skkn hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán hình học không gian

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Mã số:







SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11
GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN





Người thực hiện: LÊ THANH HÀ
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: 
Phương pháp giáo dục 

Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác


Năm học: 2013 - 2014



Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC


I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: LÊ THANH HÀ
2. Ngày tháng năm sinh: 13/02/1962
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 59/92 Phan Đình Phùng phường Quang Vinh, Biên Hòa - Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0919817453
6. E-mail:
7. Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán – Tin
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: tốt nghiệp ĐHSP Toán
- Năm nhận bằng: 1982

- Chuyên ngành đào tạo: ĐHSP Toán.

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 32 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 4
+ Năm học 2010 – 2011, thực hiện chuyên đề: “Sử dụng Miền Giá trị của Hàm
số để giải toán”.
+ Năm học 2011 - 2012, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh ôn tập bằng
cách thuyết trình”.
+ Năm học 2012 – 2013, thực chuyên đề: “Sử dụng Hàm số bậc hai và Dấu Tam
thức bậc hai để giải toán”.
+ Năm học 2013 – 2014, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”.




Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 3

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN


I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1/. Ở cấp Trung học cơ sở, học sinh đã được học hình học không gian thông qua
một số hình ảnh như : hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón, hình cầu,…và

mối quan hệ giữa các đối tượng: điểm, đường thẳng và mặt phẳng nhưng chỉ ở mức độ
làm quen với hình học không gian. Ở lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học
phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Nếu như trước đây ta
chỉ xét quan hệ giữa điểm và đường thẳng thì nay còn có thêm mối quan hệ giữa các đối
tượng đó và mặt phẳng – một đối tượng mới. Vì vậy, các mối quan hệ trở nên phức tạp
hơn nhiều. Trước đây, học sinh phần lớn chỉ mới biết các hình trong mặt phẳng. Mỗi
hình đó đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng và
có thể cả về kích thước bằng kích thước hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ như quan
hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song…giữa các đối tượng đều được biểu
diễn một cách trực quan. Nay, trong hình học không gian, hình vẽ là những hình phẳng
không thể phản ánh trung thành các quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ bằng
nhau…của các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn cho học sinh. Ngay từ tiết đầu tiên
giáo viên đã phải giúp học sinh làm quen dần với việc biểu diền này. Vẽ đúng, vẽ tốt
hình biểu diễn sẽ giúp học sinh tưởng tượng đúng hình dung đúng hình thực của chúng
trong không gian, nâng cao khả năng tưởng tượng không gian của học sinh.
2/. Bên cạnh việc vẽ hình không gian nếu được giáo viên hướng dẫn cẩn thận
phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản thường gặp thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu
kiến thức và trên cơ sở đó các em sẽ tự mình làm được các dạng bài tương tự khi được
cung cấp thêm các kiến thức về quan hệ song song, quan hệ vuông góc ở học kỳ II lớp
11. Trong phạm vi chuyên đề này tôi tập trung vào một số dạng toán mà trong quá trình
giảng dạy bản thân cho là cơ bản nhất khi học sinh bắt đầu làm quen với hình học không
gian đó là các dạng toán thường gặp về đường thẳng và mặt phẳng, phần hướng dẫn
học sinh giải các bài toán về quan hệ song song và quan hệ vuông góc tôi sẽ trình bày ở
chuyên đề sau.

II. NỘI DUNG:
1/. Cơ sở lý luận:
a/ Các tính chất thừa nhận:
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi
điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm
chung khác nữa.
b/ Điều kiện xác định mặt phẳng: Trong phần đầu của hình học không gian học
sinh được học ba điều kiện để xác định mặt phẳng:
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 4

k
S
I
D
O
B
C
A
J
- Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng
hàng.
- Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một
đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt
nhau.
2/. Nội dung thực hiện:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (


) và (

)
Phương pháp :  Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (

) và (

)
 Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm
Chú ý : Để tìm điểm chung của (

) và (

) ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần
lượt nằm trong hai mặt phẳng, giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm
chung của hai mặt phẳng
Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng (

) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song
và điểm
()S


.
a. Xác định giao tuyến của
)(SAC
và (SBD)
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
Giải

a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
Ta có : S

(SAC)

