skkn rèn luyện kỹ năng giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh lớp 12 thpt bắc giang

 
  

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG 
TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ 3
 
 
 
 
 
 

BÁO CÁO
KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI KHOA HỌC CẤP NGÀNH
 
 
Tên đề tài:

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12
 

             
 
                  Chủ nhiệm đề tài: ThS. Ngơ Thành Trung 
       Cơ quan chủ trì: Trường THPT Lục Ngạn số 3 
    Địa chỉ: Phượng Sơn- Lục Ngạn- Bắc Giang 
                      Điện thoại: (0240)3891217 
                      Nơi thực hiện: Trường THPT Lục Ngạn số 3 
                     Thời gian thực hiện: 10 tháng 

 
 
 

Bắc Giang, tháng 11 năm 2014

 




Mục lục
Trang
Mở ĐầU................................................................................................................... 1
Chương 1. CƠ Sở Lý LUậN Và THự C TIễN CủA Đề TàI......................... 5
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán ................................................................... 5
1.1.1. Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông........ 5
1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán ....................................................... 6
1.1.3. Dạy học phương pháp giải bài tập toán .................................................. 6
1.1.4. Bồi dưỡng năng lực giải toán .................................................................. 8
1.2. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ............. 8
1.2.1. Kỹ năng .................................................................................................. 8
1.2.2. Kỹ năng giải toán ................................................................................... 9
1.2.3. Đặc điểm của kỹ năng .......................................................................... 10
1.2.4. Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh THPT .......................................................................................... 10
1.2.5. Con đường hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh .... 11
1.2.6. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS ...................................... 12
1.3. Bài toán hình học không gian trong chương trình THPT ................................. 16

1.3.1. Mục đích dạy học bài tập hình học không gian trong chương trình
THPT........................................................................................................................ 16
1.3.2. Chức năng của bài tập hình học không gian .......................................... 17
1.3.3. Một số phương pháp giải bài toán hình không gian .............................. 18
1.3.4. Nhu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán hình không gian bằng phương pháp
toạ ®é ....................................................................................................................... 23
1.4. KÕt luËn ch­¬ng 1 ............................................................................................ 24
Ch­¬ng 2. Xây dựng hệ thống bài tập điển hình nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán hình học không gian bằng
phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12
.......................... 25
2.1. Hệ thống hóa kiến thức về kỹ năng và kỹ năng cơ bản về phương pháp tọa độ
trong không gian ..................................................................................................... 26
2.1.1. HƯ thèng hãa kiÕn thøc vỊ ph­¬ng pháp tọa độ trong không gian..... 27
2.1.2. Một số kỹ năng cơ bản về phương pháp tọa độ trong không gian ..... 30
2.2. Quy trình giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ........... 31
2.3. Các dạng toán ................................................................................................... 34
2.3.1. Giải các bài toán về hình chóp tam giác (hình tứ diện) bằng phương
pháp tọa độ .............................................................................................................. 34
2.3.2. Giải các bài toán về hình chóp tứ giác bằng phương pháp tọa độ....... 63
2.3.3. Giải bài toán về hình lăng trụ tam giác bằng phương pháp tọa độ...... 81
2.3.4. Giải bài toán về hình lăng trụ tứ giác bằng phương pháp tọa độ......... 88
2.3.5. Giải các bài toán về hình nón và hình trụ bằng phương pháp toạ ®é 102

i 
 

2.3.6. Các bài toán chọn lọc ....................................................................... 108
2.4. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 119
Chương 3. THử NGHIệM SƯ PHạM ............................................................. 120
3.1. Mục đích thử nghiệm sư phạm ....................................................................... 120
3.2. Nội dung thư nghiƯn ....................................................................................... 120
3.3. Tỉ chøc thư nghiƯm ........................................................................................ 125
3.3.1. Chän líp thư nghiƯm ........................................................................ 125
3.3.2. TiÕn tr×nh thư nghiƯm ....................................................................... 125
3.4. KÕt qu¶ thư nghiƯm ........................................................................................ 125
3.4.1. KÕt qu¶ chung .................................................................................. 125
3.4.2. KÕt qu¶ kiĨm tra ............................................................................... 125
3.5. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 126
Kết luận chung .......................................................................................... 127
Tài liƯu tham kh¶o .................................................................................. 128

ii 
 


 

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
 
CMR:     Chứng minh rằng 
HĐ:        Hoạt động 
HS:         Học sinh 
GV:        Giáo viên 
TH:        Trường hợp 
THPT:    Trung học phổ thơng 
SGK:      Sách giáo khoa  

VD:        Ví dụ 
Vtcp:      Vectơ chỉ phương 
Vtpt:       Vectơ pháp tuyến  
 

iii 
 


 

 

