Phân loại bài tập hình học giải tích trong không gian theo bài sgk

1. TỌA ĐỘ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHỒNG GIAN
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I. LÝ THUYẾT
1. Tọa độ và biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ
+ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(x; y; z) (hoặc
u
r
= (x; y; z)). Khi đó (x; y; z) gọi là tọa độ
của điểm M (hoặc
u
r
) với hoành độ là x, tung độ là y, cao độ là z.
+ Các biểu thức tọa độ cần nhớ:
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 a b a b ;a b ;a b
a b a b ;a b ;a b
k.a k.a ;k.a ;k.a k R
+ = + + +
− = − − −
= ∈
r r
r r
r
( ) ( )
( ) ( ) ( )
B A B A B A

2 2 2
B A B A B A
A B A B A B
2 AB x x ; y y ;z z
AB x x y y z z
x x y y z z
M ; ;
2 2 2
= − − −
= − + − + −
+ + +
 
 ÷
 
uuur
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3
+ + + + + +
 
 ÷
 
( )
( )
1 1
2 2
3 3
a b
3 a b a b

a b
a và b b 0
=


= ⇔ =


=

≠
r r
r r r
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
4 a.b a .b a .b a .b
a a a a
a b a .b a .b a .b 0
= + +
= + +
⊥ ⇔ + + =
r r
r
r r
( )
( )
1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a .b a .b a .b
5 cos a,b
a a a . b b b
+ +
=
+ + + +
r r
( )
( )
3 32 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a aa a a a
b b b b b b
6 a,b ; ;
 
=
 
r r
: tích có hướng của 2 véctơ
Véctơ
a,b
 
 
r r
vuông góc với cả hai véctơ
a
r
,

b
r
( )
a,b a . b .sin a,b
 
=
 
r r r r r r
, từ đó suy ra diện tích
∆
ABC là:
1
S AB, AC
2
 
=
 
uuur uuur

Điều kiện để 3 véctơ
a,b,c
r r r
đồng phẳng là:
a,b .c 0
 
=
 
r r r
Điều kiện để A, B, C, D không đồng phẳng là:
AB,AC .AD 0

 
≠
 
uuur uuur uuur
Thể tích tứ diện ABCD là:
1
V AB,AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
2. Phương trình mặt cầu
+ Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
+ Phương trình
2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0+ + − − − + =
với điều kiện
2 2 2
a b c d 0+ + − >
là phương trình mặt
cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R =
2 2 2
a b c d+ + −
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 1 -
(M là trung điểm của AB)

cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho a
1
= kb
1
; a
2
= kb
2
; a
3
= kb
3

(G là trọng tâm tam giác ABC)
II. BÀI TẬP
Bài 1. Cho véctơ
a 3i 2 j 5k= − − +
r r r
r
, trong các véctơ sau đây véctơ nào cùng phương với
a
r
a)
u 6i 4 j 10k= + −
r r r
r
b)
4 10
v 2; ;
3 3

 
= −
 ÷
 
r
c)
3 2
w ; ;1
5 5
 
=
 ÷
 
r
d)
x i 4 j 2k= − +
r
r r r
Bài 2. Cho
u 3 j 5k;v i j;w 5i 7k= − = − = +
r r r r r r
r r r
a) Tính:
cos(u;v)
r r
;
cos(v;w)
r r
; cos
(v; i)

r
r
.
b) Tính:
u 5v 2w+ −
r r r
;
3i 7 j v− +
r r
r
.
Bài 3. Tìm x và y để 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4), C(x ; y; 6) thẳng hàng.
Bài 4. Xét sự đồng phẳng của các véctơ sau
a)
u (1;2;3)=
r
,
v (3; 1;2)= −
r
,
w (2; 3; -1)=
uur
;
b)
u (9; 3;7)= −
r
,
v (1;8;8)=
r
,

