sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng số phức kết hợp với máy tính cầm tay để giải nhanh các dạng bài tập điện xoay chiều

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1- Lý do và sự cần thiết của đề tài
Khi giảng dạy vật lý đối với học sinh lớp 12 phần giải bài tập dòng điện
xoay chiều thì giáo viên có thể hướng dẫn học sinh với hai phương pháp giải
truyền thống :
+ Một là dùng các công thức của định luật Ôm cho mạch điện xoay chiều
đã học qua các loại đoạn mạch : chỉ có R, chỉ có L, chỉ có C hoặc đoạn mạch có
cả R, L và C mắc nối tiếp để giải các bài tập
+ Hai là dùng giản đồ vectơ Fresnel để giải bài tập (tùy theo dạng bài tập)
Dùng hai phương pháp như trên đã nêu thì vẫn giải được các bài toán
điện xoay chiều nhưng học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi giải và bài giải
thường rất dài dòng, rườm rà và rất phức tạp, khiến nhiều học sinh lúng túng,
nản lòng và thậm chí không biết cách giải. Xuất phát từ thực tế đó, trên cơ sở
tham khảo các tài liệu của nhiều thầy cô có kinh nghiệm tôi xin mạnh dạn đưa
ra giải pháp thay thế là “ Ứng dụng số phức kết hợp với máy tính cầm tay để
giải nhanh các dạng bài tập điện xoay chiều” giúp học sinh giải bài tập điện
xoay chiều nhanh hơn và đạt hiệu quả cao hơn, tạo được hứng thú và tạo niềm
tin khoa học cho học sinh.
2-Tổng quan những thông tin liên quan đến đề tài
Việc dùng số phức để giải các bài tập điện xoay chiều đã có một số tài
liệu đã viết như :
-Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001-2010) của hai tác giả Vũ Thanh
Khiết và Vũ Đình Túy do Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam ấn hành (trong đó
các bài toán điện xoay chiều mạch phức tạp ở các năm 2002, 2004, 2007 có nêu
cách giải bằng số phức)
- Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý trung học phổ thông của tác giả Vũ
Thanh Khiết và Tô Giang do Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam ấn hành.
- Một số bài viết trên mạng như: thuvienvatly.com; ngovancan.com;
www.mathvn.com; www.vedich.net
Tuy nhiên các tài liệu trên chưa nêu một cách tổng quát việc dùng số
phức và hướng dẫn cách dùng số phức để giải các bài toán điện xoay chiều.Vì

vậy tôi thiết nghĩ cần có một giải pháp là vận dụng các kinh nghiệm đã có để
viết một ứng dụng là dùng số phức để giải các bài tập điện xoay chiều, trong đó
có phân tích một cách cụ thể tính năng vượt trội của giải pháp nêu ra.
3- Khẳng định tính mới
Khi học sinh giải các bài tập điện xoay chiều bằng hai pháp truyền thống
như đã nêu ở trên thì mất rất nhiều thời gian, dẫn đến trong một tiết dạy không
làm được nhiều bài tập. Trong khi đó việc dùng số phức để giải các loại bài tập
1
phần mạch điện xoay chiều thì thuận lợi hơn nhiều, nhanh hơn nhiều và hiệu
quả hơn nhiều, nhưng học sinh lại không biết sử dụng, vì trong chương trình
trung học phổ thông không được học và cũng không được ai hướng dẫn.
Việc dùng số phức để giải các bài tập điện xoay chiều thể hiện tính mới
ở chỗ giúp học sinh nắm bắt vấn đề có tính hệ thống, thấy được sự thuận lợi khi
sử dụng số phức để giải các bài tập điện xoay chiều.
2
B. NỘI DUNG
1/ CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức
* Xét đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp, u = U
0
cos(ωt + φ)(V)
Ta có giản đồ vectơ như sau:
- Trục hoành biểu diễn R
- Phần dương của trục trung biểu diễn L
- Phần âm của trục trung biểu diễn C
- Vectơ U có độ lớn U
0
và tạo với trục hoành một góc là φ
* Xét một số phức bất kỳ x = a +bi
Số phức này được ghi dưới dạng lượng giác là x = X

o

Và được biểu diễn như hình bên
- Trục hoành biểu diễn phần số thực (số a)
- Trục tung biểu diễn phần số ảo (số b)
- Vectơ X có độ lớn X
0
và tạo với trục hoành một góc là φ
* Như vậy ta có thể xem R như là một số phức chỉ có phần thực a (vì nằm trên
trục hoành), L và C là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung). Nhưng
chúng khác nhau là L nằm ở phần dương nên được biểu diễn là bi. C nằm ở
phần âm nên được biểu diễn là –bi. u và i được xem như là một số phức x và
được viết dưới dạng lượng giác X
0
Ví dụ:
Các đại lượng trong điện xoay
chiều
Biểu diễn dưới dạng số phức
R = 50Ω 50
Z
L
= 100Ω 100i
Z
C
= 150Ω -150i
u = 100cos(100πt + π/6) (V) 100
i = 2√2cos(100πt – π/4) (A) 2√2
1.2. Các công thức tính toán cơ bản
Khi giải các bài tập điện xoay chiều bằng số phức, ta xem đoạn mạch này
như là đoạn mạch một chiều với các phần tử R, L, C mắc nối tiếp.

3
φ
φ
π
6
-π
4
U
L
U
C
U
R
U
C
U
b
a
X
Chúng ta chỉ sử dụng một định luật duy nhất để giải, đó là định luật Ôm
trong mạch điện một chiều.
hay U = I.R hay

Trong đó R không chỉ riêng mỗi điện trở mà chỉ chung tất cả những vật có trở
kháng (R,Z
L
, Z
C
….)
Trong chương trình phổ thông chúng ta chỉ học đoạn mạch xoay chiều

mắc nối tiếp cho nên trong đoạn mạch một chiều gồm R
1
, R
2
, ……, Rn nối tiếp
ta có:
R = R
1
+ R
2
+ ……+ Rn
U = U
1
+ U
2
+ ……+ Un
I = I
1
= I
2
= …….= In
1.3. Thao tác trên máy
1.3.1. Những thao tác cơ bản
- Để thực hiện tính toán số phức trên máy chúng ta phải vào mode CMPLX
bằng cách ấn [Mode][2]. Trên màn hình hiện CMPLX
- Trong mode CMPLX, để nhập ký hiệu i ta nhấn ENG
- Để nhập ký hiệu ngăn cách ta nhấn [SHIFT][(-)]
Như ta đã biết, số phức có hai cách ghi, đó là đại số và lượng giác
- Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi) thì chúng ta sẽ biết được phần thực
và phần ảo của số phức

- Khi máy hiển thị ở dạng lượng giác (X
0
) thì chúng ta sẽ biết được độ
dài (modul) và góc φ (argumen) của số phức.
- Mặc định máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng đại số. Để chuyển sang dạng
lượng giác ta nhấn [SHIFT][2], chọn [3], nhấn [=]. Kết quả sẽ được chuyển
sang dạng lượng giác.
1.3.2. Những lỗi thường gặp
- Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy.
+Trong mode độ (màn hình hiện lên chữ D), ta phải nhập đơn vị là độ (ví
dụ 45
0
, 60
0
, … )
+Trong mode rad (màn hình hiện lên chữ R), ta phải nhập đơn vị là độ (ví
dụ π/4, π/3, … )
- Cách cài đặt máy: Nhấn ([SHIFT][Mode]
Nhấn [3] cài đặt máy ở đơn vị đo là độ.
Nhấn [4] cài đặt máy ở đơn vị đo là radian.
4
U
I =
R
U
R =
I
φ
- Trên máy Fx 570 ES, để bấm nhanh ta thường ấn dấu chia thay cho dấu phân
số. Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi như sau

khác
khác
3 + 2i khác 3 + (2i)
- Cách khắc phục: Sử dụng dấu ngoặc
2/ CÁC DẠNG BÀI TẬP
(Nhấn [Mode][2] để chuyển sang mode số phức, cài đặt máy ở đơn vị góc
radian)
1. Viết biểu thức cường độ dòng điện khi biết biểu thức hiệu điện thế hai
đầu mạch
Muốn giải dạng toán này thông thường học sinh phải tìm được tổng trở
toàn mạch, tìm được cường độ dòng điện cực đại và độ lệch pha của điện áp so
với cường độ dòng điện. Xin được giới thiệu phương pháp giải bằng số phức
với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
Ví dụ 1: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện
trở mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1/4π (H) thì dòng điện trong
mạch là dòng điện một chiều có cường độ 1A. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch
này điện áp
u = 150√2cos120πt (V) thì biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là:
A. i = 5√2cos(120πt – π/4) (A) B. i =5cos(120πt + π/4) (A)
C. i = 5√2cos(120πt + π/4) (A) D. i = 5cos(120πt – π/4) (A)

Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với điện áp không đổi:
R = U
1
/I = 30/1 = 30Ω
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 120π (rad/s), R = 30Ω, Z

L
=30Ω,
tổng trở phức là Z = 30 + 30i
- Suy ra i = u/Z= 150√2/(30 + 30i)

150√2: (30+30[ENG])= [SHIFT][2]
[3]=

Kết quả: 5
5
1 π
2 4
π
1:2
4
1 π
2 4
1
π:4
2
- π
4
i = 5√2/2 +5√2i/2 = 5 có nghĩa là i = 5cos(120πt – π/4) (A)
Ví dụ 2: Cho mạch điện không phân nhánh RLC: R = 80Ω, cuộn dây có điện
trở 20Ω, có độ tự cảm L=0,636H, tụ điện có điện dung C=31,8µF. Hiệu điện
thế hai đầu mạch là u = 200cos(100πt-
4
π
) (V) thì biểu thức cường độ dòng điện
chạy qua mạch điện là:

A i =
2
cos(100πt -
2
π
) (A) B. i = cos(100πt +
2
π
) (A)
C. i =
2
cos(100πt -
4
π
) (A) D. i =
2
cos100πt (A)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), R = 80Ω, r= 20Ω,
Z
L
= 200Ω, Z
C
= 100Ω, tổng trở phức
là Z = 100 + 200i-100i
- Suy ra i = u/Z
i = 200 /(100 + 200i-100i)

√2

200[SHIFT][(-)]
:(100+200[ENG]-100[ENG])=
[SHIFT][2][3]=

Kết quả: √2
nghĩa là i = √2cos(100πt – π/2) (A)
2. Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một mạch điện khi cho biểu thức cường
độ dòng điện trong mạch
Muốn giải dạng toán này thông thường học sinh phải tìm được tổng trở
toàn mạch, tìm được điện áp cực đại và độ lệch pha của điện áp so với cường độ
dòng điện. Xin được giới thiệu phương pháp giải bằng số phức với sự hỗ trợ
của máy tính cầm tay.
Ví dụ : Dòng điện chạy qua một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có L =
1/10π (H), mắc nối tiếp với một tụ điện C = 2.10
-4
/π (F) có biểu thức i =
2√2cos(100πt – π/6) (A). Biểu thức điện áp hai đầu mạch có thể là:
A. u = 80√2cos(100πt + π/6) (V) B. u = 80√2cos(100πt + π/3) (V)
C. u = 80√2cos(100πt - 2π/3) (V) D. u = 80√2sin(100πt + π/6) (V)
6
- π
4
- π
2
- π
2
- π
4
- π
4

Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), Z
C
= 50Ω, Z
L
=
10Ω, tổng trở phức là Z = 10i - 50i
- u = i.Z= 2√2 x (10i - 50i)


= 80√2

2√2 [SHIFT][(-)] x(10[ENG]-
50[ENG])=
[SHIFT][2][3]=

Kết quả: 80√2
u = 80√2cos(100πt - 2π/3) (V)
3. Viết biểu thức điện áp ở hai đầu một đoạn mạch thành phần khi biết
biểu thức hiệu điện thế hai đầu mạch
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ
Có R = 100Ω, L = 0,318H, C = 15,9μF.
Điện áp hai đầu mạch có dạng
u
AB
= 200√2cos(100πt - 7π/12) (V).
Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch MB.
A. u
MB

= 200√2cos(100πt + 7π/12) (V) B. u
MB
= 200cos(100πt + 7π/12) (V)
C. u
MB
= 200cos(100πt - 5π/6) (V) D. u
MB
= 200cos(100πt - 5π/12) (V)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), Z
C
= 200Ω,
Z
L
= 100Ω, R = 100 Ω,
- Tổng trở phức của AB là
Z
AB
= 100+100i - 200i
- Tổng trở phức của MB là
Z
MB
= 100i - 200i
- i = u
AB
/Z
AB

= 200√2 :( 100+100i -

200i) =
- Có i rồi ta suy ra u
MB
= i.Z
MB

= u
AB
xZ
MB
/Z
AB
= 200
200√2[SHIFT][(-)]
:(100+100[ENG]-200[ENG])=x
(100[ENG]-200[ENG])=
[SHIFT][2][3]=

Kết quả: 200
u
MB
= 200cos(100πt - 5π/6) (V)
7
- 2π
3
- 2π
3
- π
6
- π

6
A
M N
B
R C L
- 5π
6
- 7π
12
- 7π
12
- 5π
6
Ví dụ 2: Mạch như hình vẽ A L Đ D C B
Biết Đ: 100V – 100W ; L =
π
1
H , C =
F
µ
π
50
,
u
AD
= 200
2
sin (100 πt +
6
π

)(V). Biểu thức u
AB
có dạng
A. 200
2
sin (100 πt +
4
π
)(V) B. 200 sin (100 πt –
4
π
)(V)
C. 200
2
sin (100 πt –
3
π
)(V) D. 200 sin (100 πt +
3
π
)(V)
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), Z
C
= 200Ω,
Z
L
= 100Ω, R = 100 Ω,
- Tổng trở phức của AB là

Z
AB
= 100+100i - 200i
- Tổng trở phức của AD là
Z
AD
= 100 +100i
- i = u
AD
/Z
AD

= 200√2 :( 100+100i) =
- Có i rồi ta suy ra u
AB
= i.Z
AB

= 200√2
200√2[SHIFT][(-)]
:(100+100[ENG])=x
(100+100[ENG]-200[ENG])=
[SHIFT][2][3]=

Kết quả: 200√2
u
AB
= 200√2cos(100πt - π/3)(V)
4. Viết biểu thức điện áp hai đầu mạch chính khi biết điện áp hai đầu từng
đoạn mạch

Như ta đã biết, trong đoạn mạch một chiều, muốn biết hiệu điện thế
đoạn mạch thì ta chỉ cần cộng các hiệu điện thế thành phần có trong mạch lại
với nhau
Ví dụ : Mạch như hình vẽ A L M C B

u
AB
= 120
2
cos100 πt (V). Dùng vôn kế có điện trở rất lớn đo giữa A và M thì
thấy nó chỉ 120V, và u
AM
nhanh pha hơn u
AB

2
π
. Biểu thức u
MB
có dạng :
A. u
MB
= 120
2
cos(100 πt + π/2 )(V) B. u
MB
= 240cos(100 πt – π/4 )(V)
C. u
MB
= 120

2
cos(100 πt + π/4 )(V) D. u
MB
= 240cos(100 πt – π/2 )(V)
8
- π
3
6
π
6
π
6
- π
3
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- u
AM
= 120√2cos(100πt + π/2)
- u
AB
= u
AM
+ u
MB

Suy ra u
MB
= u
AB
- u

AM

- u
MB
= 120√2 – (120√2 )



120√2 –(120√2[SHIFT][(-)] =
[SHIFT][2][3]=

Kết quả: 240
u
MB
= 240cos(100πt - π/4) (V)
5. Tìm các thành phần R, L, C trong một đoạn mạch điện xoay chiều
Ta chia R, L, C thành hai nhóm :
- Nhóm 1 : Điện trở (R)
- Nhóm 2 : Cuộn cảm và tụ điện (L và C)
Lấy u chia i, hiển thị dưới dạng đại số thì kết quả sẽ rơi vào những dạng như
sau
• a + bi : Đoạn mạch có cả nhóm 1 và nhóm 2 (trong đó a là giá trị của điện
trở R, b là tổng trở của nhóm 2. Nếu nhóm 2 chỉ có một phần tử thì b là
trở kháng của phần tử đó)
• a : Đoạn mạch chỉ có điện trở
• bi : đoạn mạch chỉ có nhóm 2
+bi : nhóm 2 chỉ có L hoặc có cả L và C nhưng Z
L
> Z
C

- bi : nhóm 2 chỉ có C hoặc có cả L và C nhưng Z
L
< Z
C
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều gồm có R = 40Ω, cuộn dây thuần cảm có L
= 1/2π(H) và tụ điện C. Điện áp hai đầu mạch u = 160cos100πt(V). Biết biểu
thức cường độ dòng điện trong mạch là i = 2√2cos(100πt + π/4)(A). Tìm điện
dung của tụ điện.
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), R = 40Ω, Z
L
=
50Ω, tổng trở phức là
Z = 40 + 50i - Z
C
i (1)
- Z = u/i= 160:(2√2 ) =
40-40i (2)

- So sánh (1) và (2) rút ra
160: (2√2 [SHIFT][(-)] =
40 – 40i

Kết quả: 50 – Z
C
= -40 → Z
C
=
90Ω

→ C= 1/9000π (F)
9
- π
4
π
2
π
2
π
4
π
4
50 – Z
C
= -40

- Vậy Z
C
= 90Ω → C= 1/9000π (F)
Ví dụ 2:
A R C M R
0
, L B
Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ
R = 50Ω, C = 2.10
-4
/π (F),
u
AM

= 80cos100πt(V), u
MB
= 200√2cos(100πt + π/2)(V). Giá trị của R
0
và L là:
A. 250Ω và 0,8H B. 250Ω và 0,56H
C. 176,8Ω và 0,56H D. 176,8Ω và 0,8H
Cách giải Hướng dẫn bấm máy và kết quả
- Đối với dòng điện xoay chiều:
ω = 100π (rad/s), R = 50Ω, Z
C
=50Ω,
tổng trở phức là Z
AM
= 50 - 50i
- i = u
AM
/Z
AM
= 80:(50-50i)
- Z
MB
= u
MB
/i
200√2[SHIFT][(-)] :(80: (50 –
50i))=
Kết quả: 176.77+176,77i →
R
0

= 176,8Ω,
Z
L
= 176,8Ω → L = 0,56 (H)

10
π
4
C. KẾT LUẬN
1. Khẳng định được những giá trị của đề tài
- Dễ biết, dễ vận dụng, thuận tiện, có giá trị khi giải bài tập dòng điện xoay
chiều.
- Học sinh hứng thú và biết cách giải bài tập dòng điện xoay chiều một cách
ngắn gọn, hiệu quả
- Giúp học sinh phát huy được tính sáng tạo, nhanh nhẹn
2. Những kiến nghị, đề xuất
- Có thể mở rộng cho các bài tập đối với mạch phức tạp và cho thêm nhiều ví
dụ khác nữa
- Kết hợp sử dụng máy tính CASIO (cách tính toán phần số phức) để giải toán
nhanh hơn.
Huế, ngày 04 tháng 04 năm 2014
Người viết
Nguyễn Trúc Anh

11
ĐÁNH GIÁ , XẾP LOẠI CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT GIA HỘI
Huế, ngày tháng năm 2014
HIỆU TRƯỞNG
(Chủ tịch Hội đồng)
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH SKKN SỞ

Huế, ngày tháng năm 2014
(Chủ tịch Hội đồng)
12