Đạo hàm và bái toán tiếp tuyến ôn thi tốt nghiệp

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Phng trỡnh tip tuyn ụn thi tt nghip
*Đạo hàm của hàm hợp.
Ta xét hàm số y = f(u(x)). Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo x nh sau

' ' ' '
.
x x u x
y f f u
= =
Bảng đạo hàm của hàm số hợp
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
y = u
n
n.u
n-1
.u y = tanu
2
1
cos u
. u
y = 1/u
2
1
. 'u
u

y = cotu
2
1
sin u

. u
y u
=
1
. '
2
u
u
y = e
u
u.e
u
y = sinu u.cosu y = a
u
u.a
u
. lna
y = cosu - u.sinu y = lnu
1
. 'u
u
y = log
a
u
ln
. '
a
u
u

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với
đạo hàm của hàm số u theo biến x.
* Các phép toán đạo hàm.
Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x). Khi đó
*) (u + v) = u + v
*) (u - v) = u v
*) (uv) = uv + vu
*) (ku) = k.u ( k là hằng số)
*)
'
2
' 'u u v v u
v v


=
ữ

Các dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số.
Phơng pháp. Ta vận dụng các quy tắc và phép tính đạo hàm, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp. Nếu yêu cầu tính đạo
hàm tại một điểm ta cần tính đạo hàm rồi thay vào đợc kết quả.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
3 2
2 3 4y x x x
= + +
b)
sin cos tany x x x
= +

c)
4
2y x x
= +
d)
cot 3 2y x x
= +
Giải
a) Ta có
( )
'
3 2 2
' 2 3 4 3 4 3y x x x x x
= + + = +
b) Ta có
( )
'
'
2
1
sin cos tan cos sin
cos
y x x x x x
x
= + = + +
c) Ta có
( )
'
' 4 3
1

2 4y x x x
x
= + = +
d) Ta có
( )
'
'
2
1
cot 3 2 3
sin
y x x
x
= + =
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng.
a)
3 2
3 4 1y x x x
= + +
tại x
0
= -1.
b)
sin 2 cosy x x
= +
tại
0
4
x

=
.
c)
2y x x
=
tại x
0
= 2 .
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
1
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Giải
a) Ta có
( )
'
' 3 2 2
3 4 1 3 6 4y x x x x x
= + + = +
suy ra
'
( 1) 3 6 4 13y
= =
b) Ta có
( )
'
'
sin 2 cos 2cos 2 siny x x x x
= + =

suy ra

'
2
2cos sin
4 2 4 2
y


= =
ữ ữ ữ

c) Ta có
( )
'
'
1
2 2
2
y x x
x
= =
suy ra
( )
'
1 1 4 2
2 2
2 2 2 2
y

= =
Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau

a)
2 1
2
x
y
x

=
+
b)
2
3 1
1
x x
y
x
+
=
+
c)
4 2
3 2y x x
= + +
d)
sin(2 1) cos(1 )y x x
= + +
e)
3 2y x
= +
f)

2
4 1y x x
= + +
g)
2
tan( 2 1)y x x
= + +
Giải
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' '
'
'
2 2 2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 4 2 1 5
2
2 2 2
x x x x
x x x
y
x
x x x
+ +
+ +

= = = =
ữ
+

+ + +
b) Ta có
( ) ( )
'
2 2 2
'
2 2
3 1 (2 3)( 1) ( 3 1) 2 4
1
1 1
x x x x x x x x
y
x
x x

+ + + + + +
= = =
ữ
+
+ +

c) Ta có
( )
'
' 4 2 3
3 2 4 6y x x x x
= + + = +
d) Ta có
( )

'
'
sin(2 1) cos(1 ) 2cos(2 1) sin(1 )y x x x x
= + + = + +
e) Ta có
( )
'
'
3
3 2
2 3 2
y x
x
= + =
+
f) Ta có
(
)
'
' 2
2 2
2 4 2
4 1
2 4 1 4 1
x x
y x x
x x x x
+ +
= + + = =
+ + + +

g) Ta có
( )
( )
'
2
'
' 2
2 2
2 2 2 2
2 1
tan( 2 1)
cos ( 2 1)
1
2
2 1
cos ( 2 1) cos ( 2 1)
x x
y x x
x x
x
x x
x
x x x x x
+ +
= + + =
+ +
+
+
= =
+ + + +

2. Dạng 2. Giải phơng trình y = 0.
Phơng pháp. Ta tính y sau đó giải phơng trình y = 0.
Ví dụ 1. Giải phơng trình y = 0 biết.
a)
2
1
x
y
x
=

b)
3 2
3y x x
=
c)
3 2
4 12 9 1y x x x
= +
d)
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
e)

2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
f)
4
2
5
3
2 2
x
y x
= +
g)
4 2
2 3y x x
= +
h)
2
2
1
x x
y
x
+ +

=

i)
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
2
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Giải
a) Ta có