(SBD)
Trong (

), gọi O = AC

BD
 O

AC mà AC

(SAC)

O

(SAC)
 O

BD mà BD

(SBD)

O

(SBD)
 O


(SAC)

(SBD)
Vậy : SO = (SAC)

(SBD)
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
Ta có: S

(SAC)

(SBD)
Trong (

) , AB không song song với CD. Gọi I = AB

CD
 I

AB mà AB

(SAB)

I

(SAB)
 I

CD mà CD


(SCD)

I

(SCD)
 I

(SAB)

(SCD)
Vậy : SI = (SAB)

(SCD)
Nhận xét: Khi mới là bài tập hình học không gian học sinh rất lúng túng khi vẽ hinh,
giáo viên cần phải hướng dẫn cho các em cách vẽ một số hình thường gặp để các em
làm quen dần
Ví dụ 2 :
Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng .Trên các đoạn thẳng AB,
AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao
tuyến của ( BCD) và ( MNP)
Giải
 P

BD mà BD

( BCD)

P


( BCD)
 P

( MNP)
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 5

C
B
E
N
D
P
M
A
L
A
B
J
C
K
O
I
S
 P

( BCD)

( MNP)

Trong mp (ABC) , gọi E = MN

BC  E

BC mà BC

( BCD)

E

( BCD)
 E

MN mà MN

( MNP)

E

( MNP)

 E

( BCD)

( MNP)
Vậy : PE = ( BCD)

( MNP)

Ví dụ 3 :
Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp(ABC ) , một điểm I thuộc đoạn SA .
Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K.
Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau :
a. mp ( I,a) và mp (SAC )
b. mp ( I,a) và mp (SAB )
c. mp ( I,a) và mp (SBC )
Giải
a. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAC ) :
Ta có:


I

SA mà SA

(SAC )

I

(SAC )


I

( I,a)

 I

( I,a)

(SAC )
Trong (ABC ), a không song song với AC .
Gọi O = a

AC


O

AC mà AC

(SAC )

O

(SAC )



O

( I,a)
 O

( I,a)


(SAC )
Vậy : IO = ( I,a)

(SAC )
b. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI
c. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SBC )
Ta có : K

( I,a)

(SBC )
Trong mp (SAC) , gọi L = IO

SC


L

SC mà SC

(SBC )

L

(SBC )


L

IO mà IO


( I,a)

L

( I,a )
 L

( I,a)

(SBC )
Vậy: KL = ( I,a)

(SBC )


Ví dụ 4: Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mặt phẳng
a. Chứng minh AB và CD chéo nhau
b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho đường thẳng
MN cắt đường thẳng BD tại I. Hỏi điểm I thuộc những mặt phẳng nào. Xác định giao
tuyến của mp (CMN) và( BCD)

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 6

M
I
C
B

D
N
A
F
a
P
E
B
C
N
M
A
A
'
S
Giải
a. Chứng minh AB và CD chéo nhau : Giả sử AB và CD không chéo nhau
Do đó có mp (

) chứa AB và CD
 A ,B ,C , D nằm trong mp (

) mâu thuẫn với giả thiết
Vậy : AB và CD chéo nhau
b. Điểm I thuộc những mặt phẳng :


I

MN mà MN


(ABD )

I

(ABD )


I

MN mà MN

(CMN )

I

(CMN )


I

BD mà BD

(BCD )

I

(BCD )
Vậy: (CMN)


( BCD) = CI



Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nằm trong mp( P) và một đường thẳng a nằm trong mp( P),
a không song song với AB và AC. S là một điểm ở ngoài mp( P) và A’ là một điểm
thuộc SA .Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
a. mp (A’,a) và (SAB)
b. mp (A’,a) và (SAC)
c. mp (A’,a) và (SBC)
Giải
a. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB)


A’

SA mà SA

( SAB)

A’

( SAB)

A’

( A’,a)
 A’

( A’,a)


(SAB )
Trong ( P) , ta có a không song song với AB
Gọi E = a

AB


E

AB mà AB

(SAB )

E

(SAB )


E

( A’,a)
 E

( A’,a)

(SAB )
Vậy: A’E = ( A’,a)

(SAB )

b. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)


A’

