Tổng hợp các dạng toán khó tiểu học

Bài1: Tổng của các tích 2 số tự nhiên liên tiếp
Tính tích S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ……………… + 11x12 + 12x13
Giải
Cách 1:
S = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ……………… + 11x12 + 12x13
3S=1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ ………. + 11x12x3 + 12x13x3

Ta lấy K = 1x2x3 +2x3x4 + 3x4x5 + …… + 11x12x13 + 12x13x14
- 3S = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3+ ……… + 11x12x3 + 12x13x3

K – 3S = 0 + 2x3x1 + 3x4x2 + …… + 11x12x10 + 12x13x11

K – 3S = K – 12x13x14
Từ đó suy ra: 3S = 12x13x14
S = 4x13x14 = 728
Cách 2:
S x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + …. + 11x12x(13-10) + 12x13x(14-11)
S x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 – 2x3x1 + 3x4x5 – 3x4x2 + … + 11x12x13 – 11x12x10 +12x13x14 – 12x13x11
S x 3 = 12 x 13 x14
S = 4 x 13 x 14
S = 728

Bài 2: Tổng các phân số
Cho A= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Giải
Cách 1:
Cách 2:


Bài 3: Tổng các phân số
Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42

Giải


Bài 4: Tổng các phân số
Cho A= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + + 1/n . Biết A= 49/50 . Tìm n.
Giải


Bài 5:


Bài 6:
Tính A = 2008+2007/2+2006/3+2005/4+ +2/2007+1/2008
1/2 + 1/3 + 1/4 +………… + 1/2008 + 1/2009

Ta có tử số bằng: 2008+2007/2+2006/3+2005/4+… +2/2007+1/2008
(Phân tích 2008 thành 2008 con số 1 rồi đưa vào các nhóm)
= (1 + 2007/2) + (1 + 2006/3) + (1 + 2005/4) + + (1 + 2/2007) + ( 1 + 1/2008) + (1)
= 2009/2 + 2009/3 + 2009//4 + ……. + 2009/2007 + 2009/2008 + 2009/2009
= 2009 x (1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/2007 + 1/2008 + 1/2009)
Mẫu số: 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/2007 + 1/2008 + 1/2009
Vậy A = 2009

Bài 7



Bài 8:

Bài 9:
Cho A = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + + 1/16 + 1/17
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
Giải
Ta có:
A = (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + (1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11) +
(1/12 + 1/13 + 1/14) + (1/15 + 1/16 + 1/17) <

(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + 3(1/6) + 3(1/9) + 3(1/12) + 3(1/15) =

2(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) < 2(1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4) = 3

Mt khác
A = (1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12) +
(1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + 1/17 >

(1/2 + 1/3 + 1/4) + 4(1/8) + 4(1/12) + 4(1/16) =

2(1/2 + 1/3 + 1/4) > 2(1/2 + 1/4 + 1/4) = 2 => 2 < A < 3
Vy A không là số tự nhiên

Bài 10:
Tính: A=1x2x3+2x3x4+…+100x101x102

A = 1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102
Nhân A với 4 ta có :
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + + 100x101x102x(103 - 99)
A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102
Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103

A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650

Bài 11:
Cho một số tự nhiên có 2014 chữ số. Biết rằng với hai chữ số liên tiếp theo thứ tự đã viết thì
tạo thành số có hai chữ số chia hết cho 17 hoc chia hết cho 23. Nếu chữ số cuối cùng của số đó
là chữ số 1 thì chữ số đầu tiên là chữ số nào?

Ta suy luận dần thế này:
Chữ số cuối cùng là 1 thì chữ số liền trước phải là 5 để 51 chia hết cho 17 (51:17=3) ………51
Trước chữ số 5 phải là 8 để có 85:17=5 ……….851
Trước chữ số 8 phải là 6 để có 68:17=4 ……….6851
Trước chữ số 6 phải là 4 để có 46:23=2 ……….46851
Trước chữ số 4 phải là 3 để có 34:17=2 ……….346851
Trước chữ số 3 phải là 2 để có 23:23=1 ……….2346851
Trước chữ số 2 phải là 9 để có 92:23=4 ……….92346851
Trước chữ số 9 phải là 6 để có 69:23=3 ……….692346851
…………
Tiếp tục: ………….92346 92346 92346 851
Ta thấy quy luật lập nhiều lần lại 5 chữ số: 9;2;3;4;6 cuối cùng là 851.
Bỏ 3 chữ số cuối cùng (851) thì còn lại: 2014-3=2011 (chữ số)
Chia nhóm 5 thì được: 2011 : 5 = 402 (nhóm 5) dư 1.
Chữ số cuối cùng trong nhóm 5 là chữ số 6.
Vậy chữ số đầu tiên trong dạy là 6

(6 92346 92346 92346 …………. 92346 92346 851)

Bài 12:
Tính tổng : A=38/25 + 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 - +197/4851-
199/4950
Từ: 9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45 + 197/4851 - 199/4950

Ta có thể viết lại: (9/10 - 11/15) + (13/21 - 15/28) + 17/36 – 19/45 + (197/4851 - 199/4950)
Ta thấy :
(9/10 - 11/15) = 1/6 = 1/(2x3) = 1/2 – 1/3
(13/21 – 15/28) = 1/12 = 1/(3x4) = 1/3 – 1/4
(17/36 – 19/45) = 1/20 = 1/(4x5) = 1/4 – 1/5
………………
(197/4851 – 199/4950) = 1/2450 = 1/(49x50) = 1/49 – 1/50
Ta được:
9/10 - 11/15 + 13/21 - 15/28 + 17/36 – 19/45 + 197/4851 - 199/4950 =
1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+ …. + 1/49-1/50 = 1/2 – 1/50 = 24/50
Vậy :
A = 38/25 + 24/50 = 2
A = 2
Bài 13:
Cho dãy số: 4/3;9/8;16/15;25/24;36/35; Hãy tìm số hạng thứ 98 và tính tích của 98 số
hạng đầu tiên của dãy số.
Giải


Bài 14:
Trong một giải bóng đá có k đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (2 đội bất kì thi đấu với
nhau một trận).Đội thng được 3 điểm. Đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào.
Kết thc giải, ngưi ta nhận thấy rằng số trận thng-thua gấp đôi số trận hòa và tổng số điểm các
đội là 176. Hãy tìm k ?

Trận thng 3 điểm, trận hòa 2 điểm (vì mỗi đội được 1 điểm).
s trn thng-thua gấp đôi s trn ha
Tổng số điểm là 176 điểm.
Tỉ số điểm cho trận thng-thua và hòa là: (3x2) / (2x1) = 3/1
Tổng số phần bằng nhau:

1 + 3 = 4 (phần)
Số điểm cho các đội hòa là:
176 : 4 = 44 (điểm)
Số trận hòa là:
44 : 2 = 22 (trận)
Số điểm cho các trận thng thua là :
176 – 44 = 132 (điểm)
Số trận thng thua là :
132 : 3 = 44 (trận)
Tổng số các trận đấu là :
22 + 44 = 66 (trận)

Do k là số đội nên số trận đấu sẽ là :
k x (k-1) : 2
Ta được :
k x (k-1) : 2 = 66
k x (k-1) = 66x2 = 132
Do k và (k-1) là 2 số tự nhiên liên tiếp và 132 = 12 x 11
nên k = 12 (Hay có 12 đội thi đấu.)