( )
'
2 2
'
2
2
1
1
x x x
y
x
x

= =
ữ



suy ra
( )
2
' 2
2
0
2
0 0 2 0
2
1
x
x x
y x x
x
x
=


= = =

=

Vây phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.
b) Ta có

( )
'
' 3 2 2
3 3 6y x x x x
= =
suy ra
' 2
0
0 3 6 0
2
x
y x x
x
=

= =

=

Vây phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.
c) Ta có

( )
'
' 3 2 2
4 12 9 1 12 24 9y x x x x x
= + = +

Suy ra
' 2
3
2
0 12 24 9 0
1
2
x
y x x
x

=

= + =


=


Vây phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt
3 1
,
2 2
x x
= =
d) Ta có

( )
'
2 2

'
2
2 2 2
1
1
x x x x
y
x
x

+ + +
= =
ữ
+
+


suy ra
( )
2
' 2
2
0
2
0 0 2 0
2
1
x
x x
y x x

x
x
=

+
= = + =

=
+

Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.
e) Ta có

( )
'
2 2
'
2
3 3 2
1
1
x x x x
y
x
x

+ + +
= =
ữ
+

+


suy ra
( )
2
' 2
2
0
2
0 0 2 0
2
1
x
x x
y x x
x
x
=

+
= = + =

=
+

Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.
f) Ta có

'

4
' 2 3
5
3 2 6
2 2
x
y x x x

= + =
ữ

Suy ra
' 3
0
0 2 6 0
3
x
y x x
x
=

= =

=

Vậy phơng trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt
0, 3x x
= =
.
g) Ta có

( )
'
' 4 2 3
2 3 4 4y x x x x
= + =
Suy ra
' 3
0 4 4 0 0y x x x
= = =
Vậy phơng trình y = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
h) Ta có
( )
'
2 2
'
2
2 2 3
1
1
x x x x
y
x
x

+ +
= =
ữ

Suy ra
( )
2
' ' 2
2
1
2 3
0 0 2 3 0
3
1
x
x x
y x x
x
x
=


= = =

=


Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.
i) Ta có
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
3
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
( )
'

2 2
'
2
2 2 4 1
1
1
x x x x
y
x
x

+ + +
= =
ữ
+
+

Suy ra
( )
2
' 2
2
2 2
2 4 1
2
0 0 2 4 1 0
1
2 2
2
x

x x
y x x
x
x


=

+ +

= = + + =

+
+
=


Vậy phơng trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt
2 2 2 2
,
2 2
x x
+
= =
3. Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.
Phơng pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lợng giác.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a) y y
2
-1 = 0 với y = tanx.

b) y + 2y
2
+ 2 = 0 với y = cot2x.
c) y
2
+ 4y
2
= 4 với y = sin2x.
Giải
a) Ta có
'
2
1
cos
y
x
=
Khi đó

( )
2 2 2
' 2
2 2 2
2 2
2 2
1 sin 1 sin cos
1 1
cos cos cos
1 sin cos
1 1

0
cos cos
x x x
y y
x x x
x x
x x

= =
+

= = =
Vậy ta có điều cần chứng minh.
b) Ta có
'
2
2
sin 2
y
x
=
Khi đó
( )
2 2
2
' 2
2 2 2
2 2 sin 2 cos 2
2 2cos 2
2 2 2 0

sin 2 sin 2 sin 2
x x
x
y y
x x x
+ +
+ + = + + = =
Vậy ta có điều cần chứng minh.
c) Ta có
y = 2cos2x
Khi đó
( )
2
' 2 2 2
4 4cos 2 4sin 2 4y y x x
+ = + =
Vậy ta có điều cần chứng minh.
III. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
b)

2
2 2
1
x x
y
x
+
=

c)
2
3
1
x x
y
x

=

d)
4 2
1y x x
= +
e)
3 2
2 3 1y x x
= +
f)
3 2
2 3 1y x x

= +
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau
a)
2
1
x
y
x

=

b)
3 2
3 2y x x
= +
c)
2
1
x
y
x
=
+
d)
3 1
2
x
y
x
+

=
+
e)
2
3 1
2 1
x x
y
x
+
=

f)
4 2
2 3 4y x x
= +
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm tơng ứng
a)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
tại điểm x
0
= -1

b)
4 2
5 4y x x
= +
tại điểm x
0
= 2
c)
3 2
2
5 2 4
3
y x x x
= + +
tại điểm
0
3x =
.
Bài 4. Giải phơng trình y = 0 trong các trờng hợp sau
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
4
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
a)
2
3 3
1
x x
y
x
+ +

=
+
b)
2
2 2
1
x
y
x
+
=
+
c)
3 2
3 2y x x
= +
d)
4 2
5 4y x x
= +
e)
4 2
2 4y x x
= +
f)
3
3 2y x x
= +
Tip tuyn ca th hm s
I. Kiến thức cơ bản.