SA mà SA

( SAC)

A’

( SAC)


A’

( A’,a)
 A’

( A’,a)

(SAC )
Trong ( P) , ta có a không song song với AC. Gọi F = a

AC


F

AC mà AC


(SAC )

F

(SAC )


E

( A’,a)
 F

( A’,a)

(SAC )
Vậy: A’F = ( A’,a)

(SAC )
c. Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC)
Trong (SAB ) , gọi M = SB

A’E


M

SB mà SB

( SBC)


M

( SBC)


M

A’E mà A’E

( A’,a)

M

( A’,a)
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 7

B
C
E
D
F
N
M
Q
P
A
 M


( A’,a)

(SBC )
Trong (SAC ) , gọi N = SC

A’F


N

SC mà SC

( SBC)

N

( SBC)


N

A’F mà A’F

( A’,a)

N

( A’,a)
 N


( A’,a)

(SBC )
Vậy: MN = ( A’,a)

(SBC )


Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm
bên trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
a. (AMN) và (BCD)
b. (DMN) và (ABC )
Giải
a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD)
Trong (ABD ) , gọi E = AM

BD


E

AM mà AM

( AMN)

E

( AMN)


E

BD mà BD

( BCD)

E

( BCD)
 E

( AMN)

(BCD )
Trong (ACD ) , gọi F = AN

CD


F

AN mà AN

( AMN)

F

( AMN)


F

CD mà CD

( BCD)

F

( BCD)
 F

( AMN)

(BCD )
Vậy: EF = ( AMN)

(BCD )
b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC)
Trong (ABD ) , gọi P = DM

AB


P

DM mà DM

( DMN)


P

(DMN )


P

AB mà AB

( ABC)

P

(ABC)
 P

( DMN)

(ABC )
Trong (ACD) , gọi Q = DN

AC


Q

DN mà DN

( DMN)


Q

( DMN)


Q

AC mà AC

( ABC)

Q

( ABCA)
 Q

( DMN)

(ABC )
Vậy: PQ = ( DMN)

(ABC )




Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (

)
Phương pháp :  Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (


)
 Giao điểm của a và b là giao của đường thẳng a và mặt phẳng (

)
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp () và mp ()  a. Cần chọn
mp() chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp() và mp() dễ xác định và giao
tuyến không song song với đường thẳng a

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 8

Ví dụ 1: Trong mp () cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc () . Trên cạnh
AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao
cho MN không song song với AB .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ()

Giải

a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )


Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP  MN. Ta có:
 E  SP mà SP  (SPC)  E (SPC)
 E  MN
Vậy : E = MN  (SPC )
Cách 2 : - Chọn mp phụ (SAB)  MN .
- Tìm ( SAB)  (SPC ) = SP

- Trong (SAB), gọi E = MN  SP
 E  MN
 E  SP mà SP  (SPC)
Vậy : E = MN  (SPC )


b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (

)

Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB. Gọi D = AB  MN
Vì D  AB mà AB  ()  D ()  D  MN
Vậy: D = MN  ()
Cách 2 : Chọn mp phụ (SAB)  MN. Ta có ( SAB)  () = AB
Trong (SAB) , MN không song song với AB. Gọi D = MN  AB
 D  AB mà AB  ()  D ()
 D  MN
Vậy : D = MN  ()


Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn SC
lấy một điểm M không trùng với S và C .Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (ABM )
Giải
 Chọn mp phụ (SBD)  SD
 Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM )
 Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM )
 Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM )
A
M

D
B
P
E
C
N
S


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 9

M
A
D
O
C
B
S
K
N
Trong (ABCD ) , gọi O = AC  BD
Trong (SAC ) , gọi K = AM  SO
 K SO mà SO  (SBD)  K ( SBD)
 K AM mà AM  (ABM )
 K ( ABM )
 K  ( SBD)  (ABM )
 ( SBD)  (ABM ) = BK
Trong (SBD) , gọi N = SD  BK N BK mà BK  (AMB)  N (ABM)

 N  SD
 N  BK (ABM )
Vậy : N = SD  (ABM)



Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB
lấy một điểm M , trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
- Chọn mp phụ (SAC)  AN
- Tìm giao tuyến của ( SAC) và (SBD) là SP Trong (ABCD) , gọi P = AC  BD  ( SAC)  (SBD) = SP
- Trong (SAC), gọi I = AN  SP
 I  AN
 I  SP mà SP  (SBD)  I  (SBD)
Vậy : I = AN  (SBD)





b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
- Chọn mp phụ (SMC)  MN
- Tìm giao tuyến của ( SMC ) và (SBD)
Trong (ABCD) , gọi Q = MC  BD  ( SAC)  (SBD) = SQ
- Trong (SMC), gọi J = MN  SQ
 J MN
 J  SQ mà SQ  (SBD)  J  (SBD)

Vậy: J = MN  (SBD)
Ví dụ 4: Cho một mặt phẳng () và một đường thẳng m cắt mặt phẳng () tại C. Trên
m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường
thẳng SA với mặt phẳng () là điểm A’. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB
và mặt phẳng () .
Q
A
C
P
D
N
I
B
M
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 10

A
B
S
m
C
B'
A'

E
E'

K
A
C
B
H
I
S
Giải
- Chọn mp phụ (SA’C)  SB
- Tìm giao tuyến của ( SA’C ) và ()
Ta có : ( SA’C )  () = A’C
- Trong (SA’C ), gọi B’ = SB  A’C
 B’ SB mà SB  (SA’C )  B’  (SA’C)
 B’  A’C mà A’C  ()  B’  ()
Vậy : B’= SB  ()



Ví dụ 5: Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần
lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao
điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK )
Giải
- Chọn mp phụ (ABC)  BC
- Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (IHK)
- Trong (SAC) ,có IK không song song với AC
Gọi E’ = AC  IK
 ( ABC )  ( IHK) = HE’

-Trong (ABC ), gọi E = BC  HE’
 E  BC mà BC  ( ABC)  E  ( ABC)
 E  HE’ mà HE’  ( IHK)  E  ( IHK)
Vậy: E = BC  ( IHK)


Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm
trên AC ( DE và AB không song song ) .
a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )

Giải
a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
Ta có : F  (ABC)  (DEF)
Trong (SAB) , AB không song song với DE.
Gọi M = AB  DE
 M  AB mà AB  (ABC)  M  (ABC)
 M  DE mà DE  (DEF)  M  (DEF)
 M  (ABC)  (DEF)
Vậy: FM là = (ABC)  (DEF)
N
M
F
E
K
D
C
B
A

S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 11

b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
- Chọn mp phụ (ABC)  BC
- Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (DEF). Ta có (ABC)  (DEF) = FM
-Trong (ABC), gọi N = FM  BC
 N BC
 N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF)
Vậy: N = BC  (DEF)
c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )
- Chọn mp phụ (SBC)  SC
- Tìm giao tuyến của ( SBC ) và (DEF). Ta có: E  ( SBC )  (DEF)
 N  BC mà BC  (SBC)  N  (SBC)
 N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF)
 N  ( SBC )  (DEF)
Vậy (SBC)  (DEF) = EN.
-Trong (SBC), gọi K = EN  SC
 K SC
 K  EN mà EN  (DEF)  K  (DEF)
Vậy: K = SC  (DEF)
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt
là các điểm trên SA, SB ,SD.
a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )
b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )
Giải
a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )

- Chọn mp phụ (SBD)  SO
- Tìm giao tuyến của ( SBD ) và (MNP).Ta có
 N  MN mà MN  (MNP)  N  (MNP)
 N  SB mà SB  (SBD)  N  (SBD)
 N  ( SBD ) và (MNP)
 P  MP mà MN  (MNP)  P  (MNP)
 P  SD mà SD  (SBD)  P  (SBD)
 P  ( SBD )  (MNP)  (MNP)  (SBD) = NP
Trong (SBD), gọi I = SO  NP
 I  SO
 I  NP mà NP  (MNP)  I  (MNP)
Vậy: I = SO  (MNP)


b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của ( SAC ) và (MNP)
Ta có  M  MN mà MN  (MNP)  M  (MNP)
 M  SA mà SA  (SAC)  M  (SAC)
I
Q
P
N
M
O
D
C
B
A
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 12

