đưa bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai về phương trình tích phân trên biên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






BÙI THỊ THANH AN






ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




BÙI THỊ THANH AN






ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN


Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN







Thái Nguyên, 2010
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 5

1.1 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . 5
1.1.2 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Neu-
mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Hàm số Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Công thức biểu diễn tích phân Stokes . . . . . . . . . . . . . . 12
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.5 Nghiệm cơ bản và hàm số Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Toán tử tích phân và phương trình tích phân 16
2.1 Toán tử tích phân miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Toán tử tích phân lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Toán tử tích phân lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Phương trình tích phân trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Đưa bài toán biên về phương trình tích phân 30
3.1 Đưa bài toán Dirichlet về phương trình tích phân . . . . . . . 30
3.2 Đưa bài toán Neumann về phương trình tích phân . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tài liệu tham khảo 39
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời mở đầu
Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, một trong các phương pháp

nghiên cứu bài toán biên cho phương trình elliptic thường là được đưa về
phương trình tích phân trên biên. Trong các giáo trình thông thường, vấn
đề này được trình bày cho các bài toán Dirichlet và Neumann cho phương
trình Poisson.
Vấn đề trên cần được tổng quan và trình bày cho các bài toán biên nói
trên đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.
Bản luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương. Cụ thể là:
Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về các
bài toán biên Dirichlet và Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes,
nghiệm cơ bản và hàm số Green.
Chương 2: Toán tử tích phân và phương trình tích phân
Chương này giới thiệu một số toán tử tích phân, cụ thể là: toán tử tích
phân miền, toán tử tích phân lớp đơn, toán tử tích phân lớp kép và phương
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trình tích phân trên biên.
Chương 3: Đưa bài toán biên về phương trình tích phân
Chương này trình bày việc đưa các bài toán Dirichlet, Neumann về phương
trình tích phân.
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo
của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi đã bước đầu
làm quen và say mê hơn trong nghiên cứu toán. Nhân đây, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Viện Toán học
Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp
này.
Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - trường
ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, các anh chị học viên lớp cao học toán khoá

16 và bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập tại trường .
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình: bố, mẹ và em
trai đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Bài toán biên cho phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai
1.1 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic
tuyến tính cấp hai
1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
Định nghĩa 1.1.1. Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x
1
, , x
n
), các
biến độc lập x
i
và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình vi
phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn). Nó có dạng
F (x, u(x),
∂u
∂x
1
, ,
∂u
∂x
n
, ,
∂

k
u
∂x
k
1
1
∂x
k
n
n
, ) = 0
trong đó F là một hàm nào đó của các đối số của nó, với kí hiệu
x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
, u(x) = u(x
1
, , x
n
).
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi
là cấp của phương trình.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm và
các đạo hàm riêng của ẩn hàm.
Xét m

2
+ m + 1 hàm thực a
ik
(x), b
i
(x), c(x)(i, k = 1, 2, , m) xác định
trong miền Ω. Kí hiệu M là toán tử tuyến tính bậc hai
M =
m

i,k=1
a
ik
∂
2
∂x
i
∂x
k
+
m

i=1
b
i
∂
∂x
i
+ c.
Ta giả thiết a

ik
(x) = a
ki
(x), ta nói M thuộc loại elliptic nếu dạng toàn
phương tương ứng
m

i,k=1
a
ik
(x)ξ
i
ξ
k
với mọi x ∈
¯
Ω, là một dạng xác định mà ta luôn có thể giả thiết là xác định
dương.
M được gọi là elliptic đều trong Ω nếu a
ik
là đo được trong Ω và nếu tồn
tại một hằng số a
0
> 0 sao cho với x ∈ Ω và tất cả các bộ m số thực
(ξ
1
, ξ
2
, , ξ
m