1. Tiếp tuyến tại một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x
0
là một điểm thuộc vào TXĐ của hàm số trên và
tồn tại đạo hàm tại đó. Khi đó ta có tiếp tuyến với (C) tại điểm
(x
0
; f(x
0
)) có phơng trình là y = y
/
(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
)
Nhận xét: ở trên ta có y
/
(x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến. Ta cần tìm đợc hệ số góc và tiếp điểm trong tr-
ờng hợp này nếu muốn viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong nào đó. Các bài tập hay gặp trong
phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay tại giao điểm của đồ thị hàm số với đờng
thẳng nào đó.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị.
Cho hai hàm số y = f(x) (C
1
), y = g(x) (C
2

).
Khi đó (C
1
) tiếp xúc với (C
2
) khi và chỉ khi hệ phơng trình
' '
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm.
Chú ý:
+ Nếu hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) là hai đờng cong thì chúng tiếp xúc với nhau tại hai điểm khi hệ trên
có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu một trong hai đờng là đờng thẳng thì để có hai tiếp tuyến ta cần hệ trên có hai nghiệm phân
biệt.
II. Dạng toán cơ bản.
1. Dạng 1. Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm.
Phơng pháp: Ta cần tìm đợc toạ độ tiếp điểm dựa vào các dữ kiện bài toán đã cho.
Nhận xét: Trong dạng này ta thờng gặp các trờng hợp sau

+ Cho biết tọa độ của tiếp điểm.
+ Cho biết hoành độ của tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc hoành độ tiếp điểm.
+ Biết tung độ tiếp điểm hoặc điều kiện nào đó để tìm đợc tung độ tiếp điểm.
+ Tiếp điểm là giao điểm của đồ thị với một đồ thị khác. Khi đó ta cần giải hệ phơng trình để tìm
toạ độ của tiếp điểm.
2. Dạng 2. Tiếp tuyến đi qua một điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi
qua điểm M(x
M
; y
M
)
Phơng pháp:
Cách 1: Tìm tiếp điểm
Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm là M
0
(x
0
; y
0
). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng
trình y = f
/
(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
).
Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(x

M
; y
M
) suy ra y
M
= f
/
(x
0
)(x
M
-x
0
) + f(x
0
) giải phơng trình này ta tìm đợc
hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y
0
= f(x
0
) rồi viết phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.
Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
Giả sử đờng thẳng qua M(x
M
; y
M
) có hệ số góc k khi đó nó có phơng trình
y = k(x-x
M
) + y

M
Ta có đờng thẳng y = k(x-x
M
) + y
M
là tiếp tuyến của đờng cong (C)
/
( ) ( )
( )
M M
f x k x x y
f x k
= +



=

giải hệ
này ta tìm đợc hoành độ của tiếp điểm sau đó viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
Nhận xét: ở trên có bao nhiêu nghiệm x ta có bấy nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm M.
3. Dạng 3. Tiếp tuyến cho trớc hệ số góc:
Phơng pháp.
Cách 1. Tìm tiếp điểm
Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm là M
0
(x
0
; y
0

). Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phơng trình y = f
/
(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
).
Khi đó theo giải thiết ta có f
/
(x
0
) = k. Giải phơng trình này ta tìm đợc hoành độ tiếp điểm sau đó tìm y
0
= f(x
0
) rồi viết
phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng 1.
Nhận xét: Trong dạng này ta có thể gặp các bài tập nh sau:
*) Tiếp tuyến có hệ số góc k khi đó ta tìm tiếp điểm M
0
(x
0
; y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/
(x
0

) = k sau đó viết ph-
ơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
5
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ax + b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k =
1
a

sau tìm tiếp điểm
M
0
(x
0
; y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/
(x
0
) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = ax+ b khi đó tiếp tuyến có hệ số góc là k= a sau đó tìm tiếp điểm M
0
(x
0
;
y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/

(x
0
) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc

khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan

sau đó tìm tiếp
điểm M
0
(x
0
; y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/
(x
0
) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y = ax +b một góc

khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn
tan
1
k a
ka


=
+

hoặc chúng ta dùng tích vô hớng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó tìm tiếp
điểm M
0
(x
0
; y
0
) bằng cách giải phơng trình f
/
(x
0
) = k và viết phơng trình tiếp tuyến tơng ứng.
III. Ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
( ) 2 4 ( )y f x x x x C
= = + +
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết
a) Hoành độ tiếp điểm lần lợt là -1; 3;
2
b) Tung độ tiếp điểm lần lợt là -4.
c) Tiếp điểm là giao của (C) với trục hoành.
Giải
TXĐ:
D
=
Ă
Ta có
/ / 2
( ) 3 4 1y f x x x

= = + +
a) Với hoành độ tiếp điểm x
0
= -1 ta có y
0
= f(x
0
) = f(-1) = - 4;
/ /
0
( ) ( 1) 0f x f
= =
suy ra tiếp tuyến với (C)
khi đó có phơng trình y = f
/
(-1)(x+1) 4 hay y = - 4
Với hoành độ tiếp điểm x
0
= 3 ta có y
0
= f(x
0
) = f(3) = 44;
/ /
0
( ) (3) 40f x f
= =
suy ra tiếp tuyến với (C) khi
đó có phơng trình y = f
/