 M  ( SAC )  (MNP)
 I  MI mà MI  (MNP)  I  (MNP)
 I  SO mà SO  (SAC)  I  (SAC)
 I  ( SAC )  (MNP)
 ( SAC)  (SBD) = MI
Trong (SAC), gọi Q = SC  MI
 Q SC
 Q MI mà MI  (MNP)  Q  (MNP)
Vậy: Q = SC  (MNP)

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và BC; K là điểm trên
BD và không trùng với trung điểm BD .
a. Tìm giao điểm của CD và (MNK )
b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )
Giải
a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) :
- Chọn mp phụ (BCD)  SC
- Tìm giao tuyến của ( BCD ) và (MNK).Ta có
 N  (MNK)
 N  BC mà BC  (BCD)  N  (BCD)
 N  (BCD ) và (MNK)
 K  (MNK)
 K  BD mà BD  (BCD)  K  (BCD)
 K  (BCD ) và (MNK)
 (BCD)  (MNK) = NK

Trong (BCD), gọi I = CD  NK
 I CD
 I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK)
Vậy: I = CD  (MNK)
b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )
- Chọn mp phụ (ACD)  AD
- Tìm giao tuyến của (ACD ) và (MNK). Ta có:
 M  (MNK)
 M  AC mà AC  (ACD)  M  (ACD)
 M  (ACD )  (MNK)
 I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK)
 I  CD mà CD  (ACD)  I  (ACD)
 I  (ACD )  (MNK)
 (ACD)  (MNK) = MI
Trong (BCD), gọi J = AD  MI
 J AD
 J MI mà MI  (MNK)  J  (MNK)
Vậy: J = AD  (MNK)
J
I
B
D
C
N
K
M
A

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 13

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD. O là điểm bên trong
tam giác BCD.
Tìm giao điểm của :
a. MN và (ABO )
b. AO và (BMN )
Giải
a. Tìm giao điểm của MN và (ABO ):
- Chọn mp phụ (ACD)  MN
- Tìm giao tuyến của (ACD ) và (ABO)
Ta có : A  (ACD )  (ABO)
Trong (BCD), gọi P = BO  DC
 P BO mà BO  (ABO)  P  (ABO)
 P CD mà CD  (ACD)  P  (ACD)
 P  (ACD )  (ABO)
 (ACD)  (ABO) = AP
Trong (ACD), gọi Q = AP  MN
 Q MN
 Q AP mà AP  (ABO)  Q  (ABO).
Vậy: Q = MN  (ABO)
b. Tìm giao điểm của AO và (BMN ) :
- Chọn mp (ABP)  AO
- Tìm giao tuyến của (ABP ) và (BMN)
Ta có : B  (ABP ) và (BMN)
 Q  MN mà MN  (BMN)  Q  (BMN)
 Q  AP mà AP  (ABP)  Q  (ABP)
 Q  (ABP )  (BMN)
 (ABP)  (BMN) = BQ
Trong (ABP), gọi I = BQ  AO

 I AO
 I BQ mà BQ  (BMN)  I  (BMN)
Vậy: I = AO  (BMN)
Ví dụ 10: Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các
điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của :
a. IK và (SBD)
b. SD và (IJK )
c. SC và (IJK )
Giải
a. Tìm giao điểm của IK và (SBD)
- Chọn mp phụ (SAK)  IK
- Tìm giao tuyến của (SAK ) và (SBD).Ta có : S  (SAK )  (SBD)
Trong (ABCD), gọi P = AK  BD
 P  AK mà AK  (SAK)  P  (SAK)
P  BD mà BD  (SBD)  P  (SBD)
O
Q
P
N
M
I
C
D
B
A

