Các phương pháp tìm giới hạn hàm số 11

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn
• Cho khoảng K chứa điểm x
0
và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\
{x
0
}. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,x
n
\{x
0
} và x
n
,ta có limf(x
n
)=L .
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (x
o
;b) . khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ x
0
<x
n
<b và x
n
, ta có limf(x)=L .
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;x

0
). , khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ , a<x
n
<x
0
và x
n
, ta có limf(x
n
)=L .
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;+∞) . , khi và chỉ
khi với dãy (x
n
) bất kỳ ,x
n
>a và x
n
, thì limf(x
n
)=L
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (-∞;a) . , khi và chỉ
khi với dãy số (x
n
) bất kỳ ,x
n
<a và thì limf(x
n

)=L.
2. Giới hạn ở vô cực
• Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng(a;+∞) . , khi và
chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞ .
• Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\
{x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc
K\{x0} và x
n
, ta có limf(xn)=+∞ .
Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞
3.Các giới hạn đặc biệt
Trang 1
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Với k là một số nguyên dương
4. Đònh lý về giới hạn hữu hạn
* Đònh lý 1
a) Nếu và , thì
•
•
•
•
b) Nếu f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và
Đònh lý 2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) .
L>0
+∞ +∞
-∞ -∞
L <0
+∞ -∞

-∞ +∞
Trang 2
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
Dấu của g(x)
L ±∞ Tuỳ ý 0
L>0 0
+ +∞
- -∞
L <0 0
+ -∞
- +∞
B. Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
I. Thông thường ta áp dụng các quy tắc và đònh lý về giới hạn của hàm số là ta
tìm được ngay giá trò của giới hạn .
Ví dụ , Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 3
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
II. Một số dạngvô đònh thường gặp và cách biến đổi .
1. Để tính . Ta làm như sau:
• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử . Sau đó giản ước nhân tử chung :
• Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểu
thức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước .
• Một số biểu thức liện hợp thường dùng :
Trang 4
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
* Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành :
* Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc :
Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên )

Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung .
Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô đònh
Ví dụ1 . ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC).
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 5
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Vì , thì x+2<0 ,cho nên
Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 6
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
2. Để tìm giới hạn :(Dạng : )
Ta có thể làm như sau :
• Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử
và mẫu thành tích chứa nhân tử x
n
,rồi giản ước ).
• Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa x
k
ra ngoài dấu căn
( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho
luỹ thừa của x .
• - Chú ý đến cận : Khi x nghóa là x>0 ; còn x , nghóa là x<0
• - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên
hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trò
tuyệt đối )
Trang 7
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

Ví dụ 1. (Bài 32-tr159-GT11-NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Ví dụ 2. (Bài 44-tr167-GT11NC)
Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 8
Phng phỏp tỡm gii hn ca hm s
Vớ duù 3. Tỡm caực giụựi haùn sau :


+
2
2
x
3x(2x 1)
1. lim
(5x 1)(x 2x)
+
+
+ +
2
x
x x 1
2. lim
x x 1

+

2

3 2
3 lim
3 1
x
x x x
x

+ + + +
+ +
2
2
x
x x 2 3x 1
4. lim
4x 1 1 x
ứ giaỷi:
.
( )
( ) ( )



ữ



= = =
+

+

+
ữ ữ

2
2
2
2
x x x
1
3 2
3 2x 1
3x(2x 1) 6
x
1. lim lim lim
1 2
5x 1 x 2 5
(5x 1)(x 2x)
5 1
x x
+ +
+
+
= =
+ +
+ +
2
2
x x
2
1 1

x x 1
x
x
2. lim lim 0
1 1
x x 1
1
x
x
Trang 9
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
→ −∞ → −∞ → −∞
− + − − +
− +
= = =
−
 
−
−
 ÷
 
2
3 3
1 2 1 2
3 2 1
3 lim lim lim
1
1
3 1 3
3

3
x x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
→± ∞ →± ∞
 
+ + + +
 ÷
>

+ + + +
 

= =
− <

 
+ + −

+ + −
 ÷
 
2
2
2

x x
2
1 2 1
x 1 x 3
4 khi x 0
x x 2 3x 1
x x
x
2
4. lim lim
khi 0
1 1
4x 1 1 x
3
x 4 x 1
x
x
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
→−∞
+ +
−
3 3 2
2
1. lim
2 2
x
x x x
x
→−∞
+ + + +