(3)(x-3) + 44 hay y = 40x 76
b) Với tung độ tiếp điểm y
0
= - 4 ta có x
0
= -1 hoặc x
0
= 0
Với hoành độ tiếp điểm x
0
= -1 ta có
/ /
0
( ) ( 1) 0f x f
= =
suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y =
f
/
(-1)(x+1) 4 hay y = - 4
Với x
0
= 0 ta có
/ /
0
( ) (0) 1f x f
= =
suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f
/
(0)(x+1) 4 hay y =
x 3.

c) Giao điểm của (C) với trục hoành có hoành độ là nghiệm của phơng trình
3 2 2
0 2 4 0 ( 1)( 3 4) 0 1y x x x x x x x
= + + = + + = =
Khi đó
/
(1) 8f
=
suy ra tiếp tuyến với (C) khi đó có phơng trình y = f
/
(1)(x-1) hay y = 8x 8.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
( ) ( 1) 1y f x x m x
= = + +
(C
m
). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C
m
) tại giao điểm
của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8.
Giải
TXĐ:
D
=
Ă
Ta có (C
m
) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)
/ / 2

( ) 3y f x x m
= =
. Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y
/
(0)x +1 m hay y =-mx +1-m
Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm
1
( ; 0) ( 0)
m
B m
m


suy ra
2
2 2
2 2
1 1 1
| | .| | |1 |.| | 8 16 | | 2 1
2 2
16 2 1 14 1 0 9 4 5
16 2 1 18 1 0
7 4 3
OAB A B
m
S y x m m m m
m
m m m m m m
m m m m m
m

= = = = +


= + + + = =



= + + =
=



Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB. Vậy với
9 4 5
7 4 3
m
m

=

=


thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
( ) 3 ( )y f x x x C
= =

viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết
a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 9
b) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
1
3
y x
=
Giải
TXĐ:
D
=
Ă
. Ta có
/ / 3
( ) 3 6y f x x x
= =
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
6
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
a) Gọi A(x
A
; y
A
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm khi đó ta có
/ 2 2
1
( ) 3 6 9 3 6 9 0
3
A
A A A A A

A
x
f x x x x x
x
=

= = =

=

Với
1
A
x
=
ta có
4
A
y
=
khi đó tiếp tuyến với (C) cần tìm là y = 9(x+1) 4 hay
y=9x+5.
Với x
A
= 3 ta có y
A
= 0 khi đó tiếp tuyến với (C ) cần tìm là y =9(x-3) hay y= 9x 27
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là k = 9 là
y=9x+5 và y= 9x 27.
b) Gọi M(x

M
;y
M
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng
1
3
y x
=
suy ra hệ số góc của nó là
k = -3 (Làm tơng tự nh phần a)
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2
2 3 12 5y x x x
=
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trong các trờng hợp
sau
a) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x 4.
b) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng
1
5
2
y x
= +
một góc 45
0
.
Giải
TXĐ:
D

=
Ă
. Ta có
/ 2
6 6 12y x x
=
a) Vì tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 6x 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6.
Gọi M
0
(x
0
; y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó ta có
0
/ 2 2
0 0 0 0 0
0
1 13
2
( ) 6 6 6 12 6 3 0
1 13
2
x
y x x x x x
x


=

= = =

+
=


Với
0
1 13
2
x

=
ta có
0
20 13 23
2
y

=
khi đó tiếp tuyến cần tìm là
1 13 20 13 23 26 13 29
6( ) 6
2 2 2
y x y x

= + = +
Với
0

1 13
2
x
+
=
ta có
0
7 13 23
2
y
+
=
khi đó tiếp tuyến cần tìm là
1 13 7 13 23 13 13 29
6( ) 6
2 2 2
y x y x
+ + +
= =
b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đờng thẳng
1
5
2
y x
= +
một góc 45
0
suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k thoả
mãn
0

1
1
2 1 2
2 1
2
tan 45 1 2 1 | 2 |
3
2 1 2
2
1
3
2
k
k k
k
k
k k
k
k k
k
k

+
+ =
=

+

= = + =

+ =



=

sau đó làm tơng tự nh phần a (Tìm tiếp điểm).
Ví dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) :
3 2
2 3 5y x x
= +
đi qua điểm
19
; 4
12
A

ữ

.
Giải
Giả sử đờng thẳng đi qua
19
; 4
12
A

ữ

có hệ số góc k, khi đó nó có dạng
19
4
12
y kx k
= +
(d)
Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghịêm
3 2
2
19
2 3 5 4 (1)
12
6 6 (2)
x x kx k
x x k

+ = +



=

Thay (2) vào (1) ta có
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
7
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
3 2 2 2 3 2
2
19

2 3 5 (6 6 ) 4 (6 6 ) 8 25 19 2 0
12
1
( 1)(8 17 2) 0 4
1
8
x x x x x x x x x x
x
x x x x
x
+ = + + =


=

+ = =


=


Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm
19
; 4
12
A

ữ

( Tự viết phơng trình tiếp tuyến).