) :
a
0
m

i=1
ξ
2
i
≤
m

i,k=1
a
ik
(x)ξ
i
ξ
k
≤ a
−1
0
m

i=1
ξ
2
i
. (1.1)
Hiển nhiên nếu Ω bị chặn và các a

ik
liên tục trong
¯
Ω thì tính elliptic đều là
hệ quả của tính elliptic. Hằng số a
0
gọi là hằng số elliptic của toán tử M.
Định nghĩa 1.1.2. Nếu f(x) là một hàm xác định trong Ω, ta có phương
trình đạo hàm riêng
m

i,k=1
a
ik
∂
2
u
∂x
i
∂x
k
+
m

i=1
b
i
∂u
∂x
i

+ cu = f. (1.2)
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hàm u(x) gọi là một nghiệm thông thường của phương trình (1.2) trong Ω
nếu u(x) khả vi liên tục hai lần trong Ω và thoả mãn (1.2) tại mọi điểm của
Ω.
1.1.2 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai
Trong luận văn sẽ xét hai bài toán biên sau đây đối với phương trình
elliptic (1.2):
A. Bài toán Dirichlet
Nội dung của bài toán Dirichlet là tìm nghiệm u(x) trong T của phương
trình (1.2) sao cho
u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂T (1.3)
trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T .
B. Bài toán Neumann
Giả sử x ∈ ∂T . Ta kí hiệu n là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm x với
các thành phần toạ độ là X
1
, X
2
, , X
m
tức là
n = (X
1
, X
2
, , X
m

) (1.4)
trong đó
X
2
1
+ X
2
2
+ X
2
m
= 1.
Ta kí hiệu ν là vectơ đối pháp tuyến (conormal) tại điểm x với các thành
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
phần toạ độ là Y
1
, Y
2
, , Y
m
Y
i
=
1
a
m

k=1
a

ik
X
k
a =

m

i=1

m

k=1
a
ik
X
k

2

1
2
. (1.5)
Đạo hàm của hàm u(x) theo hướng ν tại điểm x ∈ ∂T được tính theo công
thức
du(x)
dν
=
m

j=1

∂u(x)
∂x
j
Y
j
(1.6)
Nội dung của bài toán Neumann là tìm nghiệm u(x) của phương trình (1.2)
sao cho
a
du(x)
dν
= ϕ(x), x ∈ ∂T (1.7)
trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T .
1.2 Công thức Green
1.2.1 Công thức Green
Trong mục này giả sử các hàm a
ik
và
e
i
= b
i
−
m

k=1
∂a
ik
∂x
k

(1.8)
thuộc lớp C
(1)
trong miền Ω; dưới giả thiết này Mu có thể cho bởi công thức:
Mu =
m

i,k=1
∂
∂x
k

a
ik
∂u
∂x
i

+
m

i=1
e
i
∂u
∂x
i
+ cu. (1.9)
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Toán tử sau gọi là toán tử liên hợp của toán tử M :
Nv =
m

i,k=1
∂
∂x
k

a
ik
∂v
∂x
i

−
m

i=1
∂
∂x
i
(e
i
v) + cv, (1.10)
Nếu ta bổ sung thêm giả thiết a
ik
và b
i
lần lượt thuộc lớp C

(2)
và C
(1)
trong Ω, thì (1.10) cũng có thể viết là:
Nv =
m

i,k=1
∂
2
∂x
i
∂x
k
(a
ik
v) −
m

i=1
∂
∂x
i
(b
i
v) + cv. (1.11)
Từ (1.10) ta có thể thấy ngay Nv có liên hợp là Mu, vì vậy M và N gọi
là liên hợp của nhau. Nếu M = N, M gọi là tự liên hợp. Điều kiện cần và
đủ để M tự liên hợp là tất cả e
i

= 0. Ta có:
vMu − uNv =
m

i,k=1
∂
∂x
k

a
ik

v
∂u
∂x
i
− u
∂v
∂x
i

+
m

i=1
∂
∂x
i
(e
i

uv)
và do đó, nếu u và v cùng thuộc lớp C
(2)
, và nếu T ⊂ Ω là một miền của lớp
A
(1)
theo đó:

T
[vMu − uNv]dx =

∂T

a

v
du
dν
− u
dv
dν

+ buv

dσ. (1.12)
trong đó ν là vectơ đối pháp tuyến, a là hàm số cho bởi (1.5) và b được cho
bởi :
b =
m


i=1
e
i
X
i
. (1.13)
(1.12) gọi là công thức Green.
1.2.2 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet
Xét bài toán Dirichlet
Mu = f, x ∈ T
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂T.
Gọi v(x) là nghiệm của bài toán liên hợp thuần nhất
Nv(x) = 0, x ∈ T,
v(x) = 0, x ∈ ∂T.
Khi đó áp dụng công thức (1.12) ta có

T
v(x)f (x)dx =

∂T
−ϕ(x)a(x)
dv
dν
x
dσ
x
Đây là điều kiện cần để bài toán Dirichlet có nghiệm.
1.2.3 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann

Xét bài toán Neumann
Mu = f, x ∈ T
a
du
dν
= ϕ, x ∈ ∂T.
Gọi v(x) là nghiệm của bài toán liên hợp thuần nhất
Nv(x) = 0, x ∈ T,
a
dv
dν
− bv = 0.
Khi đó áp dụng công thức (1.12) ta có

T
v(x)f (x)dx =

∂T
ϕ(x)v(x)dσ
x
Đây là điều kiện cần để bài toán Neumann có nghiệm. Các điều kiện cần cho
bài toán Dirichlet và bài toán Neumann có nghiệm đồng thời cũng là điều
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
kiện đủ để các bài toán trên có nghiệm. Nội dung này sẽ đề cập đến trong
chương ba của luận văn.
1.3 Hàm số Levi
Ta kí hiệu như sau: A
rs
là các phần tử của ma trận nghịch đảo của (a

rs
),
A là định thức của ma trận (a
rs
), ω
m
là diện tích mặt cầu đơn vị trong không
gian Euclid E
n
. Đặt:
H(x, y) =







1
(m−2)ω
m
√
A(y)

m

r,s=1
A
rs
(y)(x

r
− y
r
)(x
s
− y
s
)

2−m
2
với m > 2,
1
2π
√
A(y)
log

m

r,s=1
A
rs
(y)(x
r
− y
r
)(x
s
− y

s
)

−
1
2
với m = 2.
(1.14)
H(x, y) như một hàm của x là một nghiệm của phương trình Mu = 0 khi
a
ik
là hằng số và b
i
, c bằng 0.
Hàm H(x, y) có kì dị khi x → y với đánh giá:
H(x, y) = O(r
2−m
),
∂H
∂x
i
= O(r
1−m
),
∂
2
H
∂x
i
∂x

k
= O(r
−m
), (1.15)
trong đó r = xy là khoảng cách giữa hai điểm x, y.
Định nghĩa 1.3.1. Mỗi hàm số L(x, y) bất kỳ liên tục với biến x, y với
x, y ∈ Ω và x = y, cùng với các đạo hàm cấp một, cấp hai theo biến x
i
gọi
là hàm số Levi nếu L − H thoả mãn các đánh giá đều trong
¯
Ω:
L − H = O(r
λ+2−m
),
∂[L − H]
∂x
i
= O(r
λ+1−m
),
∂
2
[L − H]
∂x
i
∂x
k
= O(r
λ−m

)
(1.16)
với một λ > 0 nào đó.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bản thân H(x, y) là một hàm số Levi; hơn nữa H(y, x) cũng là hàm Levi
với λ = 1, nếu các hàm a
ik
thuộc lớp C
(2)
trong Ω.
Giả sử rằng hệ số của toán tử M là bị chặn và λ ≤ 1, ta có:
ML =
m

i,k=1
[a
ik
(x) − a
ik
(y)]
∂
2
H
∂x
i
∂x
k
+ O(r
λ−m

).
Từ đó với giả thiết cuối cùng là a
ik
∈ C
(0,λ)
trong Ω theo đó ta được
ML = O(r
λ−m
) (1.17)
đều trong mọi miền bị chặn chứa trong Ω. Trong trường hợp này (1.17) thoả
mãn các giả thiết của mục 1.2 ta cũng có
NL(x, y) = O(r
λ−m
). (1.18)
Vẫn với giả thiết của mục 1.2 và với L = H thì (1.17), (1.18) vẫn đúng với
λ = 1.
1.4 Công thức biểu diễn tích phân Stokes
Theo giả thiết mục 1.2 và lấy I(y, ) là lân cận của y xác định bởi
m

