Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THÙY LINH
BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THÙY LINH
BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN
THÁI NGUYÊN, 2014
Mục lục
1 KHÔNG GIAN SOBOLEV 2
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Không gian W
l
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Không gian L
p
(Ω); (1 ≤ p ≤ +∞) . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Không gian W
l
p
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Không gian C
k,γ
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Vết của hàm số trên mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Không gian W
0,1
2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC TUYẾN
TÍNH CẤP HAI 7
2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) . . . . . . . . . . 8
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Bất đẳng thức cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không
gian W
1
2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không

gian W
2
2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Tính trơn nghiệm suy rộng của phương trình Eliptic tuyến tính
cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Kết luận 29
Tài liệu tham khảo 30
2
Công trình được hoàn thành tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN
Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014
Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Mở đầu
Dựa trên chương II của tài liệu tham khảo [1], luận văn nghiên cứu bài toán
biên của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, luận văn gồm có hai chương:
Chương I trình bày lý thuyết không gian Sobolev, phát biểu các định lý
Riesz, định lý Lax-Milgram, và định lý Fredholm. Nêu định nghĩa các không
gian L
p
(Ω), định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng và không gian W
l
p
(Ω). Phát biểu

định lý nhúng và vết của hàm số trên mặt cong (n − 1) chiều.
Chương II nghiên cứu nghiệm suy rộng của phương trình elliptic dạng bảo
toàn bao gồm định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh các bất đẳng thức cơ
bản thứ nhất, bất đẳng thức cơ bản thứ hai, tính giải được của bài toán biên
Dirichlet trong không gian W
1
2
(Ω); W
2
2
(Ω) và xét tính trơn nghiệm suy rộng của
phương trình elliptic tuyến tính cấp hai.
1
Chương 1
KHÔNG GIAN SOBOLEV
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Định lí 1.1. (Định lý Riesz) Với một phiếm hàm tuyến tính bị chặn F trong
không gian Hilbert H luôn tồn tại một phần tử xác định duy nhất f ∈ H sao cho
F (x) = (x, f) với mỗi x ∈ H và F  = f và đồng thời ta có:
(x, f) =
F (x)
F (f)
f
2
F  = sup
x=0
|(x, f)|
x
f
2

= (f, f ) = F (f)
Định lí 1.2. (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B là dạng song tuyến tính bức, bị
chặn trên không gian Hilbert, tức là
(i) ∃M > 0 : |B(x, y)| ≤ Mxy, ∀x, y ∈ H
(ii) ∃λ > 0 : B(x, x) ≥ λ||x||
2
, x ∈ H.
Khi đó, với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H
∗
, tồn tại duy nhất một
phần tử f ∈ H sao cho: B(x, f) = F (x) với mọi x ∈ H.
Định lí 1.3. (Định lý Fredholm) Giả sử H là không gian Hilbert và T là toán tử
compact từ H vào chính nó, T
∗
là toán tử liên hợp của T. Khi đó, tồn tại một
tập đếm được Λ ⊂ R không có điểm giới hạn trừ ra có thể λ = 0 sao cho
Nếu λ = 0, λ /∈ Λ phương trình
λx −T x = y, λx −T
∗
x = y (1.1)
2
có nghiệm xác định duy nhất x ∈ H với mọi y ∈ H và các toán tử ngược (λI −
T )
−1
, (λI −T
∗
)
−1
là bị chặn.
Nếu λ ∈ Λ, các không gian con không của ánh xạ λI −T, λI − Y

∗
có số chiều
dương và hữu hạn, còn phương trình (1.1) giải được nếu và chỉ nếu y trực giao
với không gian con không của λI − T
∗
trong trường hợp thứ nhất và của λI − T
trong trường hợp còn lại.
1.2 Không gian W
l
p
(Ω)
1.2.1 Không gian L
p
(Ω); (1 ≤ p ≤ +∞)
Giả sử Ω ⊂ R
n
là miền bị chặn.
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
L
p
(Ω) là không gian Banach cổ điển gồm các hàm u(x) đo được trên Ω và
||u(x)||
p
khả tích, tức là:


Ω
|u(x)|
p
dx < +∞. (1.2)
Chuẩn của L
p
(Ω) được định nghĩa bởi:
u
p
L
p
(Ω)
=

Ω
|u(x)|
p
dx, (1.3)
trong đó |u(x)| là giá trị tuyệt đối, hoặc mođun của hàm u(x)
Không gian L
2
(Ω) là Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
L
p
(Ω)
=

Ω

u(x)v(x)dx. (1.4)
1.2.2 Đạo hàm suy rộng
Giả sử C
∞
0
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hướng có giá suppu compact
trong Ω, trong đó
sup u = {x ∈ Ω, u(x) = 0}. (1.5)
Giả sử u(x) ∈ L
p
(Ω). Hàm số w(x) ∈ L
p
(Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy
rộng theo biến x
j
của hàm u(x), Kí hiệu là:
∂u(x)
∂x
j
= D
j
u = w(x). (1.6)
3
Nếu với mọi v(x) ∈ C
∞
0
(Ω) ta có:

Ω
w(x)v(x)dx = −


Ω
u(x)
∂v(x)
∂x
j
dx. (1.7)
Giả sử α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ N
n
là đa chỉ số với α
j
∈ N, |α| = α
1
+ α
2
+ . . . + α
n
và D
α
= D
α
1
1
D

α
2
2
. . . D
α
n
n
.
Giả sử u(x) ∈ L
p
(Ω). Hàm số w
α
(x) ∈ L
p
(Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy
rộng, kí hiệu là:
D
α
u = w
α
.
Nếu với mọi v(x) ∈ C
∞
0
(Ω) ta có

Ω
v(x)w
α
(x)dx = (−1)

|α|

Ω
u(x)
∂v(x)
∂x
j
dx. (1.8)
1.2.3 Không gian W
l
p
(Ω)
Ta định nghĩa không gian W
l
p
(Ω) là tất cả cá tập hợp trong L
p
(Ω) sao cho
mọi đạo hàm suy rộng của nó đều thuộc L
p
(Ω), tức là:
W
l
p
(Ω) = {u(x) ∈ L
p
(Ω); D
α
u ∈ L
p

(Ω), ∀α : |α| ≤ l}. (1.9)
Ta đưa vào W
l
p
(Ω) chuẩn sau:
u
p
W
l
2
(Ω)
=

Ω

|α|≤l
|D
α
u(x)|
p
dx. (1.10)
Không gian W
l
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)
W
l
2
(Ω)