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
    Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn có một vai trị, vị trí và ý nghĩa quan 
trọng.  Đặc  biệt  mơn  Tốn  có  vai  trị  quan  trọng  trong  việc  thực  hiện  mục  tiêu 
chung của giáo dục phổ thơng, mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách HS. Cùng 
với việc tạo điều kiện cho HS kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng Tốn học cần 
thiết, mơn  Tốn  cịn có  tác  dụng  góp  phần  phát triển năng lực  trí tuệ  chung như: 
phân  tích,  tổng  hợp,  trừu  tượng  hố,  khái  qt  hố...  Rèn  luyện  những  đức  tính, 
phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, 
tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.
   Nhiệm  vụ của  dạy học  mơn  Tốn là:  trang  bị  tri thức  cơ  bản cần  thiết cho 
HS, rèn luyện kỹ năng Tốn học và kỹ năng vận dụng Tốn học vào thực tiễn, phát 
triển trí tuệ cho HS, bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho HS, đảm bảo 
trình  độ  phổ  thơng,  đồng  thời  chú  trọng  bồi  dưỡng  những  HS  có  năng  khiếu  về 
Tốn.
  Trong chương trình hình học THPT, hình học khơng gian cùng với phương 
pháp tọa độ trong khơng gian ln giữ vai trị chủ đạo và trong các đề thi tốt nghiệp 

và tuyển sinh đại học bao giờ cũng có, nên GV và HS rất chú trọng, đặc biệt là đối 
với HS lớp 12. Nhưng việc giải bài tốn hình khơng gian ln khiến HS cảm thấy 
khó  khăn,  thậm  chí  nhiều  em  cịn  sợ  dạng  tốn  này,  trong  các  bài  thi  tốt  nghiệp 
nhiều em khơng làm được bài tốn này, trong các đề thi tuyển sinh đại học hầu như 
các em khơng giải được dạng bài này và nếu có làm được thì cũng ít em được điểm 
tối đa. 
   Mặc dù có một vài  tài liệu sách tham khảo viết về phương pháp tọa độ hố 
để  giải  bài  tốn  hình  khơng  gian  nhưng  hầu  như  chưa  có  hệ  thống  về  loại  tốn 
này,và mới đưa ra việc giải các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp toạ độ 
có  chứa  đựng  những  yếu tố  đặc  biệt hay  dễ  tìm  ra các  yếu  tố  đặc biệt như  vuông 

1 
 


 

góc,  cân,  đều,  trong  đó  phương  pháp  này  có  thể  sử  dụng  rất  hiệu  quả  đối  với  cả 
những bài hình khơng gian ở giả thiết khơng cho các yếu tố đặc biệt. Mặt khác việc 
sử dụng phương pháp này đối với HS kể cả HS khá, giỏi vẫn chưa được rèn luyện, 
thậm chí ít được tiếp cận. 
  Việc sử dụng phương pháp tọa độ trong nghiên cứu hình học giúp cho HS có 
thêm những cơng cụ mới để diễn đạt, suy luận để giải tốn, tránh được ảnh hưởng  
khơng có lợi về trực giác, từ đó giúp các em HS có cái nhìn mới về bài tốn hình 
khơng gian và thấy được việc giải bài tốn hình khơng gian là khơng khó, đồng thời 
đây cũng là dịp tốt để HS làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp. HS rèn luyện 
được kỹ năng giải tốn loại này thì các em khơng chỉ nắm được hệ thống tri thức 
tốn mà cịn góp phần rèn luyện năng lực giải tốn, kỹ năng vận dụng tri thức tốn 
vào thực tiễn, phát triển tư duy tốn học.  
  Vì vậy  việc  rèn  luyện kỹ  năng  giải  tốn  hình học  khơng  gian  bằng  phương 

pháp tọa độ là một nhu cầu cần thiết đối với HS, đặc biệt là HS khá, giỏi lớp 12. Vì 
lẽ đó tơi chọn làm đề tài này. 

2. Mục đích nghiên cứu
          Trong q trình nghiên cứu đề tài, nhằm thu được những kết quả sau: 
           Tìm  hiểu  được  thực  trạng  của  việc  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  tốn  hình  học 
khơng gian và việc sử dụng phương pháp toạ độ để giải tốn hình học khơng gian. 
Từ đó rút ra được u cầu cấp thiết của đề tài, cũng qua đó nắm được những khó 
khăn và một số sai lầm của HS khi giải tốn hình học khộng gian. 
           Đưa ra các tri thức phương pháp nhằm rèn luyện cách tìm đường lối giải bài 
tốn và rèn luyện khả năng giải tốn. 
          Xây dựng được hệ thống các bài tốn điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng sử 
dụng phương pháp toạ độ trong khơng gian để giải được các bài tập tốn hình học 
khơng gian. Bởi vì bài tập là một phương tiện quan trọng để đạt được những mục 
đích cơ bản về dạy học tốn cho HS phổ thơng. 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

2 
 


 

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn vấn đề được nghiên cứu. 
  

-Tìm hiểu bài tốn hình học khơng gian và phương pháp toạ độ trong khơng 

gian.  Đồng  thời  chỉ  ra  những  lưu  ý,  những  ưu  điểm  của  việc  giải  bài  tốn  hình 

khơng gian bằng phương pháp toạ độ.  
- Nêu được khái qt cách dùng phương pháp toạ độ để giải tốn hình khơng 
gian theo quy trình 4 bước. 
- Xây dựng hệ thống các dạng bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng giải 
tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ cho HS lớp 12, góp phần đổi mới 
phương pháp dạy và học tập ở trường phổ thơng.  
 - Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm định tính khả thi của đề tài. 
       Rèn luyện kỹ năng giải tốn hình học cho HS bằng phương pháp tọa độ. 
Qua đó phát triển năng lực giải tốn cho HS, phát huy tính chủ động, sáng tạo, phát 
triển tư duy, gây hứng thú cho học tập của HS. u cầu HS có kỹ năng vận dụng 
kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng 
lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối 
ưu.  