r,s=1
A
rs
(y)(x
r
− y
r
)(x
s
− y

s
) < 
2
(1.19)
Nếu T là một miền chứa trong Ω, chúng ta chọn y trong T \ ∂T và  đủ
nhỏ sao cho I(y, ) ⊂ T \∂T và áp dụng (1.12) cho T \I(y, ) như một miền
của tích phân, đường thẳng của miền ngoài vuông góc với T \I với cosin chỉ
hướng X
k
(x) là vectơ l, và hàm Levi L(x, y) như hàm v(x, y). Ta có:

T \I
(LMu − uNL)dx =

∂T ∪∂I

a

L
du
dν
− u
dL
dν

+ buL

dσ. (1.20)
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Bây giờ một phép tính dễ dàng chứng tỏ rằng trên ∂I:

a

L
du
dν
− u
dL
dν

+ buL

=
u(y)

m
ω
m

A(y)
m

k=1
X
k
(x)(x
k
− y
k

) + O(
λ+1−m
),
từ nó

∂I

a

L
du
dν
− u
dL
dν

+ buL

dσ = −
mu(y)

m
ω
m

A(y)
mesI + mes(∂I)O(
λ+1−m
).
Trong đó:

mesI =

m
ω
m

A(y)
m
, mes(∂I) = O(
m−1
),
cho qua giới hạn khi  → 0 trong (1.20):
u(y) =

T
(uNL − LMu)dx +

∂T

a

L
du
dν
− u
dL
dν

+ buL


dσ, (1.21)
một công thức mà trong nó tích phân đầu tiên bên vế phải đã được định
nghĩa tốt trong (1.15), (1.16) và (1.18).
(1.21) gọi là công thức Stokes; và với L(x, y) thoả mãn rằng giả sử (1.16)
đúng, nó xác định trong T \y và liên tục trên đó với đạo hàm cấp một, đạo
hàm cấp hai liên tục trong (T \ ∂T ) \ y và mỗi N
x
L là tích phân Lebesgue
trong T , với mọi y ∈ T \∂T .
1.5 Nghiệm cơ bản và hàm số Green
Mọi hàm số Levi L(x, y) là nghiệm của phương trình M
x
L = 0 [N
x
L = 0]
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Mu = 0 [Nu = 0].
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 1.5.1. Nếu a
ik
là hằng số và b
i
= c = 0 thì phương trình Mu = 0
nhận hàm H(x, y) như một nghiệm cơ bản.
Định nghĩa 1.5.2. Hàm số Green của bài toán biên là một hàm số F (x, y)
như một hàm của y, là một nghiệm cơ bản của phương trình liên hợp và
thoả mãn điều kiện biên của bài toán liên hợp thuần nhất.
Do đó hàm số Green F (x, y) cho bài toán Dirichlet của phương trình
Mu = f là một hàm số Levi của y và là một nghiệm của phương trình
N

y
F (x, y) = 0 với y ∈ (T \ ∂T ) \ x, (1.22)
F (x, y) = 0 với y ∈ ∂T, x ∈ T \∂T, (1.23)
Trong khi hàm số Green của bài toán Neumann của phương trình Mu = f
là một hàm số Levi của y thoả mãn (1.22) và điều kiện trên biên
a
dF (x, y)
dν
y
− bF (x, y) = 0, với y ∈ ∂T, x ∈ T \∂T, (1.24)
trong đó b được xác định bởi (1.13).
Những điều đã biết về hàm số Green cho bởi bài toán biên cho phép chúng
ta không khó khăn để viết công thức cho nghiệm, miễn là hàm Green này
liên tục và có đạo hàm cấp một của nó tại y
i
trong T \x.
Trong thực tế, từ công thức tích phân Stokes, trong nó ta có thể thay đổi vai
trò của x và y, theo đó mỗi nghiệm u(x) của bài toán Dirichlet của phương
trình Mu = f thuộc lớp C
(1)
trong T được cho bởi:
u(x) = −