Ví dụ 6. Cho hàm số
3 2
3 3 5 ( )y x x x C
= + + +
a) CMR: Không tồn tại hai điểm nào trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
b) Tìm k sao cho trên (C) có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng y = kx +
m.
Giải
a) Giả sử trên (C) có hai điểm M
1
(x
1
; y
1
) và M
2
(x
2
; y
2
) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với nhau.
Ta có y = 3x
2
+ 6x + 3 = 3(x+1)
2
.
Khi đó ta có
2 2
1 1 1 2
-1 = y'(x ).y'(x ) = 9.(x +1) .(x + 1) 0 1 0

vô lý
Suy ra giả sử là sai hay ta có điều cần chứng minh.
b)
Ví dụ 7. Cho hàm số y =
1
3
x
3
- x
2
có đồ thị (C)
Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(3; 0).
Giải
Đờng thẳng () đi qua A(3; 0) và có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3)
+) () là tếp tuyến với (C)






=


2
3 2
k = x 2 (1)
1
x ( 3) (2)

3
x
x k x
Hệ có nghiệm.
Thế (1) vào (2):
=
3 2 2
1
( 2 )( 3)
2
x x x x x

2x
3
-12x
2
+ 18x = 0


=


=

0
3
x
x
+) Với x
1

= 0

k
1
= 0

PTT
2
: y = 0
+) Với x
2
= 3

k
2
= 3

PTT
2
: y = 3x - 9.
Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho thoả mãn yêu cầu bài toán
y = 0 và y = 3x 9.
Ví dụ 8. Tìm a để đồ thị hàm số
2
1
1
x x
y
x
+

=

(C) tiếp xúc với (P) : y = x
2
+ a.
Giải
Điều kiện tiếp xúc của đồ thị (C) với (P)







+

= +



2
2
2
2
x 2
2x = (1)
( 1)
1
(2)
1

x
x
x x
x a
x

Hệ có nghiệm
Giải (1)

x = 0 Thế vào (2)

a = - 1
Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P).
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
8
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Ví dụ 9. Cho đờng cong
+
=

2
2 2
1
x x
y
x
(C)
Tìm các điểm trên Ox từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến này
vuông góc với nhau.
Giải:

Gọi M(a; 0) Ox; là đờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a)
() là tiếp tuyến của (C)


=





= +



2
1
1 (1)
( 1)
(I)
1
( ) 1 (2)
1
k
x
k x a x
x
Hệ có nghiệm.


=

= +



1
( 1) 1 (1)
1
1
( ) 1 (2)
1
k x x
x
k x a x
x
(2) - (1)



=

1 (1 )
(3)
1 2
k a
x

Kết hợp (3) và (1) ta có:





=


2 2
1
(1 )
1 (4)
4
k
k a
k
(4)

k
2
(1 - a)
2
+ 4k - 4 = 0
Từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)

Hệ trên có hai nghiệm phân biệt k
1
, k
2

và k
1
.k
2
= -1.









=




2
1
a 1

4
1
a = -1, a = 3
(1 )
a
a
Vậy các điểm cần tìm là (-1; 0); (3; 0)

Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ tơng đơng mà chỉ có a và k. Nhận thấy nếu tính đợc

1
1x
theo a và
k thay vào phơng trình (1) thì đợc một hệ mới tơng đơng trong đó có một phơng trình chỉ chứa a và k từ đó ta
có phép biến đổi nh trên và cách giải này là ngắn gọn.
Ví dụ 10. Cho đờng cong
+
=

2
2 2
1
x x
y
x
(C)
Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến này vuông góc với
nhau.
Giải:
() là đờng thẳng đi qua M(a; b) và có hệ số góc k nên PT (): y = k(x - a) + b.
() là tiếp tuyến của (C)


=

+ = +



2
1
1 (1)
( 1)
1
( ) 1 (2)
1
k
x
k x a b x
x
Hệ có nghiệm.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
9
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2


=





+ = +

1
( 1) 1 (3)
1
1
( ) 1 (4)
1
k x x
x
k x a b x
x
Lấy (4) - (3)

= +

2
(1 )
1
k a b
x

+
=

1 (1 )
1 2
k a b
x
(5)

Kết hợp (5) và (1) ta có hệ




+

=
ữ


2
1
(1 )
1 (6)
2
k
k a b
k
( k

1 vì từ (1) nếu k = 1 thì

x, hệ vô nghiệm.)




