu vũ trụ, đều phải
tính toán kỹ lưỡng và dùng những biện pháp hiệu quả để giảm hoặc tiêu
trừ rung động. Ngoài ra, khống chế nghiêm ngặt tiếng ồn trong môi trường
cũng là biện pháp quan trọng để giảm thiểu sự nguy hại của sóng hạ âm
đối với con người.
13
Chương 2
Phương trình sóng âm. Sóng âm
điều hòa. Địa chấn khúc xạ
Chương này trình bày về cách thiết lập phương trình sóng âm, sóng âm
điều hòa, hiện tượng khúc xạ, phản xạ và ứng dụng của sóng âm.Nội dung
của chương này được hình thành dựa trên các tài liệu [3] và [4].
2.1 Các định luật và phương trình sóng âm
2.1.1 Các ký hiệu toán học
Ký hiệu : R
n
là không gian Euclid n chiều (n=1, 2, 3),
r = r

M
là bán kính véc tơ của điểm M(x, y, z) trong R
n
:
r = ix ∈ R, r = ix + jy ∈ R
2
, r = ix + jy + kz ∈ R
3
,
trong đó i, j, k là véc tơ đơn vị của các trục tọa độ
u = (u
1
, u
2
, u
3
) = (u, v, w) là véc tơ hàm.
Gradient của một hàm khả vi (vô hướng):
∇ =

∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z

, ∇φ = gradφ =


∂φ
∂x
,
∂φ
∂y
,
∂φ
∂z

.
Divergence:
divu = ∇.u =
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
.
Laplacien
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂

2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
,
∆φ = ∇
2
φ = div(gradφ) =
∂
2
φ
∂x
2
+
∂
2
φ
∂y
2
+
∂
2
φ
∂z
2
.

14
Xoáy (Whirl)
rotu = ∇ × u =







i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u v w







.
Một đồng nhất thức
∇.(∇ ×u) = 0. (2.1)
2.1.2 Các ký hiệu cơ học
Ký hiệu P(r

M
, t) là ứng suất, áp suất (trong chất lưu)tại điểm M của
R
n
ở thời điểm t. Đơn vị của ứng suất là N/m
2
, hay P a (Paxcan). Xét
điểm M(x, y, z) ∈ R
3
thuộc đối tượng nghiên cứu ở thời điểm t. Dưới sự
tác dụng của các lực, ở trạng thái cân bằng điểm M sẽ dịch chuyển (rất
nhỏ) đến điểm M

(x

, y

, z

). Véc tơ
−→
u
M
=
−−−→
MM

được gọi là véc tơ chuyển
vị của điểm M : u
M

= u(x, y, z; t). Ta có hệ thức:
r
M

= r
M
+ u
M
.
2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law)
P = −γ(x, y, z)∇.u + S(x, y, z; t), (2.2)
trong đó
P = P (x, y, z; t) là ứng suất tại điểm (x, y, z) ở thời điểm t,
u là véc tơ chuyển vị của điểm (x, y, z) ở thời điểm t,
γ là hệ số trọng tải (bulk modulus)đối với điểm (x, y, x) của môi
trường và có đơn vị của ứng suất,
S(x, y, z, t) là số hạng đặc trưng cho nguồn trong môi trường, không
phụ thuộc vào chuyển vị.
2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law)
Trên cơ sở của Định luật hai Newton có thể nhận được phương trình
sau đây:
∇P = −ρ(x, y, z)
∂
2
u
∂t
2
, (2.3)
15
trong đó ρ(x, y, z) là khối lượng riêng tại điểm (x, y, z). Đại lượng

∂
2
u
∂t
2
là
véc tơ gia tốc hạt vật chất (particle acceleration vector).
2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation)
Sử dụng các định luật Hooke và Newton nêu trên, ta có phương trình
sau đây, gọi là phương trình sóng áp suất âm:
∆P − c
−2
∂
2
P
∂t
2
= F, (2.4)
trong đó
c =

γ(x, y, z)
ρ(x, y, z)
là vận tốc truyền sóng của môi trường,
F = −
∂
2
S(x,y,z;t)
∂t
2

γ(x, y, z)
là đại lượng đặc trưng cho nguồn trong vật.
Khi không có nguồn bên trong môi trường ta có phương trình
∆P − c
−2
∂
2
P
∂t
2
= 0, (2.5)
được gọi là phương trình thuần nhất của sóng âm
2.3 Sóng âm điều hoà
2.3.1 Sóng điều hoà một chiều trong môi trường đồng nhất
Sóng điều hoà một chiều với biên độ không đổi được tìm ở dạng
P (x, t) = A
o
e
i(kx−ωt)
, (2.6)
trong đó A
o
và k là các hằng số chưa biết.
Đưa (2.6) vào vế trái của (2.5), ta được
(k
2
− (
ω
c
)

2
)A
o
e
i(kx−ωt)
= 0,
từ đây suy ra : k
2
=

ω
c

2
, k = ±
ω
c
.
Dễ thấy rằng : k =
2π
λ
, trong đó λ là bước sóng.
Chú ý rằng
ω =
2π
T
, c =