T
F (x, y)f(y)dy −

∂T

a
dF (x, y)

dν
y
− bF (x, y)

ϕ(y)d
y
σ, (1.25)
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trong khi mỗi nghiệm thuộc lớp C
(1)
trong T của bài toán Neumann được
cho bởi:
u(x) = −

T
F (x, y)f(y)dy +

∂T
F (x, y)ϕ(y)d
y
σ. (1.26)
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Toán tử tích phân và phương trình
tích phân
2.1 Toán tử tích phân miền
Cho L(x, y) là một hàm số Levi xác định trong miền Ω mà trong nó các
hàm số a

ik
thuộc lớp C
(0,λ)
; Nếu T là một miền bị chặn của lớp A
(1,λ)
chứa
trong miền Ω:
Định nghĩa 2.1.1. Hàm số sau đây được gọi là toán tử tích phân miền (tổng
quát) của hàm mật độ z :
u(x) =

T
L(x, y)z(y)dy (2.1)
Bởi vì có tính chất tốt của (1.15), (1.16), L ∈ N
(2)
, và
∂L
∂x
i
∈ N
(1,µ)
với mỗi
µ < 1, các tính chất của u và v và các đạo hàm của chúng trong T là tuỳ ý
ngay lập tức như một trường hợp đặc biệt của các định lí của phần trước,
trong khi các tính chất tương tự trong Ω \ T là của các phần của chương.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 2.1.2. Nếu z ∈ L
p
với p ≥ 1 thì ta có:

∂u
∂x
i
=

T
∂L(x, y)
∂x
i
z(y)dy, (2.2)
với u ∈ H
1,q
(T
1
) trong mọi miền bị chặn T
1
⊂ Ω với q <
n
n−1
nếu p = 1, và
q =
np
n−p
nếu 1 < p < n. Nếu p > n, thì u ∈ C
(1,µ)
(T
1
) với mỗi µ < 1 −
n
p

.
Ta cũng quan sát thấy rằng với x ∈ Ω \ T ta có, nếu z ∈ L
1
thì:
∂
2
u
∂x
i
∂x
k
=

T
∂
2
L(x, y)
∂x
i
∂x
k
z(y)dy. (2.3)
Quan hệ các đạo hàm bậc hai của u trong T \∂T trong định lí tiếp theo,
sự mở rộng tính chất quan trọng của toán tử tích phân thông thường:
Định lý 2.1.3. Nếu z ∈ C
(0,µ)
thì u ∈ C
(2)
trong T \ ∂T và ta có với
x ∈ T \∂T :

∂
2
u
∂x
i
∂x
k
= −
1
m
A
ik
(x)z(x) +
∗

T
∂
2
L(x, y)
∂x
i
∂x
k
z(y)dy, (2.4)
trong đó tích phân với dấu sao(*) được dùng như một giá trị chính có nghĩa
là như giới hạn khi  → 0 của tích phân trên T \I(x, ). Cuối cùng dưới giả
thiết rằng đạo hàm bậc hai của L −H thuộc lớp N
(λ,µ)
với µ < λ, ta cũng có
u ∈ C

(2,λ)
trong T \∂T .
Chúng ta bắt đầu với giả thiết u = u
1
+ u
2
, có biểu thị của u
1
, u
2
là tích
phân của loại (2.1) mà nó có thể đạt được khi đổi chỗ H với L một lần, và
L − H với những lần khác. Bởi vì có giả thiết :
L − H ∈ N
(λ+2)
,
∂(L − H)
∂x
i
∈ N
(λ+1)
,
∂
2
(L − H)
∂x
i
∂x
k
∈ N

(λ)
,
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
u
2
có tất cả các tính chất chúng ta mong muốn chứng minh cho u và đạo
hàm bậc hai của nó có thể tính toán bằng hai cách khác nhau dưới công thức
tích phân. Với định nghĩa của I(x, ) cho trong mục 1.4 ta đặt:
ϕ
i
(x, ) =

