một số bài ứng dụng khảo sát hàm số hay và lạ

HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975.120.189
học viên cao học TOÁN – GIẢI TÍCH K14 – ĐẠI HỌC QUY NHƠN.
Bài toán : Cho hàm số :
4 2
y x 4x m= − +
. Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phận biệt
đồng thời diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành có phần trên bằng
phần dưới.
- Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành :
4 2
x 4x m 0− + =
. (*)
- Đặt
2
t x 0= ≥
. Khi đó phương trình trở thành :
2
t 4t m 0− + =
. (**)
- Để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phận biệt
⇔
phương trình (**) có 2 nghiệm dương phân
biệt
' 4 m 0
S 4 0 0 m 4.
P m 0
∆ = − >


⇔ = > ⇔ < <



= >

- Gọi
( )
1 2 1 2
t , t 0 t t< <
là hai nghiệm của phương trình (**). Lúc đó phương trình (*) có bốn
nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là :
1 2 2 1 3 1 4 2
x t , x t , x t , x t .= − = − = =
- Do tính đối xứng của đồ thị nên yêu cầu bài toán
( ) ( )
3
4
3
x x
4 2 4 2
0 x
x 4x m dx x 4x m dx⇔ − + = − + −
∫ ∫
( )
5 3
4 4
4
4 2
4 4 4
4
4 2
4 4

x 4x
mx 0
5 3
x 3x 20x 15m 0
x 0 (loai)

3x 20x 15m 0
⇔ − + =
⇔ − + =
=

⇔

− + =

- Từ đó
4
x
là nghiệm của hệ phương trình :
( )
( )
4 2
4 4
4 2
4 4
x 4x m 0 1
3x 20x 15m 0 2

− + =



− + =


- Lấy
( ) ( )
2
4
3m
3. 1 2 x
2
− ⇒ =
. Thay vào (1) ta được :
2
m 0
9m
5m 0
20
4
m
9
=


− = ⇔

=

.
- Đối chiếu điều kiện ta chọn :

20
m
9
=
.
HẾT
Các đồng nghiệp tham khảo, có ý kiến nào hay xin đóng góp.