+ + + =

2 2 2
1
(1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (7)
k
k a a b k b
Vì từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)

hệ trên có hai nghiệm phân biệt k
1
, k
2
và k
1
.k
2
= - 1

( )





=




+ + +

2
2
2 2
1
4
1 (8)
1
(1 ) 2((1 ) 2) 4 0 (9)
a
b
a
a a b b




+ =


+

2 2
1
(1 ) 4 (10) (I)
1 0 (11)
a
a b
a b
Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2]

0

(1 - a)b + 2

0
Từ (10)

(1 - a)
2
+ b
2
+ 2(1 - a)b = 4 + 2(1 - a)b

(1 - a + b)
2
= 2(2 + (1 - a)b)
Vì 2+ (1 - a)b

0

1 - a + b

0.
Vậy ta có tập hợp các điểm M cần tìm là đờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ đi 4 điểm là giao các đờng thẳng x
= 1 và - x + y + 1 = 0 với đờng tròn đó là các điểm (1;

2); (
+
1 2; 2
); (

1 2; 2
).
Ví dụ 11. Cho đờng cong:
+
=

2
2 1
1
x x
y
x
(C)
Tìm tất cả các điểm trên đờng thẳng y = 7 mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với đờng cong (C) mà hai tiếp tuyến đó
hợp với nhau góc

= 45
0
.
Giải:
Gọi M đt: y = 7

M(a; 7).
Phơng trình đờng thẳng () qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + 7.
() là tiếp tuyến của (C)


=

+ = + +



2
2
2 (1)
( 1)
2
( ) 7 2 1 (2)
1
k
x
k x a x
x
Hệ có nghiệm.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
10
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2



=

+ = + +



2
( 1) 2( 1) (3)
1
2
( ) 7 2 1 (4)
1
k x x
x
k x a x
x
Lấy (4) - (3):
+ = +

4
3 (1 ) 7
1
k a
x


+
=

1 (1 ) 4

1 4
k a
x
(5)
Kết hợp (5) và (1)





+

=
ữ



2
2
(1 ) 4
2 2
4
k
k a
k

+ =

2 2
2
(1 ) 8 (2 ) 0 (6)
k
k a k a
Từ M kẻ hai tiếp tuyến hợp với nhau góc

= 45
0
.
Không mất tính chất tổng quát
Ta giả sử:

= +
0
1 2
45




+
=

2
1

2
1 tan
tan
1 tan

+
=

2
1
2
1
1
k
k
k

k
1
- k
1
.k
2
= 1 + k
2
(7)
Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà
= 0
c
a

có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm khác 0.
y
x

2

1

2
1
O
Vậy từ (6)




=




1
2
1
0
0
a
k

k
hoặc






=

1
2
1
0
0
a
k
k
(8)
Kết hợp (8) và (7) ta có:
=


=

1
2
0
1
k

k
hoặc
=


=

1
2
1
0
k
k
Nếu k
1
= 1, từ (6) :






+ =

2
1
3 a = 5 2 2
(1 ) 8(2 ) 0
a
a

a a
.
Nếu k
2
= -1 , từ (8) :






=

2
1
3 a = - 3 2 6
(1 ) 8(2 ) 0
a
a
a a

Vậy các điểm tìm đợc là : M
1;2
(

5 2 2
; 7); M
3;4
(
3 2 6

; 7)
Ví dụ 12. Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai (P) sau :
y = x
2
- 3x + 2 (1) và y = - x
2
+ 7x - 11 (2)
Giải:
Gọi tiếp tuyến chung là : y = ax + b. Gọi M
0
(x
0
; y
0
) và
0 0 0
' ( ' ; ' )M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến với Parabol (1)
và (2)
Theo điều kiện tiếp xúc của hai đờng ta có hệ sau :
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
11
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
=


= +

+ = +


= +

0
0
2
0 0 0
2
0 0 0
2 3 (1)
2 ' 7 (2)
3 2 (3)
' 7 ' 11 ' (4)
a x
a x
x x ax b
x x ax b
Hệ có nghiệm.
Từ (1) và (2)
=
0 0
5 'x x
(5)
Từ (3) và (4)
+ =
2 2
0 0
(5 ' ) 2 ' 11x x

Giải ra tìm đợc
= = =
0(1) 1 1
' 2 3; 7x a b

= = =
0(2) 2 2
' 3 1; 2x a b
Kết luận: Tiếp tuyến chung là: y = 3x - 7 và y = x 2.
Ví dụ 13. Tìm tiếp tuyến cố định của họ đờng cong có phơng trình:
+
=

( 1)
(m 0)
m x m
y
x m
Giải:
Gọi đờng thẳng: y = ax + b là tiếp tuyến cố định của họ đờng cong

Hệ phơng trình sau có nghiệm m 0

+ = +





=

2
2
2
1 (1)
(2)
( )
m
m ax b
x m
m
a
x m



+ = +





=



2
2

1 (3)
( ) (4)
m
m ax b
x m
m
a x m
x m
Lấy (3) - (4):
+ +
=

2
1 ( 1) 1
(5)
2
m a b
x m m
Kết hợp (2) và (5) ta đợc:
= + +
2
2
1
( ( 1) 1)
4
a m a b
m

(a + 1)
2

m
2
+ 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)
2
= 0
Phơng trình này thỏa mãn m 0