T −I(x,)
∂H(x, y)
∂x
i
z(y)dy.
Do đó ta có:
∂ϕ
i
∂x
k
=

T −I(x,)
∂
2
H(x, y)
∂x

i
∂x
k
z(y)dy −

∂I(x,)
∂H(x, y)
∂x
i
z(y)X
k
(y)d
y
σ. (2.5)
xác định bởi X
k
(y) cosin chỉ phương của đường vuông góc bên ngoài tới
∂I(x, ). Bây giờ tích phân trên ∂I(x, ) cũng có thể viết là :

∂I(x,)

∂H(x, y)
∂x
i
z(y) +
∂H(y, x)
∂y
i
z(x)


X
k
(y)d
y
σ
−z(x)

∂I(x,)
∂H(y, x)
∂y
i
X
k
(y)d
y
σ,
và của hai tích phân, một tiến đến 0 với  đều tại điểm x với mọi miền chứa
trong T , bởi vì hàm số lấy tích phân là O(
λ+1−m
). Tích phân thứ hai là
hằng số và bằng
z(x)A
ik
(x)
m
.
Bởi vì lim
→0
ϕ
i

=
∂u
∂x
i
, ta có thể chứng minh (2.4) nếu ta cũng có thể chứng tỏ
rằng tích phân đầu tiên bên vế phải của (2.5) hội tụ với  → 0, đều tại điểm
x trong mọi miền chứa trong T .
Nhưng tích phân này có thể viết được là:
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

T −I(x,)

∂
2
H(x, y)
∂x
i
∂x
k
z(y) −
∂
2
H(y, x)
∂y
i
∂y
k
z(x)


dy
+ z(x)

∂T
∂H(y, x)
∂y
i
X
k
(x)d
y
σ +
1
m
A
ik
(x)z(x),
và tính chất đã nói trước kéo theo từ thực tế rằng trong tích phân đầu tiên,
hàm lấy tích phân là O(xy
λ−m
).
Từ chứng minh theo đó mở rộng công thức thành:
∂
2
u
1
∂x
i
∂x
k

=

T

∂
2
H(x, y)
∂x
i
∂x
k
z(y) −
∂
2
H(y, x)
∂y
i
∂y
k
z(x)

dy
+ z(x)

∂T
∂H(y, x)
∂y
i
X
i

(y)d
y
σ (2.6)
trong nó ta dễ dàng công nhận rằng u
1
∈ C
(2,µ)
trong T \∂T với µ < λ, bởi
vì hai tích phân bên vế phải đều là hàm số thuộc lớp C
(0,µ)
trong T \∂T .
Với điều này, định lí của chúng ta có thể hoàn thành chứng minh. Nhận xét
rằng nếu L = H, chúng ta có thể chứng minh định lí đúng với cả µ = λ < 1;
trong các trường hợp quan trọng, ta có thể chứng tỏ rằng u ∈ C
(2,λ)
. Trong
trường hợp tổng quát ta có u ∈ C
(2,µ)
(T ) với µ < λ nếu a
ik
∈ C
(1,µ)
(T )
2
.
Một hệ quả quan trọng của (2.3) và (2.4) là công thức sau:
Mu =









T
M
x
L(x, y)z(y)dy với x ∈ Ω − T
−z(x) +

T
M
x
L(x, y)z(y)dy với x ∈ T −∂T,
(2.7)
nó rút gọn công thức đã biết của Poisson trong trường hợp toán tử tích phân
thông thường.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta chú ý rằng nếu Ω ≡ T \ ∂T , tất cả các tính chất của toán tử tích phân
của miền với x ∈ T đúng trong điều kiện rằng a
ik
là λ - Holder liên tục trong
T , L và
∂L
∂x
i
là liên tục trong T \y và thoả mãn hai hàm đầu tiên trong (1.16)
đều trong T , và

∂
2
L
∂x
i
∂x
k
là khả tích tại y trong T \ I(y, ).
2.2 Toán tử tích phân lớp đơn
Giả sử L(x, y) và T cho giống như trong mục 2.1.
Định nghĩa 2.2.1. Hàm số sau đây được gọi là toán tử tích phân lớp đơn
(tổng quát) của hàm mật độ ζ:
v(x) =

∂T
L(x, y)ζ(y)d
y
σ (2.8)
Nếu ζ ∈ L
1
, v là liên tục với đạo hàm cấp một và cấp hai của nó trong
T \ ∂T và Ω
T
. Với T
1
là một miền chứa trong Ω và chứa trong hoặc trùng
với T , ta có định lí sau:
Định lý 2.2.2. Nếu ζ ∈ L
p
với 1 ≤ p < m − 1, ta có v ∈ L

q
1
(T
1
) với
q
1
≤
pm
m−p−1
và v ∈ L
q
(∂T ) với q ≤
p(m−1)
m−p−1
, đẳng thức chỉ đúng với p > 1. Hơn
nữa, với hầu hết x
0
tuỳ ý trên ∂T thì:
lim
x→x
0
v(x) = v(x
0
) (2.9)
miễn là x tiến đến x
0
dọc theo một vectơ l sao cho cos(l, n) > 0. Với p > m−1
ta có v ∈ C
(0,µ)

(T
1
) với µ < 1 −
m−1
p
.
Bởi vì chúng ta có thể tính được
∂v
∂x
i
bằng việc tìm đạo hàm dưới dấu tích
phân, nó kéo theo :
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 2.2.3. Cho ζ ∈ L
p
với p ≥ 1 ta có
∂v
∂x
i
∈ L
s
(T
1
) với s ≤
pm
m−1
, dấu
bằng đạt được chỉ khi p > 1.
Ta cũng chú ý rằng một trường hợp riêng của định lí 2.2.2,

Định lý 2.2.4. Nếu ζ ∈ L
∞
ta có v ∈ C
(0,µ)
trong Ω với mỗi µ < 1.
Bổ đề 2.2.5. Lấy K(x, y) là một hạt nhân liên tục với x, y ∈ Ω và x = y,
và sao cho với α, β ≥ 0, K = O(xx
0
α
· xy
β
) với điểm cố định x
0
trên ∂T và
một trục l qua điểm x
0
với cos(l, n) = 0, x ∈ l và y ∈ ∂T đều nằm trong lân
cận của x
0
. Nếu ζ ∈ L
∞
và nếu α > 0, α + m > β + 1, thì ta có:
lim
x→x
0
x∈l

∂T
K(x, y)ζ(y)d
y

σ =

∂T
K(x
0
, y)ζ(y)d
y
σ.
Kết quả này đúng nếu ζ ∈ L
1
, trên điều kiện α > 0, α + m > β + 1, và hơn
nữa :
lim
→0

1−m

J(x
0
,)
|ζ(y)|d
y
σ < ∞, (2.10)
hoặc nếu α > 0, α + m ≥ β + 1 và:
lim
→0

1−m

J(x

0
,)
|ζ(y)|d
y
σ = 0. (2.11)
Cuối cùng nếu ζ(x
0
) = 0, ζ ∈ C
(0,µ)
thì kết quả trên thậm chí vẫn đúng với
α ≥ 0, α + m + µ > β + 1.
Để chứng minh bổ đề, chỉ cần chứng minh rằng tích phân :

J(x
0
,)
|K(x, y)ζ(y)|d
y
σ (2.12)
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tiến tới không khi  và xx
0
tiến tới 0. Nhưng cho y

là hình chiếu của y trên
siêu phẳng tiếp xúc với ∂T tại x
0
và đặt xx
0

= δ, x
0
, y

= t, thì nếu T thuộc
lớp A
(1,λ)
ta có thể thử lại rằng với x ∈ l và y ∈ ∂T thì biểu thức
xy
√
t
2
+δ
2
là bị
chặn dưới bởi một số dương. Nó kéo theo, nếu ζ ∈ L
∞
, thì tích phân (2.12)
có thể được làm trội với một số hằng số M, bởi lượng
M
k