−
3
3 2 2 3 2 2
3
2
( 2 ) 2
2 lim
3 2
x
x x x x x x
x x
→−∞
− +
−
2
3 2
3. lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
+ − +
+ −
x
(x x x 1)( x 1)
4. lim
(x 2)(x 1)
Bài giải :
→−∞ →−∞

 
+ +
 ÷
+ +
 
= =
−
 
−
 ÷
 
3
3 3 2
2
1 1
2
1. lim lim 1
1
2 2
2 1
x x
x
x
x x x
x
x
x
→−∞ →−∞
 
 

 
+ + + +
 ÷
  
+ + + +
 
= =
−
−
2
2
3
3
33 2 2 3 2 2
3
2
2 2
1 1 1
( 2 ) 2
2 lim lim 1
2
3 2
3
x x
x
x x
x x x x x x
x x
x
Trang 10

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
 
+ −
+ −
 
+ − +
 
= =
+ −
 
− + −
+ −
 
 
+ −
= = = → +∞ → ∞
− + −
3 2
3 2
3 2
2
x x x
3
x

2 3
x x 1
x x 1
(x x x 1)( x 1)
4. lim lim lim
(x 2)(x 1)
x x 2 x 2
x 2 x 1
1 1
1
t
t
lim 1 khi : t x ; khix ,t
1 2 2
1
t
t t
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
a)
x
2x 1
lim
x 1
→+∞
+
−
b)
2
2

x
x 1
lim
1 3x 5x
→−∞
+
− −
c)
2
x
x x 1
lim
x x 1
→ +∞
+
+ +
d)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)
→ −∞
−
− +
e)
3
3 2
3 2 2

lim
2 2 1
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
f)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2
x
x x
x x
→±∞
− −
+ −
g)
3 2
2
2 2
lim
3 1
x
x x
x x
→±∞

− −
− −
h)
4 2
3
3 1
lim
2 2
x
x x
x x
→±∞
− +
− + −
i)
2 2
4
x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
→±∞
− +
+
j)
2 3
2 2
x
(2x 3) (4x 7)
lim

(3x 4) (5x 1)
→ ±∞
− +
− −
k)
2
x
4x 1
lim
3x 1
→∞
+
−
l)
2
3 2
lim
3 1
x
x x x
x
→+∞
− +
−
→±∞
− + + −
− +
2
2
x

4x 2x 1 2 x
o) lim
9x 3x 2x
p)
2
2
x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→ ±∞
+ + + +
+ + −
q)
2
x
x x 3
lim
x 1
→+∞
+
+

3. Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ ) .
Hoặc
Trang 11
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
• Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới
dấu căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều
phân thức )

Dạng vô đònh
∞ −∞
và dạng 0.
∞
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hám số sau
3
1. lim (2 3 )
x
x x
→ +∞
−
→ ±∞
− +
2
2 lim 3 4
x
x x
→−∞
+ −
2
x
3. lim ( x x x)
2
4. lim ( 3 2 )
x
x x x
→ +∞
− + −
5. lim ( 2 2)
x

x x
→ +∞
+ − −
→ ± ∞
− + − − +
2 2
x
6. lim ( x 4x 3 x 3x 2)
Bài giải
3 3
2
3
1. lim (2 3 ) lim 2
x x
x x x
x
→ +∞ → +∞
 
− = − = +∞
 ÷
 
→ ±∞ →±∞
+∞ → +∞

− + = − + =

−∞ → −∞

2
2

3 4
2. lim 3 4 lim 1
x x
khix
x x x
khix
x x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞
   
+ − = + − = − + − = +∞
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
⇔ = =
+ +
− + +
2
x x x
2
x x
1 1
3. lim ( x x x) lim x 1 x lim x 1 1 .0 ?
x x
x 1
lim lim ?
1
x x x
1 1
x