γ
ρ

=
λ
T
.
16
Hàm φ = (kx −ωt) được gọi là hàm pha.
Khi x −
tω
k
= const thì φ = const, P (x, t) = const, nghĩa là sóng nhận
giá trị không đổi dọc theo đường đặc trưng.
2.3.2 Sóng hai chiều trong môi trường đồng nhất
Xét hàm số
P (x, z, t) = A
o
e
i(k.r−ωt)
, (2.7)
trong đó k = (k
x
, k
z
), r = (x, z). Đặt (2.7) vào phương trình sóng thuần
nhất tương ứng, ta được
k
2
x
+ k
2
z

−

ω
c

2
= 0. (2.8)
Ta vẫn có
λ =
2π
k
, k =

k
2
x
+ k
2
z
.
Các số sóng có thể là
k
x
=
αω
c
, k
z
=
βω

c
, α
2
+ β
2
= 1.
2.3.3 Sóng ba chiều trong môi trường đồng nhất
Xét hàm số
P (x, y, z, t) = A
o
e
i(k.r−ωt)
, (2.9)
trong đó k = (k
x
, k
y
, k
z
), r = (x, y, z). Đặt (2.9) vào phương trình sóng
thuần nhất tương ứng, ta được
k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z

−

ω
c

2
= 0. (2.10)
Ta vẫn có
λ =
2π
k
, k =

k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z
.
Các số sóng có thể là
k
x
=
αω
c
, k

y
=
βω
c
, k
z
=
γω
c
, α
2
+ β
2
+ γ
2
= 1.
17
2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm
2.4.1 Vận tốc pha
• Khái niệm. Vận tốc pha là vận tốc dịch chuyển của điểm có pha dao
động không đổi trong không gian theo hướng cho trước, thường được xem
trùng với hướng của véc tơ sóng.
Khái niệm vận tốc pha chỉ được sử dụng khi mô tả sóng điều hòa, hay
còn gọi là sóng đơn sắc (sóng có một tần số duy nhất, tức là sóng có dạng
cos φ, sin φ, e
iφ
) và những sóng có hình dạng tương tự.
• Công thức. Chúng ta biết rằng, đối với các sóng điều hòa với vận tốc
truyền sóng c
P (x, y, z, t) = A

o
e
i(k.x−ωt)
thì có hệ thức
c =
ω
k
, k =

k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z
,
trong đó k được gọi là số sóng.Công thức trên đây chính là công thức của
vận tốc pha sau đây
v
p
=
ω
k
, ω = v
p
k (2.11)
được trực tiếp suy ra từ công thức pha của sóng phẳng trong không gian

một chiều φ = kx − ωt, hoặc φ = k.x −ωt trong không gian lớn hơn một
chiều.
• Vận tốc pha của sóng De Broglie. Sóng De Broglie là sóng được
sinh ra do các hạt chuyển động với vận tốc cao. Khi đó vận tốc pha được
tính theo công thức
v
p
=
dx
dt
=
E
p
=
c
2
u
,
trong dó x- tọa độ, t- thời gian, E- năng lượng, u - vận tốc hạt, c - vận
tốc ánh sáng trong chân không.
• Vận tốc pha trong một số chất.
- Vận tốc pha của sóng trong chất rắn đàn hồi đẳng hướng
v =

G
ρ
,
18
trong đó G là modun trượt, còn ρ là mật độ của môi trường.
- Vận tốc của sóng dọc trong một thanh mỏng

v =

E
ρ
,
trong đó E là suất Young, liên quan đến ứng suất pháp σ =
F
S
theo công
thức
σ = E
∆l
l
.
- Vận tốc sóng ngang trên sợi dây căng mảnh có mật độ ρ, sức căng F và
tiết diện S
v =

F
ρS
.
• Vận tốc pha có thể vượt quá vận tôc ánh sáng trong chân không
- Vận tốc pha trong nhiều trường hợp có thể vượt quá vận tốc ánh sáng
trong chân không. Điều này không hề trái với định luật về sự giới hạn của
vận tốc ánh sáng. Bản chất của vấn đề ở chỗ định luật tương đối chỉ ra giới
hạn vận tốc lan truyền của các vật có khả năng truyền đi thông tin. Vận
tốc pha không phải là vận tốc của các vật có khả năng truyền đi thông tin
như vậy. Sóng đơn sắc tuyệt đối truyền đi với vận tốc vô hạn theo không
gian, thời gian và không thể truyền thômg tin.
- Dễ thấy rằng vận tốc sóng De Broglie luôn lớn hơn vận tốc ánh sáng

