Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số

Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
I- ĐẠO HÀM
1. một vài công thức tính đạo hàm cấp n
( )
( ) ( )
(n)
m m n
x m m 1 m n 1 x
−
= − … − +

1
( )
( 1) ( 1)!
(ln )
n
n
n
n
x
x
−
− −
=
x ( ) x
(a ) a ln
n n
a=
với a>0
( )
( inx) in( )

2
n
S S x n
π
= +
( )
( osx) os( )
2
n
C C x n
π
= +
2.công thức mở rộng
1
2
2
( )' '
'
( )'
2
( )' '
'
(ln )'
( )' ' ln
(sin )' 'cos
(cos )' 'sin
'
(tan )'
os
'

(cot )'
sin
'
(log )'
ln
u u
u u
a
u u u
u
u
u
e u e
u
u
u
a u a a
u u u
u u u
u
u
c u
u
u
u
u
u
u a
α α
α

−
=
=
=
=
=
=
= −
=
−
=
=
2
1 1 1 1 1 1
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
ax
( )'
( )
2
( )'
( )
b ad bc
cx d cx d
a b a c b c
x x

a b a c b c
a x b x c
a x b x c a x b x c
+ −
=
+ +
+ +
+ +
=
+ + + +
3. một vài kết quả hay dùng
x
0
e 1
lim 1
x
x
→
−
=

x
0
a 1
lim ln
x
a
x
→
−

=

0
ln(1+x)
lim 1
x
x
→
=

0
ln(1+ax)
lim 1
x
ax
→
=

lim (1 )
x k
x
k
e
x
→+∞
+ =

lim (1 )
k
k

x
x
x e
→+∞
+ =
4. công thức leplit: nếu u,v là các hàm khả vi n lần thì:
onlysea7
1
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
( ) ( ) ( )
0
( )
n
n i i n i
n
i
uv C u v
−
=
=
∑
II-MỘT VÀI CÔNG THỨC TÌM GIỚI HẠN
1.PHƯƠNG PHÁP 1: ứng dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Tìm giới hạn:
0
lim ( )
x x
L Q x
→
=

Ta làm như sau:
B1: xác định hàm
0
( ) ( )f x f x=>
Xác định
0
'( ) '( )f x f x=>
B2: biến đổi phương trình về dạng:
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
L f x
x x
→
−
= =
−
0
0
0 0
0
( ) ( )
lim . ( ) '( ). ( )
x x
f x f x

L p x f x p x
x x
→
−
= =
−
với
0
( ) 0p x ≠
.
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )
'( )
x x
f x f x
x x f x
L
g x g x
g x
x x
→
−

−
= =
−
−
với
0
'( ) 0g x ≠
2. PHƯƠNG PHÁP 2: gọi đa thức vắng
Ta áp dụng kết quả sau:
0
1 ax 1
lim
n
x
a
x n
→
+ −
=
VD:tìm
7
0
( 2 1998) 1 2 1998
lim
x
x x
x
→
+ − −
Ta có:

2
7 7
2
( 1998) 1 2 1998 1 2 1
( ) ( 1998)
x x x
f x x x
x x
+ − − − −
= = + +
=>
0
3996
lim ( )
7
x
f x
→
= −
Trong ví dụ trên ta đã thêm bớt
2
1998x +
vào tử thức để xuất hiện dạng
0
1 ax 1
lim
n
x
x
→

+ −
. Đây là điểm mấu chốt của lời giải.
Tổng quát: để tìm
0
lim ( )
x
F x
→
ta thêm bớt p(x) vào f(x) làm xuất hiện dạng
1 ax 1
n
x
+ −
, hạng tử vắng là p(x) đã xưng danh
3. PHƯƠNG PHÁP 3: hệ số bất định
Xét ví dụ: tìm
3 3 2
2
1 1
5 7
lim ( ) lim
1
x x
x x
f x
x
→ →
− − +
=
−

Giải:
3 3 2
2 2
1 1
5 2 7 2
lim ( ) lim( )
1 1
x x
x x
f x
x x
→ →
− − + −
= −
− −
=
1
6
** trong lời giải trên,ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của f(x).câu hỏi đặt ra là:
1) Tại sao phải có số 2
2) Tại sao phải là số 2
3) Tìm số 2 như thế nào
onlysea7
2
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
** trả lời 2 câu hỏi: để tìm số 2 ta đưa ra thuật toán tìm số hạng vắng.
B1:
c∀ ∈¡
,ta có:
3 3 2

2 2
5 7
( )
1 1
x c x c
f x
x x
− − + −
= −
− −
B2:trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x
2
-1 cùng nhân tử với
3
1
( ) 5f x x c= − −
và
3 2
2
( ) 7f x x c= + −
.điều đó xảy ra khi chỉ khi c là nghiểm của
hệ sau:
1
2
( 1) 0
( 1) 0
f
f
± =



± =

2
2
6
c
c
c
=


=

⇔



=


 c=2 là đáp án cần tìm.
Tổng quát: giả sử
( )
( )
( )
f x
F x
g x
=

B1: phân tích
1 2
( ) ( )
( )
( ) ( )
f x c f x c
F x
g x g x
− −
= +
B2:tìm c. gọi x
1
,x
2
,x
n
là nghiệm của g(x)=0 ,khi đó c là nghiệm của hệ:
1 1
2 1
( ) 0
( ) 0
f x c
f x c
+ =


+ =

hoặc
1 2

2 2
( ) 0
( ) 0
f x c
f x c
+ =


+ =

hoặc … hoặc
1
2
( ) 0
( ) 0
n
n
f x c
f x c
+ =


+ =

4. PHƯƠNG PHÁP 4: tách bộ phận kép
Muốn tìm giới hạn
( ) ( )
lim
( )
m n

k
x a
f x g x
x a
→
−
−
có dạng vô định
0
0
(m,n,k
∈¥
),
1 min( , )k m n≤ ≤
,ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức
( )
( )
k
h x
x a−
vào phân thức
phải tìm giới hạn:
1 1
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
m n
m m
m n
k k k

f x h x h x h x g x h x
f x g x
x a x a x a
+ − − +
−
= +
− − −
1 1
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
k k
f x g x
x a Q x x a Q x
= +
− −
Trong đó
1 2
( ), ( )Q x Q x
là biểu thức liên hợp của
( ) ( )
m
f x h x−
,
( ) ( )
m
h x g x−
.
Lúc đó:
1 1

1 2
( ) ( )
lim
( ) ( ) ( ) ( )
k k
x a
f x g x
x a Q x x a Q x
→
+
− −
có dạng quen thuộc
VD:tìm giới hạn
3 2 3 2
3
0
8 6 9 9 27 27
lim
x
x x x x x
L
x
→
+ + + − + +
=
Đặt
3 2 3 2
( ) 8 6 9 8 ( 3)f x x x x x x= + + + = + +

2 3 3

( ) 9 27 27 ( 3)g x x x x x= + + = − + +
Ta có: L=
3 2 3 3
3
3
0
8 ( 3) ( 3)
lim
x
x x x x
x
→
+ + − − + +
=
3 2 3 3
3
3 3
0
8 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
lim( )
x
x x x x x x
x x
→
+ + − + + − − + +
+
onlysea7
3
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
=

3 3
3 3 2 3 3 3
0
3
8
lim(
( 8 ( 3) ( 3)) (( 3) ( 3) )
x
x x
x x x x x x x x
→
+
+ + + + + + − + +
=
3 2 3 3
0
3
8 1
lim( )
( 8 ( 3) ( 3)) (( 3) ( 3) )
x
x x x x x x
→
+
+ + + + + + − + +
=
37
27
5. PHƯƠNG PHÁP 5: công thức L’HOSPITAL
Cho hai hàm số

( ), ( )f x g x
có đạo hàm trên (a,b)
Giả sử rằng :
0 0
0 0
0
lim ( ) lim ( ) 0
lim ( ) lim ( )
'( )
lim
'( )
x x x x
x x x x
x x
f x g x
f x g x
f x
g x
α
→ →
→ →
→

= =





= = ∞




=


thì:
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
α
→
=
Nhận xét:
1. kết quả trên vẫn đúng khi thay x
0
bằng
±∞
2. khi x
→
x
0
(hoặc
∞
) mà
0

'( )
lim
'( )
x x
f x
g x
→
vẫn có dạng
0
,
0
∞
∞
ta áp dụng quy tắc
trên một lần nữa.
3. nếu
0
'( )
lim
'( )
x x
f x
g x
→
không tồn tại thì không thể kết luận
0
( )
lim
( )
x x

f x
g x
→
không tồn tại
nghĩa là
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
có thể có giới hạn.
VD: tìm giới hạn
0
1 2 1 sinx
lim
3 4 2
x
x
x x
→
− + +
+ − −
Giải: ta có
2
(1 2 1 sinx)' cos
2 2 1
x x

x
−
− + + = +
+
3
( 3 4 2 )' 1
2 3 4
x x
x
+ − − = −
+
=>
0
1 2 1 sinx
lim
3 4 2
x
x
x x
→
− + +
+ − −
=
0
2
cos
2 2 1
lim
3
1

2 3 4
x
x
x
x
→
−
+
+
−
+
=0
II-BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm giới hạn sau:
1.
3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
→
− − +
−

2.
3

2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
onlysea7
4
Một số phương pháp tìm giới hạn mslive.nstars.org
3.
2 1
0
2
lim( )
1
x
x
x
x
+
→
+
+
4.
sin 2 sin
0
e e

lim
sinx
x x
x→
−
**chú ý: để giải một số dạng vô định như
0 0
1 , ,0
∞
∞
ta tìm
0
lim(ln )
x x
y
α
→
=
với
( )
[ ( )]
g x
y f x=
rồi suy ra
0
lim
x x
y
→
=

e
α
KIẾN NGHỊ
Do thời gian soạn thảo đề tài còn ngắn, nên không tránh khỏi những sai sót,
mong mọi người đọc và đóng góp ý kiến.Để tôi kịp thời chỉnh sửa đổi,bổ sung và
hoàn thiện kiến thức cá nhân.
Mọi ý kiến xin gửi về:
www.mslive.nstars.org
onlysea7
5