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 14

 P  (SAK )  (SBD)
 (SAK)  (SBD) = SP
Trong (SAK), gọi Q = IK  SP
 Q  IK
 Q  SP mà SP  (SBD)  Q  (SBD)
Vậy: Q = IK  (SBD)



b. Tìm giao điểm của SD và (IJK ) :
- Chọn mp phụ (SBD)  SD
- Tìm giao tuyến của (SBD ) và (IJK).Ta có :
Q  (IJK )  (SBD)
Trong (ABCD), gọi M = JK  BD
 M  JK mà JK  ( IJK)  M  (IJK)
 M  BD mà BD  (SBD)  M  (SBD)
 M  (IJK )  (SBD)
 (IJK)  (SBD) = QM
Trong (SBD), gọi N = QM  SD
 N  SD
 N  QM mà QM  (IJK)  N  (IJK)
Vậy: N = SD  (IJK)
c. Tìm giao điểm của SC và (IJK ) :
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (IJK) . Ta có : I  (IJK )  (SAC)
Trong (ABCD), gọi E = AC  JK
 E  JK mà JK  ( IJK)  E  ( IJK)
 E  AC mà AC  (SAC)  E  (SAC)
 E  (IJK )  (SAC)
 ( IJK)  (SAC) = IE

Trong (SAC), gọi F = IE  SC
 F  SC
 F  IE mà IE  ( IJK)  F  ( IJK)
Vậy : F = SC  ( IJK )

Ví dụ 11: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không
song song với CD.Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )
b. Tìm giao điểm của BC với (OMN)
c. Tìm giao điểm của BD với (OMN)
Giải
a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ):
Ta có : O  (OMN )  (BCD )
N
F
M
Q
P
K
J
I
C
B
D
A
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 15

Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN  CD
 I  (OMN ) và (BCD )
Vậy : OI = (OMN )  (BCD )
b. Tìm giao điểm của BC với (OMN):
Trong (BCD), gọi P = BC  OI
Vậy : P = BC  ( OMN )
c.Tìm giao điểm của BD với (OMN):
Trong (BCD), gọi Q = BD  OI
Vậy : Q = BD  ( OMN )






Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác
SCD lấy điểm N
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)

Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :
- Chọn mp phụ (SMN)  MN
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
Ta có : S  (SAC )  (SMN)
Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC
Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC
 I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN)

 I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)
 I  (SMN )  (SAC)
 ( SMN)  (SAC) = SI
Trong (SMN), gọi O = MN  SI
 O  MN
 O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC)
Vậy : O = MN  ( SAC )
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN). Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO
- Trong (SAC), gọi E = AO  SC
 E  SC
 E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN)
Vậy : E = SC  ( AMN )
P
I
Q
O
M
D
N
C
B
A

M
N
B
C
N'

E
D
M'
I
O
A
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 16

Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp :  Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
 Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) , M và N lần
lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .
a. Xác định giao điểm I = AN  (SBD)
b. Xác định giao điểm J = MN  (SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng

Giải

a. Xác định giao điểm I = AN

(SBD )
- Chọn mp phụ (SAC)  AN
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)
 ( SAC)  (SBD) = SO

Trong (SAC), gọi I = AN  SO
 I  AN
 I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)
Vậy: I = AN  ( SBD)





b. Xác định giao điểm J = MN

(SBD)
- Chọn mp phụ (SMC)  MN
- Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
S là điểm chung của (SMC )  (SBD)
Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD
 ( SAC)  (SBD) = SE
Trong (SMC), gọi J = MN  SE
 J MN
 J SE mà SE  ( SBD)  J  ( SBD)
Vậy J = MN  ( SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta có : B  (ANB) và ( SBD)
 I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD)
 I  AN mà AN  (ANB)  I  (ANB)
 I  (ANB)  ( SBD)
 J  SE mà SE  ( SBD)  J ( SBD)
 J  MN mà MN  (ANB)  J  (ANB)
 J  (ANB)  ( SBD). Vậy : B , I , J thẳng hàng.
I

J
E
A
B
C
M
N
D
S
O

J
E
I
O
S
C
N
M
B
A
D

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 17

M
K
F

E
L
A
D
C
B
O
J
I
S
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD và S  (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD
cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .
a. Tìm giao điểm K = IJ  (SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ  (SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Giải
a. Tìm giao điểm K = IJ

(SAC)
- Chọn mp phụ (SIB)  IJ
- Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)
Ta có: S  (SIB )  (SAC)
Trong (ABCD) , gọi E = AC  BI
 (SIB)  ( SAC) = SE
Trong (SIB), gọi K = IJ  SE
 K IJ
 K SE mà SE  (SAC )  K  (SAC)
Vậy: K = IJ  ( SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ


(SAC)
- Chọn mp phụ (SBD)  DJ
- Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
Ta có: S  (SBD )  (SAC)
Trong (ABCD) , gọi F = AC  BD
 (SBD)  ( SAC) = SF
Trong (SBD), gọi L = DJ  SF
 L DJ
 L SF mà SF  (SAC )  L  (SAC)
Vậy : L = DJ  ( SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Ta có :A  (SAC)  ( AJO)
 K  IJ mà IJ  (AJO)  K (AJO)
 K  SE mà SE  (SAC )  K  (SAC )
 K  (SAC)  ( AJO)
 L  DJ mà DJ  (AJO)  L  (AJO)
 L  SF mà SF  (SAC )  L  (SAC )
 L  (SAC)  ( AJO)
 M  JO mà JO  (AJO)  M  (AJO)
 M  SC mà SC  (SAC )  M  (SAC )
 M  (SAC)  ( AJO). Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và
AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) và J = SC  ( LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 18

Giải











a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
Ta có : N  (LMN)  (ABC)
Trong (SAB) , LM không song song với AB
Gọi K = AB  LM
 K  LM mà LM  (LMN )  K  (LMN )
 K  AB mà AB  ( ABC)  K  ( ABC) b. Tìm giao điểm I = BC

( LMN)
- Chọn mp phụ (ABC)  BC
- Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
 (ABC)  ( LMN) = NK
Trong (ABC), gọi I = NK  BC
 I BC
 I NK mà NK  (LMN )  I  (LMN)
Vậy : I = BC  ( LMN)
b. Tìm giao điểm J = SC


( LMN)
Trong (SAC), LN không song song với SC, gọi J = LN  SC
 J SC
 J LN mà LN  (LMN )  J  (LMN)
Vậy : J = SC  ( LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Ta có : M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC)
Vậy : M , I , J thẳng hàng

Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD và S  (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
a. Tìm giao điểm I = BN  ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN  ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Giải
a. Tìm giao điểm I = BN

( SAC)
- Chọn mp phụ (SBD)  BN
- Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi O = AC  BD
 (SBD)  ( SAC) = SO
K
J
I
S
C
M
L
N
B

A

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 19

Trong (SBD), gọi I = BN  SO
 I BN
 I SO mà SO  (SAC )  I  (SAC)
Vậy : I = BN  ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN

( SAC) :
- Chọn mp phụ (SMD)  MN
- Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi K = AC  DM
 (SMD)  ( SAC) = SK
Trong (SMD), gọi J = MN  SK
 J  MN
 J  SK mà SK  (SAC )  J  (SAC)
Vậy : J = MN  ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
Ta có : C , I , J  (BCN )  (SAC). Vậy : C , I , J thẳng hàng


Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng ( )
Chú ý : Khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng ( ) sẽ cắt những cạnh nào của
hình chóp để dễ xác định

Có hai cách thường dùng để tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (


)
Cách 1 : Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .Gọi M, N , I là ba điểm
lấy trên AD , CD , SO .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)

Giải Trong (ABCD), gọi :
J = BD  MN ,K = MN  AB, H = MN  BC
Trong (SBD), gọi Q = IJ  SB
Trong (SAB), gọi R = KQ  SA
Trong (SBC), gọi P = QH  SC
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR









Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD
và SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
R
H
S
A
O
J

N
M
D
C
B
Q
I
P
K

O
J
K
I
M
N
A
D
C
B
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 20

N
M
B
C

A
D
S
E
F
Q
P
R
Giải
Trong (ABCD) , gọi E = MN  DC; F = MN  BC
Trong (SCD) , gọi Q = EP  SD
Trong (SBC) , gọi R = FP  SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR





Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên
đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của
tứ diện với mp (HKM ). Xét 2 trường hợp :
a. M ở giữa C và D
b. M ở ngoài đoạn CD
Giải
a. M ở giữa C và D :
Ta có : HK , KM là các đoạn giao tuyến
của (HKM) với (ABC) và (BCD)
Trong (BCD), gọi L = KM  BD
Trong (ABD), gọi N = AD  HL
Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN

b. M ở ngoài đoạn CD:
Trong (BCD), gọi L = KM  BD
Vậy : thiết diện là tam giác HKL





Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, R lần lượt là trung điểm AD và DC, lấy
trên SD điểm E . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Giải
Trong (SCD), gọi Q = EN  SC
Trong (SAD), gọi P = EM  SA
Trong (ABCD), gọi F = MN  BC
Trong (SBC), gọi R = FQ  SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP




M
L
N
B
C
D
A
K

H

M
L
H
K
A
D
C
B

N
Q
F
R
E
B
C
D
M
P
A
S

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 21

Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ :

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử
AD và BC không song song .
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Giải
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :
Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC
Vậy : SI = (SAD)

( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Trong (SBC) , gọi J = MN  SI
Trong (SAD) , gọi K = SD  AJ
Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK









Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác
SCD lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Giải
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):

- Chọn mp phụ (SMN)  MN
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
Ta có : S  (SAC )  (SMN)
Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC
Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC
 I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN)
 I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)
 I  (SMN )  (SAC)
 ( SMN)  (SAC) = SI
Trong (SMN), gọi O = MN  SI
 O  MN
 O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC)
Vậy : O = MN  ( SAC )
K
N
M
A
B
I
S
D
C
J


M
N
B
C

N'
E
D
M'
I
O
A
S


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 22

b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
- Chọn mp phụ (SAC)  SC
- Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO
-Trong (SAC), gọi E = AO  SC
 E  SC
 E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN)
Vậy : E = SC  ( AMN )

c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:
Trong (SBC), gọi P = EM  SB
Trong (SCD), gọi Q = EN  SD
Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB,
SC. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)

Giải
Trong (ABCD), gọi O = AC  BD
Trong (SAC), gọi O’ = A’C’  SO
Trong (SBD), gọi D’ = B’O’  SD
Có hai trường hợp :
 Nếu D’ thuộc cạnh SD
thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’



 Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì
Gọi E = CD  C’D’
F = AD  A’D’
 thiết diện là tứ giác A’B’C’EF








CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, N, P theo thứ tự là trung
điểm của SA, BC, CD.
a/ Tìm giao điểm của AD và (MNP)
b/ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP)
C'
O'
C

D'
A'
B'
O
D
B
A
S

S
O'
B
A
C
D'
E
F
D
A'
B'
O
C'

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 23

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là
trung điểm của SB và SC.
a/ Tìm giao điểm của SD và (AMN)

b/ Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên
đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của
tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM).
Bài 4: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM = 2MA , NB
= 2SN và trên DC lấy trung điểm Q. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng
(MNQ)
Bài 5: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết
diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
Bài 6: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC. Gọi trung điểm SC là M ,
trên SB lấy điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt
bởi mặt phẳng (DMN).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD . M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung
điểm của AB và AD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE =
DF = a. Gọi M là trung điểm AB . Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF) và tính tỉ số
diện tích thiết diện với BCD
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp
cắt bởi mặt phẳng (BCN)

III. KẾT LUẬN:
Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi đã cố gắng hướng dẫn cẩn thận
phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản thường gặp về đường thẳng và mặt phẳng
cho học sinh lớp 11 khi các em bắt đầu học Hình học không gian và nhận thấy các em
đã dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn và trên cơ sở đó các em đã tự mình làm được các
dạng bài tương tự khi được cung cấp thêm các kiến thức về quan hệ song song, quan hệ
vuông góc ở học kỳ II lớp 11. Tuy nhiên trên đây tôi cũng chỉ mới đưa ra được một số
ví dụ áp dụng của phương pháp này, rất mong đươc sự góp ý của các thầy cô.

Người thực hiện

Lê Thanh Hà






Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 24


SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hoà, ngày 18 tháng 05 năm 2014

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học : 2013 - 2014
––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Họ và tên tác giả: Lê Thanh Hà Chức vụ: Tổ Trưởng tổ Toán tin
Đơn vị: Trường THPT Ngô Quyền – Đồng Nai.
Lĩnh vực:
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
1. Tính mới
- Đề ra giải pháp hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
2. Hiệu quả
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào
cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm
vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 
Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của
người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã

được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không
sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác
giả.

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN





XÁC NHẬN CỦA TỔ
CHUYÊN MÔN




THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG




Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 25


Lê Thanh Hà

Lê Văn Đắc Mai

Nguyễn Duy Phúc