w (5; 5; -1)=
uur
.
Bài 5. Cho 3 véctơ
u (2; 1;1), v (m;3; 1), w i 2 j k= − = − = + +
uur
r r r
r r
. Tìm m để 3 véctơ trên đồng phẳng.
Bài 6. Cho 3 điểm A(3; -1; 4), B(1; 2; -4), C(-3; 2; 1)
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác.
b) Tính côsin các góc và diện tích của tam giác ABC.
Bài 7. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; -1; 1), B(3; 1; -2), C(-1; 2; 4), D(5; -6; 9)
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD và tính thể tích tứ diện.
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 8. a) Cho A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2), D(7; 7; 5). Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành và tính
diện tích hình bình hành ABCD.
b) Cho A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13). Chứng minh rằng ABCD là hình thang và tính diện
tích của hình thang ABCD.
c) Cho A(4; 2; -6), B(5; -3; 1), C(11; 9; -2), D(12; 4; 5). Chứng minh rằng ABCD là một hình chữ nhật.
d) Cho A(4; 2; 6), B(10; -2; 4), C(4; -4; 0), D(-2; 0; 2). Chứng minh rằng ABCD là một hình thoi.
Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(-1; 3; -4), B(5; 0; 5), C(1; 2; -1), D’(1; -1; 2). Tìm tọa độ các
đỉnh còn lại của hình hộp đó.
Bài 10. Cho 3 điểm A(1; 2; 1), B(5; 3; 4), C(8; -3; 2)
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Tính côsin các góc của tam giác ABC và diện tích tam giác.
c) Tìm toạ độ chân đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ điểm B.
Bài 11. Cho 4 điểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Chứng minh rằng 4 điểm này tạo thành 4 đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính côsin các góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
c) Tính thể tích của tứ diện và chiều cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Tính góc tạo bởi AC’ và A’B.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC và DD’. Chứng minh rằng AC’
(MNP)⊥
.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 2 -
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi
M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho
1
SN SB
3
=
uuur uur
.
a) Tính độ dài MN.
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Bài 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = h.
a) Tính côsin góc tạo bởi AB’ và BC’.
b) Xác định tỉ số
h
a
để AB’
BC'⊥
.
Bài 15. Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau
a)
2 2 2
x y z 8x 2y 1 0+ + − + + =

b)
2 2 2
x y z 4x 8y 2z 4 0+ + + + − − =
c)
2 2 2
x y z 4x 2y 5z 7 0− − − + + − − =
d)
2 2 2
3x 3y 3z 6x 3y 9z 3 0+ + − + − + =
Bài 16. Viết phương trình mặt cầu biết
a) Tâm I(2; 1; -1), bán kính R = 4.
b) Đi qua điểm A(2; 1; -3) và tâm I(3; -2; -1).
c) Đường kính là AB và A(-1; 2; 3), B(3; 2; -7).
d) Đi qua bốn điểm O(0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1).
Bài 17. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) đi qua 2 điểm A(1; 3; 0), B(1; 1; 0) và tâm I thuộc Ox.
Bài 18. Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) đi qua 3 điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2) và C(0; 12; 4) và tâm I
thuộc mp(Oyz).

Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 3 -
2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I. LÝ THUYẾT
1. Phương trình mặt phẳng
+ Véctơ
n
r

≠

0
r

gọi là véctơ pháp tuyến của (
α
) nếu giá của
n
r
vuông góc với (
α
). Khi đó véctơ k.
n
r
cũng
là một véctơ pháp tuyến của (
α
).
+ Mặt phẳng (
α
) đi qua
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và VTPT là
n
r
= (A ; B ; C) có phương trình là
( ) ( ) ( )
0 0 0
A. x x B. y y C. z z 0− + − + − =
+ Mỗi phương trình dạng
( )
2 2 2

Ax By Cz D 0 A B C 0+ + + = + + >
đều là phương trình của một mặt phẳng
xác định.
Chú ý
+ Mặt phẳng (
α
) đi qua 3 điểm A, B, C nhận véctơ
n
r
=
AB,AC
 
 
uuur uuur
là một VTPT
+ Mặt phẳng (
α
) đi qua A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0) và C(0 ; 0 ; c) (a.b.c
≠
0) có phương trình theo đoạn chắn
là
x y z
1
a b c
+ + =
.
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là
Ax By Cz D 0 và A'x B'y C'z D' 0+ + + = + + + =
.

+ Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi A : B : C
≠
A’ : B : C’.
+ Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi
A B C D
A ' B' C' D'
= = ≠
.
+ Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi
A B C D
A ' B' C' D'
= = =
.
3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và (
α
):
Ax By Cz D 0+ + + =
, khoảng cách từ M đến (
α
) là:
( )
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d M,( )

A B C
+ + +
α =
+ +
II. BÀI TẬP
Bài 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT
n
r
biết:
a) Điểm
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b)
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
Bài 2. Cho 4 điểm A( 3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 3. Lập phương trình mp
( )
α
đi qua điểm
( )
M 1;1;0−
và song song với mp
( )