+ =



+ =

=


+ =

2
2
( 1) 0
a = 1
2( 1)( 1) 0
1
( 1) 0
a
a b
b
b
Kết luận: Vậy họ đờng cong có một tiếp tuyến cố định là: y = - x - 1

IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho
3 2
( ) : 1
m
C y x mx
= + +
. Tìm m để
( )
m
C
cắt đờng thẳng y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1), B, C sao
cho tiếp tuyến với
( )
m
C
tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số
3
1 2
3 3
y x x
= +
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng
1 2
3 3
y x
= +
.
Bài 3. Cho hàm số

3 2
3 1 ( )y x x C
= +
. CMR: Trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm
đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đồng quy tại một điểm cố định.
Bài 4. Cho
3 2
3 9 5 ( )y x x x C
= + +
. Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 5. Cho
3 2
1
3 2
2
4 7 4 ( )
2 5 6 8 ( )
y x x x C
y x x x C

= +


= +


Viết phơng trình tiếp tuyến với hai đồ thị trên tại giao điểm của
chúng.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
12

Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Bài 6. Viết phơng trình tiếp tuyến với
3
( ) 1 ( 1)C y x k x
= + +
tại giao điểm của nó với trục Oy. Tìm k để
tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 7. Cho hàm số
3 2
1
( ) : 2 4
3
C y x x x
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) trong các trờng hợp sau
a) Có hệ số góc k = - 2.
b) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 60
0
.
c) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 15
0
.
d) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng trục hoành góc 75
0
.
e) Tiếp tuyến tạo song song với đờng thẳng y = - x + 2.
f) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 2x 3.
g) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= 3x + 7 góc 45
0
.

Bài 8. Cho hàm số
3 2
( ) : 3 2C y x x
= +
a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm
23
( ; 2)
9
A

.
b) Tìm trên đờng thẳng y = - 2 những điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau.
Bài 9. Cho hàm số
3
( ) : 3 2C y x x
= + +
. Tìm trên trục hoành những điểm kẻ đợc ba tiếp tuyến với (C).
(ĐH SPHN2- KB-1999)
Bài 10. Cho hàm số
3
( ) : 6C y x x
=
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(2; 0).
(ĐH THHN- 1994).
Bài 11. Cho hàm số
3 2
( ) :
1
x
C y

x

=

. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 45
0
.
Bài 12. Cho hàm số
4 3
( ) :
1
x
C y
x

=

. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với đờng thẳng y = 3x góc 45
0
.
Bài 13. Tìm trên Oy những điểm kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với
1
( ) :
1
x
C y
x
+
=

.
Bài 14. Cho hàm số
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=

. Tìm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy
tại A, B tạo ra tam giác OAB vuông cân.
(HVBCVTHN - 1997).
Bài 15. Cho hàm số
2
2 5
( ):
2
x x
C y
x
+
=
+
. CMR: Tiếp tuyến với (C) tại mọi điểm M tùy ý luôn tạo với hai tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi.
Bài 16. Tìm các điểm trên đồ thị
3

1 2
( ):
3 3
C y x x
= +
mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng
1 2
3 3
y x
= +
. (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001)
Bài 17. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị
3 2
( ): 3 9 5C y x x x
= + +
.
(ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1998).
Bài 18. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất với đồ thị

3 2
1
( ) : 1
3
C y x mx x m
= +
( Học viện quan hệ quốc tế 2001).
Bài 19. Tìm điểm M trên đồ thị
3 2
( ) : 2 3 12 1C y x x x
= +

sao cho tiếp tuyến với (C) tai M đi qua gốc
tọa độ. ( ĐH Công Đoàn 2001).
Bài 20. Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị
3 2
( ) : 1
m
C y x mx m
= +
. Tìm quỹ
tích giao điểm của các tiếp tuyến đó.
( ĐH an ninh 2000_ k A).
Bài 21. Cho đồ thị hàm số
3 2
( ) : 3 2C y x x
= +
a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm
23
; 2
9
A


ữ

.
b) Tìm trên đờng thẳng y = -2 điểm mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C) và chúng vuông góc với nhau.
Bài 22. Cho hàm số
3
3 ( )y x x C
=

. Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 2 kẻ đợc đúng ba tiếp tuyến với (C).
( ĐH cần thơ 2000_ k A).
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
13
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
Bài 23. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đờng
thẳng y = -x. ( ĐH đà lạt 2000_ k A).
Bài 24. Cho hàm số
3
3 4 ( )y x x C
=
. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(1; 3)
( ĐH tây nguyên 2000_ k A).
Bài 25. Cho hàm số
3
3 1 ( )y x x C
= + +
. Đờng thẳng y = 5 tiếp xúc với (C) tại A và cắt (C ) tại điểm B, tìm
tọa độ điểm B. ( ĐH tây nguyên 2000_ k D).
Bài 26. Cho hàm số