trong chân không. Thật vậy
v
p
=
c
2
u
> c ⇔ c > u.
Nhưng điều này không cản trở việc các gói sóng De Broglie có vận tốc lan
truyền nhỏ hơn vận tốc ánh sáng. Trong các giới hạn truyền thống thì các
hạt luôn luôn chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng.
- Vận tốc pha (theo phương bất kỳ không trùng với véctơ sóng và phương
lan truyền sóng) không là vận tốc chuyển động của các đối tượng vật lý,
tức là các đối tượng mà trạng thái trong các khoảnh khắc thời gian tiếp
theo được quy định bởi trạng thái ở thời điểm trước điểm trước đó, mà
theo bản chất vận tốc pha chỉ đặc trưng cho một trạng thái của trường
19
dao động trong những điểm được lựa chọn. Do đó, vận tốc pha của sóng
bất kỳ có thể vượt quá vận tốc ánh sáng.
2.4.2 Vận tốc nhóm
• Để mô tả sóng không điều hòa, đặc biệt là các chùm sóng, ngoài khái
niệm vận tốc pha, người ta còn sử dụng khái niệm vận tốc nhóm để mô tả
chuyển động không phải của những ngọn sóng riêng biệt, mà là của một
nhóm sóng, hay bó sóng( các sóng điều hòa có tần số gần bằng nhau).
• Vận tốc nhóm. Vận tốc nhóm là sự mở rộng của vận tốc pha và được
xác định theo công thức :
v
g
=
dω

dk
, dω = v
p
dk. (2.12)
• Nếu tần số góc là tuyến tính đối với số sóng, thì vận tốc pha và vận tốc
nhóm trùng nhau. Hàm ω(k) biểu thị sự biến đổi của tần số góc theo số
sóng k được gọi là mối quan hệ của sự tán sắc ánh sáng. Sự tán sắc ánh
sáng được biểu thị bởi sự phụ thuộc của vận tốc nhóm vào bước sóng.
2.5 Năng lượng của quá trình truyền sóng âm
2.5.1 Mật độ năng lượng của sóng đàn hồi
Mật độ năng lượng sóng (gọi tắt là năng lượng sóng)là tổng năng lượng
của các phần tử vật chất trong một đơn vị thể tích của môi trường có sóng
truyền qua. Năng lượng của dao động do sóng tạo nên bao gồm động năng
chuyển động của các hạt và thế năng biến dạng của chúng. Với sóng áp
suất P (r, t), chuyển vị u, thì mật độ năng lượng sóng sẽ là
w =
1
2
ρ|˙u|
2
+
1
2
P
2
c
2
. (2.13)
Số hạng thứ nhất trong (2.13) biểu thị động năng của các hạt dao động,
còn số hạng thứ hai thì biểu thị thế năng tương tác đàn hồi giữa chúng (w có

thứ nguyên là j/m
3
] = kg/ms
2
.) Đối với sóng phẳng điều hoà, trên kia ta
đã thấy ρc =
P
˙u
. Do đó, trong trường hợp này công thức (2.13) có dạng
w = ρ|˙u|
2
. (2.14)
20
2.5.2 Véctơ mật độ năng thông (mật độ dòng năng lượng )
Quá trình sóng là quá trình truyền năng lượng.Vận tốc truyền năng
lượng là vận tốc dịch chuyển của mặt sóng có năng lượng không đổi. Với
sóng hình sin thì vận tốc đó bằng vận tốc pha v
p
. Ký hiệu Φ là năng thông
của sóng qua mặt S, được xác định theo công thức
dΦ = wv
p
.ds (2.15)
Đại lượng U = wv
p
được gọi là véctơ mật độ năng thông. Vậy năng thông
qua một diện tích S hữu hạn là
Φ =

S

U.ds. (2.16)
2.6 Truyền sóng phẳng trong hai nửa không gian
2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách
Xét sóng phẳng điều hoà được truyền trong hai nửa không gian: z
+
(z >
0), z
−
(z < 0), là hai môi trường đồng nhất khác nhau, phân cách nhau bởi
mặt phẳng z = 0. Sóng tới (Incident wave) được truyền theo phương của
trục Oz thẳng góc với bề mặt phân cách, tạo nên sóng phản xạ (Reflected
wave) và sóng khúc xạ (Transmited wave). Trong các nửa không gian z
±
tương ứng có các sóng
P
+
(z) = e
ikz
+ R
p
e
−ikz
, tổng hợp của sóng tới và sóng phản xạ,
(2.17)
P
−
(z) = T
p
e
ikz

, (2.18)
trong đó R
p
, T
p
tương ứng là hệ số phản xạ và hệ số hấp thụ.
• Định luật về tính liên tục của áp suất và vận tốc hạt vật chất trên bề
mặt phân cách.
P
+
(z = 0) = P
−
(z = 0) : (2.19)
[e
ikz
+ R
p
e
−ikz
]
z=0
= [T
p
e
ik

z
]
z=0
, ⇒ 1 + R

p
= T
p
. (2.20)
• Định luật về tính liên tục của vận tốc hạt vật chất của môi trường:
[1/ρ∂P
+
/∂z]
z=0
= [1/ρ

∂P
−
/∂z]
z=0
: (2.21)
⇒
k
ρ
(1 −R
p
) =
k

ρ

T
p
, (2.22)
21