Bài tập về công thức lượng giác có lời giải

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM
=
β
với
02
≤
β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=
cos OHα=
sin
tg
cos
α
α=
α
với
co

s 0α≠
cos
cot g

sin
α
α=
α
với
sin 0α≠
II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc
α

Giá trò
()
o
00

()
o
30
6
π

()
o
45
4
π

()
o

60
3
π

()
o
90
2
π

sinα

0 1
2

2
2

3
2

1
cosα

1
3
2

2
2

1
2

0
t
g
α

0
3
3

1
3

||
cot gα
||
3

1
3
3

0

III. Hệ thức cơ bản
22
sin cos 1α+ α=

2
2
1
1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
(
)
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau: và

−α

α
(
)
sin sin−α = − α

(
)
cos cos−α = α

(
)
(
)
tg tg−α = − α

(
)
(
)
cot g cot g−α = − α


b. Buø nhau: vaø
α π−α
(
)
()
()

()
sin sin
cos cos
tg tg
cot
g
cot
g
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau : vaø
π+

π
α α
(
)
()
()
()
sin sin
cos cos
tg t g
cot
g
cot
g

π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α

d. Phuï nhau: vaø
α
2
π
−α

sin cos
2
cos sin
2
t
g
cot
g
2
cot
g
t
g
2
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠

π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠


e.Sai nhau
2
π
:
α
vaø
2
π
+α

sin cos
2
cos sin

2
t
g
cot
g
2
cot
g
t
g
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟

⎝⎠

f.

()()
()()
()
()
+π=− ∈
+π=− ∈
+π= ∈
+π=
k
k
sin x k 1 sin x,k Z
cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cotg x k cot gx


V. Công thức cộng
(
)
()
()
sin a b sinacosb sin bcosa
cos a b cosacosb sin asin b
tga tgb
tg a b
1tgatgb

±= ±
±=
±
±=
m
m


VI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=
−
−
=
22 2 2
2
2
sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga
tg2a
1tga
cotg a 1
cotg2a
2cotga
−


VII. Công thức nhân ba:

3
3
sin3a 3sina 4sin a
cos3a 4 cos a 3cosa
=−
=−


VIII. Công thức hạ bậc:
()
()
2
2
2
1
sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos2a
2
1cos2a
tg a
1cos2a
=−
=+
−
=
+

IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
tt
g
2
=
(với
ak
)
2≠π+ π
2
2
2
2
2t
sina
1t
1t
cosa
1t
2t
tga
1t
=
+
−
=
+
=

−


X. Công thức biến đổi tổng thành tích
()
()
ab ab
cosa cosb 2cos cos
22
ab ab
cosa cosb 2sin sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cotga cotgb
sina.sin b
+−
+=
+−
−=−
+−
+=

+−
−=
±
±=
±
±=


XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1
sina.sin b cos a b cos a b
2
1
sina.cosb sin a b sin a b
2
=⎡ + + −⎤
⎣⎦
−
=⎡ +− −
⎣⎦
=⎡ + + −⎤
⎣⎦
⎤

Bài 1: Chứng minh
44
66
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+−
=
+−

Ta có:
(
)
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
(
)
(
)
()
66 224224
4422
22 22
22
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1

1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−
−

Do đó:
44 22
66 22
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+−−
==
+−−


Bài 2: Rút gọn biểu thức
()
2
2
1cosx
1cosx
A1
sin x sin x
⎡
⎤
−
+

==+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

Tính giá trò A nếu
1
cosx
2
=−
và
x
2
π
<
<π

Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A
sin x sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟

⎝⎠

(
)
2
21 cosx
1cosx
A.
sin x sin x
−
+
⇔=

(
)
2
2
33
21 cosx
2sin x 2
A
sin x sin x sin x
−
⇔= = =
(với
sinx 0
≠
)
Ta có:
22