0
δ
α
t
m−2
dt
(t
2

+ δ
2
)
β
2
.
Đại lượng này, nếu α + m > β + 1 thì tiến đến không với δ; từ nó trường hợp
thứ nhất của bổ đề được chứng minh. Nếu thay thế cho ζ ∈ L
1
, và S(x
0
, )
là một phần của ∂T mà hình chiếu của nó lên siêu phẳng tiếp xúc với ∂T
tại x
0
là một siêu cầu có tâm là x
0
và bán kính là , thì ta đặt:
Z() =

S(x
0
,)
|ζ(y)|dσ
và ta giả sử rằng với  < 

, Z < 
m−1
với  là một lượng hữu hạn trong giả
thiết (2.10), đủ nhỏ trong giả thiết (2.11). Tích phân (2.12) có thể được làm

trội bởi
M
k

0
δ
α
Z

(t)dt
(t
2
+ δ
2
)
β
2
,
và bởi vì một phép lấy tích phân bởi phần ta công nhận rằng đại lượng này
là O([δ
γ
−δ
α
log δ]), γ là số nhỏ hơn trong hai số α và α + m −β −1, bổ đề
cũng được chứng minh trong trường hợp hai và ba. Trong trường hợp bốn
việc chứng minh là tương tự, tại đó chúng ta biết là Z = O(
n+m−1
).
Lấy x
0

là một điểm cố định trên ∂T và l, l
1
là hai vectơ tại x
0
sao cho
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
cos(l, n) = 0, và chúng ta có thể tính
dv
dl
với x ∈ l
1
; ở đây chúng ta có ý định
công nhận rằng khi x → x
0
trên l
1
, đạo hàm này được cho trong hai giới
hạn khác nhau tổng quát khi x tiến đến x
0
trên l
1
∩T hoặc trên l
1
∩(Ω \T ).
Những giới hạn này không phụ thuộc vào l
1
, có thể kí hiệu bởi

dv

dl

−
và

dv
dl

+
. Nếu l ≡ ν ta có định lí:
Định lý 2.2.6. Nếu ζ ∈ L
1
, ta có với x ở hầu khắp nơi trên ∂T thì:

dv
dν

±
= ∓
ζ(x
0
)
2a(x
0
)
+

∂T
dL(x
0

, y)
dν
ζ(y)d
y
σ, (2.13)
a(x) là hàm số được định nghĩa bởi (1.5). Nếu ζ ∈ C
(0)
, thì (2.13) đúng tại
mọi nơi. Dưới giả thiết đầu tiên thì thành phần thứ hai của (2.13) là khả tích
trên ∂T , dưới giả thiết thứ hai thì nó liên tục. Hơn nữa, tích phân bên vế phải
của (2.13) là thuộc lớp L
q
(∂T ) với q ≤
p(m−1)
m−λp−1
nếu ζ ∈ L
p
với 1 ≤ p <
m−1
λ
,
đẳng thức chỉ xảy ra với p > 1, và thuộc lớp C
(0,µ)
(∂T ) với µ < λ −
m−1
λ
nếu
p >
m−1
λ

. Trong trường hợp đặc biệt, nếu ζ ∈ C
(0)
thì tích phân này thuộc
lớp C
(0,µ)
(∂T ) với mọi µ < λ.
Ta dễ dàng thử lại rằng với x ∈ l
1
và y ∈ ∂T ta có thể viết :
dL(x, y)
dν
= A(x, y) + B(x, y),
với B(x, y) ∈ N
(λ+1)
và:
a(x
0
)A(x, y) = −
m

i=1
X
i
(y)(x
i
− y
i
)
ω
m


A(x
0
)

m

i,k=1
A
ik
(x
0
)(x
i
− y
i
)(x
k
− y
k
)

m
2
.
Để chính xác giả sử m > 2 và xét hàm :
H
0
(x, y) =
1

(m − 2)ω
m

A(x
0
)

m

i,k=1
A
ik
(x
0
)(x
i
− y
i
)(x
k
− y
k
)

2−m
2
.
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên