tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn toán

TRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN AN


T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN





GV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước Sang


Ôn tập Tốt nghiệp

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An



















1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1 Tập xác định:
D = ℝ

2 Tính
y
′

3 Cho
0y
′
=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có).
4 Tính hai giới hạn:
lim ; lim

x x
y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.

3 2
( 0)

y ax bx cx d a= + + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y
′
=

0a > 0a <
0y
′
= có 2 nghiệm
phân biệt

0y
′
= có nghiệm kép




0y
′
= vô nghiệm




Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn

www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
4 2
( 0)

y ax bx c a= + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y
′

=

0a >

0a <

0y
′
=
có 3 nghiệm
phân biệt


0y
′
=
có 1 nghiệm duy
nhất




Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0

x
và
0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x
′

3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=
(*)
2 Thay
0
( )y x
′
vào (*) để tìm

0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −


Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với
y ax b= +
có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với

( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1
a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x BT m=

2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao
điểm của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và đường thẳng
: ( )d y BT m=
.
3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An




Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết
quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề.
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:
( )f x ax b= + (*)
2 Lập luận: số giao điểm của
( )C
và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )C
và d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại giao điểm của
( )C
với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9 0x x x m− + + =

Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 12 9y x x
′
= − +

 Cho
2
0 3 12 9 0 1y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ =
hoặc
3x =

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;5)D
, điểm cực tiểu
(3;1)T


Cho 6 12. 0 2 3y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
(2;3)I

 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a > 0)
x
−∞
1 3
+∞

y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +
∞

–
∞
1
m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … …. ….
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y

1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
(2;3)I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
0 (0) 1x y= ⇒ = .
Giao điểm của
( )C
với trục tung là:
(0;1)A


(0) 9f
′
=

 Phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại A là:
1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = +

Câu c: Ta có,
3 2 3 2
6 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = −


3 2
6 9 1 1x x x m⇔ − + + = −
(*)

 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị
( )C
và
đường thẳng
: 1d y m= −
cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔
 
− < >
 
 

Bài 2
: Cho hàm số
2 3
3 2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại các giao điểm của

( )C

với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình:
3 2
4 6 3 0x x a− − =

Bài giải
Câu a: Hàm số
2 3
3 2y x x= −
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm:
2
6 6y x x
′
= −

 Cho
2
0 6 6 0 0y x x x
′
= ⇔ − = ⇔ =
hoặc
1x =

 Giới hạn:
lim ; lim

x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
−∞
0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 –
y
+∞ 1
0 –
∞
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O

Cho
1 1
2 2

6 12 . 0y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1
2 2
( ; )I

 Bảng giá trị:
x

1
2
−
0
1
2
1
1
2

y
1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
1 1
2 2

( ; )I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
2 3
0 3 2 0y x x= ⇔ − =
3
2
0x
x

=

⇔

=



Giao điểm của
( )C
với trục hoành là:
(0;0)O
và
3
2
( ;0)B

 Tại
(0;0)O
:

(0) 0f
′
=
, phương trình tiếp tuyến là:
0y =

 Tại
3
2
( ;0)B
:
3 9
2 2
( )f
′
= −
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )y x y x− = − − ⇔ = − +

Câu c: Ta có,
3 2 2 3 2 3
4 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ −
3
2
a= −
(*)
 Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị

( )C

và đường thẳng
3
2
:d y a= −
, do đó ta có bảng kết quả sau đây:
a
3
2
a−

Số giao điểm
của
( )C
và d
Số nghiệm của
phương trình (*)

2
3
a < −

3
2
1a− >

1 1
2
3

a = −

3
2
1a− =

2 2
2
3
0a− < <

3
2
0 1a< − <

3 3
0a =

3
2
0a− =

2 2
0a >

3
2
0a− <

1 1

www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )C
với đường thẳng
3
2
2y x= +

Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
2
x x
y x
+ +
′
= ≥ ∀ ∈ ℝ
do đó hàm số luôn đồng
biến trên
ℝ
và không đạt cực trị.
 Giới hạn:
lim ; lim
x x

y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Bảng biến thiên:







1
2
3 3 0 1y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )I − −

 Bảng giá trị:
x

3
−

2−

1−
0 1
y

9
2
−
1−
1
2
−
0
7
2

 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm
1
2
( 1; )I − −

Câu b: Tiếp tuyến của
( )C
song song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

có hệ
số góc

3
0
2
( )k f x
′
= =

2
0 0
3 6 3
2
x x+ +
⇔ =
3
2
2
0
0 0
0
0
3 6 0
2
x
x x
x

=

⇔ + = ⇔


= −



 Với
0
0x =
thì
0
(0) 0y y= =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
0 ( 0)y x y x− = − ⇔ =
(trùng với
∆
)



x
−∞

1−

+∞

y
′

+ 0 +
y
+∞

–∞

1
2
−

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An
 Với
0
2x = −
thì
0
( 2) 1y y= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = +
(song song với
∆
)
 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2y x= +

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và
3
2
2y x= +
là nghiệm
phương trình
3 2
3 3
2
x x x+ +
=
3 2
3
2 3 3 3 4
2
x x x x x+ ⇔ + + = +
3 2 2
1
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2
x
x x x x x
x

=

⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

= −





7
2
1x y= ⇒ =
và
2 1x y= − ⇒ = −

 Vậy,
( )C
và
3
2
: 2d y x= +

cắt nhau tại 2 điểm:

(
)
7
2
1;A
và
( 2; 1)B
− −

Bài 4
: a) Khảo sát và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số:
4 2
2 3y x x
= − −

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )C
tại điểm trên
( )C

có hoành độ x là nghiệm của phương trình
( ) 20f x
′′
=

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm:
4 2
2 0x x m− + =

Bài giải
Câu a:Hàm số
4 2
2 3y x x= − −
 Tập xác định:
D
=
ℝ


3
4 4y x x
′
= −
 Cho
3
0 4 4 0 0; 1y x x x x
′
= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
–∞ –1 0 1 +∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
3
− +∞

–4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D −
và hai điểm cực tiểu
1 2
( 1; 4), (1; 4)T T− − −

 Bảng giá trị:
x

2−
–1 0 1
2

y
–3 –4 –3 –4 –3
 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng
qua trục tung như hình vẽ
Câu b:Ta có,
2 2 2
12 4 20 12 24 2 2y x x x x
′′
= − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

 Đáp số:
4 2 11y x= −
và
4 2 11y x= − −
(học sinh tự giải)
Câu c:Ta có,
4 2 4 2
2 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − −
(*)
 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi
( )C
và
: 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)
3 3 0
0 1
3 4 1
m m
m
m m
 
 
− − ≤ − ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
 
 
− − > − <
 
 
 

Bài 5
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
4 3y x x= − + −

b) Dùng đồ thị
( )C
biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 0x x m− + =

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:
Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 2 4 2
4 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = −

 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho
m m – 3
Số giao
điểm
của
( )C

và d
Số nghiệm

của
phương
trình (*)
m > 4 m – 3 > 1 0 0
m = 4 m – 3 = 1 2 2
0 < m < 4

– 3 < m – 3 < 1

4 4
m = 0 m – 3 = – 3 3 3
m < 0 m – 3 < – 3 2 2

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
Bài 6 : Cho hàm số
3
– 3 1
y x x= +
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm thuộc
( )C

có hoành độ bằng 2.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3
– 3 1 2 0x x m+ + =
.
Bài 7
: Cho hàm số
3 2
1 3
2 2
2y x x= − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
song song với đường thẳng d:
9
2
2y x= − +

c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất:
3 2
3 4 0x x k
− − − =

Bài 8 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x
= + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến song song với
: 12 1d y x= −

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3 2
2 3 2 0x x m+ + =

Bài 9 : Cho hàm số
3 2
1 3 5
3 2 2
y x x= − + −
có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ x thoả
1y
′′
=

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
và
: 2 0d y − =
.
d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
3 2
2 9 6 0
x x
e e m− + =

Bài 10 : Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của
( )C
song song với đường thẳng
8 3y x= −

d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất:
3 2
3 log 0x x a
− − =


www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 11 : Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(*)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Tìm toạ độ giao điểm của

( )C với đường thẳng d:
1y x= − −

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
4 6 1 0x x m− + − =

Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x
= − +
,
m
là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )
C
vuông góc với đường thẳng d:
1 1
3 3
y x= −

c) Tìm các giá trị của a đường thẳng
2y ax= +
cắt
( )
C

tại ba
điểm phân biệt.
Bài 13
: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x= − + −
có đồ thị ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm A(0; –2)
c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với
9 4 4 0x y− − =

d) Biện luận theo m số giao điểm của
( )
C
và
: 2d y mx= −

Bài 14 : Cho hàm số

3
4 3 1
y x x= − −
, có đồ thị là ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Tìm m để phương trình
3
4 3 1
x x m
− − =
có đúng 3 nghiệm.
c) Viết pttt với
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành.
d) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
72
:d y x
= −

Bài 15
: Cho hàm số
3 2
2 6 6 2y x x x= − + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
, Ox ,
1, 2x x= =

Bài 16
: Cho hàm số
2 2
(2 )y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
2−

c) Viết pttt với

( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm
4 2
2 0x x m− + =

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 11 - THPT Chu Văn An
Bài 17 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 5.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:
4 2
2 3 2 0x x m+ + + =

Bài 18 : Cho hàm số
1
2
y =
4 2
3x x− +
3
2
có đồ thị ( )C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt với

( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8.
c) Tìm
m
để phương trình sau có 4 nghiệm:
4 2
6 log 0
x x m− + =

Bài 19
: Cho hàm số
2 2
(1 ) 6
y x= − −
có đồ thị ( )
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2
x x m
− =

c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1

24
:d y x= −

Bài 20
: Cho hàm số
1
4
y = −
4 2
2 1x x+ −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tìm m để phương trình
4 2
8 4x x m− + =
có nhiều hơn 2 nghiệm
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
tại điểm trên
( )C

có hoành độ là nghiệm của phương trình
( ) 10y x
′′
=

Bài 21
: Cho hàm số

1
4
y =
4 2
2x x−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
song song với
1
: 15 2012d y x= +
.
c) Viết pttt của
( )C
vuông góc với
2
:d
8
45
2012y x= − +

d) Tìm m để phương trình
4 2
8x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 22
: Cho hàm số

4 2
( 1)y x mx m= − − +
có đồ thị
( )Cm

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm
( 1; 4)M −

b) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi
2m = −
.
c) Gọi
( )H
là hình phẳng giới hạn bởi
( )C
và trục hoành. Tính thể
tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay
( )H
quanh trục hoành.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 12 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( 0, 0)c ad cb≠ − ≠
ax b
y

cx d
+
=
+

1 Tập xác định:
{ }
\
d
c
D = −ℝ

2 Tính
2
( )
ad cb
y
cx d
−
′
=
+
và khẳng định
y
′
dương hay âm,
d
c
x∀ ≠ −

3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
( ; ),( ; )
d d
c c
−∞ − − +∞
và không đạt cực trị.
4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
 Tính
lim
x
a
y
c
→−∞
=
và
lim
x
a
y
c
→+∞
=
, suy ra
a
y
c
=
là TCN

 Tính
( )
lim
d
c
x
y
−
→ −
và
( )
lim
d
c
x
y
+
→ −
, suy ra
d
x
c
= −
là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.

( 0, 0)

ax b
y c ad cb
cx d
+
= ≠ − ≠
+

0y
′
>

0y
′
<





Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt
luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 13 - THPT Chu Văn An
b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ

0
x
và
0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x
′

3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=
(*)
2 Thay
0
( )y x
′

vào (*) để tìm
0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −


Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với y ax b= + có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với

( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1
a
k = −

d) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của

( )C
và d:
( )f x ax b= +
(*)
2 Lập luận: số giao điểm của
( )C
và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung
độ bằng
5

2

c) Chứng minh rằng đường thẳng
: 2d y x m= − +
luôn cắt đồ thị

( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài giải
Câu a: Hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
 Tập xác định:
\ { 1}D = −ℝ

 Đạo hàm:
2
1
0, 1
( 1)
y x
x
′
= > ∀ ≠ −

+
, do đó hàm số đồng biến
trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
,
( 1; )− +∞
và không đạt cực trị.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 14 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 2 ; lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= = ⇒
y = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒
1x = −
là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:

x
−∞

1−

+∞

y
′

+ +
y


+∞
2

2

−∞

 Bảng giá trị:
x
–2
3
2
−
–1
1
2

0
y
3 4  0 1
 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm
( 1;2)I −
như hình vẽ
Câu b: Với
5
2
y =
thì
2 1 5
2(2 1) 5( 1) 3
1 2
x
x x x
x
+
= ⇔ + = + ⇔ = −
+

 Ta có
2
1 1
4
( 2)
( 3)f
−
′

− = =

 Vậy, tiếp tuyến của
( )C
tại
5
2
( 3; )M −
là:
5 1 1 13
2 4 4 4
( 3)y x y x− = + ⇔ = +

Câu c:Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và d là nghiệm phương trình
2 1
2 2 1 ( 2 )( 1)
1
x
x m x x m x
x
+
= − + ⇔ + = − + +
+
, 1x ≠ −
2
2 (4 ) 1 0x m x m⇔ + − + − =
(*) (
1x = −
không thoả (*))

 Biệt thức của phương trình (*):
2 2
4 12 ( 2) 8 0,m m m m∆ = − + = − + > ∀ ∈ ℝ

 Do
0∆ > nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó
( )C
và d
luôn có 2 điểm chung phân biệt.
Bài 24
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3
2
x
y
x
−
=
−

b) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
:d y x= −

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng
:d y x m= − +
cắt đồ thị

( )C
tại 2 điểm phân biệt.
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 15 - THPT Chu Văn An
Câu a: Hàm số
3 3
2 2
x x
y
x x
− −
= =
− − +
 Tập xác định:
\ {2}D = ℝ

 Đạo hàm:
2
1
0, 2
(2 )
y x
x
−
′
= < ∀ ≠
−
, do đó hàm số nghịch biến
trên các khoảng

( ;2)−∞
,
(2; )+∞
và không đạt cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:
lim 1 ; lim 1
x x
y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒
1y = −
là tiệm cận ngang.

2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
2x =
là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x
−∞
2
+∞

y
′

− −
y
1−


−∞
+∞



1−

 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y

3
2
−
–2

0
1
2
−

 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm

(2; 1)I −
như hình vẽ

Câu b:  Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x= −
nên có hệ số
góc
0
( ) 1k f x
′
= = −

2
0
1
1
(2 )x
−
⇔ = −
−
2
0
(2 ) 1x⇔ − =
0 0
0 0
2 1 1
2 1 3
x x
x x
 

− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

 Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là
1y x= − −
và
3y x= − +

Câu c: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )C
và d:
3
2
x
x m
x
−
= − +
−
2
( 3) 2 3 0x m x m⇔ − + + + =
(*)

( )C
và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương

trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
0 2 3 0m m⇔ ∆ > ⇔ − − >

( ; 1) (3; )m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

 Vậy với
( ; 1) (3; )m ∈ −∞ − ∪ +∞
thì đồ thị
( )C
và đường thẳng
:d y x m= − +
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 16 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
7
2

d) Tìm m để
: ( 1) 2d y m x= + +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 26
: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )H
của hàm số.

b) Lập phương trình tiếp tuyến của
( )H
biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
c) Viết pttt với
( )H
tại điểm trên
( )H
có hoành độ bằng
3−
.
d) Tìm m để đường thẳng
1y mx= +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 27
: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C

của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4
−

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số
m
đường thẳng
y x m= −
luôn cắt đồ thị
( )C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 28
: Cho hàm số
3
2
1
y
x
= +
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với đồ thị

( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Tìm m để đường thẳng
:d y m x= −
cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt
Bài 29
: Cho hàm số
2
3
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )C

tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
3
2
−

d) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5
4
−

e) Xác định toạ độ giao điểm của
( )C
và 3 2y x= − +
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 17 - THPT Chu Văn An
Bài 30 : Cho hàm số
2
1
y
x
=
+
có đồ thị là ( )C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
tại các giao điểm
của
( )C
với đường thẳng
: 2 1d y x= −

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
d) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
1 3
2 2
y x= − +

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 31 : Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+

có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến của
( )C
đi qua điểm
M song song với đường thẳng d : y = –2x
Bài 32
: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
tại giao điểm của ( )
C
với
: 2 3d y x= −

.
c) Viết pttt của
( )
C
vuông góc với đường thẳng
1
2
2012y x= +

d) Tìm m để đường thẳng d:
2y mx= +
cắt cả hai nhánh của
( )C
.
Bài 33
: Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C

, Ox và
2x =
.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3y x= − +
đồng thời tiếp xúc với đồ thị
( )C

Bài 34 : Cho hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục tung.
c) Viết pttt với
( )C
tại các giao điểm của
( )C

với
: 2 4d y x= − −

d) Tìm a để đường thẳng
: 3y ax∆ = +
đồ thị
( )C
không giao nhau
e) Tìm tất cả các điểm trên
( )C
có toạ độ đều là các số nguyên.
www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 18 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]
1 Hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [a;b].
2 Tính
( )y f x
′ ′
=
.
3 Cho
0y
′
=
để tìm các nghiệm
[ ; ]
i

x a b∈
(nếu có) và các số
[ ; ]
j
x a b∈ làm cho
y
′
không xác định (nhớ loại các số
[ ; ]x a b∉
l
)
4 Tính các giá trị ( )
i
f x ,
( )
j
f x
và
( ), ( )f a f b

(không được tính
f
của các x
l
đã bị loại)
5 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
4. Điều kiện để hàm số có cực trị
(tóm tắt)
 Nếu

0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

<



thì hàm số
( )y f x=
đạt cực đại tại
0
x

 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x

f x

′

=


′′

>



thì hàm số
( )y f x=
đạt cực tiểu tại
0
x

 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
có cực đại, cực tiểu
0
y
′
⇔ ∆ >

 Hàm số
4 2

y ax bx c= + +
có cực đại, cực tiểu
. 0a b⇔ <

5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
đồng biến trên
ℝ

0
0,
0
y
y x
a
′


∆ ≤

′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔


>




ℝ

 Hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
nghịch biến trên
ℝ

0
0,
0
y
y x
a
′


∆ ≤

′
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔


<



ℝ

 Hàm số

ax b
y
cx d
+
=
+
đồng biến trên từng khoảng xác định
0, 0y x D ad cb
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔ − >
(không có dấu “=”)
 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định
0, 0y x D ad cb
′
⇔ < ∀ ∈ ⇔ − <
(không có dấu “=”)
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 19 - THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 35 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a)
3 2

8 16 9y x x x= − + −
trên đoạn [1;3]
b)
2
4 ln(1 )y x x= − − trên đoạn [–3;0]
c)
3 2
2 ln 3 ln 2y x x= − −
trên đoạn
2
[1; ]e

d)
2
( 1)
x
y e x x= − −
trên đoạn [0;2]
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
8 16 9y x x x= − + −
liên tục trên đoạn [1;3]
 Đạo hàm:
2
3 16 16y x x
′
= − +

 Cho

2
0 3 16 16 0y x x
′
= ⇔ − + =
loaïi
nhaän
4
3
4 [1; 3] ( )
[1; 3] ( )
x
x

= ∉

⇔

= ∈



 Trên đoạn [1;3] ta có:
(
)
; ;
4 13
3 27
(1) 0 (3) 6f f f= = = −

 Do

13
27
6 0− < <
nên
[1;3]
min (3) 6
x
y f
∈
= = −
và
[1;3]
max
x
y
∈
(
)
4 13
3 27
f= =

Câu b: Hàm số
2
4 ln(1 )y x x= − −
liên tục trên đoạn [–3;0]

2
4 2 2 4
2

1 1
x x
y x
x x
− + +
′
= + =
− −

 Cho
(nhaän)
(loaïi)
2
1 [ 3; 0]
0 2 2 4 0
2 [ 3;0]
x
y x x
x

= − ∈ −

′
= ⇔ − + + = ⇔

= ∉ −



 Trên đoạn [–2;0]:

; ;
( 1) 1 4 ln 2 ( 3) 9 8 ln 2 (0) 0f f f− = − − = − =

 Do
16
1 4 ln 2 ln 0
e
− = <
và
2
9 8 ln 2 1 8 ln 0
e
− = + >
nên
[ 3;0]
min ( 1) 1 4 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −
và
[ 3;0]
max ( 3) 9 8 ln 2
x
y f
∈ −
= − = −

Câu c: Hàm số
3 2

2 ln 3 ln 2y x x= − −
liên tục trên đoạn
2
[1; ]e

 Đặt
lnt x=
thì
2
[1; ] [0;2]x e t∈ ⇔ ∈
, hàm số trở thành
3 2
( ) 2 3 2y g t t t= = − −
có
2
0 [0;2]
( ) 6 6 0
1 [0;2]
t
g t t t
t

= ∈

′
= − = ⇔

= ∈



 Trên đoạn [0;2]:

(0) 2 ; (1) 3 ; (2) 2g g g= − = − =

 Do
3 2 2− < − <
nên
2
[1; ]
min (1) 3
x e
y g
∈
= = −
và
2
[1; ]
max (2) 2
x e
y g
∈
= =

www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 20 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Câu d: Đáp số:

[0;2]
min (1)y f e= = −
và
2
[0;2]
max (2)y f e= =

Bài 36 : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
3 2
4 3y x mx x= + + +

a) Đồng biến trên
ℝ
b) Có cực đại và cực tiểu
Bài giải
Câu a:
3 2
4 3y x mx x= + + +
(*)
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 2 4y x mx
′
= + +
có
2
12
y
m

′
′
∆ = −

 Hàm số (*) đồng biến trên
ℝ
0,y x
′
⇔ ≥ ∀ ∈ ℝ

2
3 0
0
2 3
0
12 0
y
a
m
m
′




>
>




⇔ ⇔ ⇔ ≤
 
′
 
∆ ≤
− ≤
 





 Vậy, với
2 3 ;2 3m
 
∈ −
 
 
thì hàm số (*) đồng biến trên
ℝ

Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu
0y
′
⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt
2
0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )
y

m m
′
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

 Vậy với
( ; 2 3) (2 3; )m ∈ −∞ − ∪ +∞
thì hàm số (*) có cực đại và
cực tiểu.
Bài 37
: Tìm điều kiện của m để hàm số
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +

đạt cực đại tại
0
2x =

Bài giải
Câu a:
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
(*)
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2 2
( ) 3 6 ( 1)y f x x mx m
′ ′
= = − + −

( ) 6 6y f x x m
′′ ′′
= = −


Hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2x =
khi và chỉ khi
2
(2) 0 {1;11}
12 11 0
11
(2) 0 2
12 6 0
f m
m m
m
f m
m

 

′
 
= ∈
− + =

 


⇔ ⇔ ⇔ =
  
′′
  
< >
− <
  
 
 




Vậy với
11m =
thì hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2x =


www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 21 - THPT Chu Văn An
Bài 38 : Chứng minh rằng nếu
sin
x
x
y
e
=

thì
2 2 0y y y
′′ ′
+ + =

Bài giải
Hàm số
sin
.sin
x
x
x
y e x
e
−
= =
có tập xác định
D = ℝ


( ) .sin .(sin ) (cos sin )
x x x
y e x e x e x x
− − −
′ ′ ′
= + = −


( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 cos
x x x

y e x x e x x e x
− −
′′ ′ ′
= − + − = −


2 2 2 cos 2 (cos sin ) 2 sin 0
x x x
y y y e x e x x e x
− − −
′′ ′
+ + = − + − + =

 Vậy, với
.sin
x
y e x
−
=
thì
2 2 0y y y
′′ ′
+ + =


BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
a)
3 2

( ) 2 3 12 10f x x x x= − − +
trên đoạn
[ 2;0]−

b)
5 4 3
( ) 5 5 1f x x x x= − + +
trên đoạn [–1;2]
c)

4 3 2
( ) 2 1
f x x x x
= − + −

trên đoạn [–1;1]
d)
5 3
( ) 5 10 1f x x x x= − + −
trên đoạn [–2;4]
e)
2
( ) 25f x x= −
trên đoạn [–3;4]
f)
2
( ) 2 5f x x x= + −
trên tập xác định.
g)
4

( ) 1
2
f x x
x
= − + −
+
trên đoạn [–1;2]
h)
3
( ) 3 sin 2 sin 1f x x x= − +
trên đoạn
[0; ]π

i)
( ) cos2 sin 3f x x x= − +

j)
( ) 2 sin sin 2f x x x= +
trên đoạn
[ ]
3
2
0;
π

Bài 40
: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:
a)
2
( )

x x
f x e e
−
= +
trên đoạn
[ 1;2]
−

b)
2
( ) ( 1)
x
f x x e
−
= −
trên đoạn [0;2]
c)
2
( ) ( 1)
x
f x x x e
−
= − −
trên đoạn
[ 1;1]
−

d)
2
( ) 2 2

x
f x xe x x= − −
trên đoạn
[0;1]

e)
2
( ) 2( 2) 2
x
f x x e x x= − + −
trên đoạn
[0;2]

www.VNMATH.com

01688559752

Tài liệu tham khảo - 22 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
f)
2
( ) ln(1 2 )f x x x= − −
trên đoạn
[ 2;0]−

g)
2
( ) 2 4 ln
f x x x x
= − − trên đoạn [1;2]
h)

2
( ) ln( 1)
f x x x
= − + trên đoạn [0;2]
i)
( ) ln 2 2f x x x x= − + trên đoạn
2
[1; ]e
j)
2 2
( ) 2 ln 3f x x x x= − trên đoạn [1;2 ]e
k)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
[ ]
3
1;e
l)
ln
( )
x
f x
x
=

trên đoạn
1
2
[ ;
e
2
]e
Bài 41
: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a)
3 2
( 6) 2y x mx m x= − + + −

b)
3 2 2
2( 1) (2 2) 3y x m x m m x m= − − + − + + −

Bài 42
: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau đây luôn nghịch biến
a)
3 2
( 1) (2 1) 3y x a x a x= − + + − + −
b)
7
5 3
ax a
y
x a
+ −
=

− +

Bài 43
: Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a)
3 2 2
2( 1) ( 3 2) 2y x m x m m x= + − + − + +

b)
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+

c)
4 2
( 1) 2 3y m x mx= − − −

Bài 44 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a)
3 2 2
2 ( 1) ( 4) 1y x m x m x m= + + + − − +
đạt cực đại tại
0
0x =

b)
2 3 2
(2 1) (2 3) 2y m x mx m x= − − + + −

đạt cực tiểu tại
0
1x = −

c)
2
6
3
m
y
−
=
3
1x mx+ +

đạt cực tiểu tại
0
2x =

d)
1
2
y =
4 2
x mx n− +

đạt cực tiểu bằng
2−
tại

0
1
x
=

Bài 45 : Chứng minh rằng
a) Nếu
(cos 2 sin 2 )
x
y e x x
= +
thì
2 5 0y y y
′′ ′
− + =

b) Nếu
4
2
x x
y e e
−
= +
thì
13 12y y y

′′′ ′
− =

c) Nếu
ln x
y
x
=
thì
2
3 0
y xy x y
′ ′′
+ + =

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 23 - THPT Chu Văn An















 !
 ! !
 !"
""
"

#
##
#

1. Phương trình mũ (đơn giản)
Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với
0, 0a b> >
và
,m n ∈ ℝ
ta có
( )
.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
n
m n m
n
n
n n
n n

a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+
−
−
−
= =
= =
= =
i i
i i
i i

( )
(
)
(
)
( ) .
n
n
n n n
n
a a
b
b

n n
a b
b a
ab a b
−
=
=
=
i
i
i

a) Phương trình mũ cơ bản: với
0a >
và
1a ≠
, ta có

x
a b=
vô nghiệm nếu
0b ≤


log
x
a
a b x b= ⇔ =
nếu
0b >

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
0a >
và
1a ≠
, ta có
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
 Phương pháp giải chung:
0 Biến đổi phương trình theo
( )f x
a
, chẳng hạn:

2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p+ + =


( )
( )
1
. . 0
f x
f x

a
m a n p+ + =

1 Đặt
( )f x
t a=
(kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Đối chiếu nghiệm
0
t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.
 Lưu ý 1: gặp dạng
( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n a p
−
+ + =
, ta dùng biến đổi
( )
( )
1
f x
f x
a
a

−
=

 Lưu ý 2: gặp dạng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
m a n ab p b+ + =
, ta chia 2 vế
phương trình cho
2 ( )f x
b

d) Phương pháp lôgarit hoá: với
0 1a< ≠
và
0 1b< ≠
, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
log log
f x g x f x g x
a a
a b a b
   
= ⇔ =
   
   

www.VNMATH.com