2
2
3 2
4. lim ( 3 2 ) lim 1
x x
x x x x do x x x
x x
→ +∞ → +∞
 
− + − = − + = +∞ → +∞ ⇒ =
 ÷
 ÷
 
4 4
5. lim ( 2 2) lim lim 0
2 2
2 2
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
→ +∞ → +∞ → +∞
+ − − = = =
 
+ + −
+ + −
 ÷
 

Trang 12
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

→ ± ∞ → ± ∞
→ ± ∞
− +
− + − − + =
− + + − +
 

− −
 ÷
→ −∞

 
= =

 
− → +∞

− + + − +
 ÷

 
2 2
2 2
x x
x
2 2
x 1

6. lim ( x 4x 3 x 3x 2) lim
x 4x 3 x 3x 2
1
1
x 1
khi x
x
2
lim
1
4 3 3 2
khi x
x 1 1
2
x x
x x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau
Bài giải :
Ví dụ 3. ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1
.Tìm các giới hạn sau
Trang 13
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Bài giải :
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:

e)
2
x
lim ( x x x)

→+∞
+ −
g)
)23(lim
2
xxx
x
−+−
−∞→

h)
2
lim ( 2 4 )
x
x x x
→±∞
− + −
k)
2
lim ( 5 )
x
x x x
→±∞
+ +
l)
2
x
lim (2x 1 4x 4x 3)
→ ± ∞
− − − −

m)
2
x
lim (3x 2 9x 12x 3)
→ ± ∞
+ − + −

Trang 14
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
n)
)223(lim
2
−++−
+∞→
xxx
x
t)
3
3 2
x
lim ( x x x x)
→±∞
− + +
o)
)223(lim
2
−++−
− ∞→
xxx
x

p)
2
lim ( 3 2 1)
x
x x x
→±∞
− + + −

q)
2
lim ( 3 1 3)
x
x x x
→±∞
− + − +
r)
2
lim ( 4 3 2 1)
x
x x x
→ ±∞
− + − +

s)
3
3 2
x
lim ( x x x)
→ ±∞
+ −

v)
3
2 3
x
lim ( x 1 x 1)
→ + ∞
+ − −
w)
3
3 2
lim ( 2 1 3 )
x
x x x x
→ ±∞
+ − − −
4. Để tìm giới hạn
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .
• Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số )
một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)
• Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn
thức có cùng chỉ số và áp dụng các đònh lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết .
• Chẳng hạn ,ta tìm :
• Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau đó
áp dụng cách phân tích trên để giải . ( Thông qua ví dụ : )
Trang 15
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau

Bài giải :
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau.
Bài giải :
Trang 16
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 17
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 5. Tìm giới hạn sau :
Giải :
Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1. Khi đó
5 Để tìm giới hạn :
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .( với căn có chỉ số cao hơn
3- từ 4 trở đi ).
• Ta đổi biến số bằng cách đặt u=
• Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp
dụng các đònh lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay .
Trang 18
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99).
Tìm giới hạn sau :
Bài giải :
Ta có :
• Đặt :

• Đặt :
• Vậy :

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 19
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
6 Phần nâng cao . Áp dụng giới hạn :
• Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng
giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn
trên.
• Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức
với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới
hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các đònh lý và quy
tắc tìm giới hạn đã biết .
Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
Bài giải :
Trang 20
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau.
Bài giải :
Vậy :
III.Phần bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
Bài 2. Tìm các giới hạn sau
Bài 3. Tìm các giới hạn sau
Bài 4. Tìm các giới hạn sau
Trang 21
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau
III. Sử dụng đònh nghóa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số
• Theo đònh nghóa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x

0
là một giá trò
thuộc D . Giới hạn của tỷ số
Gọi là giá trò đạo hàm của hàm số tại điểm x
0
.
• Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x
0
)≠ 0 , thì :
• Một số công thức tính đạo hàm cần biết :
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001).Tìm giới hạn sau
Bài giải :
Trang 22
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Với :
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
Bài giải
Trang 23
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
Bài giải
Trang 24
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số
* Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn
Kết quả 1. Tìm giới hạn sau
Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho nên :
Ví dụ . Tìm giới hạn sau
Bài giải :
Do (1)

Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau
Trang 25