13
sin x 1 cos x 1
44
=
−=−=

Do:
x
2
π
<<π
nên
sin

x 0>
Vậy
3
sin x
2
=

Do đó
244
A
sin x 3
3
===
3

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a.
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2
b.
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
+
=+
−−
1


a. Ta có:
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2

(
)
(
)
(
)
()
2
42 22 2
42424

A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện
sinx.cosx 0,t
g
x1
≠
≠

Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

1
1
221t
g
x

tgx
B
1
t
g
x1 t
g
x11t
g
x
1
tgx
+
+
⇔= + = +
−−
−
−


(
)
21tgx
1tgx
B1
tgx 1 tgx 1
−−
−
⇔= = =−
−−

(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1cot
g
bcot
g
ccot
g
a1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤
−
+−
−
+−=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
Ta có:
*
22

22
22
cos b sin c
cot
g
b.cot
g
c
sin b.sin c
−
−
2
22
22
cot
g
b1
cot
g
bcot
g
c
sin c sin b
=−−
(
)
(
)
22 222
cot

g
b1 cot
g
c1cot
g
bcot
g
bcot
g
c=+−+− 1=−
(1)
*
()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a
⎡⎤
−
+
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

()
2
2

1cosa
1cosa
1
2sina 1 cos a
⎡⎤
−
+
=−
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

1cosa 1cosa
1
2sina 1 cosa
+−
⎡⎤
=−
⎢⎥
+
⎣⎦

1cosa2cosa
.cot
g
a
2sina 1 cosa
+
==

+
(2)
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn.
ABCΔ
Tìm giá trò nhỏ nhất của
Pt
g
A.t
g
B.t
g
C=


Ta có:
AB C+=π−
Nên:
(
)
tg A B tgC+=−

tgA tgB
tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=
−
−

t
g
At
g
Bt
g
Ct
g
A.t
g
B.t
g
C⇔+=−+

Vậy:
Pt
g
A.t
g
B.t
g
Ct
g
At
g
Bt
g
C==++

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
t
g
A,t
g
B, t
g
C
ta được
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥

3
P3P⇔≥

32
P3
P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==
⎧
π
⎪
⇔⇔=
⎨
π
<<

⎪
⎩
tgA tgB tgC
ABC
3
0A,B,C
2
==

Do đó:
MinP 3 3 A B C
3
π
=
⇔===

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
a/
84
y2sinxcos2x=+
b/
4
ysinxcos=−x
a/ Ta có :
4
4
1cos2x
y2 cos2x
2
−

⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+t

=>
()
3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0=
3
3

1t 8t−=
⇔
1t

2t−=
⇔
1
t
3
=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3;
11
y
32
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
7

Do đó :
∈
=
x
y3
Max
và
∈
=

x
1
y
Min
27


b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤
=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với
∈

k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤

42 2
tcosx1sin==−
Nên
4
sin x 1 t=−
Vậy
8
4
y1t=−−t
trên
[
]
D' 0,1=
Thì
()
−
=−<
−
3
7
4
8
t
y' 1 0
2. 1 t

[
)
t0;1∀∈
Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :

(
)
∈
=
=
xD
max y y 0 1,

(
)
∈
=
=−
xD
min y y 1 1


Bài 7: Cho hàm số
44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2

fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −
2

()
2
1
f x 1 sin 2x m sin 2x
2
=− −

Đặt : với
tsin2x=
[
]
t1,∈− 1
y xác đònh ⇔
x∀
()
fx 0x R≥∀∈
⇔
2
1
1tmt0
2
−−≥
[

]
t1,1−∀∈
⇔

()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,∀∈− 1
t

Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2

2
'm 20Δ= + > m∀
Lúc đó t t
1
t
2

g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔
12
t11
≤
−< ≤

⇔ ⇔
()
()

1g 1 0
1g 1 0
−≤
⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩
2m 1 0
2m 1 0
−−≤
⎧
⎨
−≤
⎩
⇔
1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨
⎪

≤
⎪
⎩
⇔
11
m
22
−≤ ≤

Cách khác :


gt
()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,1−∀∈

{
}
[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g
∈−
⇔≤

⇔−≤

11
0110

{
}
max ), )mm⇔−−−+≤21210
⇔
1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨

⎪
≤
⎪
⎩
m⇔− ≤ ≤
11
22


Bài 8 : Chứng minh

4444
357
A sin sin sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
55
sin cos cos
16 2 16 16
π3

Mặt khác :
(
)
2
44 22 22
cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α αsin


22
12sin cos
=
−αα


2
1
1sin2
2
=
−α

Do ủoự :
4444
73
A sin sin sin sin
16 16 16 16

=+++
5

44 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16


=+++








22
11
1sin 1sin
28 2 8


= +


3

22
13
2 sin sin
28 8


= +




22
1
2sincos
28 8


= +





=

3
do sin cos
88

13
2
22
= =


Baứi 9 : Chửựng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1
=

Ta coự :
o
o
Acos10 1
A
cos10 cos10
==
o
(16sin10
o
cos10
o
)sin30
o
.sin50
o

.sin70
o


()
oo
o
11
o
A
8sin20 cos40 .cos20
2
cos10

=




()
0o
o
1
o
A
4sin20 cos20 .cos40
cos10
=

()
oo
o
1
A
2sin40 cos40
cos10
=


o
o
oo
1cos10
A
sin 80 1
cos10 cos10
===


Baứi 10 : Cho
A
BC
. Chửựng minh :
A
BBCCA
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
+
+=

Ta coự :
A
BC
22
+
2
=


Vaọy :
A
BC
tg cot g
22
+
=


A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg .tg tg
22 2
+
=

A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2

+=


B
2


A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++ =


Baứi 11 :
Chửựng minh :
()

++ +=84tg 2tg tg cotg *
81632 32

Ta có : (*) ⇔

8cotg tg 2tg 4tg
32 32 16 8
ππ π
=−−−
π
Mà :

22
cos a sin a cos a sin a
cot ga tga
sin a cos a si n a cos a
−
−=−=

cos 2a
2cotg2a
1
sin 2a
2
==

Do đó :
cot g tg 2tg 4tg 8
32 32 16 8
π
⎡
⎢
ππ π
⎤
−−−=

⎥
⎣⎦
(*) ⇔
2cotg 2tg 4tg 8
16 16 8
ππ π
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎣⎦
⇔
=
4cotg 4tg 8
⇔
88
π
π
=

−
8cotg 8
π
⇔
=
(hiển nhiên đúng)
4

Bài :12 : Chứng minh :
22 2
22

cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛⎞
+++−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

3
2
=
a/
111 1
cot gx cot g16x
b/
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
+++ =−


a/ Ta có :
22 2
22
cos x cos x cos x
33
ππ
⎛⎞⎛
+++−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝

⎞
⎟
⎠
()
11 414
1cos2x 1cos2x 1cos 2x
22 323
⎡π⎤⎡π⎤
⎛⎞ ⎛⎞
=+ ++ + ++ −
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦⎣⎦

31 4 4
cos 2x cos 2x cos 2x
22 3 3
⎡
ππ⎤
⎛⎞⎛⎞
=+ + + + −
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦

31 4

cos2x 2cos2xcos
22 3
π
⎡
⎤
=+ +
⎢
⎥
⎣
⎦

31 1
cos2x 2cos2x
22 2
⎡
⎤
⎛⎞
=+ + −
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦

3
=

2
b/ Ta có :

cos a cos b sin b cos a sin a cos b
cot ga cot gb
sin a sin b sin a sin b
−
−=−=

()
sin b a
sin a sin b
−
=

Do đó :
(
)
()
sin 2x x
1
cot gx cot g2x 1
sin x sin 2x sin 2x
−
−= =

(
)
()
sin 4x 2x
1
cot g2 x cot g4x 2
sin2xsin4x sin4x

−
−= =

(
)
()
sin 8x 4x
1
cot g4x cot g8x 3
sin4xsin8x sin8x
−
−= =

(
)
()
sin
cot g8x cot g16x−=
16x 8x
1
4
sin16x sin 8x sin16x
−
=

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được
111 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
−=+++