4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp sau đây được sử dụng trong q trình nghiên cứu: 
• Phương pháp nghiên cứu lý luận:  
      Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học mơn tốn, SGK phổ 
thơng,  sách  bồi  dưỡng  giáo  viên  THPT,  các  sách  tham  khảo,  các  tạp  chí  về  giáo 
dục, một số luận văn có liên quan đến đề tài. 
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:  
     Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh 
nghiệm với một số GV giỏi bộ mơn Tốn ở trường THPT. Từ đó xây dựng được hệ 
thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng giải 
bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp toạ độ trong khơng gian. 
• Phương pháp quan sát, điều tra: 

3 
 

 

   Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải tốn hình học khơng gian đối 
với HS lớp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải bài 
tốn hình học khơng gian bằng phương pháp toạ độ trong khơng gian. 
• Phương pháp thử nghiệm sư phạm:  
Thử  nghiệm  việc  rèn  luyện  kỹ  năng  sử  dụng  phương  pháp  toạ  độ  trong 
khơng gian để giải bài tốn hình học khơng gian thơng qua chun đề tự chọn mơn 
Tốn lớp 12. 

5. Bố cục của đề tài
Mở đầu
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài 
      Chương 2.  Xây dựng hệ thống bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng giải 
tốn hình học khơng gian bằng phương pháp toạ độ trong khơng gian cho học sinh 
lớp 12 
     Chương 3. Thử nghiệm sư phạm 
Kết luận
Tài liệu tham khảo

4 
 


 

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập tốn
1.1.1. Mục đích, vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn trong trường phổ

thơng.
a. Mục đích
Một trong những mục đích dạy tốn ở trường phổ thơng là:  
Phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến những tri 
thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân, thành cơng 
cụ  để  nhận  thức  và  hành  động  đúng  đắn  trong  các  lĩnh  vực  hoạt  động  cũng  như 
trong học tập hiện nay và sau này. 
Làm cho HS nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những 
kiến thức và kỹ năng tốn học phổ thơng cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và 
có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, 
vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ mơn  khoa học khác. 
b. Vai trị
Tốn  học  có  vai  trị  lớn  trong  đời  sống,  trong  khoa  học  và  cơng  nghệ  hiện 
đại, kiến thức tốn học là cơng cụ để HS học tốt các mơn học khác, giúp HS hoạt 
động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.  
Mơn  tốn  có  khả  năng  to  lớn  giúp  HS  phát  triển  các  năng  lực  trí  tuệ  như: 
Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái qt hóa... Rèn luyện những phẩm 
chất, đức tính của người lao động mới như: Tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, 
khoa học, sáng tạo... 
c. Ý nghĩa
Trong trường phổ thơng giải bài tập tốn là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ 
thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã 
học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt 
nhất để  GV kiểm  tra  về  năng  lực,  về  mức  độ  tiếp  thu  và khả  năng  vận  dụng  kiến 
thức đã học. 

5 
 

 

Việc giải bài tập tốn có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho 
HS nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện người HS về nhiều mặt. 

1.1.2. Vị trí và chức năng của bài tập tốn
a. Vị trí
“Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với HS có thể 
xem  giải tốn là hình  thức  chủ  yếu  của  hoạt  động học.  Các  bài tập tốn  ở  trường 
phổ thơng là một phương tiện rất có hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc 
giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng 
tốn học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập tốn là điều kiện để thực hiện tốt các 
nhiệm vụ dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy 
giải bài tập tốn học có vai trị quyết định đối với chất lượng dạy tốn học”[11]. 
b. Các chức năng của bài tập tốn
Mỗi bài tập  tốn đặt  ra  ở  một thời  điểm  nào  đó  của  q  trình dạy  học  đều 
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các chức 
năng đó là: 
- Chức năng dạy học. 
- Chức năng giáo dục. 
- Chức năng phát triển. 
- Chức năng kiểm tra. 

1.1.3. Dạy học phương pháp giải bài tập tốn
Trong mơn tốn ở trường phổ thơng có nhiều bài tốn chưa có hoặc khơng có 
thuật giải và cũng khơng có một thuật giải tổng qt nào để giải tất cả các bài tốn. 
Chúng ta chỉ có thể thơng qua việc dạy học giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần 
truyền thụ cho HS  cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho 
mỗi bài tốn. 
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là GV cung cấp cho HS lời giải bài 

tốn. Biết lời giải của bài tốn khơng quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài 
tốn. Để làm tăng hứng thú học tập cho HS, phát triển tư duy, GV phải hình thành 
cho HS một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài tốn. 

6 
 


 

Theo  Pơlya,  phương  pháp  tìm  lời  giải  cho  một  bài  tốn  thường  được  tiến 
hành theo 4 bước sau: 
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài tốn 
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh. 
- Có thể dùng cơng thức, ký hiệu hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài 
Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: biến đổi 
cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái 
phải tìm với  những  tri  thức  đã  biết,  liên  hệ bài toán  cần  giải với  một  bài toán  cũ 
tương tự, một trường hợp riêng, một bài tốn tổng qt hơn hay một bài tốn nào 
đó  có  liên  quan,  sử  dụng  những  phương  pháp  đặc  thù  với  từng  dạng  tốn  như 
chứng minh phản chứng, quy nạp tốn học, tốn dựng hình, quỹ tích,... 
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hố 
kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,... 
- Tìm  tịi  những  cách  giải khác,  so sánh  chúng  để  chọn  được cách  giải hợp  lý 
nhất. 
Bước 3: Trình bày lời giải
- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương 
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. 

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải 
- Nghiên cứu giải những bài tốn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. 
Khi đã có một quy trình giải tốn chung nhất như trên, cộng với những tri thức 
phương pháp về những nội dung Tốn học cụ thể HS có thể tìm tịi, khám phá để 
tìm đến lời giải bài tốn.  
   

• Đối với những bài tốn đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào u cầu chung 

của chương trình  cũng như tình hình thực tế để, hoặc thơng báo tường minh thuật 
giải    hoặc  có  thể  cho  HS  thực  hiện  các  hoạt  động  học  tập  ăn  khớp    với  tri  thức 
phương pháp đó. 
7 
 


 

   

•  Đối với những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải: GV cần hướng dẫn 

HS  suy  nghĩ,  tìm  tịi  lời  giải.  Qua  đó  trang  bị  cho  HS  một  số  tri  thức  về  phương 
pháp giải tốn. Thơng qua dạy HS giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần cho HS 
cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải các 
bài tốn, hình thành phương pháp giải một lớp các bài tốn có dạng quen thuộc. Từ 
đó hình thành kỹ năng giải quyết loại bài tốn đó.    

1.1.4. Bồi dưỡng năng lực giải tốn

Bài tập tốn nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt là rèn luyện các thao tác 
trí  tuệ.  Vì  vậy  trong  quá  trình  dạy  học  người  thầy  giáo  phải  chú  trọng  bồi  dưỡng 
năng lực giải tốn cho HS. Năng lực giải tốn là khả năng thực hiện 4 bước trong 
phương pháp tìm lời giải bài tốn của Pơlya. 
Rèn luyện năng lực giải tốn cho HS chính là rèn luyện cho họ khả năng thực 
hiện bốn bước tiếp theo phương pháp tìm lời giải bài tốn của Pơlya. Điều này cũng 
phù hợp với phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo xu hướng đổi 
mới phương pháp dạy học của nền giáo dục nước ta hiện nay. 
Một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong q trình giải bài tập tốn, cần khuyến 
khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài tốn. Mọi cách giải đều dựa vào một số 
đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho HS 
biết cách nhìn nhận  một vấn đề  theo  khía cạnh khác  nhau, điều  đó  rất  bổ ích  cho 
việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được 
cách giải hay nhất, đẹp nhất” [11]. 

1.2. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải tốn cho
học sinh
1.2.1. Kỹ năng
Có nhiều quan điểm khác nhau về kỹ năng 
“Kỹ năng là  khả năng  vận dụng tri thức khoa học vào thực  tiễn. Trong đó, 
khả năng được hiểu là : Sức đã có ( về một mặt nào đó) để thực hiện tốt một việc 
gì”[4]. 

8 
 


 

   “Kỹ  năng  là  khả  năng  thực  hiện  hành  động  một  cách  thành  thạo,  linh  hoạt 

sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau” [14].  
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: “Kỹ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng, 
hoặc khéo léo có được thơng qua đào tạo hoặc trải nghiệm” 
Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động 
nào đó theo  một mục  đích  trong những điều kiện xác định. Nếu tạm  thời tách tri 
thức và kỹ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc 
về khả năng “ biết”, cịn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết 
làm”. 
Các  nhà giáo  dục cho  rằng  “Mọi  kiến thức bao  gồm  một  phần  là  thơng  tin 
kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”. 
 “Trong tốn học, kỹ năng là khả năng giải các bài tốn, thực hiện các chứng 
minh đã nhận định được. Kỹ năng trong tốn học quan trọng hơn nhiều so với kiến 
thức thuần túy, so với thơng tin trơn” [23]. 
Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến 
thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: HS khơng nắm vững kiến thức các khái 
niệm, định lý, qui tắc, khơng trở thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành được kỹ 
năng, đặc biệt là kỹ năng giải tốn cho HS, người thầy giáo cấn phải tổ chức cho HS 
học tốn trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để HS có thể 
nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực 
hiện ngun lý của nhà trường phổ thơng là “Học đi đơi với hành, giáo dục kết hợp 
với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”. 

1.2.2. Kỹ năng giải tốn
“Kỹ năng giải tốn là khả năng vận dụng các tri thức tốn học để giải các bài 
tập ( bằng suy luận, chứng minh)” [7]. 
Để thực hiện tốt mơn Tốn ở trong trường THPT, một trong những u cầu 
cần được đặt ra là: 
 “Về tri thức và kỹ năng cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri 
thức có tính chất thuật tốn và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: Tri thức và kỹ 

9 
 


 

năng  giải  tốn  bằng  cách  lập  phương  trình,  tri  thức  và  kỹ  năng  chứng  minh  tốn 
học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm...” [11]. 
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức tốn học mà có những u cầu rèn 
luyện kỹ năng khác nhau. 

1.2.3. Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng trình bầy ở trên chứa đựng những đặc điểm sau: 
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi 
vì,  cấu  trúc  của  kỹ  năng  là:  Hiểu  mục  đích,  biết  cách  thức  đi  đến  kết  quả,  hiểu 
những điều kiện để triển khai cách thức đó. 
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc 
tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức 
với tư cách là cộng cụ của hành động. Cùng với vai trị cơ sở của tri thức, cần thấy 
rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì “Mơn tốn là mơn học cơng cụ có đặc điểm 
và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong trường 
phổ thơng” [11]. Vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn 
luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động. 
-  Kỹ  năng  giải  toán  phải  dựa  trên  cơ  sở  tri  thức  toán  học,  bao  gồm:  Kiến 
thức, kỹ năng và phương pháp. 

           1.2.4. Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh THPT
      a) Cơ sở tâm lý giáo dục
Q trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và 

các hoạt động học của trị, do đó các biện pháp sư phạm phải thơng qua hoạt động 
dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS có động cơ hồn thiện tri thức 
và kỹ năng. Nhân cách của HS trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản 
phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các 
biện  pháp  tập  trung  vào  rèn  luyện  và  phát  triển  các  dạng  hoạt  động  của  HS,  rèn 
luyện kỹ năng học tập của HS: kỹ năng nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ 
chức hoạt động, kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá. Theo tác giả Lê Văn Hồng, Tâm lý 
sư phạm. NXB ĐHQG Hà Nội 2007: “Cơ sở tâm lý của kỹ năng là sự thông hiểu 
10 
 


 

mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điều kiện và cách thức hoạt động 
ấy”.
      b) Cơ sở phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Phương  pháp  dạy  học  Tốn  ở  trường  THPT  phải  ln  gắn  liền  với  với  việc 
truyền thụ tri thức, kỹ năng với việc giáo dục, rèn luyện  con người với việc phát 
triển các năng lực của HS. 
Căn cứ vào nhiệm vụ  của việc dạy học bộ mơn, bên cạnh  việc truyền thụ tri 
thức, rèn luyện kỹ năng thực hành Tốn học, HS cần được rèn luyện kỹ năng vận 
dụng  Tốn  học  vào  thực tiễn,  cụ thể  là  trau  rồi cho  họ  khả  năng vận  dụng những 
hiểu biết Tốn học vào việc học tập bộ mơn khác, vào thực tiễn cuộc sống,... Do đó 
cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kỹ  năng giải tốn 
cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ mơn đồng thời đảm bảo tính liên mơn 
trong dạy học. 

          1.2.5. Con đường hình thành và rèn luyện kỹ năng giải tốn cho HS
   Trên cơ sở các u cầu rèn luyện kỹ năng  giải tốn cho HS, các biện pháp 

rèn luyện kỹ năng thực hành cho HS nói chung, biện pháp rèn luyện kỹ năng giải 
tốn  cho  HS  nói  riêng  phải  nhằm  vào  việc  biến  các  kiến  thức  và  kỹ  năng  cơ  bản 
trong  từng  chương,  từng  mục  thành  kiến  thức  và  kỹ  năng  tổng  hợp,  hồn  chỉnh, 
chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập và nghề nghiệp cho cả cuộc sống theo tinh thần 
giáo dục kĩ thuật tổng hợp và hướng nghiệp dạy nghề thơng qua mơn Tốn ở trường 
phổ thơng. 
Quy trình hình thành và phát triển kỹ năng giải tốn cho HS
Trong q trình dạy học, việc vận dụng quy trình sau nhằm thực hiện mục tiêu: 
hình thành và phát triển kỹ năng giải tốn, bồi dưỡng năng lực Tốn học cho HS. 

11 
 


 

Kiến thức chuẩn 
SGK 

Hoạt động 
của GV và của HS 

Hệ thống các 
bài tốn cơ bản 

GV gợi động cơ, hướng 
HS vào các hoạt động 

        Quy trình giải  
 (Thuật tốn, quy tắc)  

GV hướng dẫn quy trình 
(phương pháp) 

      Các bài tập   

HS thực hành, luyện tập 
(áp dụng phương pháp ) 

áp dụng và nâng cao 

Khái qt hố hoạt động 
chọn phương pháp tối ưu 
(hồn thiện quy trình giải) 

Hồn thiện quy trình 
       giải dạng tốn 

Kỹ năng
       
         1.2.6. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải tốn cho HS 
  Để  rèn  luyện  được  kỹ  năng  giải  toán  cho  HS  ta  cần  phải  có  một  giải  pháp 
đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
     a)Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc
lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng
Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ  chức các hoạt động học  tập là đảm 
bảo cho HS nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong 
chương  trình. Căn  cứ  vào chương trình,  người  GV  cần  phải  xác  định  và  chọn  lọc 
các kiến thức, kỹ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS. 
b) Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS

Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho HS thực hành giải tốn theo quy trình 4 
bước của Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải tốn theo quy trình này.

12 
 


 

   

• Đối với những bài tốn đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào u cầu chung 

của chương trình  cũng như tình hình thực tế để, hoặc thơng báo tường minh thuật 
giải    hoặc  có  thể  cho  HS  thực  hiện  các  hoạt  động  học  tập  ăn  khớp    với  tri  thức 
phương pháp đó. 
   

• Đối với những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải GV cần hướng dẫn 

HS  suy  nghĩ,  tìm  tịi  lời  giải.  Qua  đó  trang  bị  cho  HS  một  số  tri  thức  về  phương 
pháp giải tốn. Thơng qua dạy HS giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần cho HS 
cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải các 
bài tốn, hình thành phương pháp giải một lớp các bài tốn có dạng quen thuộc. Từ 
đó hình thành kỹ năng giải quyết loại bài tốn đó.  
c) Rèn luyện kỹ năng giải tốn thơng qua củng cố
Việc củng cố tri thức kỹ năng một cách có định hướng  và có hệ thống có một 
ý nghĩa to lớn trong dạy học mơn Tốn. Điều đó trước hết là do cấu tạo của SGK ở 
phổ thơng theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dựa vào những lĩnh vực nội 
dung đã được học trước kia. Củng cố cần được thực hiện đối với tất cả các thành 

phần  của  nhân  cách  đã  được  phát  biểu  thành  mục  tiêu  trong  chương  trình,  tức  là 
khơng chỉ đối với tri thức mà cịn đối với cả kỹ năng, kỹ sảo, thói quen và thái độ. 
Tuy nhiên, việc củng cố chỉ có thể được thực hiện dựa vào những nội dung cụ thể, 
vì vậy dưới đây chỉ xét chủ yếu là việc củng cố tri thức và kỹ năng Tốn học. 
Trong  mơn Tốn  củng  cố diễn  ra dưới  các  hình thức  luyện tập, đào sâu, hệ
thống hố và ơn.
Luyện tập:  Trước  hết  nhằm  mục  tiêu  rèn  luyện  kỹ  năng  kỹ  sảo.  luyện  tập 
khơng  phải  chỉ đối  với  tính  tốn  mà  cịn cả đối  với  việc  dựng hình,  vẽ  đồ  thị của 
hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máy tính,... 
Sau đây là một số chỉ dẫn thực hiện chức năng luyện tập có chú ý những thành 
tố cơ sở của phương pháp dạy học: 
- Về hoạt động và hoạt động thành phần, cần chú ý tập luyện cho  HS khơng 
phải  chỉ  những  hoạt  động  Toán  học  mà  cả  những  hoạt  động  khác  nữa  chẳng  hạn 

13 
 


 

như những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Tốn học như xét tính giải được, phân 
chia trường hợp; những hoạt động trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, so sánh, 
trừu tượng hố, khái qt hố; những hoạt động ngơn ngữ như trình bày một vấn đề 
và cách giải quyết bằng lời lẽ của mình, thay đổi hình thức phát biểu một định nghĩa 
hay định lý. 
-  Về  mặt  động  cơ  trước  hết,  GV  cần  gợi  động  cơ  cho  hoạt  động  luyện  tập. 
Muốn vậy, làm cho HS ý thức được rằng “học Tốn thực chất là học làm Tốn”, do 
đó học lý thuyết cần kết hợp với luyện tập thường xun tức là vừa học vừa luyện 
tập là một đặc điểm của bộ mơn này. Đồng thời khi đi vào các dạng bài tập trong 
một  nội  dung cụ  thể  nào  đó,  cần cho HS  thấy  vai  trị  của  từng  dạng  bài tập trong 

việc học tập nội dung này, trong mơn Tốn cũng như những mơn học khác và đặc 
biệt là trong khoa học - cơng nghệ và trong đời sống thực tế.  
- Về mặt tri thức phương pháp, GV cần cung cấp cho HS phương pháp chung 
để giải bài tốn bao gồm 4 bước dựa trên những tư tưởng tổng qt cùng với những 
gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài tốn. Cùng với những phương pháp có 
tính  thuật  giải,  cần  quan  tâm  cả  tri  thức  về  những  phương  pháp  có  tính  chất  tìm 
đốn. Tuy nhiên cần làm cho HS hiểu được rằng  mục  tiêu quan trọng nhất khơng 
phải chỉ để nắm vững cách giải từng bài tập, thậm chí từng dạng bài tập, mà là rèn 
luyện  khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới 
mẻ, khơng lệ thuộc vào những khn mẫu có sẵn.  
-  Về phân bậc hoạt động GV cần tận dụng và xây dựng những mạch bài tập 
phân bậc để điều khiển q trình dạy học theo 3 hướng tuỳ hồn cảnh cụ thể: tuần 
tự; nâng cao u cầu; tạm thời hạ thấp u cầu khi cần thiết và dạy học phân hố. 
Làm như  vậy để  tạo  điều  kiện  cho  nhiều HS  có thể  tự  giải bài tập  chứ  khơng  chỉ 
nghe thầy, hay bạn chữa bài tập. 
Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết những vấn 
đế liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnh khác nhau của tri 
thức, bổ sung, mở rộng và hồn chỉnh tri thức. 

14 
 


 

  Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu sự tồn tại 
và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc 
suy  biến,  nghiên  cứu  những  mối  liên  hệ và  phụ  thuộc,  lật  ngược  vấn  đề, thay  đổi 
hình thức phát biểu. 
Hệ thống hố: Nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt được, 

nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa 
chúng. Nhờ đó người học đạt được khơng chỉ những tri thức riêng lẻ mà cịn cả hệ 
thống tri thức. 
Ơn: tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kỹ năng đã có. Ơn giữ một vị trí đặc biệt 
so với các hình thức khác của củng cố, bởi vì nó thường được kết hợp với các hình 
thức đó, thậm trí đan kết, hồ nhập vào các hình thức đó. Ơn lại khơng phải chỉ là 
những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức 
đã đạt được trong các khâu của củng cố.                      

 

d) Rèn luyện kỹ năng giải tốn thơng qua các tiết tự chọn
Theo chương trình đổi mới nội dung dạy học đối với học sinh THPT ở mỗi lớp 
học thuộc ban cơ bản hay ban nâng cao đều có hình thức học tự chọn một số mơn 
học nào đó với mỗi tuần 4 tiết tự chọn, với hai hình thức là: tự chọn nâng cao theo 
chun đề; tự  chọn  bám sát chương  trình.   Mục tiêu của  các  tiết  tự  chọn  là  nhằm 
củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng học tập bộ mơn, đặc biệt đối với mơn Tốn là 
rèn luyện kỹ năng giải tốn, bổ sung kiến thức nâng cao, học các chun đề tự chọn 
do  GV  hay  HS  đề  xuất.  Thông  qua  học  tự  chọn  HS  có  điều  kiện  được  rèn  luyện 
thêm kỹ năng, học được những tri thức mới đặc biệt là đối với HS khá, giỏi. GV cần 
lựa chọn những chun đề phù hợp, gây hứng thú học tập cho HS. Trong q trình 
lựa chọn và xây dựng các chun đề tự chọn cho HS khá, giỏi cần có những chú ý 
sau: 
- Thời  gian  (số  tiết)  mỗi  chuyên  đề  phù  hợp  với  yêu  cầu  phân  phối  chương 
trình của mơn học. 

15 
 

 

- Chọn  chun  đề  gây  được  hứng  thú học  tập cho HS, tránh trùng lặp nhiều 
những nội dung hay bài tốn mà trên lớp HS đã được luyện tập và đã có kỹ năng. 
- Nên  lựa  chọn  những  chuyên  đề  nhằm  bổ  sung,  nâng  cao  kiến  thức  hay 
những chun đề học tập có tính liên mơn nhằm hỗ trợ học tập các mơn học khác, 
đặc biệt là những chun đề mà nội dung của nó có tính thực tiễn cho HS khá, giỏi 
- Khơng nên q tham vọng xây dựng những chun đề lớn như đối với các 
trường chun. Vì  mục đích của các chun đề tự chọn là rèn luyện và củng cố tri 
thức, kỹ năng giải tốn. 
- Đối với việc rèn luyện kỹ năng giải tốn trong mơn Tốn, GV cần chuẩn bị 
một hệ thống kiến thức, bài tập liên quan đến chun đề đó để giao cho HS chuẩn bị 
trước ở nhà. Vì làm như thế thì đảm bảo được phần lớn thời gian trên lớp nó giúp 
cho việc học chun đề có hiệu quả hơn. 

1.3. Bài tốn hình học khơng gian trong chương trình THPT
1.3.1. Mục đích dạy học bài tập hình học khơng gian trong chương
trình THPT
Bài tập là tình huống kích thích địi hỏi một lời giải đáp khơng có sẵn ở người 
giải tại thời điểm bài tập được đưa ra. Do đó dạy học bài tập hình học khơng gian ở 
bậc THPT nhằm những mục đích chính sau:  
- Rèn luyện giúp HS hiểu sâu hơn về các đối tượng mới của hình học khơng 
gian  như  điểm,  đường  thẳng,  mặt  phẳng  và  nắm  vững  hơn  các  mối  quan  hệ  liên 
thuộc  của  chúng  thơng  qua  những  hình  ảnh  trong  thực  tế,  làm  quen  với  việc  xây 
dựng hình học bằng phương pháp tiên đề. Rèn luyện và phát triển trí tưởng tượng 
khơng  gian  cho  HS  thơng  qua  các  hình  ảnh,  mơ  hình  cụ  thể  như  hình  chóp,  hình 
lặng trụ, hình hộp,... để tạo tình huống cụ thể trong khơng gian. 
- Củng cố, giúp HS nắm vững các khái niệm về vectơ trong khơng gian và các 
phép tốn cộng vectơ, nhân vectơ với một số, sự đồng phẳng của 3 vectơ, tích vơ 
hướng của 2 vectơ trong khơng gian. Nắm được định nghĩa vng góc của đường 

thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng và 

16 
 


 

củng cố phương pháp sử dụng điều kiện vng góc của đường thẳng và mặt phẳng 
vào việc giải tốn. 
- Củng cố, giúp HS hiểu được thế nào là một khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, 
khối  chóp,  khối chóp  cụt. Từ  đó  giúp  HS hình  dung được  thế  nào  là một  hình  đa 
diện, khối đa diện, điểm trong và điểm ngồi của chúng. Củng cố cho HS cách xác 
định hai đa diện bằng nhau, cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện đơn giản. 
- Củng cố, giúp HS hiểu hơn các khái niệm về mặt trịn xoay, sự tạo thành mặt 
trịn xoay và các yếu tố của mặt trịn xoay. Thơng qua việc nghiên cứu một số mặt 
trịn xoay đơn giản thường gặp, rèn luyện cho HS cách tìm giao của mặt phẳng với 
mặt cầu, cách tính diện tích của hình nón, hình trụ và diện tích mặt cầu.  
- Rèn luyện và củng cố cho HS cách xây dựng khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, 
cách  xác  định  tọa  độ  của  một  điểm  trong  khơng  gian  và  cách  thực  hiện  các  phép 
tốn  về  vectơ  thơng  quan  tọa  độ  của  các  vectơ  đó.  Củng  cố  và  rèn  luyện  cho  HS 
cách viết phương trình của mặt phẳng, của đường thẳng, của mặt cầu, cách xét vị trí 
tương đối của chúng bằng phương pháp tọa độ đồng thời củng cố cách thực hiện các 
bài  tốn  về  khoảng  cách,  biết  ứng  dụng  các  phép  toán  về  vectơ  và  tọa  độ  trong 
nghiên cứu hình học khơng gian.  
- Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy lơgic, trí tưởng tượng khơng gian, và 
kỹ năng vận dụng kiến thức hình học vào việc giải tốn, vào hoạt động thực tiễn, 
vào việc học tập các bộ mơn khác. 

1.3.2. Chức năng của bài tập hình học khơng gian

             Bài tập có 4 chức năng cơ bản sau:  
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, 
kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của q trình dạy học. 
- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan duy vật 
biện  chứng,  hứng  thú  học  tập  và  niềm  tin,  phẩm  chất  đạo  đức  của  con  người  lao 
động mới. 
- Chức năng phát triển: Bài tập nhằm rèn luyện và phát triển năng lực tư duy 
sáng tạo cho HS, đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất 
của tư duy khoa học.  
17 
 


 

- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá  mức độ, kết quả dạy và học, 
đánh giá khả năng độc lập học tốn và trình độ phát triển HS. 
  

Với các chức năng trên, bài tập hình học khơng gian đóng một vai trị quan 

trọng trong q trình rèn luyện năng lực, các thao tác tư duy và trí tuệ cho HS, tạo 
cho HS có cơ hội để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo của mình. 

1.3.3. Một số phương pháp giải bài tốn hình khơng gian
 

Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp vectơ 

 

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tổng hợp 

 

Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp toạ độ hố 

 
VD1: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc và SA = a; SB = b; 
SC = c. Tính cos BAC   
Lời giải:
Cách 1: (Giải bằng phương pháp vectơ) 
 


cos  BAC  =  cos ( AB, AC )  
 

AB. AC
          

AB . AC



 





 AS  SB  AS  SC 
            


AS  SB . AS  SC

 

      

 


AS 2  AS .SC  SB. AS  SB.SC
    
  2

  2  


AS  SB . AS  SC



   

 



 2

AS
 2  2

   2  2



  
 
AS  SB  2 AS .SB . AS  SC  2 AS .SC

a2
a 2  b2 . a 2  c 2

 

Cách 2:(Giải bằng phương pháp tổng hợp) 
SAB vuông tại S    AB 2  =  SA2  SB 2  a 2  b 2  AB =  a 2  b 2  

Tương tự trong  ABC  có:  BC =  b 2  c 2 ,    CA =  c 2  a 2  

18 
 


 

Theo định lý cosin ta có: 
cos BAC 

a 2  b2  a 2  c 2  (b2  c 2 )
a2
AB 2  AC 2  BC 2
 = 
=  2 2 2 2  
2 AB. AC
2 a2  b2 . a2  c2
a b . a c

Cách 3: (Giải bằng phương pháp toạ độ) 
Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  S , A= (a;0;0),   B = (0; b; 0),    (0;0;c) 
C



 AB  (  a; b;0) ,     AC  ( a;0; c )  
 

 

AB. AC
a2
cos  BAC  cos( AB, AC ) =    = 2 2 2 2  

AB . AC
a b . a c

VD2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c 
     Tính thể tích A’C’BD 
Lời giải:
Cách 1:(Giải bằng phương pháp tổng hợp)
Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 
 là: V = abc 
1
1 1
1
1
VC ' CDB  CC '.S BCD  c. ab  abc  V  
3
3 2
6
6

Tương tự ta có:  
1
6

VAA’BD  = VBA’B’C’  = VD’A’DC’  =  V 
 

1
1
1
⇒VA’C’DB = V - 4.  V =  V=  abc 
6
3
3

Cách 2: (Giải bằng phương pháp toạ độ) 
Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ  
Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0) 






DB  = (a; -b; 0);   DC '  = (a; 0; c);  DA'  = (0; -b;c);  
 


[ DB , DC ' ] = (-bc; -ac; ab) 



1   
1
VA’C’DB =   |[ DB , DC ' ]. DA ' | =  abc 
6

3

VD 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
Cạnh bên SA = a vng góc với đáy và SA = a

19 
 

.

 


 

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD. 
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. 
c. Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD). 
          Lời giải:

                            

 

Cách 1: (Giải bằng phương pháp tổng hợp)
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD 
Ta có SA ⊥ (ABCD)⟹ SA ⊥ BD. Mà BD⊥AC (tính chất hình thoi),  
suy ra BD ⊥ (SAC).
 Kẻ OH ⊥ SC, ( H  SC ), suy ra OH là đoạn vng góc chung của SC và BD. 
Tam giác ABC đều ⟹ AC = a 
∆SAC vng tại A, nên:   tan SCA 

SA
 3  SCA  600   
AC

a

2

∆OHC vng tại H, nên ta có: OH  OC.sin SCA  sin 600 
Vậy  d  SC , BD  

a 3
  
4

a 3
 
4

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD 
Gọi E là trung điểm của cạnh CD, vì ∆ACD là tam giác đều nên AE ⊥ CD, do đó 
 SE ⊥ CD (định lí ba đường vng góc)
Vậy CD ⊥ (SAE)⟹(SAE) ⊥ (SCD). 
Kẻ AK ⊥ SE, K

 ⟹AK ⊥ (SDC).  
20 

 


 

Do đó d(A, (SCD)) = AK. 
Mà AB// (SCD) nên d(SC, AB) = AK. 
∆SAE vng tại A có  AE 

Và AK ⊥ SE, ta có: 
Vậy:   d  SC , AB  

a 3
 
2

1
1
1
5
a 15


 2   
,
2
2
2
AK
AS
AE
3a
5   

a 15
5  

    c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) 
Gọi   là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) 

Ta dựng OF ⊥ AB  (F AB),  
Vì (SAB) ⊥(ABCD) nên OF ⊥ (SAB).
Kẻ FI ⊥ SB (I
Do đó 

)⟹OI ⊥ SB (định lí ba đường vng góc). 

 là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 

∆OBF vng tại F có BOF  300  , nên ta có:  OF=OB.sin30o 
Và  BF  OB.cos30 0 

a 3
 
4

3a
 
4

⟹  SBA  600  

∆SAB vng tại A, nên: 
∆BIF vng tại I, do đó IF = BF.

∆OIF  vng  tại F, suy ra  tan  

 

a.3 3

 
8

OF 2
2
    arctan  
IF 3
3 

2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) là    arctan      33.69
 
3

Cách 2: (Giải bằng phương pháp toạ độ)

21