β
:
x 2y z 10 0− + − =
.
Bài 4. Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1; 1; 1) và song song với các trục Ox và Oy.
Bài 5. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1; -1; 1) và B(2; 1; 1) và song song với trục Ox.
Bài 6. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có
phương trình x + 2y + 3z + 4 = 0.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 4 -
Bài 7. Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một
khoảng d = 5.
Bài 8. Cho A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ và
phương trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2; –1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt
phẳng (P) có phương trình 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua I(–1; –2; –5) và đồng thời vuông góc với hai mp(P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0.
b) Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho: OR = 2OP = 2OQ.
c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc với
mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0.
d) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với
trục Oy.
f) Mặt phẳng (X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên mặt phẳng (X).
Bài 11. Cho mp(P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0. Xác định giá trị của k và m để hai mặt
phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Bài 12. Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
a) Chứng minh (P) cắt (Q).
b) Viết phương trình mp(S) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1).
c) Viết phương trình mp(T) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và song song với mp(R).
d) Viết phươngtrình mp(X) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R).

Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mặt phẳng(Oyz) một góc 60
0
.
Bài 14. Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. Viết phương trình
mp(R) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z = 0 một góc nhọn
ϕ
mà cos
ϕ
=
3
125
.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng mp(AB’D’) song song mp(BC’D).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.
c) Chứng minh rằng A’C vuông góc (BB’D’D).

Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 5 -
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ THUYẾT
1. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng d đi qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có véctơ chỉ phương
u
r

= (a; b; c) có:
+ Phương trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

+ Phương trình chính tắc là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
(với a.b.c
≠
0)
Chú ý: Để viết phương trình đường thẳng cần xác định 1 điểm thuộc đường thẳng và 1 VTCP hoặc xác định
2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng đó.
Khi biết phương trình đường thẳng ta xác định được điểm thuộc đường thẳng và VTCP của nó
2. Vị trí tương tối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d:

có M d
u là 1 VTCP
∈





r
và d’:
có M' d'
u ' là 1 VTCP
∈





uur
+ Nếu
[u, u'].MM' 0≠
r uur uuuuur
thì
u
r
,
u '
uur
,
MM '

uuuuur
không đồng phẳng, khi đó d và d’ chéo nhau.
+ Nếu
[u, u'].MM' 0=
r uur uuuuur
và
u
r
,
u '
uur
không cùng phương thì d và d’ cắt nhau.
+ Nếu
u
r
,
u '
uur
cùng phương và M
∉
d’ thì d và d’ song song.
+ Nếu
u
r
,
u '
uur
cùng phương và M
∈
d’ thì d và d’ trùng nhau.

Chú ý: Có thể sử dụng tọa độ giao điểm để xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
Hai đường thẳng d và d’ vuông góc nhau khi và chỉ khi
u
r
⊥
u '
uur

⇔

u
r
.
u '
uur
= 0.
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho hai đường thẳng d:
có M d
u là 1 VTCP
∈





r
và mặt phẳng (P):
( )
có N P

n là 1 VTPT
 ∈




r
+ Nếu
u
r
.
n
r
≠
0 thì d cắt (P).
+ Nếu
u
r
.
n
r
= 0 và M
∉
(P) thì d và (P) song song.
+ Nếu
u
r
.
n
r

= 0 và M
∈
(P) thì d nằm trong (P).
+ Nếu
u
r
và
n
r
cùng phương thì d vuông góc với (P).
Chú ý: Có thể sử dụng tọa độ giao điểm để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
4. Các công thức khoảng cách
Cho A(x
0
; y
0
; z
0
) hai đường thẳng
∆
:
có M d
u là 1 VTCP
∈





r

và
∆
’:
có M' d'
u ' là 1 VTCP
∈





uur
+ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:
( )
AM,u
d A;
u
 
 
∆ =
uuuur r
r
+ Nếu
∆
và
∆
’ song song:
( ) ( )
d , ' d M, '∆ ∆ = ∆
.

+ Nếu
∆
và
∆
’ chéo nhau thì:
( )
u.u ' .MM'
d , '
u.u '
 
 
∆ ∆ =
 
 
r uur uuuuur
r uur
.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 6 -
II. BÀI TẬP
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
a) Song song với đường thẳng a:
x t
y t
z t
= +
= − −
= − −