Bài 13 : Chứng minh :
3
8sin 18 +=
0 20
8sin 18 1

Ta có: sin18
0
= cos72
0

⇔ sin18
0
= 2cos
2
36
0
- 1
⇔ sin18
0
= 2(1 – 2sin
2
18
0
)
2
– 1
⇔ sin18

0
= 2(1 – 4sin
2
18
0
+4sin
4
18
0
)-1
⇔ 8sin
4
18
0
– 8sin
2
18
0
– sin18
0
+ 1 = 0 (1 )
⇔ (sin18
0
– 1)(8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18

0
– 1) = 0
0
< 1)
Chia 2 vế của (1) cho ( sin18
0
– 1 ) ta có
( sin18
0
+ 1 ) – 1 = 0
Bài 14 :
⇔ 8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1 = 0 (do 0 < sin18
Cách khác :
( 1 )
⇔ 8sin
2
18
0

Chứng minh :
()
a/

44
si +=
1
n x cos x 3 cos 4x
4
+

b/
()
1
sin 6x cos 6x 5 3cos 4x
8
+=+

c/
()
88
1
sin x cos x 35 28 cos 4x cos 8x
64
+= + +


(
)
2
44 22 2
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+= + −

2

a/ Ta có:
2
2
1sin2
4
=−

x

()
1
11cos4
4
=− −

x

31
cos 4x
44
=+

b/ Ta có : sin6x + cos6x
)()(
224224
sin x cos x si n x sin x cos x cos x=+ − +
()
44 2
1
sin x cos x sin 2x

4
=+−

()
31 1
cos 4x 1 cos 4x
44 8
⎛⎞
=+ − −
⎜⎟
⎝⎠
( do kết quả câu a )
35
cos 4x
88
=+

(
)
+= + −
2
88 44 4
sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x
4
c/ Ta có :
()
=+ −
2
4
12

3cos4x sin2x
16 16

()
()
⎡
⎤
=+ + − −
⎢
⎥
⎣
⎦
2
2
111
9 6cos4x cos 4x 1 cos4x
16 8 2

()
()
2
93 1 1
cos 4x 1 cos8x 1 2 cos 4x cos 4x
16 8 32 32
=+ + + − − +

()
=+ + + − +
93 1 1 1
cos4x cos8x cos4x 1 cos8x

16 8 32 16 64

35 7 1
cos 4x cos 8x

64 16
=+
64
+


Bài 15 :
Chứng minh :
3

33
sin 3x.sin x cos 3x.cos x cos 2x+=


Cách 1:
Ta có :
333
sin 3x.sin x cos 3x.cos x cos 2x+=

()
(
)
33 3 3
3sinx 4sinxsinx 4cosx 3cosxcosx=− + −
4664

s3sin x 4 sin x 4 cos x 3co x=−+−

()
(
)
44 66
3sin x cos x 4sin x cos x=−−−
()
(
)
2222
3 sin x cos x sin x cos x=− +
()
(
)
224224
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x−− + +
22
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin x cos x
⎡
⎤
=− + −
⎣
⎦

2
1
3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x
4
⎛⎞

=− + −
⎜⎟
⎝⎠

2
1
cos 2x 3 4 1 sin 2x
4
⎡⎤
⎛⎞
=−+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