3
3 2 ( )y x x C
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C ) đi qua điểm A(1; 0).
( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D).
Bài 27. Tìm các điểm trên trục hoành kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị
2
3
( ) :
2
x x
C y
x
+
=
+
Bài 28. Cho đồ thị
2
2 1
( ) :
1
x x
C y
x
+
=

. CMR trên đờng thẳng y = 7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm kẻ
đợc hai tiếp tuyến tới (C) và tạo với nhau một góc 45
0

.
Bài 29. Cho đồ thị
1
( ) :C y x
x
= +
. Tìm tậ hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy thoả mãn
a) Từ đó không kẻ đợc tiếp tuyến nào với đồ thị (C).
b) Từ đó kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C).
c) Từ đó kẻ đợc đúng một tiếp tuyến với đồ thị (C).
d) Từ đó kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C).
e) Từ đó kẻ đợc đúng hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đo vuông góc với nhau.
Bài 30. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 0) tới đồ thị
2
2 2
( ):
1
x x
C y
x
+ +
=
+
.
( ĐH dợc 1999).
Bài 31. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 0 ) tới đồ thị
2
1
( ):
1

x x
C y
x
+ +
=
+
.
( ĐH xây dựng 1995).
Bài 32. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+
.
( ĐHsp vinh 1998).
Bài 33. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 1 ) tới đồ thị
2
4 5
( ) :
2
x x
C y
x
+

=

.
( ĐH đà lạt 1999).
o hm v bi toỏn tớnh tng
I. Kiến thức cơ bản.
1. Khai triển nhị thức Newtơn.
Ta có
( )
0 1 1 1 1
0
. . . .
n
n
k k n k n n n n n
n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C b

=
+ = = + + + +

(1)
Trong đó:
+ a, b là hai số thực.
+ n là số nguyên dơng.
Nhận xét:
+ Trong khai triển trên số mũ của a giảm dần từ trái sang phải, ngợc lại số mũ của b tăng dần từ trái sang
phải. Số mũ của a và b trong mỗi số hạng cộng lại đều bằng n.
+ Trong khai triển trên có n + 1 số hạng.

+ Số hạng tổng quát trong khai triển (1) là
. (0 )
k k n k
n
T C a b k n

=
.
+ Số hạng thức k trong khai triển (1) là
1 1 1
. (1 1)
k k n k
n
C a b k n
+
+
.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
14
Tổ Toán _ Tin trờng thpt lục ngạn số 2
2. Một vài khai triển thờng dùng.
Ta có
( )
0 1 1 1
0
1 (2)
n
n
k k n n n n
n n n n n

k
x C x C C x C x C x

=
+ = = + + + +

Thay x = 1 vào hai vế của (2) ta có đẳng thức sau
0 1 1
0
2
n
n k n n
n n n n n
k
C C C C C

=
= = + + + +

Thay x = - 1 vào hai vế của (2) ta có đẳng thức sau
0 1 1 1
0
0 ( 1) ( 1)
n
k n n n n
n n n n n
k
C C C C C

=

= = + + +

3. Mối liên hệ của hai hàm số bằng nhau.
Ta có hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
Nếu f(x) = g(x) thì f(x) = g(x)
II. Dạng toán tính tổng của tổ hợp liên quan tới đạo hàm.
Ta có một vài chú ý khi gặp tính tổng của tổ hợp
+ Nếu trong vế tính tổng không có
0
n
C
thì ta cần dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x cả hai vế sau
đó thay x bằng một giá trị thích hợp.
+ Nếu trong một vế tính tổng không có
0
n
C
và
1
n
C
thì ta dùng khai triển rồi đạo hàm hai vế theo x hai lần
sau đó thãy bằng một giá trị thích hợp.
III. Ví dụ.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a)
2008 1 2 2008 2009
2009 2009 1009 2009
2009.2 2 2008 2009C C C C= + + + +
b)

2007 2 3 2008 2009
2009 2009 1009 2009
2009.2008.2 2 3.2 2008.2007 2009.2008C C C C= + + + +
Giải
( )
2009
0 1 2 2 3 3 2008 2008 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 (*)x C C x C x C x C x C x+ = + + + + + +
a) Ta có
Đạo hàm hai vế của (*) theo x ta có
( )
2008
1 2 2008 2007 2009 2008
2009 2009 2009 2009
2009 1 2008 2009x C C x C x C x+ = + + + +
(a)
Thay x = 1 vào đẳng thức (a) ta có
2008 1 2 2008 2009
2009 2009 1009 2009
2009.2 2 2008 2009C C C C= + + + +
Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh.
b)
Đạo hàm hai vế của (*) hai lần theo x ta có
( )
2007
2 3 2008 2006 2009 2007
2009 2009 2009 2009
2009.2008. 1
2 3.2 2008.2007 2009.2008

x
C C x C x C x
+
= + + + +
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có
2007 2 3 2008 2009
2009 2009 1009 2009
2009.2008.2 2 3.2 2008.2007 2009.2008C C C C= + + + +
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Đạo hàm và ứng dụng tập 1.
15