=

Ω

|α|≤l
D
α
u(x)D
α
v(x)dx. (1.11)
1.2.4 Không gian C
k,γ
(Ω)
Không gian C
k
(Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k. Đây là không
gian Banach với chuẩn:
||u(x)||
C
k
(Ω)
= sup
Ω

|α|≤k
|D
α
u(x)|, (1.12)
4
với 0 ≤ α ≤ 1 ta xét nửa chuẩn

[u]
γ,Ω
= sup
Ω
|u(x) −u(y)|
|x −y|
α
. (1.13)
Không gian C
k,γ
(Ω) là tập hợp các hàm u(x) ∈ C
k
(Ω) sao cho [D
α
u]
λ,Ω
<
+∞, ∀|α| = k. Không gian C
k,γ
(Ω) là không gian Banach với chuẩn
||u(x)||
C
k,γ
(Ω)
= ||u(x)||
C
k
(Ω)
+


|α|≤k
[D
α
u]
γ,Ω
. (1.14)
1.3 Định lý nhúng
Định lí 1.4. Không gian W
l
m
(Ω) được nhúng compact
(i) vào trong các không gian L
mn/(n−lm)
(Ω) nếu lm < n và
(ii) vào trong C
k
(Ω) nếu 0 ≤ k < l −
n
m
.
Tức là ta có một phép nhúng:
W
l
m
(Ω) ⊂

L
nm/(n−lm)
(Ω), lm < n,
C

k
(Ω), 0 ≤ k < l −
n
m
.
(1.15)
Điều này có nghĩa rằng tồn tại C(Ω) > 0 sao cho với mọi u(x) ∈ W
l
m
(Ω) ta có:
u
p,Ω
≤ C(Ω)u
W
l
m
(Ω)
, (1.16)
với p =
mn
n −m
và
max
Ω
|u| ≤ c(Ω)u
W
l
m
(Ω)
. (1.17)

1.4 Vết của hàm số trên mặt cong
Giả sử lm < n. Khi đó, các hàm số u(x) ∈ W
l
m
(Ω) có vết trên mặt cong (n−1)
chiều Γ chứa trong Ω và thuộc không gian L
q
(Γ), tức là tồn tại c > 0 sao cho:
u
L
q
(Γ)
≤ cu
W
l
m
(Ω)
, ∀u ∈ W
l
m
(Ω), (1.18)
trong đó q =
m(n −1)
n −lm
.
5
1.5 Không gian W
0,1
2
(Ω)

Không gian W
0,l
2
(Ω) gồm các hàm u(x) ∈ W
l
p
(Ω) sao cho các đạo hàm suy rộng
đến cấp (l − 1) có vết trên ∂Ω.
Không gian Hilbert W
0,1
2
(Ω) có vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu bài toán
Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp hai. Giải sử Ω là miền bị chặn, tích
vô hướng trong không gian W
0,1
2
(Ω) được định nghĩa bởi công thức như trong
W
1
2
(Ω) như sau:
(u, v)
W
0,1
2
(Ω)
=

Ω
(uv + u

x
v
x
)dx. (1.19)
Trong không gian W
0,1
2
(Ω) có thể đưa vào một tích vô hướng mới như sau:
[u, v] =

Ω
u
x
v
x
dx. (1.20)
Thật vậy, ta có bất đẳng thức Poincase sau đây: tồn tại c
Ω
> 0 sao cho với
mọi u(x) ∈ W
0,1
2
(Ω) ta có:

Ω
u
2
dx ≤ c
Ω


Ω
u
2
x
dx. (1.21)
6
Chương 2
NGHIỆM SUY RỘNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC
TUYẾN TÍNH CẤP HAI
2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng
2.1.1 Bài toán Dirichlet
Trong một miền bị chặn Ω ∈ R
n
cho phương trình elliptic cấp hai
L(u) = k(x)  u +
n

i=1
∂k
∂x
i
∂u
∂x
i
− a(x)u = f(x) (2.1)
trong đó các hệ số k(x), a(x) thực và thỏa mãn điều kiện,
a(x) ∈ C(Ω), k(x) ∈ C
1
(Ω), k(x) ≥ k

0
> 0 ∀x ∈ Ω : u =
n

i=1
∂
2
u
∂x
2
i
,
số hạng tự do f(x) và hàm u(x) có thể coi là hàm số phức.
Phương trình (2.1) có thể được viết gọn lại như sau:
L(u) = (k(x)u) − a(x)u = f(x)
với u =

∂u
∂x
1
; . . . ;
∂u
∂x
n

.
Định nghĩa 2.1. Bài toán biên thứ nhất (hay bài toán Dirichlet) đối với phương
trình (2.1) là bài toán tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (2.1) và điều kiện
biên:
u|

∂Ω
= ϕ(x). (2.2)
7
2.1.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω)
Định nghĩa 2.2. Hàm u(x) ∈ W
1
2
(Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán
Dirichlet đối với phương trình (2.1) và f ∈ L
2
(Ω) nếu u(x) thỏa mãn đồng nhất
thức tích phân

Ω
(k(x)uv + auv) dx = −

Ω
fvdx, (2.3)
với mọi hàm v ∈ W
0,1
2
(Ω) và thỏa mãn điều kiện:
u|
∂Ω
= ϕ(x). (2.4)
Kí hiệu: u =


∂u
∂x
1
; . . . ;
∂u
∂x
n

Đẳng thức (2.4) được hiểu là u(x) − ϕ(x) ∈ W
0,1
2
(Ω).
Nhận xét. Khi định nghĩa hàm suy rộng, hàm v trong các đồng nhất thức (2.3)
đã được giả thiết là phức. Tuy nhiên cũng có thể coi là các hàm thực. Thật vậy,
xét trong (2.3) nếu hàm u(x) ∈ W
1
2
(Ω) thỏa mãn với mọi hàm thực v ∈ W
0,1
2
(Ω)
phức thì nó thỏa mãn với mọi hàm thực v ∈ W
0,1
2
(Ω). Ngược lại, nếu u(x) ∈ W
1
2
(Ω)
thỏa mãn (2.3) với mọi hàm thực v ∈ W
0,1

2
(Ω). Khi đó, đẳng thức xảy ra với mọi
hàm phức v = Rev + iImv, v ∈ W
0,1
2
(Ω) vì nó đã đúng với Rev và Imv.
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất.
Trong phần này và phần sau, ta sẽ nghiên cứu tính duy nhất nghiệm của bài
toán Dirichlet.
Lu ≡
∂
∂x
i
(a
ij
u
x
1
+ a
j
u) + b
i
u
x
i
+ au = f +
∂f
i
∂x
i

, (2.5)
với
u|
s
= 0. (2.6)
Trong không gian W
1
2
(Ω), ta sẽ giả sử các phương trình (2.5) là elliptic và các
hệ số của nó là các hàm bị chặn đo được
vξ
2
≤ a
ij
ξ
i
ξ
j
≤ µξ
2
, v, u = const > 0, a
ij
= a
ji
, (2.7)
và





n

i=1
a
2
i
,




n

i=1
b
2
i
≤ µ
1
,


i
(a
i
− b
i
)
2
≤ µ

2
, µ
3
≤ a(x) ≤ µ
4
. (2.8)
8
Các hàm f và f
i
tượng trưng cho số hạng tự do trong (2.5), sẽ giả sử là ma
trận vuông trong Ω.
f
2,Ω
< ∞, f
2,Ω
≡










n

i=1
f

2
i






2,Ω
< ∞, (2.9)
ta coi hàm u(x) ∈ W
1
2
(Ω) là một nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) của phương trình
(2.5) nếu nó thỏa mãn đồng nhất tích phân
L(u, η) ≡

Ω
(a
ij
u
x
i
η
x
j
+ a

i
uη
x
i
− b
i
u
x
i
η −auη)dx =

Ω
(−fη + f
i
n
x
i
)dx, (2.10)
với mọi η(x) ∈ C
∞
(Ω).
Dễ dàng nhận thấy rằng định nghĩa này có ý nghĩa cho tất cả các tích phân
xuất hiện trong (2.10) là hữu hạn. Đồng nhất thức (2.10) chính thức có được từ
đồng nhất thức:
−

Ω

Lu −f −
∂f

i
∂x
i

ηdx = 0, η ∈ C
∞
(Ω), (2.11)
nếu ta áp dụng công thức tích phân từng phần.
Ta xác định nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) của bài toán (2.5), (2.6) (hay
nghiệm suy rộng đơn giản), hàm u(x) trong W
0,1
2
(Ω) thỏa mãn(2.10) với η ∈
W
0,1
2
(Ω).
Ta csẽ đưa ra bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Ta xem xét phương trình bậc
hai dạng L(u, u). Do (2.7), (2.8) và bất đẳng thức Cauchy, với mọi ε
1
> 0, ta có:
L(u, u) =

Ω
(a
ij
u

x
i
u
x
j
+ (a
i
− b
i
)u
x
i
u −au
2
)dx
≥

Ω
(vu
2
x
− µ
4
u
2
)dx −µ
4
u ·u
x


≥ (v −ε
1
)u
x

2
−

µ
4
+
µ
2
2
4ε
1

u
2
, ∀ε
1
> 0 (2.12)
trong đó, u là chuẩn trong L
2
(Ω), và (u, v) là tích vô hướng trong L
2
(Ω). Nếu
ta cho ε
1
= v/2 trong (2.12), ta có:

L(u, v) ≥
v
2
u
x

2
−

µ
4
−
µ
2
2v

u
2
. (2.13)
9
Vế phải của (2.12) không nhỏ hơn [(v −ε
1
)c
−2
Ω
− µ
4
− µ
2
2

/(4ε
1
)]u
2
thực hiện
trên mọi ε
1
∈ (0, v], để
L(u, v) ≥ δ
1
u
2
, (2.14)
trong đó
δ
1
= max
0≤δ
1
≤1

(v −ε
1
)c
−2
Ω
− µ
4
−
µ

2
2
4ε
1

. (2.15)
Nếu ε
1
> 0, do (2.13) và (2.14), ta có thể thêm u
x

2
và điều kiện của L(u, u)
cụ thể là:
v
2
u
x

2
≤ L(u, u)

1 + δ
−1
1
max

0; µ
4
+

µ
2
2
2v

, (2.16)
hay
δ
2
u
x

2
≤ L(u, u), (2.17)
trong đó:
δ
2
=
v
2

1 + δ
−1
1
max

0; µ
4
+
µ

2
2
2v

−1
. (2.18)
Cho u(x) là là một nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) của (2.5), (2.6). Từ (2.10)
ta có bất đẳng thức
u(x).L(u, u) = −(f, u) + (f
i
, u
x
i
) ≤ f.u+ fu
x

≤ ε
2
u
2
+
1
4ε
1
f
2
+ ε

3
u
x

2
+
1
4ε
3
f, (2.19)
với mọi ε
2
, ε
3
> 0, cùng với (2.12) đẫn đến bất đẳng thức cơ bản thứ nhất, ta có:
(v −ε
1
− ε
3
)u
x

2
≤
1
4ε
2
f
2
+

1
4ε
3
f
2
+

µ
4
+
µ
2
2
4ε
1
+ ε
2

u
2
, (2.20)
với mọi ε
i
> 0, i = 1, 2, 3. Cho ε
1
+ ε
3
< v nó cung cấp thêm u
x
 vào điều kiện

của u, f và F . Đặc biệt, cho ε
1
= ε
3
= v/4
u
x

2
≤
1
2vε
2
f
2
+
2
v
2
f
2
 +
2
v

µ
4
+
µ
2

2
v
+ ε
2

u
2
, (2.21)
với mọi ε
2
.
δ
2
u
x

2
≤ L(u, u) ≤ (ε
2
c
2
Ω
ε
3
)u
x

2
+
1

4ε
2
f
2
+
1
4ε
3
f
2
. (2.22)
Đặt ε
3
= ε
2
c
2
Ω
= δ
2
/4, ta thu được
u
x

2
≤
2
δ
2
2

≤
2
δ
2
2
[c
2
Ω
f
2
+ f
2
]. (2.23)
10
Bất đẳng thức (2.23) được gọi là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất.
Từ đó, nếu f = F = 0, phương trình u(x) mới bằng không, và do đó, bài toán
(2.5), (2.6) không thể có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) bất kì khi
nào δ
1
> 0. Thực tế, nếu u

và u

là hai nghiệm suy rộng, nó suy ra tuyến tính
của bài toán (2.5), (2.6) mà hiệu u = u

− u


là nghiệm suy rộng của bài toán
với f = f = 0. Cho u ∈ W
0,1
2
(Ω) suy ra u

≡ u

. Do đó ta chứng minh được định
lý sau:
Định lí 2.1. Công thức (2.5), (2.6) không thể có nhiều hơn một nghiệm suy
rộng trong W
1
2
(Ω) nếu (2.7), (2.9) được thỏa mãn và nếu δ
1
> 0.
Điều kiện δ
1
> 0 sẽ thỏa mãn (2.5) với hệ số thỏa mãn bất đẳng thức (2.6),
(2.9) nếu hằng số c
Ω
là đủ nhỏ, hoặc nếu giới hạn trên µ
4
trong các hệ số a(x) là
số âm đủ lớn trong giá trị tuyệt đối. Điều kiện trên sẽ thỏa mãn đối với phương
trình:
Lu −λu = f +
∂f

i
∂x
i
,
nếu λ là số dương đủ lớn.
2.3 Bất đẳng thức cơ bản thứ hai
Trong phần này và phần sau, ta sẽ chỉ ra tất cả các nghiệm suy rộng trong
W
1
2
(Ω) của bài toán Dirichlet sẽ có trong W
2
2
(Ω). Giả sử các hệ số thỏa mãn (2.5),
(2.6), có các đạo hàm bị chặn ∂a
ij
/∂x
k
và ∂a
i
/∂x
i
trong Ω và nếu f, ∂f
i
/∂x
i
trong
L
2
(Ω), ta có:

u ≡
∂
∂x
i
(a
ij
u
x
i
) + a
i
u
x
i
+ au = f. (2.24)
Ta viết lại f trong vùng của f + ∂f
i
/∂x
i
và a
i
u
x
i
+ au trong vùng của
∂(a
i
u)/∂x
i
+ b

i
u
x
i
+ au. Do đó, giả sử (2.5), (2.6) thỏa mãn L của dạng (2.24) và




∂a
ij
∂x
k




≤ µ
5
, (2.25)
và
f < ∞. (2.26)
Giả sử có biên S ∈ C
2
là hai lần liên tục khả vi. Ta sẽ chỉ ra, khi những điều
kiện liên quan đến L và S được hoàn thành, sau đó các hàm u(x) tùy ý trong
C
2
(Ω) biến mất trên S thỏa mãn biểu thức:
u

xx

2
≤
2
v
2
Lu
2
+ c

u
(1)
2,Ω

2
, (2.27)
11
với hằng số c xác định bởi S và các hằng số trong (2.5), (2.6) và (2.24).
Đặc biệt, nếu L = ∆ trong miền lồi Ω, (2.24) được xác định bởi dạng
u
xx
 ≤ ∆u. (2.28)
Bất đẳng thức (2.27) và (2.28) thì đáng chú ý hơn. Nó chỉ ra rằng u =

n
i=1
∂
2
u/∂x

2
i
giới hạn từng đoạn nếu chuẩn được xác định để định chuẩn trong
L
2
(Ω), và mỗi hàm u(x) trong C
2
(
Ω) triệt tiêu trên S. Nếu ta xác định điểm
x
0
∈ Ω, khi đó |∂
2
u/∂x
2
i
| không thể bị chặn tại x
0
trong giới hạn của |∆u|. Nếu
(2.27) là đúng với mọi u ∈ C
2
(Ω) và u|
S
= 0, vì vậy, (2.27) là đúng vì đại số đóng
của tập hợp này trong chuẩn của W
0,2
2
(Ω) điều mà ta chỉ ra bởi W
0,2
2

(Ω). Thật
vậy, với mỗi u(x) ∈ W
0,2
2
(Ω) là một chuỗi {u
m
}, u
m
∈ C
2
(Ω), u
m
|
S
= 0, sẽ hội tụ
đến u(x) trong chuẩn của W
0,2
2
(Ω). Cho u
m
trong bất đẳng thức (2.27) cố định,
và c độc lập thuộc m. Nếu ta cho giới hạn m → ∞, ta thu được (2.27). Điều này
được gọi tắt là bao đóng của bất phương trình (2.27) trong chuẩn của W
0,2
2
(Ω)
Hiển nhiên từ (2.21), bất đẳng thức:
u
2
≤

1
2vε
Lu
2
+ c
ε
2
u
2
, (2.29)
thỏa mãn với mọi u(x) ∈ W
0,1
2
(Ω), trong đó c
ε
2
= (2/v)


µ
4
+ µ
2
2
/v + ε
2


và ∀ε
2

> 0,
khi đó u(x) là nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) của biểu thức Lu = f, u|
S
= 0 với
f(x) bằng lu(x) ∈ L
2
(Ω). Ta cộng thêm u
x

2
+ u
2
với cả hai vế của (2.27) và
trong vế phải của bất phương trình, ta thay thế u
x

2
bởi hàm trội của nó từ
(2.27) và sau đó giảm bớt giới hạn giống nhau. Khi đó ta lấy căn bậc hai của cả
hai vế của bất đẳng thức và áp dụng bất đẳng thức
√
a + b ≤
√
a +
√
b ở vế phải.
Cho ε = v(c + 1)/4, điều này sinh ra bất đẳng thức cơ bản thứ hai của toán tử

elliptic.
u
(2)
2,Ω
≤
2
v
Lu + c
2
u. (2.30)
Khi c
2
=

(c + 1)(c
1
+ 1) và c
1
= c
ε
2
cho ε
2
= v(c + 1)/4; Bất đẳng thức này
thỏa mãn với mọi u ∈ W
0,1
2
(Ω). Trong các trường hợp khi L(u, u) ≥ δ
1
u

2
, δ
1
=
conts > 0, số hạng cuối cùng u trong (2.30) có thể bị chặn trong giới hạn của
Lu và thay vào (2.30), ta có bất đẳng thức:
u
(2)
2,Ω
≤ c
3
Lu, (2.31)
trong đó c
3
= 2/v + c
2
/δ
1
. Thật vậy,
|L(u, u)| = |(Lu, u)| ≤ Luu,
12
do đó δ
1
u ≤ Lu suy ra từ việc ta giả sử và (2.30) kéo theo (2.31):
max
ε
1
∈(0,v]

(v −ε)c

−2
Ω
−

µ
4
+
µ
2
2
4ε
1

≡ δ
1
= 0. (2.32)
Trong tường hợp tổng quát, (2.31) cố định nếu và chỉ nếu λ = 0 không là
phổ của L. Cho nghiệm của (2.24) triệt tiêu trên S, trong các bất đẳng thức
(2.30) và (2.31) cho ra một nghiệm biên đầu tiên của u
(2)
2,Ω
trong giới hạn của
Lu = f và u.
Ta kiểm tra (2.27), cho u ∈ C
2
(Ω), u|
S
= 0. Ta xét tích phân

Ω

(Lu)
2
dx:

Ω
(u)
2
dx =

Ω
[(a
ij
u
x
i
u
x
j
)
2
+ 2a
ij
u
x
i
u
x
j

∂a

ij
∂x
i
u
x
j
+ a
i
x
x
i
+ au

+

∂a
ij
∂x
i
u
x
j
+ a
i
x
x
i
+ au

2

]
≥ (1 −ε)

Ω
(a
ij
u
x
i
u
x
j
)
2
dx +

1 −
1
ε


Ω

∂a
ij
∂x
i
u
x
j

+ a
i
u
x
i
+ au

2
dx
≥ (1 −ε)

Ω
(a
ij
u
x
i
u
x
j
)
2
dx + c
1

−1 +
1
ε



Ω
(u
2
x
+ u
2
)dx, (2.33)
với mọi ε ∈ (0, 1). Giá trị trung bình tích phân bậc hai

Ω
(a
ij
u
x
i
u
x
j
)
2
dx như sau:

Ω
a
ij
u
x
i
x
j

a
kl
u
x
k
x
l
dx =

Ω

a
ij
u
x
i
x
k
a
kl
u
x
j
x
l
−
∂
∂x
j
(a

ij
a
kl
)u
x
i
u
x
k
x
l
+
∂
∂x
k
(a
ij
a
kl
)u
x
i
u
x
j
x
l

dx +


S
I(s)ds
≥

Ω
I
1
(x)dx +

S
I(s)ds − c
2

Ω

ε
1
u
2
xx
u
x
j
x
l
+
1
ε
1
u

2
x

dx. (2.34)
với mọi ε ∈ (0, 1). Trong đó hằng số c
2
, cũng như c
1
, được xác định bởi các hằng
số trong điều kiện (2.7), (2.8), (2.25), và
I
1
(x) ≡ a
ij
(x)a
kl
(x)u
x
i
x
k
u
x
j
x
l
,
I(s) ≡ a
ij
a

kl
u
x
i

u
x
k
x
l
cos(n, x
i
) −u
x
j
x
l
cos(n, x
k
)



x∈s
.
Không khó để thấy
I
1
(x) ≥ v
2

u
2
xx
(x). (2.35)
13
Thực tế, ta gắn một điểm x
0
∈ Ω tùy ý và đưa vào tọa độ Đề Các mới trong
một số lân cận của x
0
, y
k
= a
kl
(x
l
− x
0
l
). Ta chọn một ma trận trực giao (a
kl
)
dạng a
ij
(x
0
)ξ
i
ξ
j

đến dạng chéo, nghĩa là, cho a
ij
(x
0
)a
ki
a
lj
= λ
k
(x
0
)δ
l
k
, trong đó
λ
k
(x), (k = 1, . . . , n) là giá trị riêng của dạng a
ij
(x)ξ
i
ξ
j
. Sau đó, sử dụng (2.5), ta
thu được:
I
1
(x
0

) =
n

s,t=1
λ
S
(x
0
)λ
t
(x
0
)u
2
y
x
v
t
(x
0
) ≥ v
2
u
2
yy
(x
0
),
nhưng u
2

yy
(x
0
) = u
2
xx
(x
0
), vì vậy (2.35) là hợp lệ.
Từ (2.33), (2.34) và (2.35) ta suy ra bất đẳng thức:

Ω
(Lu)
2
dx ≥ (1−ε)


v
2
u
xx

2
+

S
I(s)ds − c
2
ε
1

u
xx

2
−
c
2
ε
1
u
x

2


−c
1

1
ε
− 1

(u
(1)
2,Ω
)
2
suy ra:
(1−ε)(v
2

−ε
1
c
2
)

Ω
u
2
xx
dx ≤

Ω
(Lu)
2
dx−(1−ε)

S
Ids+

c
1

1
ε
− 1

+
c
2

ε
1
(1 −ε)

(u
(1)
2,Ω
)
2
(2.36)
Nếu ε =
1
7
và ε = v
2
/(8c
2
), (2.23) giả sử có dạng:
3v
2
4

Ω
u
2
xx
dx ≤

Ω
(Lu)

2
dx −
6
7

S
I(s)ds + c
3
(u
(1)
2,Ω
)
2
. (2.37)
Bất đẳng thức (2.37), vế phải có chứa tích phân trên S mà trong đó đã bao
gồm bất đẳng thức thứ hai của u(x). Tuy nhiên, nếu ta sử dụng điều kiện u|
S
= 0
trong khi đó I(s) giảm đến một dạng chỉ chứa đạo hàm bậc nhất của u(x). Để
chứng minh điều này, ta xét một điểm x
0
tùy ý của S và đưa vào một tọa độ
Đề Các y
1
, . . . , y
n
, k
k
= c
kl

(x
l
− x
0
l
) vào lân cận của x
0
, trong đó (c
kl
) là ma trận
trực giao. Cho y
n
= ω(y
1
, . . . , y
n−1
) là phương trình của S trong lân cận của gốc
tọa độ y = (0, . . . , 0). Do ω(y
1
, . . . , y
n−1
) ∈ C
2
. Từ ma trận trực giao (c
kl
), ta có
x
l
−x
0

l
= c
kl
y
k
, (l = 1, . . . , n), do đó cos(n, x
l
) = c
nl
, (l = 1, . . . , n). Ta xét biểu thức
I(s) tại điểm x
0
và khai triển trên trục y:
I(x
0
) = a
ij
a
kl
c
mi
∂u
∂y
m
c
pk
c
ql
∂
2

u
∂y
p
∂y
q
c
nj
− a
ij
a
kl
c
mi
∂u
∂y
m
c
pj
c
ql
∂
2
u
∂y
p
∂y
q
c
n
k

≡ (b
nm
b
pq
− b
mp
b
qn
)
∂u
∂y
m
∂
2
u
∂y
p
∂y
q
. (2.38)
14
trong đó b
pq
= a
kl
c
pk
c
ql
, (p, q = 1, . . . , n) Giờ ta sử dụng điều kiện biên u|

s
= 0.
Tiến dần điểm x
0
với tọa độ y
1
= . . . = y
n
= 0, điều kiện này được thể hiện:
u(y
1
, . . . , y
n−1
, ω(y
1
, . . . , y
n−1
)) = 0
trong đó, thỏa mãn đồng nhất thức khi cho y
1
, . . . , y
n−1
tiến dần tới 0. Ta sẽ
phân biệt đồng nhất thức này với y
i
và y
j
, (i, j = 1, . . . , n − 1) tại x
0
, ω = 0, (i =

1, . . . , n −1). Tại x
0
cho
∂u
∂y
i
= 0,
∂
2
u
∂y
i
∂y
j
= −
∂u
∂y
n
∂
2
ω
∂y
i
y
j
≡ −
∂u
∂n
∂
2

ω
∂y
i
∂y
j
, 1, j = 1, . . . , n − 1 (2.39)
vì u
y
i
(x
0
), (i = 1, . . . , n −1). Giả sử I(s) tại x
0
có dạng
I(x
0
) = (b
nn
b
pq
− b
np
− b
qn
)

∂u
∂n

2

∂
2
u
∂y
p
∂y
q
. (2.40)
Cho p = n và q tùy ý, cũng cho q = n và p tùy ý, số hạng trong dấu ngặc đơn
của (2.40) tối giản, từ (2.39) ta có:
I(x
0
) = −
n−1

p,q=1
(b
nn
b
pq
− b
np
b
qn
)

∂u
∂n

2

∂
2
u
∂y
p
∂y
q
. (2.41)
Giả sử tọa độ y
1
, . . . , y
n−1
là tiếp diện của S tại x
0
đã được chọn trước mà
mọi đạo hàm ∂
2
ω/∂y
p
∂y
q
, (p, q = 1, . . . , n −1) triệt tiêu tại x
0
. Khi đó:
I(x
0
) =
n−1

p=1

(b
nn
b
pp
− b
2
np
)

∂u
∂n

2
∂
2
u
∂y
2
p
, (2.42)
cho
∂
2
u
∂y
2
p





x
0
≤ K, p = 1, . . . , n −1, (2.43)
khi K > 0; khi đó:
−I(x
0
) ≤ µ(n − 1)K

∂u
∂n

2
. (2.44)
Cho ma trận (b
ij
) tồn tại một liên kết với ma trận (a
ij
) bởi ánh xạ đồng dạng
cảm sinh bởi ma trận trực giao (c
ij
), được xác định dương và thỏa mãn (2.7) từ
đó suy ra 0 ≤ b
nn
b
pp
− b
2
np
≤ µ

2
. Cho miền lồi Ω có ∂
2
ω/∂y
2
p
≤ 0, ta có thể cho K
là số không. Do đó, cho Ω bất kì, từ (2.37) và (2.44) suy ra:
3v
2
4

Ω
u
2
xx
dx ≤

Ω
(Lu)
2
dx +
6
7
µ
2
(n −1)K

S


∂u
∂n

2
ds + c
3
(u
(1)
2,Ω
)
2
, (2.45)
15
và cho Ω lồi
3v
2
4

Ω
u
2
xx
dx ≤

Ω
(Lu)
2
dx + c
3
(u

(1)
2,Ω
)
2
. (2.46)
Tích phân

S
(∂u/∂n)
2
có thể tách được với mọi ε > 0:

S

∂u
∂n

dx =

S
u
2
x
ds ≤ c
4

Ω
(u
2
x

+ |u
2
x
|)dx
≤ c
4

Ω
(u
2
x
+ 2|u
x
||u
xx
|)dx
≤ c
4

Ω

εu
2
xx
+

1 +
1
ε


u
2
x

dx. (2.47)
Từ (2.46), (2.47) với ε = (v
2
/4)

6
7
µ
2
(n −1)c
4
K

−1
, ta có:
v
2
2

Ω
u
2
xx
dx ≤

Ω

(Lu)
2
dx + c
5
(u
(1]
2,Ω
)
2
, (2.48)
là bất đẳng thức (2.27).
Từ (2.28), cho miền lồi được suy ra từ (2.34), cho L = δ, có dạng:

Ω
(δu)
2
dx =

Ω
u
2
xx
dx +

s
I(s)ds, (2.49)
trong đó I(s) = −(∂u/∂n)
2
n−1


p=1
∂
2
ω/∂y
2
p
và thực tế là ∂
2
ω/∂y
2
p
< 0 để các miền lồi,
nghĩa là I(s) ≥ 0. Hơn thế nữa, cho u ∈ C
2
(Ω) và u|
s
= 0, ta có:

Ω
u
2
x
dx = −

Ω
uδudx ≤ u ·δu ≤ c
Ω
δuu
x
,

suy ra
u
(1)
2,Ω
≤ c
Ω

1 + c
2
Ω
δu. (2.50)
Từ (2.49) và (2.50) cho Ω lồi, ta thu được:
u
(2)
2,Ω
≤ [1 + c
2
Ω
(1 + c
2
Ω
)]
1/2
δu, (2.51)
và cho Ω tùy ý với S trong C
2
, được suy ra từ (2.48) và (2.50) là:
u
(2)
2,Ω

≤ cδu, (2.52)
với hằng số c được xác định là không những duy nhất bởi giá trị gần đúng (giống
như hằng số c
Ω
) mà còn bởi thuộc tính trơn của S.
16
2.4 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet
2.4.1 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không
gian W
1
2
(Ω)
Ta sẽ chỉ ra trong công thức (2.5), (2.6) là giải được trong không gian W
1
2
(Ω).
Trong không gian W
1
2
(Ω) , ta xét tích có hướng
[u, v] =

Ω
a
ij
u
x
i
v
x

j
dx. (2.53)
Bởi (2.7) chuẩn u
1
=

[u, u] là tương đương với chuẩn u
x
 và chuẩn
nguyên u
(1)
2,Ω
của không gian W
0,1
2
(Ω). Ta viết (2.10) dưới dạng
[u, η] + l(u, η) = −(f, η) + (f
i
, η
x
i
), (2.54)
trong đó:
l(u, η) ≡

Ω
(a
i
uη
x

i
− b
i
u
x
i
η −auη)dx. (2.55)
Giả sử:
|l(u, η)| = µ
1
u.η
x
 + µ
1
u
x
.η + max(|µ
3
|; |µ
4
|)uη
≤ cu
1
.η, (2.56)
tức là, cho bất kì phần tử cố định u ∈ W
0,1
2
(Ω), l(u, η), là một nguyên hàm tuyến
tính trên η trong không gian W
0,1

2
(Ω). Do định lý Riesz ta có thể biểu diễn l(u, η)
tính duy nhất trong tích vô hướng
l(u, η) = [Au, η], (2.57)
với mọi η ∈ W
0,1
2
(Ω), trong đó A là toán tử tuyến tính bị chặn trong W
0,1
2
(Ω)
với chuẩn không trội c. Phép toán −(f, η) + (f
i
, η
x
i
) cũng xác định là một phiếm
hàm tuyến tính trong W
0,1
2
(Ω) trên η, và do định lý Riesz, tồn tại duy nhất một
phần tử F ∈ W
0,1
2
(Ω) sao cho
−(f, η) + (f
i
, η
x
i

) = [F, η], (2.58)
với mọi η ∈ W
0,1
2
(Ω). Vì (2.57), (2.58) và (2.54) tương đương với
[u, η] + [Au, η] = [F, η], (2.59)
với mọi η ∈ W
0,1
2
(Ω), (2.59) tương đương với phương trình toán tử
u + Au = F. (2.60)
17
Trong không gian W
0,1
2
(Ω), ta sẽ chỉ ra A là toán tử hoàn toàn liên tục trong
W
0,1
2
(Ω). Ta sẽ chứng minh bất kỳ chuỗi hội tụ yếu {u
k
}(k = 1, 2, . . .) trong
W
0,1
2
(Ω) chuyển đổi A trong chuỗi hội tụ mạnh {Au
k
}. Vì vậy toán tử A rằng
buộc trong chuỗi {Au
k

} hội tụ yếu đến Au, trong đó u(x) là giới hạn yếu của
{u
k
}. Chuỗi {u
k
} và {Au
k
} hội tụ mạnh đến u và Au trong L
2
(Ω). Nếu ta sử dụng
(2.57) của toán tử A và bất đẳng thức (2.58), ta có
[A(u
k
− u
m
), A(u
k
− u
m
)] = l(u
k
− u
m
), A(u
k
− u
m
)
≤ µ
1

u
k
− u
m
.(Au
k
) −(Au
m
) + µ
1
u
kx
− u
mx
.Au
k
− Au
m

+ max(|µ
3
|; |µ
4
|)u
k
− u
m
.Au
k
− Au

m
,
từ điều kiện này , ta cho vế trái tiến dần đến 0 hoặc k,m → ∞, do đó {u
k
} thật
sự là một dãy số hội tụ mạnh trong W
0,1
2
(Ω). Điều này chứng tỏ liên tục hoàn
toàn của A. Do đó , định lý đầu tiên của Ferdholm được coi là phương trình
(2.60) : nghiệm của (2.60) với mọi F ∈ W
0,1
2
(Ω) là kết quả duy nhất của (2.60).
Vì (2.60) là tương đương với đồng nhất thức (2.10) với mọi η ∈ W
0,1
2
(Ω) với u(x)
trong W
0,1
2
(Ω).
Định lí 2.2. (Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất) Nếu bài toán (2.5) và (2.6) không
có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W
0,1
2
(Ω), khi đó nó giải được trong
W
0,1
2

(Ω) với bất kỳ f và f trong L
2
(Ω).
Điều kiện đủ duy nhất và tính giải được của bài toán (2.5) và (2.6) là đưa ra
bởi Định lý 2.2
Lu = λu + f +
∂f
i
∂x
i
, (2.61)
với tham số phức λ. Như trên, hệ số của L được đưa ra là thực, nhưng nghiệm
của (2.61) trong dạng tổng quát sẽ là hệ số với biến phức u(x) = u

(x) + iu

(x).
Bởi vì, ta giới thiệu không gian phức L
2
(Ω) và W
0,1
2
(Ω), phần tử của các không
gian này là hệ số với biến phức của biến số x ∈ Ω, và tích vô hướng được xác
định
(u, v) =

Ω
uvdx, (u, v)
(1)

2,Ω
=

Ω
(uv + u
x
v
x
)dx là tương đương.
Ta định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán (2.38) và (2.6) trong W
1
2
(Ω) như
một phần tử của W
0,1
2
(Ω) thỏa mãn đồng nhất thức
L(u, η) ≡

Ω
a
ij
u
x
i
η
x
j
+ a
i

uη)dx
= −λ

Ω
uηdx +

Ω
(−fη + f
i
η
x
i
)dx, (2.62)
18
với mọi η ∈ W
1
2
(Ω).
Để tìm nghiệm, ta biến đổi (2.62) thành phương trình đồng dạng với (2.60).
Ta giới thiệu tích vô hướng mới trong W
0,1
2
(Ω)
[u, v] =

Ω
a
ij
u
x

i
v
x
j
dx,
làm phát sinh như trong trường hợp thực, chuẩn u
1
=

[u, u] trong W
0,1
2
(Ω)
thì tương đương với chuẩn cũ u
(1)
2,Ω
. Hơn nữa, nếu ta chứng tỏ bằng phương
pháp giống như ta đã chứng minh trong trường hợp thực ta đi đến một phương
trình hàm số
u + Au = λBu + F. (2.63)
Trong không gian W
0,1
2
(Ω). Toán tử A và B được xác định trên toàn bộ
W
0,1
2
(Ω) bởi song tuyến tính có dạng
[Au, η] =


Ω
(a
i
uη
x
i
− b
i
u
x
i
η −auη)dx, (2.64)
và
[Bu, η] = −

Ω
uηdx, (2.65)
và phần tử F được xác định bởi:
[F, η] =

Ω
(−fη + f
i
η
x
i
)dx. (2.66)
Mối quan hệ (2.64)-(2.66) là thỏa mãn với mọi η ∈ W
0,1
2

(Ω). Giống phương
pháp trên, nó có thể chứng minh rằng toán tử A và B là tuyến tính và hoàn
toàn liên tục. Trong phép cộng toán tử A và B là đối xứng và là giá trị âm, tức
là, [Bu, η] = [u, Bη] với mọi u, η trong W
0,1
2
(Ω) và [Bu, u] < 0, u = 0. Vì vậy, B
nghịch đảo trên khoảng R(B). Nhưng nghịch đảo này không bị chặn.
Ta viết (2.62) dưới dạng:
u + Au − λ
0
Bu = (λ − λ
0
)Bu + F, (2.67)
và thử lại, cho λ
0
thực đủ lớn, toán tử (E + A − λ
0
B) ≡ D là toán tử bị chặn.
Có nghĩa là Dv ≡ w. Theo (2.64)-(2.66) đẳng thức này tương đương (2.65) với
u = v, λ = λ
0
, và [w, η] thay cho tích phân cuối. Từ đồng nhất thức này với η = v,
song song với (2.12) ta được:
ReL(v, v) ≥
v
2
v
x


2
−

µ
4
+
µ
2
2
2v

v
2
,
19
trong đó v
2
=

Ω
|v|
2
dx và v
2
=

Ω
|v|
2
dx ta xuất phát từ bất đẳng thức

Re[w, v] = Re[(E + A − λ
0
B)v, v]
= ReL(v, v) + λ
0
v
2
≥
v
2
v
x

2
+ (λ
0
− µ
4
−
µ
2
2
2v
)v
2
, (2.68)
với λ
0
≥ µ
4

+ µ
2
2
/2v được suy ra từ (2.68)
||v||
1
≤ v||||
1
= c||Du||
1
, (2.69)
tức là toán tử D thực sự có nghịch đảo bị chặn xác định trên toàn bộ W
1
2
(Ω) tại
λ
0
. chọn λ
0
= µ
4
+ µ
2
2
/2v và viết lại (2.67) như sau:
u = (λ − λ
0
)D
−1
Bu + D

−1
F, (2.70)
toán tử D
−1
B như là tích số của toán tử bị chặn, và toán tử hoàn toàn liên tục.
Bài toán (2.70) tương đương với bài toán (2.62) với mọi η ∈ W
0,1
2
(Ω) , định
lý này bảo toàn sự tồn tại của nghiệm suy rộng u(x) trong W
1
2
(Ω) của toán tử
(2.61), (2.6) với mọi f, f trong L
2
(Ω) biết rằng bài toàn này không thể có hai
nghiệm khác nhau trong W
1
2
(Ω). Giá trị đặc biệt λ được coi là giá trị phổ đối với
bài toán (2.61), (2.6). Ta sẽ biểu thị bởi {λ
k
}, (k = 1, 2, 3, . . .) và |λ
1
| ≤ |λ
2
| ≤ . .
Mỗi một λ đúng với ít nhất một nghiệm không tầm thường u(x) của bài toán
thuần nhất
u = (λ − λ

0
)D
−1
Bu, (2.71)
hoặc, u(x) ∈ W
1
2
(Ω) thỏa mãn đẳng thức:
L(u, η) = −λ(u, η), (2.72)
với mọi η ∈ W
0,1
2
(Ω). Định lý thứ hai của bài toán cũng khẳng định rằng mỗi
giá trị phổ λ
k
là một bội hữu hạn và liên hợp phức λ
k
của λ
k
là giá trị phổ của
phương trình
ν = (λ − λ
0
)BD
−1
ν, (2.73)
trong đó bội của λ
k
đối với (2.73) giống như bội của λ
k

đối với (2.71).
Với w = D
∗−1
ν
D
∗
w = (λ − λ
0
)Bw, (2.74)
là tương đương, bởi vì (2.64) và (2.66) ta có đẳng thức
L
∗
(w, η) ≡

Ω
(a
ij
w
x
i
η
x
j
+ a
i
w
x
i
η −b
i

wη
x
i
− awη
≡ −λ

Ω
wηdx, (2.75)
20
với mọi n ∈ W
0,1
2
(Ω). Đồng nhất thức (2.74) thực chất có u(x) là hàm riêng suy
rộng trong W
1
2
(Ω) đối với bài toán
Lu = λu, u|
s
= 0, (2.76)
và λ là giá trị phổ tương ứng của nó hoặc giá trị riêng của nó. Đồng nhất thức
(2.75) xác định là một hàm riêng w(x) ∈ W
1
2
(Ω) của bài toán
Lw ≡
∂
∂x
1
(a

ij
w
x
i
− b
i
w) − a
i
w
x
i
+ aw = λw, (2.77)
Định lý thứ hai của Fredholm đối với (2.71) bảo đảm được bài toán (2.76)
có nghiệm không tầm thường u(x) trong W
1
2
(Ω) và mỗi λ
k
là bội hữu hạn; tương
tự, bài toán (2.77) có nghiệm không tầm thường w trong W
1
2
(Ω) duy nhất đối
với giá trị λ
k
(k = 1, 2, . . .)
Giờ ta đi đến định lý thứ ba của Fredholm, định lý này cho ta điều kiện cần
và đủ đối với nghiệm của bài toán (2.70) đối với các giá trị phổ λ. Tức là, nếu
λ = λ
k

khi đó bài toán (2.70) là nghiệm nếu và chỉ nếu số hạng tự do D
−1
F là
trực giao với mọi nghiệm ν
k
của bài toán (2.73) tương đương với λ = λ
k
. Nghĩa
là, nếu D
−1
F thỏa mãn các điều kiện
[D
−1
F, ν
k
] = 0, (2.78)
ta chỉ ra (2.78) tương đương với

Ω
(−fw
k
+ f
i
w
kx
i
)dx = 0, (2.79)
trong đó w
k
= D

∗−1
ν
k
là nghiệm suy rộng của bài toán (2.77) với λ = λ
k
. Cho
f ≡ 0, (2.79)với f(x) là trực giao trong L
2
(Ω) với λ = λ
k
.
Quả thực, bởi vì (2.66)
0 = [D
−1
F, ν
k
] = [F, D
−1
ν
k
] = [F, w
k
] =

Ω
(−fw
k
+ f
i
w

kx
i
)dx,
tức là (2.79) tương đương (2.78). Như vậy ta đã chứng minh được cả ba định lý
của Fredholm.
Định lí 2.3. Bài toán (2.72)-(2.6) là duy nhất giải được trong không gian W
1
2
(Ω)
đối với f và f bất kỳ trong L
2
(Ω) với mọi λ = λ

+iλ

, trừ tập hợp {λ
k
}(k = 1, 2, . . .)
của giá trị λ cái mà nhiều nhất là tập đếm được và tạo nên phổ của bài toán
(2.61), (2.6). Mỗi λ
k
của bội hữu hạn và chỉ có duy nhất điểm của tập hợp {λ
k
}
21