1 5
2 2
1
b) Song song với các trục Ox.
c) Vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0.
Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d:
a) Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).
b) Đi qua điểm M(2; 3;–5) và song song với đường thẳng d’ là giao tuyến của 2 mặt phẳng có phương trình
lần lượt là 3x – y + 2z – 7 = 0 và x + 3y – 2z + 3 = 0.
Bài 3. Cho 3 điểm A(–1; –2; 0), B(2; 1; –1), C(0; 0; 1).
a) Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC.
c) Tính thể tích hình tứ diện OABC.
Bài 4. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
a) Trên mặt phẳng (Oxy).
b) Trên mặt phẳng (Oxz).
Bài 5. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng lần lượt có
phương trình 2x – y + z + 5 = 0 và 2x – z + 3 = 0 trên mặt phẳng x + y + z – 7 = 0.
Bài 6. Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết phương trình của:
a) Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD.
b) Đường cao AH của tứ diện ABCD.
Bài 7. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng
d:
x 3 y z

2 2 1
−
= =
tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
Bài 8. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 1), vuông góc và cắt d:
1
2 4 3
x y z +
= =
.
Bài 9. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
có phương
trình lần lượt là:
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
;
2 1 1
2 3 5
x y z− + −
= =
−
.
Bài 10. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(0; 0; 1), vuông góc với d
1

:
1 2
3 4 1
x y z− +
= =
và cắt
đường thẳng d
2
:
x 1
y t
z 1 t
= −


=


= +

.
Bài 11. Cho đường thẳng d:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
và mp(P): x – y – z – 1 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 7 -
b) Gọi N = d ∩ (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.

Bài 12. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng d là giao tuyến
của hai mặt phẳng 3x + 2y – 2z + 8 = 0 và 2x – y + 3z + 7 = 0.
Bài 13. Lập phương trình đường thẳng d:
a) Đi qua điểm M(2; –3; –5) và vuông góc với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0.
b) Đi qua điểm N(1; 4; –2) và song song với các mặt phẳng: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Bài 14. Cho mp(α) có phương trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có phương trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
a) Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β).
b) Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β).
c) Lập phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β).
Bài 15. Cho mp(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17). Tìm trên
(α) điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé nhất.
Bài 16. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng (d
1
),
(d
2
) có phương trình lần lượt là:
1
4
x t
y t
z t
= −


=


=


;
2
4 2
1
x t
y t
z
= −


= +


=

.
Bài 17. Cho hai đường thẳng d:
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
; d’:
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa d và d’.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.

Bài 18. Chứng minh hai đường thẳng d
1
, d
2
cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm, lập phương trình mặt phẳng chứa
hai đường thẳng đó. Biết d
1
, d
2
có phương trình lần lượt là:
2 3
3 2
4 6
x t
y t
z t
= −


= −


= +

;
5
1 4
20
x t
y t

z t
= +


= − −


= +

.
Bài 19. Cho hai điểm M(1; 1; 1), N(3; –2; 5) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0.
a) Tính khoảng cách từ N đến mp(P).
b) Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng MN trên mp(P).
Bài 20. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =
trên mặt phẳng (P)
có phương trình là: x + 2y + 3z + 4 = 0.
Bài 21. Cho hai đường thẳng d:
4
6 2
x t
y t
z t
=



= +


= +

và d’:
6 3
1
x h
y h
z h
=


= − +


= − +

.
a) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
b) Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Viết phương trình của đường thẳng
∆
qua K, vuông góc
với d và cắt d’.
Bài 22. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3; -1) đến đường thẳng d có phương trình:
x 5 3t
y 2t
z 25 2t
= +



=


= − −

.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 8 -
Bài 23. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 và (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0.
Bài 24. Trên trục Oz tìm điểm M cách đều điểm A(2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.
Bài 25. Trên trục Oy tìm điểm N cách đều hai mp(P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0.
Bài 26. Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng sau:
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
.
Bài 27. Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0.
a) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Bài 28. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình:
1 2 2

3 2 2
x y z+ − −
= =
−
.
a) Chứng minh rằng đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
b) Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 29. Tính góc tạo bởi cặp đường thẳng sau
1 2
1
3 4
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

và
2
1 3
4 2
x t
y t
z t
= −



= − +


= +

Bài 30. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết d:
2 1 3
4 1 2
x y z+ − −
= =
−
và (P): x + y – z + 2 = 0.
Bài 31. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).
Bài 32. Cho mặt cầu (S): (x + 2)
2
+ (y – 1)
2
+ (z + 5)
2
= 49 và d:
5 3
11 5

9 4
x t
y t
z t
= − +


= − +


= −

.
a) Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S).
b) Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm trên.
Bài 33. Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y + 4z = 0. Viết phương trình
mặt phẳng song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 34. Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S): (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
= 100.

a) Lập phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P).
b) Chứng minh rằng mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường
tròn đó.

Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 9 -