(
)
2
cos 2x 1 sin 2x=−
3
cos 2x=

Cách 2 :
Ta có :
33
sin 3x.sin x cos 3x.cos x+

3sin x sin 3x 3cos x co s 3x
sin 3x cos 3x

44
−+
⎛⎞⎛
=+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝

⎞
⎟
⎠
()
()
22
31
sin 3x sin x cos 3x cos x cos 3x s in 3x
44
=++−

()
31
cos 3x x cos 6x
44
=−+

(
1
3cos 2x cos 3.2x
4
=+

)
()
=+−
3
1
3cos2x 4cos 2x 3cos2x
( bỏ dòng này cũng được)
4
3
cos 2x=

oo ooo
31
cos12 cos18 4 cos15 .co
Baứi 16 :
s 21 cos24
2
+
+ =
Chửựng minh :
(
)
oo oo
cos12 cos
o
8 4 cos15 cos21 cos 24+ 1Ta coự :
(
)
oo o o
2cos15 cos3 2cos15 cos45 cos 3= +

o
os 3 2cos15 cos45 2cos15 cos3=

+
oo o o oo
2cos15 c
oo
2cos15 cos45=

()
oo
cos 60 cos 30=
31
2
=
+


Baứi 17 : Tớnh
o

2o 2 o
Psin50 sin70cos50cos70=+

()()()
= + +
ooo
111
P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20
222

o
Ta coự :
()
oo
111
P 1 cos100 cos140 cos 20
222

= + +



o
()
oo
11
P 1 cos120 cos20 cos 20
42
= +

o
oo
51
Pcos2
1 5
0cos20
42 2 4
=+ =

Baứi 18 : Chửựng minh :
oooo
83
tg30 tg40 tg50 tg60 cos20
3
+++=

o
()
sin a b
tga tgb
cos a cos b
+
+=
Ap duùng :
Ta coự :
)
o
()(
oo o
tg50 tg40 tg30 tg60+++
oo
oo o
sin 90 sin 90
cos 50 cos 40 cos 30 cos 60
=+

o
oo

o
11
1
sin 40 cos 40
cos 30
2
=+

oo
22
sin 80 cos 30
=+

oo
11
2
cos10 cos 30

=+



oo
oo
cos 30 cos10
2
cos10 cos 30

+
=

po
oo
s 20 cos10

co
4
cos10 cos 30
=
o
83
cos 20
3
=

Baứi 19 : Cho
A
BC
, Chửựng minh :
a/
A
BC
sin A sin B sinC 4 cos cos cos
22
++=

2
A

b/
BC
cA cos B cos C 1 4 sin s in sin
222
++=+

so
c/
sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C++=

d/
22
A
2
cos cos B cos C 2 cos A cosBc osC++=−

e/
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC++=

f/
=cot gA.cot g B cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1++

g/
++=
A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
222
C
22

2

a/ Ta coù :
()
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin cos sin A B
22
+
−
++= + +

A
BAB AB
2sin=cos cos
22 2
+− +
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

+π
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
CAB AB C
4 cos cos cos do

222 2 22
−
b/ Ta coù :

()
A
BAB
cos A cos B cosC 2 cos cos cos A B
22
+
−
++= − +

2
A
BAB AB
2cos cos 2cos 1
22 2
+− +
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠

−
A
BAB AB
2cos cos cos 1
22 2
+− +

⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦

+
A
BA B
4cos sin sin 1
22 2
+
⎛⎞
− +
⎜⎟
⎝⎠

=−
CAB
4sin sin sin 1
222
=+

(
)
(
)
sin 2A s in 2B sin 2C 2sin A B cos A B 2sin C cos C+= + −+ c/
=−+2sin C cos(A B) 2sin C cosC

=−−2sinC[cos(A B) cos(A B)]

+
d/
2
=− −4 sin Csin A sin( B)

= 4 sin C sin A sin B

++
22
cos A cos B cos C

()
2
1
1 cos 2A cos2B cos C
2
=+ + +

()()
2
1cosABcosAB cosC=+ + − +
()
1 B= cosC cos A− −
⎡⎤
⎣⎦
do
(
)
(

)
cos A B cosC+=− cos C−
()
(
)
1 cosC cos A B cos A B=− − + +
⎡⎤
⎣⎦

1 2 cos C.cos A .cos B=−

e/ Do neân ta coù
g A B tgC+=−

ab C+=π−
()
t
tgA tgB
tgC
1tgAtgB
+
=−
−
⇔
⇔
tgC

tgA tgB tgC tgAtgB+=−+
⇔
a có : cotg(A+B) = - cotgC

tgA tgB tgC tgAtgBtgC++=

f/ T
1tgAtgB
cot gC
⇔
tgA + tgB
−
=−

⇔
cot gA cot gB 1
cot gC
cot gB cot gA
−
=−
+
(nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)
⇔
=
g/ Ta có :
cot gA cot gB 1 cot gC cot gB cot gA cot gC−=− −
⇔

cot gA cot gB cot g Bcot gC cot gA cot gC 1++

A
BC
tg cot g

22
+
=

⇔
A
B
tg tg
C
22
cot g
AB
2
1tg tg
22
+
=
−

A
B
cotg cotg
C
22
cot g
AB
2
cot g .cot g 1
22
+

=
−
.cotg
B
2
A
2
⇔ (nhân tử và mẫu cho cotg )
⇔
A
BABCC
cot g
2
+cot g cot g cot g cot g cot g
22222
= −

A
BC AB
⇔
C
.cotg .cotg
222


Bài 20 :
cotg cotg cotg cotg
222
++=
A

BC
. Chứng minh : Cho
Δ
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0


Bài 21 :
A
BCΔ
Cho . Chứng minh :
3A 3B 3C
4 sin s in sin
22
cos3A + cos3B + cos3C = 1 -
2
Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C
2
33
2cos (A B)cos (A B) 1 2sin
22

=+ −+−

3C
2
Mà :
A
BC+=π−
nên
()
33
AB
22
+=π−

3C
2
=>
()
3
cos A B cos+=
33C
222
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

3C
cos

22
π
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠

3C
sin
2
=−

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
(
)
2
3A B
3C 3C
2sin cos 2sin 1
22 2
−
=− − +

(
)
3A B
3C 3C
2sin cos sin 1
22 2
−⎡⎤

=− + +
⎢⎥
⎣⎦

(
)
()
3A B
3C 3
2sin cos cos A B 1
222
=− − +
⎢
⎣
−
⎡⎤
+
⎥
⎦

−
=+
3C 3A 3B
4sin sin sin( ) 1
22 2

3C 3A 3B
4 sin sin sin 1
222
=− +

Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :
sin A sin B sin C A B C
tg tg cot g
cos A cos B cosC 1 2 2 2
+−
=
+−+

2
A
BAB CC
2sin cos 2sin cos
sin A sin B si n C
22 2
AB AB C
cos A cosB cosC 1
2cos cos 2sin
22 2
2
+
−
−
+−
=
+−
+−+
+
Ta có :

CAB C
A
BA
2cos cos sin
cos cos
C
22 2
22
cot g .
B
A
BA
CAB C
2
cos cos
2sin cos sin
22
22 2
−
⎡⎤
B
−
+
−
−
⎢⎥
⎣⎦
==
−
+

−
⎡⎤
+
+
⎢⎥
⎣⎦

A
B
2sin
C
22
−.sin
cot g .
AB
2
2cos .cos
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=

CAB
cot g .tg .tg
22
=

2

Bài 23 : Cho
A
BCΔ
h : . Chứng min
A
BC BCA CAB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
++

()
A
BC AB BC AC
sinsinsin gtgtg tgt tgtg *
222222222
=+++


A
Ta có :
BC
222
+π
=−
vậy
A
BC
tg cot g
22 2

⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg tg tg
22 2
+
=
−

⇔
A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦

B

2
⇔
()
A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1 1
22 22 22
++ =


A
BC BCA
c sin cos cos
CAB
sin os cos sin cos cos
222 222 222
++
Do đó : (*) Ù
A
BC
sin sin sin 1
222
=+
(do (1))
A
BC BC A BC CB
sin
2
⇔
cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1

22 22 2 22 22
⎡⎤⎡⎤
−+ +=
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

⇔
A
BC A BC
sin cos cos s in 1
22 22
++
+=

⇔
A
BC
sin 1
2
++
=

π
⇔=sin 1
2
( hiển nhiên đúng)

Bài 24 :
()
A

B C 3 cos A cosB cosC
tg tg tg *
2 2 2 sin A sin B sin C
+
++
++=
++
Chứng minh :
Ta có :
2
A
BAB C
cos A cos B cos C 3 2 cos c os 1
⎡
2sin 3
22 2
+−
⎤
++= + +
⎥
⎣⎦

−
⎢
+
2
CAB
2sin cos 4 2s
C
22 2

−
in=+−

CAB C
2sin cos sin 4
22 2
−
⎡⎤
−+
⎢⎥
⎣⎦

=
CAB AB
2sin cos cos 4
22 2
−+
⎡⎤
−+
⎢⎥
⎣⎦

=
CA B
in4sin sin .s 4
22 2
+
(1)
=
A

BAB
sin A sin B sin C 2sin cos sin C
22
+
−
++= +

CAB C
2cos cos 2sin cos
22 2
C
2
−
=+

CAB AB
2cos co s cos
22 2
−+
⎡
⎤
=+
⎢
⎥
⎣
⎦

CAB

Từ (1) và (2) ta có :

4 cos cos cos
222
=
(2)
(*) ⇔
A
BC ABC
sin sin sin sin sin sin 1
222222
A
BC ABC
cos cos cos cos co
+
s cos
222 222
++=

A
BC B AC C AB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
⎡⎤⎡⎤⎡
++
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣

⎤
⎥
⎦

⇔

A
BC
sin sin sin 1
222
=
+

⇔
A
BC BC A BC CB
sin cos cos sin sin cos sin cos si n cos 1
222 22 222 22
⎡⎤⎡
−+ +
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣

⎤
=
⎥
⎦
⇔
A
BC A+BC
sin .cos cos sin 1
22 22
+
+=

A
⇔
BC
1
2
++
⎤
=
⎢⎥
⎣⎦

sin
⎡
⇔
sin
π
1
2
=
( hiển nhiên đúng)
Bài 25 : . Chứng minh:
A
BC
sin sin sin
222
2
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 22

+
+=

A
BCΔ
Cho
Cách 1 :
Ta có :
A
BAAB
sin sin sin cos sin cos
22222
BC CA
B
2
BC
cos cos cos cos cos cos cos
22 22 222
+
+=


A
A
BA
sin cos
B
sin A sin B
22
+

1
A
BC ABC
2
cos cos cos cos cos cos
222 222
−
+
=

=
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
==
A
B
CAB
cos
cos .cos
2
22
A
BC A
cos .cos .cos cos cos
222 2

B

2
Do đó : Vế trái
A
B
CABA
cos
sin cos cos
2
22
AB AB AB
cos cos cos cos cos cos
22 22
B
2
2
−
⎛⎞
−
+
+
⎜⎟
⎝⎠
=+=

2
A
B
2cos cos
22
2

AB
cos cos
22
==


Cách 2 :
BC AC AB
cos cos cos
22
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 2
+++
=++

2
2
Ta có vế trái
BC BC AC AC
cos cos sin sin cos cos sin sin
22 22 22 2
BC CA
cos cos cos cos
22 22
−−
=+

2
A

BA
cos cos sin sin
22 2
AB
cos cos
22
−
+

B
2

BC AC AB
3 gtg

tgtgtgtgt
22 22 22
⎡⎤
=− + +
⎢⎥
⎣⎦
Mà :
A
BBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++ =

(đã chứng minh tại b
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 :
ài 10 )
. Có
A
BC
cot g ,cot g ,cot g
22
A
BCΔ
Cho
2
theo tứ tự tạo cấp số cộng.
A
C
cot g .cot g 3
22
=
Chứng minh
A
BC
cot g ,cot g ,cot g
22
Ta có :
2
là cấp số cộng
⇔
A
CB
cot g cot g 2cot g

22
+=

2
⇔
+
=
A
C
sin 2 cos
22
B
A
CB
sin sin sin
22 2

⇔
B
cos 2 cos
22
B
A
CB
sin sin sin
22 2
=

nên
B

cos 0
2
>
⇔
=
+
12
A
CAC
sin sin cos
22 2
(do 0<B<
π
)
⇔
A
CAC
cos cos sin sin
22 22
2
AC
sin .sin
22
−
⇔
A
C
cot g cot g 3
=
22

=

Bài 27 :

A
BCΔ
Cho . Chứng minh :
1
t+
111ABC A B C
tg tg tg cot g co g cot g
sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2
⎡⎤
+= +++ + +
⎢⎥
⎣⎦

A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
++=
Ta có :
C
2
(Xem chứng minh bài 19g )
Mặt khác :
sin cos 2
tg cot g
cos sin sin 2

α
α
α+ α= + =
α
αα

1A B C A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 2 2 2 2
⎡⎤
+++ + +
⎢⎥
⎣⎦
Do đó :
1A B C1 A
cotg
⎡
+
⎢
B C
tg tg tg cotg cotg
2 22 2 2 2
⎡⎤ ⎤
=+++ +
⎢⎥ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦

22
1A A1B B1C C
tg cot g tg cot g tg cot g

22 222 222 2
⎡⎤⎡⎤⎡
=+ ++ ++
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣

⎤
⎥
⎦
111
sin A sin B sin C
=++


BÀI TẬP

1. Chứng minh :
a/
21
cos cos
55
ππ
−=

2
b/
oo
oo
cos15 sin15
3

cos15 sin15
+
=
−

246
cos cos cos
777
πππ
++=
c/
1
2
−
d/
3
+=
33
sin 2x sin 6x cos 2x.cos 6x c os 4x

oooo
tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3
=
e/
ππππ
+++=
25 π3
tg tg tg cos
6918339

8
tg
f/
7
2345671
os .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
πππ πππ
=

c
π
g/
h/
tgx. tg x .tg
π
⎡⎤
−
⎢⎥
x tg3x
33
π
⎡⎤
+=
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

k/
oo oo
tg20 tg40 3tg20 .tg40 3++ =

ooo
3
sin20.sin40 .sin80
e/
8
=

m/
oooo
tg5 . tg55 .tg65 .tg75 1
=

(
)
2. Chứng minh rằng nếu
()
(
xy 2k1 kz
2
π
+≠ + ∈
⎪
⎩
)
x y+

thì
sin x 2sin=⎧
⎪

⎨
sin
()
cos
y
tg x y
y
+=
−
2

3. Cho có 3 góc đều nhọn và
A
BC≥≥

A
BCΔ
a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b/ Đ
Chứng minh (p-1)(q-1)
ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q
4
4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :
a/
≥
(
)
(
)
424222

A
sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1=++++ +
()
(
)
88 6 6
B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x=−+−+ b/
4
c/
() ()
(
)
(
)(
22
C cos x a sin x b 2cos x a sin x b sin a b=−+−−−−−
)
5. Cho , chứng minh :
A
BCΔ
cosC cos B
cot
a/
gB cot gC
sinBcosA sinCcosA
+=+

b/
333
A

BC
C 3cos cos cos co
3A3B3C
s cos cos
222 2 2 2
= +

sin A sin B sin++
A
BC B AC
sin A sin B si
c/
n C scos .co cos .cos
22 22
−
−
++ +

=
CA
cos .co
B
22
−
s+

otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA = 1
s C 1 2cos A cos B cosC=−

in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0

6. Tìm giá trò nhỏ nhất của :
d/ c c
e/
22
cos A cos B co++
2
f/ s
11
y
sin x cos x
=+
với
0x
2
π
<
<
a/
π
=++
9
y4x sinx
x
với
0x
<
<∞
b/
2
y2sinx4sinxcosx 5=+ +

c/
7. Tìm giá trò lớn nhất của :
a/
y sin x cos x cos x sin x=+

b/ y = sinx + 3sin2x
c/
2
ycosx 2cosx=+−

TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn