skkn phân loại và phương pháp giải các bài tập về công thức lượng giác thpt lê hữu cảnh

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC
BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Người thực hiện: NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục: 
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN 
- Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013-2014
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và Tên: Nguyễn Thị Hồng Vân
2. Ngày tháng năm sinh: 18/09/1978
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 18 HV- KP1 Phường Long Bình Tân – TP Biên Hoà – Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613834289 (CQ)/ 0613832425 (NR); ĐTDĐ: 0974 669 039
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán các lớp 11A4, 11A10, 10A3, 10A5 và chủ
nhiệm lớp 10A3
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: thạc sỹ
- Năm nhận bằng: 2013
- Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích .

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học
Số năm có kinh nghiệm: 14 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng.
2. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng.

2
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải
truyền đạt những tri thức mà còn phải giúp cho các em rèn luyện các kĩ năng cơ bản,
phát triển tư duy.
- Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều đợt kiểm tra học kỳ II của khối 10, bản thân
tôi nhận thấy bài “ Công thức lượng giác ” là rất quan trọng, nó chiếm điểm gần như
toàn bộ trong chương này và một phần ba điểm trong bài kiểm tra học kỳ II. Thể loại
toán về “ Công thức lượng giác” rộng lớn và phong phú cả về thể loại, nội dung cũng
như mức độ yêu cầu của từng thể loại. Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối
tượng học sinh trong khối. Đặc biệt, có một vài dạng được đánh giá là loại bài nhằm
phát triển tư duy của học sinh. Nó thường được đóng vai trò làm câu khống chế điểm
9, điểm 10 trong đề thi hằng năm. Bên cạnh đó, bài học này là bài cuối cùng của học
kỳ II nên các em không có thời gian rèn luyện nhiều, chưa có đủ thời gian để “
ngấm”.
- Giúp cho các em học sinh thấy được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm
vững được những dạng toán cơ bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy. Đây
là nền tảng để các em học tiếp chương “ phương trình lượng giác” ở đầu năm lớp 11 .
Ngoài ra, các em còn được tiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị
cho các kì thi sau này.

- Để có những hiểu biết sâu sắc, truyền thụ cho học sinh về mảng kiến thức liên
quan đến “ Công thức lượng giác ” có hiệu quả nhất, chúng tôi chọn chuyên đề nghiên
cứu là “ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về công thức lượng giác”.
- Trong quá trình dạy học tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các
phương pháp giải cụ thể cho học sinh đồng thời hướng dẫn học sinh biết nhận dạng
bài toán và phát triển các bài toán mới.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
- Các kiến thức về công thức lượng giác được tổng hợp từ sách giáo khoa và sách
bài tập.
- Kĩ năng giải các bài toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo.
- Chuyên đề được trình bày thành sáu dạng toán, mỗi dạng toán có các yêu cầu cụ
thể như sau:
+ Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt các khái niệm, định nghĩa, định lý, tính
chất và các công thức hoặc phương pháp giải phục vụ cho việc giải quyết các bài toán
tương ứng của từng phần.
+ Các bài toán minh họa: Trên cơ sở lý thuyết, phần này phân loại và chỉ ra các
dạng toán cơ bản thường gặp trong chương trình cùng với phương pháp giải. Lời giải
3
các bài toán được trình bày chi tiết hoặc gợi ý, hướng dẫn. Ngoài ra còn có các nhận
xét, rút kinh nghiệm, các cách giải khác giúp cho các em dễ hiểu, dễ vận dụng để giải
được các bài toán tương tự.
+Bài tập đề nghị : Hệ thống các bài toán có cùng cách giải, cùng mạch tư duy.
Bên cạnh đó còn có các bài tập có tính mở rộng, nâng cao để giúp các em khá, giỏi có
điều kiện rèn luyện, mở rộng kiến thức để nâng cao năng lực giải toán của mình.
- Các kết quả trong chuyên đề chủ yếu là đã có sẵn trong sách giáo khoa, trong các
tài liệu tham khảo, bản thân đã tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục mới, chứng minh
chi tiết nhiều kết quả mà trong tài liệu chứng minh vắn tắt hoặc bỏ qua chứng minh.
Bên cạnh đó tác giả cũng đưa ra và chứng minh một số kết quả mới.
- Các giải pháp mà tác giả thực hiện đã có tác động khắc phục được các hạn chế ở
đơn vị mình, là các giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có mà tác giả đã thực

hiện và có hiệu quả.
- Do trong mỗi bài của sách giáo khoa bao gồm nhiều vấn đề lý thuyết khác nhau
nên việc phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập theo hướng nâng dần mức độ
phức tạp và rèn kĩ năng suy luận là rất thiết thực đối với học sinh. Để từ đó các em
học sinh tích cực chủ động trong học tập có điều kiện luyện tập khắc sâu kiến thức.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Vấn đề 1: Các hệ thức cơ bản
Phương pháp
Dùng các hệ thức :
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
tan .cot 1
1
1 tan
cos
1
1 cot
sin
α α
α α
α
α
α
α
+ =
=

+ =
+ =
Lời giải
4
Bài toán 1: ( Đề kiểm tra một tiết – Năm học 2012 -2013- Trường
THPT Nguyễn Hữu Cảnh )
1) Cho
cos cos cos 4sin sin sin 1
2 2 2
A B C
A B C+ + = +
và
.
2
a
π
π
< <

Tính các giá trị lượng giác còn lại.
2) Cho
tan 2a =
và
3
.
2
a
π
π
< <

Tính các giá trị lượng giác còn lại.
a) Ta có
2 2
144
cos 1 sin
169
a a= − =

Suy ra
12
cos
13
a =
hoặc
12
cos
13
a = −
.
Vì
2
a
π
π
< <
nên ta nhận
12
cos
13
a = −

Ta có
sin 5
tan
cos 12
a
a
a
= = −
và
1 12
cot
tan 5
a
a
= = −
b) Ta có
2
2
1 1
cos
1 tan 5
a
a
= =
+

Suy ra
5
cos
5

a =
hoặc
5
cos
5
a = −
.
Vì
3
2
a
π
π
< <
nên ta nhận
5
cos
5
a = −
Ta có
sin 2 5
tan sin tan .cos
cos 5
a
a a a a
a
= ⇒ = = −


1 1

cot
tan 2
a
a
= =

Lời bàn: Đây là dạng toán cơ bản nhất, trong ma trận đề thường ở dạng
“ nhận biết ”, dùng làm câu tránh điểm liệt đối với những học sinh yếu kém.
Lời giải
Phân tích và định hướng
- Có thể chứng minh trực tiếp VT = VP ( hay VP = VT).
- Có thể biến đổi đồng thời cả hai vế về cùng một biểu thức.
- Sử dụng các hằng đẳng thức đại số và các hằng đẳng thức lượng giác
( )
( )
2
2
sin cos 1 2sin cos
sin cos 1 2sin cos
x x x x
x x x x
+ = +
− = −
5
Bài toán 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
3 3
sin cos
1 sin cos
sin cos

x x
x x
x x
+
= −
+

b)
2
2 2
1 cos 1
tan cot
1 sin cos
x
x x
x x
−
+ =
−

c)
2
2 2
2 2
sin cot sin cot
1 sin tan 1 sin tan
x x x x
x x x x
+ +
 

=
 ÷
+ +
 

Lời giải
a) Ta có

( )
( )
3 3
2 2
2 2
sin cos
sin cos
sin cos sin sin cos cos
sin cos
sin sin cos cos
1 sin cos ( ).
x x
VT
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x VP dpcm
+
=
+
+ − +

=
+
= − +
= − =
b) Ta có
2 2
2
2 2 2
1 cos sin 1
tan cot 1 tan 1 ( )
1 sin cos cos
x x
VT x x x VP dpcm
x x x
−
= + = + = + = =
−

c) Biến đổi đồng thời cả hai vế
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin cot (sin cos ).cos
sin
cot

sin
1 sin tan (cos sin )sin
1 sin .
cos
x
x
x x x x x
x
VT x
x
x x x x x
x
x
 
+
 ÷
 
+ +
 
= = = =
 ÷
 ÷
 
+ +
 
 
 ÷
+
 
( )

( )
2
2
4 2 2
2 2
2
2
2
2 2
4 2 2
2
2
cos
sin
sin cos .cos
sin cot
sin
cot
sin
1 sin .tan
sin cos .sin
1 sin .
cos
x
x
x x x
x x
x
VP x
x

x x
x x x
x
x
+
+
+
= = = =
+
+
+
Do đó VT= VP (đpcm).
Lời giải
a) Cách 1
2
2
1 cos (1 cos )
1
sin sin
a a
A
a a
 
+ −
= +
 
 

2
2

1 cos (1 cos )
1
sin 1 cos
a a
a a
 
+ −
= +
 
−
 
6
Bài toán 3: Rút gọn biểu thức
a)
2
2
1 cos (1 cos )
1
sin sin
a a
A
a a
 
+ −
= +
 
 

b)
2 2

1 1
tan tan
tan tan
B a a
a a
   
= + − −
 ÷  ÷
   


1 cos 1 cos
1
sin 1 cos
a a
a a
+ −
 
= +
 ÷
+
 

1 cos 2
sin 1 cos
a
a a
+
 
=

 ÷
+
 

2
sin a
=

Cách 2
2
2
1 cos (1 cos )
1
sin sin
a a
A
a a
 
+ −
= +
 
 

2
2
1 cos 1 2cos cos
1
sin sin
a a a
a a

 
+ − +
= +
 ÷
 

2
1 cos 2(1 cos )
.
sin 1 cos
a a
a a
+ −
=
−

2
sin a
=
b) Cách 1
2 2
1 1
tan tan
tan tan
B a a
a a
   
= + − −
 ÷  ÷
   

2 2
2 2
1 1
tan 2 tan 2
tan tan
a a
a a
= + + − + −

4=

Cách 2
2 2
1 1
tan tan
tan tan
B a a
a a
   
= + − −
 ÷  ÷
   

1 1 1 1
tan tan tan tan
tan tan tan tan
a a a a
a a a a
  

= + + − + − +
 ÷ ÷
  

2
2tan .
tan
a
a
=


4
=

7
Bài toán 4: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với biến x
a)
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cosA x x x x= + − +

b)
( ) ( )
8 8 6 6 4
3 sin cos 4 cos 2sin 6sinB x x x x x
= − + − +
Phân tích và định hướng
- Biến đổi như bài toán 3 là thu gọn biểu thức lượng giác đó, nhưng kết quả thu gọn
phải là một hằng số ( không phụ thuộc vào biến).

- Đôi khi có bài ta cần đặt
2 2
sin cos 1t x x t= ⇒ = −
. Cách làm như vậy sẽ khắc phục
được sự phức tạp của bài toán, rồi sau đó thực hiện việc thu gọn biểu thức đại số
thành một hằng số ( không phụ thuộc vào biến
t
).
Lời giải
a) Cách 1:
( ) ( )
6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cosA x x x x= + − +

( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2
2 2 2 2
2 sin cos 3 sin cosx x x x
   
= + − +
   
   


( ) ( )
2 2 2 2
2 1 3sin cos 3 1 2sin cosx x x x= − − −


1= −

Cách 2:
Đặt
2 2
sin , cosa x b x= =
với
1a b+ =

Khi đó
3 3 2 2
2( ) 3( )A a b a b= + − +


3 2
2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2a b ab a b a b ab
   
= + − + − + −
   


2(1 3 ) 3(1 2 )ab ab= − − −


1= −

b)Ta có
( ) ( )
8 8 4 4 4 4
sin cos sin cos sin cosx x x x x x
− = − +

( ) ( )
2 2 2 2
1 2sin cos sin cosx x x x= − −


( ) ( )
2 2 2
1 2sin 1 sin 2sin 1x x x
 
= − − −
 


( ) ( )
4 2 2
2sin 2sin 1 2sin 1x x x
= − + −


6 4 2
4sin 6sin 4sin 1x x x= − + −
và

( )
3
6 6 2 6 2 4 6
cos 2sin 1 sin 2sin 1 3sin 3sin 3sinx x x x x x x− = − − = − + −
Do đó
( ) ( )

6 4 2 2 4 6 4
3 4sin 6sin 4sin 1 4 1 3sin 3sin 3sin 6sin 1B x x x x x x x= − + − + − + − + =
Vậy biểu thức B độc lập đối với biến
x
.
8
Phân tích và định hướng
- Từ giả thiết đã cho, áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, ta tính
được giá trị của biểu thức theo hai cách sau
Lời giải
Cách 1
Ta có
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
suy ra
2
2
2
2 2 2
1 1 4 16
sin
1 cot 4 3 25
3
1

4
α
α
= = = =
+ +
 
+ −
 ÷
 

Do đó
4
sin ( sin 0)
5
do
α α
= >


4 3 3
cos sin .cot .
5 4 5
α α α
 
= = − = −
 ÷
 

Từ đó suy ra
2 2

4 3 84
3 4
5 5 25
P
   
= + − =
 ÷  ÷
   

Cách 2
Từ giả thiết ta có
2
2
cos 3 cos 9
(1)
sin 4 sin 16
α α
α α
= − ⇒ =

Mặt khác ta có
2 2
sin cos 1 (2)
α α
+ =

Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2
2

sin cos 1
cos 9
sin 16
α α
α
α

+ =


=



Đặt
2 2
sin , cos ( 0, 0)a b a b
α α
= = > >
, khi đó hệ trở thành
16
1 1
25
9 9
19
16 16
25
a b a b
a
b a

b
b
a

+ = + =
=
 

  
⇔ ⇔
  
= =
  
=
 



Từ đó suy ra
84
3 4
25
P a b= + =
.
Bài tập đề nghị
9
Bài toán 5: Cho
3
, cot
2 4

π
α π α
< < = −
. Tính giá trị của biểu thức
sau :
2 2
3sin 4cosP
α α
= +

1)
a) Cho
1
sin
3
a = −
và
3
.
2
a
π
π
< <
Tính các giá trị lượng giác còn lại.
b) Cho
5
cos
13
a = −

và
.
2
a
π
π
< <
Tính các giá trị lượng giác còn lại.
c) Cho
tan 3a =
và
0 .
2
a
π
< <
Tính các giá trị lượng giác còn lại.
d) Cho
1
cot
5
a = −
và
0.
2
a
π
− < <
Tính các giá trị lượng giác còn lại.
2) Chứng minh các đẳng thức sau:

a)
2 2
sin cos
1 sin cos
1 cot 1 tan
a a
a a
a a
− − =
+ +

b)
2
2
sin cos 1 cot
cos sin cos sin 1 cot
a a a
a a a a a
+
− =
+ − −

c)
1 sin cos tan (1 tan )(1 cos )a a a a a+ + + = + +

d)
2
2
sin sin cos
sin cos tan 1

a a a
a a a
+
−
− −

e)
2
2
1 sin 1 sin
4tan
1 sin 1 sin
a a
a
a a
 
+ −
− =
 ÷
− +
 

3) Rút gọn biểu thức
a)
2 2 2
(1 sin )cot 1 cotA a a a= − + −

b)
2 2
(1 tan )cos (1 cot )sinB a a a a= + + +

c)
2
cos .tan
cot .cos
sin
a a
C a a
a
= −

d)
tan (1 sin .cot )tanD a a a a= − −

4) Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với biến x
a)
4 4 2 2 2 8 8
2(sin cos sin .cos ) (sin cos )A x x x x x x= + + − +

b)
2 2
(tan cot ) (cot tan )B x x x x= + − −

c)
2 2
2 2 2
(1 tan ) 1
4 tan 4sin .cos
x
C

x x x
+
= −
+

d)
4 2 4 2
sin 4cos cos 4sinD x x x x= + + +

5) Cho
sin cos .x x m+ =
Tính các biểu thức sau theo
:m

a)
sin .cosx x

10
b)
sin cosx x−

c)
3 3
sin cosx x+

d)
6 6
sin cosx x+

Vấn đề 2: Công thức cộng

Phương pháp
Dùng các công thức:
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
+ = −
− = +
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
+ = +
− = −
tan tan
tan( )
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
a b
a b
a b
−
− =
+
+

+ =
−
Hệ quả
1 tan
tan
4 1 tan
1 tan
tan
4 1 tan
π α
α
α
π α
α
α
+
 
+ =
 ÷
−
 
−
 
− =
 ÷
+
 
Lời giải
a) Ta có

2
sin cos
6 3
a a
π π
   
+ − −
 ÷  ÷
   
11
Bài toán 1:
a) Cho
1
cos ,
3
a =
tính
2
sin cos
6 3
a a
π π
   
+ − −
 ÷  ÷
   
.
b) Cho
8 15
sin ,sin

17 17
α β
= =
với
0 ,0 .
2 2
π π
α β
< < < <
Chứng minh rằng
.
2
π
α β
+ =

2 2
sinacos cos sin cosacos sin sin
6 6 3 3
a a
π π π π
= + − −
3 1 1 3
sina cos cosa sin
2 2 2 2
a a= + + −
1
cos .
3
a= =

b) Ta có
8
sin
17
α
=
và
0
2
π
α
< <
suy ra
64 225 15
cos 1
289 289 17
α
= − = =

15
sin
17
β
=
và
0
2
π
β

< <
suy ra
225 64 8
cos 1
289 289 17
β
= − = =
Do đó
sin( ) sin cos cos sin
α β α β α β
+ = +

8 8 15 15
. . 1
17 17 17 17
= + =

Vì
0 ,0
2 2
π π
α β
< < < <
nên từ đó suy ra
.
2
π
α β
+ =
Phân tích bài toán

a) - Để ý rằng
0 0 0
200 ,310 ,340
không phải là các góc đặc biệt nên ta không thể
tính trực tiếp được. Đối với bài tập dang này ta thường dùng các công thức lượng giác
để biến đổi hoặc là dựa vào các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
- Ứng dụng cung liên kết
0 0 0 0 0 0
200 180 20 , 340 360 20= + = −
sau đó dùng
công thức cộng
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −

b) Chứng minh công thức
cot cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
a b
−
+ =
+
và
cot cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
a b

+
− =
−
Lời giải
a) Ta có

0 0 0 0
sin 200 sin310 cos340 cos50+
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0
sin 180 20 sin 360 50 cos 360 20 cos50= + − + −
( ) ( )
0 0 0 0
sin 20 sin50 cos20 cos50
= − − +
12
Bài toán 2: Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng
a)
0 0 0 0
3
sin 200 sin310 cos340 cos50
2
+ =

b)
2 0
0
2 0
3cot 15 1
cot15

3 cot 15
−
= −
−

0 0 0 0
cos20 cos50 sin 20 sin50= +
( )
0 0 0
3
cos 50 20 cos30
2
= − = =
.
b) Ta có

2 0 2 0 2 0
2 0 2 0 2 0
3cot 15 1 cot 30 cot 15 1
3 cot 15 cot 30 cot 15
M
− −
= =
− −

0 0 0 0
0 0 0 0
cot30 cot15 1 cot30 cot15 1
.
cot30 cot15 cot30 cot15

+ −
=
− +
Mặt khác ta có
cos(a b) cos cos sin sin
cot(a b)
sin(a b) sin cos cos sin
a b a b
a b a b
+ −
+ = =
+ +
Chia cả tử và mẫu cho
sin sina b
ta được
cot cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b
a b
−
+ =
+
Tương tự
cot cot 1
cot( )
cot cot
a b
a b

a b
+
− =
−
Do đó
( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0
cot 15 30 .cot 15 30 cot15 .cot 45 cot15M = − + = − = −
.
Ta được điều phải chứng minh.
Bài tập đề nghị
1) Biết
5 3
sina ,cosb
13 5
= =
với
0 ,0 .
2 2
a b
π π
< < < <
Tính
sin( ),cos( ),sin( ),cos( ).a b a b a b a b+ + − −
2) Cho
3
a b
π
+ =
. Tính giá trị của biểu thức

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
cos cos sin sin cos sin cosb sina .P a b a b a b= + + + + + + −

3) Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 2
sin( ).sin( ) sin sinx y x y x y+ − = −

b)
2 2
2 2
tan tan
tan( ).tan( )
1 tan .tan
x y
x y x y
x y
−
= + −
−

c)
2
3
cos sin .sin
6 6 4
x x x
π π
   

− + − =
 ÷  ÷
   

4) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
a)
sinBcosC sinCcosB sinA+ =

b)
cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
B C B C A
− =

13
c)
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =

(với tam giác ABC không vuông)
Vấn đề 3: Công thức nhân
Phương pháp:
Công thức nhân đôi:
2 2 2 2
2
2
sin 2 2sin cos
cos2 2cos 1 1 2sin cos sin

2tan
tan 2
1 tan
cot 1
cot 2
2cot
α α α
α α α α α
α
α
α
α
α
α
=
= − = − = −
=
−
−
=
Công thức hạ bậc
2
2
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
sin
2

1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
+
=
−
=
−
=
+
Công thức nhân ba (*)
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
α α α
α α α
α α

α
α
= −
= −
−
=
−
Phân tích bài toán
- Các đẳng thức a) và b) thì ta dựa vào công thức cộng và công thức nhân
đôi để chứng minh. Còn các đẳng thức c) và d) thì ta dựa vào công thức
nhân đôi để chứng minh.
14
Bài toán 1: Chứng minh rằng:
a)
3
sin3 3sin 4sina a a= −
b)
3
cos3 4cos 3cosa a a= −

c)
4 2
cos4 8cos 8cos 1a a a= − +

d)
( )
2 2
sin 4a 4sin cos cos sina a a a
= −

Lời giải
a)
sin3 sin(2 ) sin 2 .cos sin cos2a a a a a a a= + = +

2 2
2sin .cos sin (1 2sin )a a a a= + −


2 2
2sin (1 sin ) sin (1 2sin )a a a a= − + −


3
3sin 4sina a= −
b)
cos3 cos(2 ) cos2 cos sin 2 sina a a a a a a= + = −

2 2
(cos sin )cos 2sin cos sina a a a a a= − −


3 2
cos 3sin cosaa a= −


3 2
cos 3(1 cos )cosa a a= − −


3

4cos 3cosa a= −
c)
( )
2
2 2 2 2 2
cos4 cos 2 sin 2 cos sin (2sin cos )a a a a a a a= − = − −

2 2 2 2
(2cos 1) 4cos (1 cos )a a a= − − −


4 2 2 4
4cos 4cos 1 4cos 4cosa a a a= − + − +


4 2
8cos 8cos 1a a= − +
d)
2 2
sin 4a 2sin2 cos2 2.2sin cos (cos sin )a a a a a a= = −


( )
2 2
4sin cos cos sina a a a= −

Lời bàn:
- Các công thức trên rất hay được sử dụng, vì vậy học sinh nên nhớ các công
thức này và cách chứng minh của chúng để có thể sử dụng khi cần thiết.
Phân tích bài toán

- Để giải được câu b) ta thấy có thể sử dụng liên tiếp hai lần công thức góc
nhân đôi để đưa cung
2a
về cung
a
, sau đó lại đưa cung
a
về cung
2
a
.
- Để giải được câu c) ta sử dụng công thức cơ bản:
2 2
sin cos 1a a+ =
và hằng
đẳng thức
3 3 3
( ) 3 ( )a b a b ab a b+ = + − +
, dễ dàng chứng minh được công thức
6 6 2 2
sin cos 1 3sin cosa a a a+ = −
.
Lời giải
15
Bài toán 2: Chứng minh rằng:
a)
3 3
1
cos asina sin acosa sin4
4

a− =

b)
1
2 cot 2 cot tan
sin 2 2 2
a a
a
a
 
+ = −
 ÷
 

c)
6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
a a a+ = −

a) Ta có
2 2
VT cosasina(cos sin a)a= −

1
cosasina.cos2
2
a=

1 1
sin 2 .cos2 sin 4
2 4
a a a VP= = =

1
sin 4
4
a VP= =
(đpcm)
b)
1 1 cos2
2 cot 2 2
sin 2 sin 2 sin 2
a
VT a
a a a
   
= + = +
 ÷  ÷
   


2
2(1 cos2 ) 2.2cos
sin 2 2sin cos
a a
a a a
+
= =

2 2
2 cos sin
2cos
2 2
sin
2sin cos
2 2
a a
a
a a
a
 
−
 ÷
 
= =


cos sin
2 2
cot tan
2 2
sin cos
2 2
a a
a a
VP
a a

= − = − =
(đpcm)
c)
( )
6 6 2 2 2 2 2
3 3
sin cos 1 3sin cos 1 4sin cos 1 sin 2
4 4
a a a a a a a+ = − = − = −


Lời giải
a) Ta có
2 2
cos2 2cos 1 2 1a a m= − = −

( )
2 2 2 2 2 2 2
sin 2 4sin cos 4cos 1 cos 4 (1 )a a a a a m m= = − = −

2 2 2
2
2 2 2
sin 2 4 (1 )
tan 2
cos 2 (2 1)
a m m
a
a m
−

= =
−

b) Ta có
sin 2 ;tan 2a a
không xác định duy nhất bởi
m
16
Bài toán 3: Cho
cosa m=

a) Hãy tính
2 2
cos2 ;sin 2 ;tan 2a a a
theo
m
( giả sử
tan 2a
xác
định).
b) Hỏi
sin 2 ;tan 2a a
có xác định duy nhất bởi
m
hay không ?
Chẳng hạn
1
cos cos
3 3 2
π π

 
= − =
 ÷
 
, nhưng
2 3 2 3 2 2
sin ,sin ;tan 3,tan 3.
3 2 3 2 3 3
π π π π
   
= − = − = − − =
 ÷  ÷
   


Lời giải
a) Ta có
2
2
2
sina 2sin cos 2tan cos
2 2 2 2 1
a a a a t
t
= = =
+
( giả sử
cos 0
2
a

≠
)
2
2
2
2
2 1
cos 2cos 1 1
2 1
1 tan
2
a t
a
a
t
−
= − = − =
+
+
( giả sử
cos 0
2
a
≠
)
b) Khi
sin cos 0,a a ≠
ta có
1 cos 1 1
4sin 4sin .

sin tan sin
a
a a
a a a
−
+ + = +
Vậy khi
t tan 0
2
a
= ≠
và
2
1,t ≠
ta có
4 2
2
1 cos 1 18 1
4sin .
sin tan 2 (1 )
a t t
a
a a t t
− + +
+ + =
+
Bài tập đề nghị
1) Cho
sin a m=

a) Hãy tính
2 2
cos2 ;sin 2 ;tan 2a a a
theo
m

b) Hỏi
sin 2 ;tan 2a a
có xác định duy nhất bởi
m
hay không ?
2)
a) Cho
3 3
cos ,sin 0;sin ,cos 0
4 5
a a b b= > = <
. Hãy tính
cos2 ,sin2 ,cos2 ,sin 2a a b b
.
b) Cho
cos 0,6a =
và
0
2
a
π
< <
. Hãy tính
cos ,sin ,tan

2 2 2
a a a
.
c) Cho
3
sin
5
b =
và
.
2
b
π
π
< <
Hãy tính
cos ,sin ,tan
2 2 2
b b b
.
3) Rút gọn các biểu thức sau:
17
Bài toán 4:
a) Tính
sin ,cosa a
theo
tan
2
a
t=

.
b) Hãy tính
1 cos 1
4sin
sin tan
a
a
a a
−
+ +
theo
tan
2
a
t=
.
a)
sin cos cos2 cos4aA a a a=

b)
sin3 cos5 sin5 cos3
cos
a a a a
B
a
−
=

c)
1 1 1 1 1 cos

2 2 2 2 2
a
C
+
= + +
với
0 .a
π
≤ ≤

Vấn đề 4: Công thức biến đổi
Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cosb cos( ) cos( )
2
1
sin sinb cos( ) cos( )
2
1
sin cosb sin( ) sin( )
2
a a b a b
a a b a b
a a b a b
= − + +
= − − +
= − + +

Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −

sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− =

Phương pháp:
Phần này có nhiều công thức mà học sinh không còn cách nào khác là phải học

thuộc lòng. Để nhớ chúng, chúng ta có thể tự suy nghĩ đặt cho mình một cách nhớ
riêng. Đối với bốn công thức trên có thể nhớ các câu “ cốt cộng cốt bằng hai cốt cốt”;
“cốt trừ cốt bằng trừ hai sin sin”;…Ở đây tương tự như các câu sau, câu thứ nhất có
nghĩa là cốt của góc thứ nhất cộng với cốt của góc thứ hai thì bằng hai lần cốt của nửa
tổng của chúng nhân với cốt của nửa hiệu của chúng.
Phân tích và định hướng
- Đối với câu a) ta có thể dùng công thức cộng, nhưng cách tốt nhất là nên dùng
công thức biến đổi tích thành tổng.
- Đối với câu b) ta có khá nhiều cách làm, nhưng một trong các cách thuận lợi là
nên dùng công thức biến đổi tích thành tổng
18
Bài toán 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
1 2
cos2
cos cos
4 4
a
a a
π π
=
   
+ −
 ÷  ÷
   

b)
( )
2 2 2
cos cos 2cos cos cos( ) sin

ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α
+ + − + =

Lời giải
a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được

1 1
cos cos cos cos2 cos2
4 4 2 2 2
a a a a
π π π
     
+ − = + =
 ÷  ÷  ÷
     
Vậy
1 2
cos2
cos cos
4 4
a
a a
π π
=
   
+ −
 ÷  ÷
   
(đpcm)
b) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được

( )
2 2
VT cos cos 2cos cos cos( )
ϕ α ϕ α ϕ α ϕ
= + + − +
( )
[ ]
2 2
cos cos cos cos cos(2 )
ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ
= + + − + +
( )
[ ]
2
cos cos cos(2 )
α ϕ ϕ α ϕ
= + − +
[ ]
1 cos(2 2 ) 1
cos(2 2 ) cos2
2 2
α ϕ
α ϕ α
+ +
= − + +

2
1 cos2
sin
2

VP
α
α
−
= = =

Lời giải
Lời giải
a)
3sin 2 cos2 3sin 3cos 3A x x x x= − − − +

2 2
3(sin 2 1) 3(sin cos ) (cos sin )x x x x x= + − + − −

2 2 2
3(sin cos ) 3(sin cos ) (cos sin )(cos sin )x x x x x x x x= + − + − + −

(sin cos )(4sin 2cos 3)x x x x= + + −

b)
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1B x x x= − − +

( )
1
1 cos2 1 cos4 1 cos6 1
2
x x x= + − − − − +

( )
1
1 cos2 cos4 cos6
2
x x x= + − −


( )
2
1
2cos 2cos5 cos
2
x x x= −


cos (cos cos5 )x x x= −

19
Bài toán 2: Biến đổi biểu thức sau thành tích:
a)
3sin 2 cos2 3sin 3cos 3A x x x x= − − − +

b)
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1B x x x= − − +

c)
9sin 6cos 3sin2 cos2 8C x x x x= + − + −

d)

cos cos2 cos3 cos4D x x x x= − + −
( Đề kiểm tra một tiết – Năm học
2013 -2014- Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh )

2cos sin3 sin2x x x=

c)
9sin 6cos 3sin2 cos2 8C x x x x= + − + −


2
9sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8x x x x x= + − + − −

2
6cos (1 sin ) (2sin 9sin 7)x x x x= − − − +


7
6cos (1 sin ) 2(sin 1) sin
2
x x x x
 
= − − − −
 ÷
 


6cos (1 sin ) (1 sin )(2sin 7)x x x x= − + − −

(1 sin )(6cos 2sin 7)x x x= − + −

d)
cos cos2 cos3 cos4D x x x x= − + −


( ) ( )
cos cos2 cos3 cos4x x x x= − + −

3 7
2sin sin 2sin sin
2 2 2 2
a a a a
= +

3 7
2sin sin sin
2 2 2
a a a
 
= +
 ÷
 

5
4sin sin cosa
2 2
a a
=
Bài tập đề nghị

1) Biến đổi các biểu thức sau thành tích:
a)
cos sin 2 cos3a a a+ −

b)
2 tan 2 cot 2a a+ +

c)
2 2 2
sin sin 2 sin 3a a a+ −

Hướng dẫn
a) Nhóm số hạng thứ nhất và số hạng cuối sẽ xuất hiện thừa số chung là
sin 2a
.
0 0
cos sin 2 cos3 4sin 2 sin 15 cos 15
2 2
a a
a a a a
   
+ − = + −
 ÷  ÷
   
b) Nhóm số hạng thứ hai và số hạng thứ ba
4sin 2 cos 2
4 4
2 tan 2 cot 2
sin 4a
a a

a a
π π
   
+ −
 ÷  ÷
   
+ + =
c) Sử dụng công thức hạ bậc( đối với số hạng thứ nhất và thứ ba), rồi sử dụng công
thức biến đổi tổng thành tích.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2sin sin 2 cos3a a a a a a+ − = −
2) Chứng minh các đẳng thức:
a)
sin sin3 sin5
tan3a
cos cos3 cos5
a a a
a a a
− +
=
− +

b)
2 2
sin sin sin 0
3 3
a a a
π π
   
+ + + − =

 ÷  ÷
   

20
Vấn đề 5: Các bài toán tổng hợp
Phương pháp:
Lời giải
a)
( )
2
4 4 2 2 2 2 2
1
sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2
2
α α α α α α α
+ = + − = −
Nhận thấy
2
0 sin 2 1
α
≤ ≤

Vậy giá trị bé nhất của biểu thức là
1
2
đạt được khi
2
sin 2 1
α
=

.
b)

( ) ( )
3
6 6 2 2 2 2 2 2
2 2
2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
1 3sin cos
3
1 sin 2
4
α α α α α α α α
α α
α
+ = + − +
= −
= −
Nhận thấy
2
0 sin 2 1
α
≤ ≤

Vậy giá trị bé nhất của biểu thức là
1
4
đạt được khi
2

sin 2 1
α
=
.

Phân tích và định hướng
- Nhận thấy
2
2 sin x−
và
2
3 2cos x−
là hai số dương nên ta có thể giải bài toán bằng
cách dùng bất đẳng thức Côsi
- Hoặc áp dụng công thức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1x x+ =
ta đưa P về biểu thức
chứa
2 4
sin ,sinx x
sau đó đặt ẩn phụ, xét hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả
cần tìm.
Lời giải
Cách 1
21
Bài toán 1: Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
a)
4 4
sin cos

α α
+
b)
6 6
sin cos
α α
+

Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
( ) ( )
2 2
2 sin 3 2cosP x x
= − −
với
0 .x
π
≤ ≤


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 sin 3 2cos 2 sin 3 2 2sin 2 sin 1 2sinP x x x x x x= − − = − − + = − +
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương
2
2 sin x−
và
2
3 2cos x−
, ta được:
( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2
1
2 sin 1 2sin 4 2sin 1 2sin
2
x x x x− + = − +
2
2 2
1 4 2sin 1 2sin 1 25 25
.
2 2 2 4 8
x x
 
− + +
≤ = =
 ÷
 

Dấu “=” xảy ra khi
2 2 2
3 3
4 2sin 1 2sin sin sin
4 2 3
x x x x x
π
− = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =

( vì
0 x
π
≤ ≤

).
Vậy giá trị lớn nhất của
25
8
P =
đạt được khi
3
x
π
=

Cách 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 4 2
2 sin 3 2cos 2 sin 1 2sin 2sin 3sin 2P x x x x x x
= − − == − + = − + +
Đặt
2
sint x=
. Bài toán đã cho trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất của
2
( ) 2 3 2P f t t t= = − + +
trên đoạn
[0;1]

Ta có bảng biến thiên của
( )f t
trên đoạn
[0;1]
t

0
3
4
1
( )f t
Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của
P
là
25
8
đạt được khi
2
3 3
sin sin ( 0 )
4 2 3
x x x do x
π
π
= ⇔ = ⇔ = ≤ ≤

Phân tích và định hướng
22
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a)
cos cos cos 4sin sin sin 1
2 2 2
A B C
A B C+ + = +

b)

2 2 2
sin sin sin 2cos cos cos 2A B C A B C+ + − =

2 3
25
8

a) Ta sẽ chứng minh VT bằng VP với chú ý là trong tam giác ABC ta có :
sin cos (1)
2 2
cos sin (2)
2 2
B C A
B C A
+

=



+

=



Ta nhận xét rằng vế phải có xuất hiện góc
2
A
và hằng số 1 nên ở vế trái ta suy nghĩ

đến công thức
2
cos 1 2sin
2
A
A = −
, còn biểu thức
cos cosB C+
thì sử dụng công thức
biến đổi tổng thành tích và sử dụng các công thức (1) và (2) ta sẽ chứng minh được
đẳng thức đã cho.
Lời giải
a) Ta có

VT cos cos cosA B C= + +


2
1 2sin 2cos cos
2 2 2
A B C B C+ −
= − +
2
1 2sin 2sin cos
2 2 2
A A B C−
= − +

1 2sin sin cos
2 2 2

A A B C−
 
= − −
 ÷
 

1 2sin cos cos
2 2 2
A B C B C+ −
 
= − −
 ÷
 
4sin sin sin 1
2 2 2
A B C
VP= + =
(đpcm).
b)
2 2 2
sin sin sin 2cos cos cos 2A B C A B C+ + − =
2 2 2
sin sin sin 2cos cos cos 2A B C A B C⇔ + + = +
Trong tam giác ABC có
cos( ) cos( ) cosA B C B C A A
π π
+ + = ⇒ + = − = −

Ta biến đổi vế trái như sau
2 2 2

VT sin sin sinA B C= + +
2
1 cos2 1 cos2
1 cos
2 2
B C
A
− −
= − + +

( )
2
1
2 cos cos2 cos2
2
A B C= − − +

2
2 cos cos( )cos( )A B C B C= − − + −

[ ]
2 cos cos( ) cos( )A B C B C= + − + +

2 2cos cos cosA B C VP= + =
(đpcm).
23
Phân tích bài toán
Phân tích và định hướng
Trong đẳng thức ở câu a) ta thấy vừa có các cạnh a, b, c vừa có các góc A, B, C nên
nói chung ta thường đưa về một biểu thức chỉ chứa hàm số lượng giác của các góc.

Muốn vậy, ta sử dụng định lý hàm số sin:
2
sin sin sinC
a b c
R
A B
= = =
( với
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC), rồi chứng minh đẳng thức lượng giác đó.
Lời giải
a) Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC, ta có:
2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = =

Do đó
2 sin 2 sin
cos cos
2 2 sin 2
b c A R B R C A
VP
a R A
− −
= =
2cos sin cos sin
2 2 2 2
cos
2
2sin cos sin
2 2 2

B C B C B C B C
A
A A A
+ − + −
= =

sin sin
2 2
sin
2
sin
2
A B C
B C
VT
A
−
−
= = =
(đpcm).
( vì trong tam giác ABC thì
cos 0, sin 0
2 2
A A
≠ ≠
nên ta có thể giản ước
được.)
b) Vì trong tam giác ABC có
sin cos
2 2

A B C+
=
nên:
1
sin sin sin
2 2 2 8
A B C
≤
1
cos 2sin sin
2 2 2 4
B C B C+
 
⇔ ≤
 ÷
 

24
Bài toán 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a)
sin cos
2 2
B C b c A
a
− −
=
(với
, ,a b c
là ba cạnh của tam giác ứng với ba góc A, B, C)
b)

1
sin sin sin
2 2 2 8
A B C
≤
1
cos cos cos
2 2 2 4
B C B C B C+ − +
 
⇔ − ≤
 ÷
 
2
1
cos cos cos 0
2 2 2 4
B C B C B C+ + −
⇔ − + ≥
2
2
1 1 1
cos cos cos 0
2 2 2 4 4 2
B C B C B C+ − −
 
⇔ − + − ≥
 ÷
 
2

2
1 1
cos cos sin 0
2 2 2 4 2
B C B C B C+ − −
 
⇔ − + ≥
 ÷
 
( bất đẳng thức này là hiển nhiên)
⇒
đpcm.
Lời bàn: Học sinh khá, giỏi có thể nhận xét thêm rằng: dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi
sin 0
2
1
1
cos
cos cos
2 2
2 2 2
B C
B C
B C
B C B C
−

=
=



 
⇒
 
+
+ −
=
 
=




0
0
60
1
cos
60
2
B C
B C
A B C
B
B
=

=



⇒ ⇒ ⇒ = = =
 
=
=




Tức là khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Bài tập đề nghị
1) Chứng minh rằng
a) Nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn sinA = cosB + cosC thì tam giác
ABC vuông.
b) Nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn sinA = 2sinBcosC thì tam giác
ABC cân.
2) Chứng minh rằng nếu
x y z
π
+ + =
thì
a)
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
x y z
x y z+ + =

b)
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2

x y z
x y z+ + = +
c)
sin 2 sin2 sin 2 4sin sin sinx y z x y z+ + =

d)
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cosx y z x y z+ + = −

3) Chứng minh rằng

1 1 1 tan8 tan

cos cos2 cos2 cos3 cos7 cos8 sin
a a
a a a a a a a
−
+ + + =

25