một số lớp vành và môđun và ứng dụng vào đào tạo ngành sư phạm toán tại trường đại học hà tĩnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN








ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN
VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN
TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH




Chủ nhiệm đề tài:
TS. LÊ VĂN AN
Khoa Sư phạm tự nhiên





HÀ TĨNH - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN

ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN
VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN
TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH


Chủ nhiệm đề tài:
TS. LÊ VĂN AN
Khoa Sư phạm tự nhiên
Thư ký đề tài:
ThS. NGUYỄN THỊ THANH TÂM
Khoa Sư phạm tự nhiên

Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài:
TS. Trần Giang Nam - Viện Toán học
ThS. Nguyễn Thị Hải Anh - Khoa Sư phạm tự nhiên
ThS. Nguyễn Khánh - Khoa Tiểu học mầm non
CN. Nguyễn Đình Nam - Khoa Sư phạm tự nhiên


HÀ TĨNH - 2014
MỤC LỤC
Trang
TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI 1
1. Tính cấp thiết của đề tài 1

2. Tình hình nghiên cứu 1
3. Mục đích nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Phạm vi nghiên cứu 2
6. Kết cấu đề tài 2
PHẦN A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP 4
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 4
1.1. Cấu trúc nửa nhóm và nhóm 4
1.2. Cấu trúc vành và trường 4
1.3. Môđun và đại số
6
CHƯƠNG 2. MÔ ĐUN (1 - C
2
) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH 9
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 9
I. Môđun cốt yếu - Môđun đều - Chiều đều của môđun. 9
1.1. Định nghĩa. 9
1.2. Ví dụ. 9
II. Môđun nội xạ - Môđun tựa nội xạ. 10
1.4. Tính chất. 10
III. Các điều kiện (C
i
). 10
1.5. Định nghĩa. 10
IV. Đế của môđun - Độ dài của môđun - Vành các tự đồng cấu của môđun. 11
V. Vành nửa Artin và V - vành. 11
§2. MÔĐUN (1 - C
2
) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH 12
I. MÔĐUN (1 - C

2
) 12
II. ĐẶC TRƯNG V-VÀNH BỞI ĐIỀU KIỆN (1 - C
2
) 16
CHƯƠNG 3. MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 19
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 19
§2. CÁC KẾT QUẢ 22
I. MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ 22
Trong mục này chúng tôi đưa ra định nghĩa lớp môđun tựa cấu xạ là lớp môđun mở
rộng thực sự của lớp môđun cấu xạ. 22
II. QF VÀNH 23
III. ĐIỀU KIỆN CẤU XẠ VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 24
CHƯƠNG 4. MÔĐUN BAER VÀ CÁC SUY RỘNG CỦA NÓ 27
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 27
§2. CÁC KẾT QUẢ 30
I. VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN BAER
ĐỐI NGẪU 30
II. MÔĐUN VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN VÀ ĐIỀU KIỆN BAER SUY RỘNG 35
CHƯƠNG 5. MA TRẬN VUÔNG CẤP HAI TRÊN ĐẠI SỐ LEAVITT 40
PHẦN B. MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO THỰ
C TIỄN GIẢNG DẠY NGÀNH
SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 50
I. Ứng dụng trong NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ 50
II. Trong công tác giảng dạy ngành SP Toán 51
KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 53
CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

1
TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI
1. Tính cấp thiết của đề tài
Đây là một đề tài về khoa học cơ bản nhằm góp phần phát triển những tri thức và hiểu
biết về Đại số kết hợp; cụ thể là các lớp môđun (môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun
morphic, ), các lớp vành (vành Noether, vành Artin, vành QF ) và các lớp đại số (đại số
Leavitt). Đề tài cũng góp phần ứng dụng vào thự
c tiễn giảng dạy của ngành Toán khoa SPTN
theo hướng hình thành các seminar khoa học dành cho giảng viên và sinh viên ngành SP
Toán. Qua đó nâng cao năng lực NCKH của đội ngũ giảng viên và năng lực tự học của SV.
Đề tài góp phần hình thành những hướng nghiên cứu để đội ngũ giảng viên bộ môn Toán định
hướng trong quá trình học tập nâng cao trình độ. Đề tài cũng hình thành những vấn đề khoa
học giúp SV các hướng làm khóa luận tốt nghiệp và các đề tài Sinh viên NCKH cấp Bộ.
2. Tình hình nghiên c
ứu
Các tác giả đã nghiên cứu tính chất của các lớp môđun nội xạ suy rộng như các lớp
môđun CS, liên tục, tựa liên tục. Sử dụng các lớp môđun này để đặc trưng các lớp vành
Noether, Artin, QF, Các tác giả đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc trên lĩnh vực này nhưng
vẫn còn nhiều hướng mở rộng của lớp môđun nội xạ và ứng dụng củ
a chúng trong bài toán
đặc trưng vành chưa được nghiên cứu và hoàn thiện. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là
Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain, S. T. Rizvi,
Các tác giả đã đưa ra các lớp vành cấu xạ, tựa cấu xạ, môđun cấu xạ Nghiên cứu tính
chất của các lớp vành và các lớp môđun này. Sử dụng các lớp vành và môđun để nghiên cứu
các lớp vành chính quy, vành nhóm Tuy nhiên lớp môđun tựa cấu xạ và sử dụng điều kiện
cấu xạ nghiên c
ứu lớp vành QF chưa được quan tâm nghiên cứu. Các chuyên gia trong lĩnh
vực này là W. K. Nicholson, V. Camillo,
Các tác giả đã phát triển các lớp vành Baer, vành tựa Baer để đưa ra định nghĩa các lớp
môđun Baer, môđun tựa Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun tựa Baer đối ngẫu. Sử dụng các

lớp môđun và vành này để nghiên cứu các lớp vành và môđun khác. Tuy nhiên các lớp môđun
Baer chỉ mới đạt được các kết quả bước đầu vẫn còn nhiều vấn
đề cần được quan tâm nghiên
cứu. Kết hợp các điều kiện cấu xạ suy rộng và Baer suy rộng hứa hẹn sẽ đạt được nhiều kết
quả hấp dẫn. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là S. T. Rizvi, C. S. Roman, …
Các tác giả đã nghiên cứu tính chất của đại số Leavitt và sử dụng đại số Leavitt để
nghiên cứu các graph có hướng. Đây là vấn đề mới có tính thời sự nhưng mới được nghiên
c
ứu trong khoảng 5 - 7 năm gần đây. Các chuyên gia trong lĩnh vực này là G. Abrams, G.
Aranda Pino, Phạm Ngọc Ánh, M. Tomforde

2
Trong nước các nhà nghiên cứu Đại số kết hợp chịu ảnh hưởng trực tiếp của GS. Đinh
Văn Huỳnh đã quan tâm nghiên cứu các lớp môđun nội xạ suy rộng và ứng dụng các lớp
môđun này để đặc trưng vành. Hướng nghiên cứu này được quan tâm tại Đại học Vinh dưới
sự chủ trì của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng và tại Đại học Huế dưới sự chủ trì của GS. TS. Lê V
ăn
Thuyết. Lớp vành và môđun cấu xạ cũng đã được hai nhóm nghiên cứu này quan tâm và bước
đầu đạt được một số kết quả. Điều kiện Baer và Baer suy rộng mới bắt đầu được quan tâm
nghiên cứu tại seminar lý thuyết vành và môđun tại Đại học Vinh. Đại số Leavitt và đại số
quỹ đạo Leavitt là vấn đề mới tiếp cận ở Việt Nam. Tuy nhiên có một nhà Toán học Việt Nam
ở Hungary là GS. Phạm Ngọc Ánh là chuyên gia trong lĩnh vực này.
3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất của các lớp môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun morphic,
môđun nội xạ và các mở rộng. Từ đó sử dụng các lớp môđun này để đặc trưng các lớp vành
Noether, vành Artin, vành QF
Nghiên cứu các tính chất của đại số ma trận trên đại số Leavitt.
Hình thành một seminar về Đại số kết hợp quy tụ nhữ
ng giảng viên bộ môn Toán quan
tâm về Đại số kết hợp và tập hợp những SV giỏi của ngành SP Toán.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu khoa học cơ bản chuyên ngành Toán học.
Phương pháp nghiên cứu đặc thù là suy luận logic thông qua tính đúng đắn của các lập luận
và chứng minh.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ nghiên cứu các tính chất của lớp môđun liên tục suy rộng (môđun (1 - C
2
),
môđun 1 - liên tục) và ứng dụng chúng để đặc trưng các lớp vành Noether, vành Artin, vành
QF, vành nửa đơn Artin, Đề tài chỉ quan tâm các tính chất của lớp môđun tựa cấu xạ và ứng
dụng lớp môđun này để đặc trưng vành. Đề tài quan tâm các lớp vành Baer và các suy rộng,
các lớp môđun Baer và suy rộng. Mối liên quan giữa các lớp vành và môđun Baer và cấu xạ.
Đề tài chỉ quan tâm đến vành ma trận và vành đa thức trên đại số Leavitt
6. Kết cấ
u đề tài
Ngoài phần tổng quan, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài
được chia làm 3 chương như sau:
Chương 1. Tổng quan về các cấu trúc đại số.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về các cấu trúc đại số là những đối
tượng mà đề tài quan tâm nghiên cứu.

3
Chương 2. Môđun (1 - C
2
) và ứng dụng vào đặc trưng vành.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chất của các lớp môđun mở rộng của
môđun nội xạ như các lớp môđun (1 – C
2
), CS, liên tục, tựa liên tục, 1- liên tục và ứng dụng
vào đặc trưng các lớp vành Artin, vành Noether, vành QF. Chương này thuộc chuyên đề I và

được viết bởi TS. Lê Văn An và ThS. Nguyễn Thị Hải Anh.
Chương 3. Môđun tựa cấu xạ, QF vành và điều kiện Baer.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chất của môđun tựa cấu xạ là lớp môđun
mở rộng thực sự của môđun cấu xạ. Chúng tôi sử dụng đi
ều kiện cấu xạ suy rộng để đặc trưng
QF vành. Chứng tôi cũng sử dụng điều kiện Baer suy rộng và điều kiện cấu xạ suy rộng để
đưa ra các đặc trưng mới cho các lớp vành và môđun. Chương này thuộc chuyên đề II và
được viết bởi TS. Lê Văn An và TS. Trần Giang Nam. Một số nội dung của chương này là
luận văn tốt nghiệp của học viên cao học Đặ
ng Thị Thùy Linh.
Chương 4. Môđun Baer và các suy rộng của nó.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính chất của các lớp môđun Baer, môđun tựa
Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun tựa Baer đối ngẫu, vành Baer, vành tựa Baer. Chúng tôi
đưa ra một số tính chất về vành các tự đồng cấu của môđun Baer và các suy rộng của nó. Mối
liên hệ giữa điều kiện Baer suy rộng và điều kiện độ dài hữu hạn của môđun. Ch
ương này
thuộc chuyên đề III và được viết bởi TS. Lê Văn An, ThS. Nguyễn Thị Hải Anh, CN. Nguyễn
Đình Nam. Một số nội dung của chương này là nội dung và khóa luận tốt nghiệp của SV
Đặng Thị Oanh, SV Nguyễn Đình Nam, SV Nguyễn Thị Lệ Hằng của các lớp K1 - SP Toán,
K2 - SP Toán, K3 - SP Toán.
Chương 5. Ma trận vuông cấp hai của Đại số Leavitt.
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa Đại số Leavitt với vành ma
trận vuông cấp hai trên
đại số đó. Chúng tôi cũng nghiên cứu mối liên hệ giữa Đại số Leavitt
và đại số đa thức và các khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp. Chương này thuộc chuyên đề
IV và được viết bởi TS. Lê Văn An. Một số nội dung của chương này là nội dung của đề tài
NCKH cấp bộ của SV Nguyễn Thanh Huyền, K51 - SP Toán trường Đại học Vinh. Khi tiếp
cận các vấn đề liên quan đến chuyên đề
này TS. Lê Văn An đã hướng dẫn SV Nguyễn Thị
Dung, K2 - SP Toán viết khóa luận tốt nghiệp về lớp vành hoán tử.

Đề tài còn có phần trình bày về một số ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành SP Toán
tại trường ĐH Hà Tĩnh trên hai nội dung NCKH và nâng cao chất lượng đội ngũ giảng viên và
công tác giảng dạy ngành SP Toán.
Các nội dung của đề tài được công bố trong 03 bài báo đăng ở tạp chí KH Đại học Hà
Tĩnh, 01 bài đă
ng ở Tạp chí khoa học Đại học Vinh và 01 bài nhận đăng trong tạp chí quốc tế.
Các kết quả đề tài đã được báo cáo tại Đại hội Toán học toàn quốc tại Nha Trang
(2013), tại seminar ở Đại học Vinh và Đại học Hà Tĩnh.

4
PHẦN A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về các cấu trúc đại số. Các định nghĩa
và tính chất của chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào quyển sách Đại số Đại cương của
Nguyễn Hữu Việt Hưng.
1.1. Cấu trúc nửa nhóm và nhóm
1.1.1. Nửa nhóm
1. Tập hợp khác rỗng
G cùng với phép toán hai ngôi ”+” được gọi là một nửa nhóm nếu
() (),,ab c a bc abcG++=++∀ ∈.
2. Nếu nửa nhóm
G
thỏa mãn điều kiện ,abba abG
+
=+∀ ∈ thì ta nói
G
là nửa
nhóm giao hoán.

3. Nếu trong nửa nhóm
G tồn tại phần tử
θ
thỏa mãn điều kiện
aaaaG
θ
θ
+=+=∀∈ thì ta nói
G
là một vị nhóm.
1.1.2. Nhóm
1. Tập hợp khác rỗng G cùng với phép toán hai ngôi “.” được gọi là một nhóm nếu thỏa
mãn ba điều kiện sau:
(i).
(.). .(.) ,,ab c a bc abc G
=
∀∈

(ii) Tồn tại phần tử
G
θ
∈ sao cho aaaaG
θ
θ
=
=∀∈ ;
(iii) Với mọi
aG∈
tồn tại phần tử
1

aG
−
∈
sao cho
11
aa a a
θ
−−
=
= .
2. Nếu nhóm G thỏa mãn điều kiện . . , ,
=
∀∈ab ba a b G thì ta nói G là nhóm Abel.
3. Cho nhóm
G và S là một tập con khác rỗng của G . Nếu S cùng nhóm với phép
toán hai ngôi trong tập
G lập thành một nhóm thì S được gọi là một nhóm con của G .
1.2. Cấu trúc vành và trường
1.2.1. Vành
1. Cho tập hợp khác rỗng
R
cùng với hai phép toán hai ngôi “+” và “.” được gọi là
một vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i). ( , )
R + là một nhóm Abel;
(ii). Phép toán . trong
R
có tính chất kết hợp tức là
(.). .(.) ,,ab c a bc a b c R
=

∀∈
;
(iii). Phép toán + và . có tính chất phân phối tức là ( )
ab c ab ac+= + và
() ,,
abc acbc abcR+=+∀ ∈.

5
2.
Ví dụ. (i). Tập hợp các nguyên Z , tập hợp các số hữu tỉ
Q
và tập hợp các số thực R
cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là các vành.
(ii). Cho vành
R
, tập hợp các ma trận vuông cấp n trên
R
được ký hiệu là M
n
(R) cùng
với các phép toán cộng và nhân các ma trận lập thành một vành và gọi là vành ma trận vuông
cấp
n .
(iii). Cho vành
R
, tập hợp các đa thức hệ số trên
R
được ký hiệu là
[
]

R
x cùng với các
phép toán cộng và nhân các đa thức lập thành một vành và gọi là vành đa thức.
3. Nếu phép toán trong vành
R
giao hoán tức là ,ab ba a b R
=
∀∈ thì ta nói
R
là vành
giao hoán.
4. Nếu trong vành
R tồn tại phần tử 1
R
sao cho .1 1 .
RR
aaaaR
=
=∀∈ thì ta nói R là
vành có đơn vị.
5. Cho
R
và S là hai vành. Ánh xạ :
f
RS→ được gọi là một đồng cấu vành nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i). ( ) ( ) ( ) ,
f
ab fa fb abR+= + ∀ ∈;
(ii).

() ()() ,
f
ab f a f b a b R=∀∈,
Đồng cấu
f
được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu
f
lần lượt là đơn ánh, toàn
ánh và song ánh, một cách tương ứng.
Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các nửa vành R và
S
, thì chúng ta nói R và
S
là đẳng
cấu, và ký hiệu là
R
S≅ .
6. Cho R là một vành. Tập con
S khác rỗng của R được gọi là một vành con của R nếu
(,)S + là một nhóm con của ( , )R
+
và ,
x
ySxyS
∈
∀∈.
Cho vành R và
S
là một vành con của R. Nếu
.,rx S r R x S

∈
∀∈ ∈ thì
S
được gọi là
iđêan trái của vành R. Định nghĩa tương tự cho khái niệm iđêan phải.
Cho vành R và
S
là iđêan trái và phải của vành R. Khi đó
S
được gọi là iđêan của vành R.
1.2.2. Trường và thể
1. Cho (,,.,0,1)D + là một vành có đơn vị 1 với 0 là đơn vị của nhóm
()
,
+
D
. Nếu
{
}
\0D lập thành một nhóm thì ta nói D là một thể.
2. Nếu ( , ,.,1,0)F + là một thể với phép toán “.” giao hoán thì ta nói F là một trường.
3.
Ví dụ. (i). Gọi H là một không gian vectơ thực 4 chiều với cơ sở 1, , ,ijk. Trang bị
cho H một phép toán “.” xác định bởi các hệ thức sau
222
1,ijk===−
,ij ji k ki ik j=− = =− = và jk kj i
=
−=. Khi đó
(

)
,,.
+
H
lập thành một thể gọi là thể
quaternion.

6
(ii). Tập hợp các số hữu tỉ
Q
, tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C cùng
với phép cộng và phép nhân thông thường là các trường.
1.3. Môđun và đại số
1.3.1. Môđun
1. Cho
R
là một vành có đơn vị 1. Tập hợp
M
khác rỗng cùng với các phép toán cộng
:
M
MM+×→
và phép nhân với vô hướng
.:
R
MM
×
→
được gọi là một
R

- môđun trái
nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i).
(,)M +
là một nhóm Abel;
(ii).
() ,,ax y ax ay a R xy M+=+∀∈ ∈;
(iii). ( ) , ,abx axbx abRxM+=+∀∈ ∈;
(iv). ( ) ( ) , ,ab x a bx a b R x M=∀∈∈;
(v). 1
x
xxM=∀∈ .
Định nghĩa tương tự cho phía phải.
2.
Ví dụ. (i). Mọi nhóm Abel đều là Z - môđun trái và phải.
(ii). Cho
K
là một trường và V là một không gian vectơ trên
K
. Khi đó V là một
K
-
môđun trái và phải.
(iii). Cho
R
là một vành giao hoán. Vành đa thức
[
]
R
x và M

n
(R) là các
R
- môđun trái
và phải.
(v). Cho
R là một vành. Khi đó R là một R - môđun trái trên chính nó. Tương tự cho
phía phải.
(vi). Cho
R
là một vành và
M
là một iđêan trái trên chính nó khi đó
M
là một
R
-
môđun trái. Tương tự cho phía phải.
3. Cho
M
là một
R
- môđun trái và N là một tập con khác rỗng của
M
. Khi đó N
được gọi là môđun con của
M
nếu N là nhóm con của nhóm Abel
M
và N khép kín đối

với phép nhân với vô hướng, tức là ,rx N r R x N
∈
∀∈ ∈ .
Giao của một họ bất kỳ các môđun con của một
R
- môđun trái
M
cũng là một môđun
con của
M
. Đặc biệt, nếu
A
là một tập con của
R
- môđun trái
M
, thì giao của tất cả các
môđun con của
M
chứa
A
, là một môđun con của
M
, gọi là môđun con được sinh bởi
A
và
ký hiệu là
S<>. Nếu
A
sinh ra toàn bộ

M
, thì
A
được gọi là một tập sinh của
M
.
Một
R - môđun trái
M
là hữu hạn sinh nếu nó chứa một tập sinh hữu hạn.
4. Cho vành
R
và
M
là một
R
- môđun trái. Giả sử S là tập con khác rỗng của
M
.
Khi đó một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của
S
là một tổng .
s
Ss
as
∈
∑
, trong đó
s
aR

∈

và hầu hết (trừ một số hữu hạn) hệ số 0
s
a
=
. Một tổng như vậy gọi là có giá hữu hạn.

7
Nhận xét rằng
{
.,0
sS s s s
SasaRa
∈
<>= ∈ =
∑
hầu hết
}
.
Nếu phần tử
x
M∈ có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S :
∈
=
∑
s
sS
x
as với a

s
là phần tử của R thì ta nói
x
biểu thị tuyến tính qua các phân tử của S.
Tập con
S của
M
được gọi là độc lập tuyến tính .0
sS s
as
∈
=
∑
suy ra mọi hệ số
0
s
a = .
Tập con
S
của
M
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính.
Tập con
S
của
M
được gọi là một cơ sở của
M
nếu
S

được độc lập tuyến tính và
M
S=< > .
Môđun
M
được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở hoặc nó là môđun 0.
5. Cho
M
và
N
là các
R
- môđun trái trên vành
R
. Khi đó xạ ảnh
:
f
MN→
, được
gọi là
R - đồng cấu (hoặc đồng cấu) nếu
f
bảo toàn phép cộng và phép nhân với vô hướng.
Đồng cấu
f
được gọi là đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu nếu
f
lần lượt là đơn ánh, toàn
ánh và song ánh, một cách tương ứng.
Nếu tồn tại một đẳng cấu giữa các

R - môđun
M
và N , thì chúng ta nói
M
và N là
đẳng cấu và ký hiệu
M
N≅ .
Cho
M
là một
R
- môđun trái trên vành
R
. Tập hợp ( )End M các
R
- tự đồng cấu của
M
với các phép toán như sau:
(+). ( )( ) ( ) ( ) , ( ),
f
g x fx gx fg EndV x V+ =+∀∈ ∈;
(+). ( ) ( ( )) , ( ),
g
fx gfx gx EndV x V
=
∀∈ ∈.
Khi đó ( )End M là một vành và được gọi là vành các tự đồng cấu.
6. Cho vành
R và

{
}
i
M
iI
∈
là một họ những R - môđun trái
i
M
. Khi đó
iI i
M
∈
∏

cũng là một
R
- môđun trái với phép cộng và nhân từng thành phần, và được gọi là tích trực
tiếp của các
R
- môđun
i
M
.
Tương tự
{
() 0
iI i i iI i
Mmm
∈∈

⊕= =hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số
}
i
là một môđun con của
R
- môđun trái
iI i
M
∈
∏
và được gọi là tổng trực tiếp của các
R
-
môđun
i
M
.
7. Cho vành
R và
M
là một R - môđun trái. Giả sử N là môđun con của
M
. Xét tập
hợp
{
}
/
M
NxNxM=+ ∈ và trên đó xác định các phép toán như sau:
(i). ( ) ( ) ( ) ,

x
NyNxyNxyM+++=++∀∈;

8
(ii).
() ,rx N rx N r R x M+=+∀∈ ∈. Khi đó /
M
N là một
R
- môđun và gọi là
môđun thương của môđun
M
theo môđun N.
1.3.2. Đại số
1. Cho trường
K
và
A
là một tập hợp khác rỗng cùng với 3 phép toán, gồm phép cộng
:+×⎯⎯→
A
AA
, phép nhân
.:
×
⎯⎯→
A
AA
và nhân với vô hướng
×⎯⎯→

K
AA
được gọi
là một
K
- đại số nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i).
(,,.)A + lập thành một vành;
(ii),
(,,
A
+
nhân với vô hướng) lập thành một không gian vectơ trên
K
;
(iii),
()() () ,,kxy kxy xky k K xy A== ∀∈ ∈
.
2.
Ví dụ. (i). Cho
K
và E là các trường sao cho
K
là trường con của E . Khi đó E là
một
K
- đại số.
(ii). Cho
K
là một trường và

[
]
K
x
là vành đa thức trên
K
. Khi đó
[]
K
x
là một
K
- đại số.
(iii). Cho
K
là một trường và M
n
(K) là vành các ma trận vuông cấp
n
trên
K
. Khi đó
M
n
(K) là một
K
- đại số.
(iv). Cho
V là một không gian vectơ trên trường
K

. Tập hợp ()End V các
K
- tự đồng
cấu của
V
với các phép toán sau:
(+). ( )() () () , ( ),
f
gx fx gx fg EndV xV+=+∀∈ ∈;
(+). ( )( ) ( ( )) , ( ),kf x k f x k K f End V x V=∀∈∈ ∈;
(+). ( ) ( ( )) , ( ),
g
fx gfx gf EndV x V=∀∈ ∈.
Khi đó ( )End V là
K
- đại số.
(v). Xét không gian vectơ thực 4 chiều
ijk
=
⊕⊕⊕HR R R R
, với cơ sở
{
}
1, , ,ijk. Ta
định nghĩa phép nhân trên
H bằng cách thác triển những đẳng thức sau đây
222
1ijk===−,
,ij ji k ki ik=− = =−
và

j
kkji=− =
. Khi đó
H
là một

- đại số và gọi là đại số qua
quaternion.


9
CHƯƠNG 2. MÔ ĐUN (1 - C
2
) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
Trong suốt đề tài này khái niệm vành được nhắc đến như là vành kết hợp có đơn vị và
các môđun là R - môđun phải unitar nếu không có giải thích gì thêm.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về các khái niệm cơ bản cần dùng cho
đề tài. Các định nghĩa và tính chất của chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu
[14], [22], [25], [31], [32]….

I. Môđun cốt yếu - Môđun đều - Chiều đều của môđun.
1.1. Định nghĩa.
a) Cho môđun M và N là môđun con của nó. Môđun N được gọi là môđun con cốt yếu
(và ký hiệu là
⊂
e
NM
) nếu với mọi môđun con
K

khác không của
M
thì 0∩≠NK . Khi
đó ta nói M là
mở rộng cốt yếu của N.
b) Môđun con N được gọi là
đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực
sự trong M; nói cách khác N đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà
⊂
e
NK
thì K = N.
c) Môđun con K của M được gọi là
bao đóng của môđun con N nếu K là môđun con
đóng trong M nhỏ nhất chứa N.
d) Môđun U được gọi là môđun
đều nếu U0
≠
và với mọi môđun con khác không V
của U thì V U.
⊂
e

e) Môđun M được gọi là có
chiều đều hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp gồm vô
hạn hạng tử khác không. Nếu môđun M có chiều đều hữu hạn thì tồn tại n (n ,n 1)
∈≥
môđun con đều
1n
U , , U của M sao cho

1i
UM.
=
⊕⊂
ne
i
Hơn nữa nếu tồn tại m môđun con
đều
''
1n
U , , U của M sao cho
i
'
1
UM
=
⊕⊂
me
i
thì nm.
=
Khi đó ta nói chiều đều của môđun M
bằng n và ký hiệu u dim( ) n.
−=M
f) Cho vành R, ta nói R có
chiều đều phải (trái) hữu hạn nếu môđun R
R
có chiều đều
hữu hạn (tương ứng môđun
R

R có chiều đều hữu hạn).
1.2. Ví dụ.
a) Xét  là − môđun. Khi đó các môđun con khác không của  là cốt yếu trong ,
chẳng hạn như
2,5 ⊂⊂
ee
Do đó  là
−
 môđun đều.
b) Nếu N là hạng tử trực tiếp của M thì N là môđun con đóng của M.
Chú ý rằng bao đóng của môđun luôn tồn tại nhưng có thể không duy nhất.

10
II. Môđun nội xạ - Môđun tựa nội xạ.
1.3. Định nghĩa.
a) Cho các môđun M và N. Môđun N được gọi là M - nội xạ nếu với mọi môđun con X
của M, mỗi đồng cấu
:X N
ϕ
→
có thể mở rộng tới đồng cấu
:M N
ψ
→
.
b) Môđun N được gọi
nội xạ nếu N là M - nội xạ với mọi môđun M.
c) Môđun N được gọi là
tựa nội xạ nếu N là N - nội xạ.
d) Đối với môđun M, môđun nội xạ nhỏ nhất chứa M được gọi là

bao nội xạ của M và
ký hiệu là
E(M).

1.4. Tính chất.
Bao nội xạ E(M) của môđun M là luôn luôn tồn tại và là mở rộng cốt yếu tối đại của M.
III. Các điều kiện (C
i
).
Đối với môđun M trên vành R, chúng ta xét các điều kiện:
1
()C Mọi môđun con của M thì phải cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M.
2
()C
Mọi môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp nào đó của M cũng là hạng tử
trực tiếp.
3
()C Với bất kỳ hai hạng tử trực tiếp nào đó A, B của M sao cho 0∩=AB thì
⊕
A
B
cũng là hạng tử trực tiếp của M.
1
(1 )−C Mọi môđun con đều của M thì phải cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó
của M.
1.5. Định nghĩa.
a) Môđun M được gọi là CS - môđun nếu M thỏa mãn điều kiện
1
().C
b) Môđun M được gọi là

2
()
−
Cmôđun nếu nó thỏa mãn điều kiện
2
().C
c) Môđun M được gọi là
1
(1 )
−
−Cmôđun nếu nó thỏa mãn điều kiện
1
(1 ).−C
d) Môđun M được gọi là môđun liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện
1
()C và
2
().C
e) Môđun M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó thỏa mãn các điều kiện
1
()C
và
3
().C

1.6. Định nghĩa.
a) Vành R được gọi là vành CS phải (trái) nếu R
R
(tương ứng
R

R) là CS - môđun.
b) Vành R được gọi là liên tục phải (trái) nếu R
R
(tương ứng
R
R) là môđun liên tục.
c) Vành R được gọi là tựa liên tục phải (trái) nếu R
R
(tương ứng
R
R) là môđun tựa liên tục.
d) Vành R được gọi là
2
()Cphải (trái) nếu R
R
(tương ứng
R
R) là môđun
2
().C
1.7. Tính chất. Đối với một môđun M phép kéo theo sau đây là đúng:
Nội xạ
⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1-C
1
), và (C
2
) ⇒ (C
3
).

11
IV. Đế của môđun - Độ dài của môđun - Vành các tự đồng cấu của môđun.
1.8. Định nghĩa.
Cho môđun M, ta nói đế của môđun M và ký hiệu Soc(M) là tổng của
tất cả các môđun con đơn của M.
1.9. Tính chất. Soc(M) .
⊂
=
∩
e
XM
X
1.10. Định nghĩa. Cho môđun M, một dãy gồm n + 1 môđun con của M:

01 2
0=⊇⊇ ⊇=
n
MM M M M
được gọi là một
dãy hợp thành độ dài n của môđun M nếu
1
/
−ii
M
M
là môđun đơn với
mọi
1,2, ,=in. Khi đó độ dài của dãy hợp thành được gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu
là
l(M) = n.

1.11. Định nghĩa. Cho môđun M. Tập hợp
End(M)
các tự đồng cấu của M với các phép
toán như sau:
(+).
( )() () () , ( ), ;+ =+∀∈ ∈
f
g x f x gx f g EndM x M
(+).
( ) ( ( )) , ( ), .
=
∀∈ ∈
g
fx gfx gf EndM x M
.
Khi đó
()End M là một vành và được gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M.
V. Vành nửa Artin và V - vành.
1.12. Định nghĩa.
Vành R được gọi là vành nửa Artin phải (trái) nếu với mọi R -
môđun phải (tương ứng trái) M thì
(
)
0.
≠
Soc M

1.13. Định nghĩa. Vành R được gọi là V - vành phải (trái) nếu mọi R - môđun phải
(tương ứng trái) đơn là nội xạ.

12
§2. MÔĐUN (1 - C
2
) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH

Các lớp môđun thỏa mãn điều kiện
1
(),C

2
(),C

3
()C
và
1
(1 )
−
C
được nhiều chuyên gia
về Đại số kết hợp quan tâm nghiên cứu. Các tác giả có nhiều kết quả về hướng nghiên cứu
này là D. V. Huỳnh, D. Q. Hải, N. V. Dũng, P. F. Smith, S. K. Jain, S. R. Lopez - Permouth,
S. T. Rizvi, R. Wisbauer… Các tác giả thường quan tâm theo hai nội dung; hướng thứ nhất
nghiên cứu những tính chất về môđun đặc biệt là quan tâm những điều kiện để chiều ngược
lại của dãy kéo theo sau đây là đúng:
Nội xạ
⇒ tựa nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1-C
1

),
và (C
2
) ⇒ (C
3
).
Hướng nghiên cứu thứ hai là sử dụng các lớp môđun này để nghiên cứu các lớp vành,
đặc biệt là các lớp vành Artin, vành Noether, vành QF và các lớp vành tổng quát của chúng.
Hai quyển sách đề cập rất nhiều về vấn đề này là: “Extending modules” (xem [22]) và
“Continuous and Discrete modules” (xem [37]). Một số bài báo gần đây đề cập đến nội dung
này có thể xem trong [10], [11], [12], [21], [28],…
Trong định nghĩa điều kiện (1 - C
1
) ta nhận thấy thực chất đây là điều kiện (C
1
) nhưng
được thu hẹp khi xét lớp môđun con đều. Chúng tôi đặt ra vấn đề nếu ta xét điều kiện (C
2
)
nhưng chỉ quan tâm lớp môđun con đều, khi đó điều kiện được xét sẽ yếu hơn điều kiện
(C
2
). Trong tiết 1 chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa lớp môđun (1 - C
2
) là lớp môđun mở rộng
của lớp môđun (C
2
). Chúng tôi sẽ sử dụng lớp môđun này để nghiên cứu tính chất của các
lớp môđun đã biết. Sau đó chúng tôi sử dụng các kết quả đã biết về môđun để tìm ra các đặc
trưng mới của lớp V - vành. Kết quả này mở rộng một kết quả của D. Q. Hải và P. F. Smith

có trong [21].
I. MÔĐUN (1 - C
2
)
Trong ục này chúng tôi đưa ra định nghĩa lớp môđun (1 – C
2
) và nghiên cứu tổng trục
tiếp hữu hạn các môđun. Đối với môđun M
chúng ta xét điều kiện:
(1 - C
2
) Mọi môđun con đều đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp nào đó của M cũng là
hạng tử trực tiếp.
2.1.1. Định nghĩa.
a) Môđun M được gọi là (1 - C
2
) nếu nó thỏa mãn điều kiện (1 - C
2
).
b) Môđun M
thỏa mãn (1 - C
1
) và (1 - C
2
) thì M được gọi là 1 - liên tục.
c) Môđun M được gọi là 1 - liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn (C
1
) và (1 - C
2
).

d) Vành
R được gọi là 1 - liên tục phải (trái) nếu R
R
(tương ứng
R
R) là 1 - liên tục.

13
Chúng tôi đặt vấn đề khi nào các điều kiện 1 - liên tục, 1 - liên tục mạnh và liên tục là
tương đương. Trong các kết quả chính là Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.6, chúng tôi chỉ quan
tâm đến các môđun U có dạng
1

=
⊕⊕
n
UU U
trong đó
1
,U
2
, ,
n
UU
là các môđun đều.
2.1.2. Nhận xét.
a) Đối với môđun M chúng ta có phép kéo theo sau đây:
liên tục ⇒ 1 - liên tục mạnh ⇒ 1 - liên tục,
và (
C

2
) ⇒ (1 - C
2
)
b)
Từ Hệ quả 7.8 trong [22], nếu M là R - môđun phải có chiều đều hữu hạn thì các
khẳng định sau tương đương
:
(i).
M là môđun (1 - C
1
);
(ii).
M là CS - môđun.
2.1.3. Mệnh đề. Nếu M là R - môđun phải có chiều đều hữu hạn thì các khẳng định sau
tương đương
:
(i). M là 1 - liên tục;
(ii). M là 1 - liên tục mạnh.
2.1.4. Bổ đề. Nếu M là R - môđun và N là một hạng tử trực tiếp của M. Khi đó nếu M là
(1 - C
2
) (tương ứng 1 - liên tục, 1- liên tục mạnh) thì N cũng là môđun (1 - C
2
) - (tương ứng
1-
liên tục, 1 - liên tục mạnh).
Chứng minh.
(i) Nếu M
là môđun (1 - C

2
) ta chứng minh N cũng là môđun (1 - C
2
). Thật vậy, xét U là
môđun con đều của N và U đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của N, ta cần chứng minh U
cũng là hạng tử trực tiếp của N. Nhận xét rằng U cũng là môđun con đều của M và V là hạng
tử trực tiếp của M. Từ tính chất của M, suy ra U là hạng tử trực tiếp của M. Đặt
1
.=⊕
M
UU

Theo luật Môđula ta có:
2
=⊕NUU với
21
=
∩UNU. Do đó U là hạng tử trực tiếp của N.
Điều này dẫn đến N là môđun (1 - C
2
).
(ii). Tương tự cho các trường hợp M là môđun 1- liên tục hoặc 1- liên tục mạnh.

2.1.5. Định lý. Nếu
1=
=⊕
n
ii
UU
trong đó U

i
là môđun con đều với i = 1, 2,…, n, thì các
khẳng định sau là tương đương
:
(i). U là môđun (C
2
);
(ii). U là môđun (1 - C
2
) và U thỏa mãn điều kiện (C
3
).
Chứng minh.
(i)
⇒ (ii). Điều này là hiển nhiên

14
(ii)
⇒
(i). Giả sử U là môđun (1 - C
2
) và U thỏa mãn điều kiện (C
3
), chúng ta chứng
minh U
là môđun (C
2
). Xét X, Y là các môđun con của U với
≅
XY

và Y là hạng tử trực
tiếp của U chúng ta sẽ chứng minh X cũng là hạng tử trực tiếp của U. Chú ý rằng Y là
môđun con đóng của U, do đó tồn tại tập con F của tập
{
}
1, ,n
sao cho ( )
∈
⊕⊕
iF i
YU là
môđun cốt yếu của U (xem [43, Lemma 1]). Mặt khác
,
∈
⊕
iF i
YU
là hạng tử trực tiếp của U
và nó thỏa mãn điều kiện (C
3
), chúng ta suy ra ( ) .
∈
⊕
⊕=
iF i
YUU Nếu
{
}
1, ,=Fn thì
0,

==XY ta có (i).
Nếu
{
}
1, ,≠Fn
ta đặt
{
}
1, , \=
J
nF
thì
()()()
∈∈∈
=⊕⊕ =⊕ ⊕⊕
iF i iJ i iF i
UY U U U.
Do đó
/
∈∈
≅≅ ⊕ ≅⊕ =
iF i iJ i
XYU U U Z

Không mất tính tổng quát già sử rằng
{
}
1, ,=
J
k

trong đó 1≤≤kn tức là
1
.=⊕⊕
k
Z
UU Xét đẳng cấu
:
ϕ
→
Z
X
và đặt ( )
ϕ
=
ii
XU ta có ≅
ii
XU với bất kỳ
1, , .=ik. Chúng ta suy ra

11 1
( ) ( ) ( ) ( ) .
ϕ
ϕϕϕ
==⊕⊕= ⊕⊕ =⊕⊕
kkk
XZ U U U UX X
Nhận xét rằng
i
X

là môđun con đều của U và
≅
ii
XU
với
i
U
là hạng tử trực tiếp của
môđun U, từ tính chất (1 - C
2
) của U điều này dẫn đến
i
X là hạng tử trực tiếp của U với
1, , .=ik
Mặt khác U thỏa mãn điều kiện (C
3
) suy ra
1
X
=
⊕⊕
k
XX là hạng tử trực tiếp
của U. Do đó U là môđun (C
2
). Ta có (i). 
2.1.6. Định lý. Nếu
1=
=⊕
n

ii
UU
trong đó U
i
là môđun con đều với i = 1, 2,…,n, thì các
khẳng định sau là tương đương.
(i). U là môđun liên tục;
(ii). U là môđun 1 - liên tục.
Chứng minh.
(i)
⇒
(ii). Điều này là hiển nhiên
(ii)
⇒
(i). Giả sử U là môđun 1 - liên tục, chúng ta chứng minh U là môđun liên tục.
Bước đầu tiên chúng ta chứng minh vành các tự đồng cấu S
i
= End (U
i
) là vành địa phương
với bất kỳ i = 1,…,n.
Chúng ta sẽ chứng minh U
i
không nhúng được trong một môđun con thực sự của U
i
. Xét
: →
ii
f
UU là một đơn cấu với ( )

i
f
U là một môđun con thực sự của U
i
. Đặt ( ) ,
=
i
f
UV suy
ra 0,≠≠
i
VVU và .≅
i
VU Từ giả thiết và Bổ đề 2.1.4, U
i
là môđun (1 - C
2
) chúng ta có V là

15
một hạng tử trực tiếp của U
i
, điều này dẫn đến U
i
không là môđun đều (mâu thuẫn giả thiết).
Do đó U
i
không nhúng được trong môđun con thực sự của U
i
.

Xét
∈
i
g
S
và giả sử rằng g không là đẳng cấu. Chúng ta chứng minh rằng 1 - g là một
đẳng cấu. Vì U
i
không nhúng được trong một môđun con thực sự của U
i
nên g không là đơn
cấu, suy ra Ker(g) là môđun con khác không của U
i
. Điều này dẫn đến Ker(g) là môđun cốt
yếu trong môđun đều U
i
. Chú ý rằng ( ) (1 ) 0,
∩
−=Ker g Ker g chúng ta suy ra Ker(1 - g) = 0,
tức là 1 - g là một đơn cấu. Nhưng U
i
không nhúng được trong một môđun con thực sự U
i
suy
ra 1 - g phải là ánh xạ lên, và do đó 1 - g phải là đẳng cấu. Điều này chứng minh được S
i
là
vành địa phương với bất kỳ i = 1,…,n.
Đặt =⊕
ij i j

UUUvới
{
}
, 1, ,∈ij n và .
≠
ij Chúng ta sẽ chứng minh U
ij
thỏa mãn điều
kiện (C
3
), tức là với hai hạng tử trực tiếp S
1
, S
2
của U
ij
sao cho
12
0,∩=SS chúng ta có
12
⊕SS cũng là hạng tử trực tiếp của .
ij
U Chú ý rằng u - dim (U
ij
) = 2 nên chứng minh là tầm
thường trong các trường hợp :
1) Một trong hai hạng tử trực tiếp S
1
, S
2

có chiều đều bằng 2, khi đó hạng tử còn lại là
môđun không
2) Hai hạng tử trực tiếp S
1
, S
2
là môđun không.
Chúng ta xét trường hợp không tầm thường S
1
, S
2
là các môđun đều. Chúng ta chứng
minh rằng U
i
không nhúng được trong môđun con thực sự của U
j
. Giả sử rằng
: →
ij
hU U
là
một đơn cấu và ( )
i
hU là một môđun con thực sự của U
j
. Đặt h(U
i
) = L. Vì U
ij
là hạng tử trực

tiếp của U nên theo Bổ đề 2.1.4, chúng ta suy ra U
ij
cũng là môđun (1 - C
2
). Chú ý rằng L là
một môđun con đều của U
ij
và
≅
i
LU với
i
U là một hạng tử trực tiếp của U
ij
, điều này dẫn
đến L cũng là một hạng tử trực tiếp của U
ij
. Đặt
',=⊕
ij
ULL
theo luật Môđula chúng ta có
''=⊕
j
ULL với '' '.=∩
j
LU L Nhận xét rằng ''L cũng là môđun thực sự của U
j
và '' 0,
≠

L
do đó U
j
không là môđun đều (điều này mâu thuẫn với giả thiết). Từ đó chúng ta có U
i
không
nhúng được trong một môđun con thực sự của U
j
. Tương tự U
j
không nhúng được trong một
môđun thực sự của U
i
. Chú ý rằng U
i
(và U
j
) không nhúng được trong một môđun con thực sự
của U
i
(tương ứng U
j
).
Từ giả thiết vành các tự đồng cấu S
i
= End (U
i
) và S
j
= End (U

j
) là vành địa phương; sử dụng
Bổ đề Azumaya [14, 12.6, 12.7], chúng ta có
22
=
⊕=⊕
ij i
USKSU hoặc
22
.=⊕=⊕
ij j
USKSU Vì vai trò i và j bình đẳng, chúng ta chỉ cần xét duy nhất một trường hợp:

22
.=⊕=⊕=⊕
ij i i j
USKSUUU Từ đó chúng ta có
2
.
≅
j
SU

16
Tương tự
11
=⊕=⊕
ij i
USHSU
hoặc

11
.
=
⊕=⊕
ij j
USHSU

Nếu
11
,=⊕=⊕
ij i
USHSU thì theo luật Môđula chúng ta có
121
W
⊕
=⊕SSS trong đó
12
().=⊕∩
i
WSS U
Điều này dẫn đến
2
W,
≅
S
nghĩa là U
i
chứa một copy của
2
.

≅
j
SU

Nhưng
j
U
không nhúng được trong một môđun con thực sự của U
i
, chúng ta phải có W = U
i

và do đó
12
.⊕=⊕ =
ijij
SSUUU

Nếu
11
,=⊕=⊕
ij j
USHSU thì theo luật Môđula chúng ta có
121
W'⊕=⊕SSS trong
đó
12
W' ( ) .=⊕∩
j
SS U

Điều này dẫn đến
2
',
≅
WS nghĩa là U
j
chứa một copy của
2
.
≅
j
SU

Nhưng U
j
không nhúng được trong một môđun con thực sự của U
j
, chúng ta phải có ' ,
=
j
WU
và do đó
12
.⊕=
ij
SSU
Vậy U
ij
thỏa mãn điều kiện (C
3

). Nhận xét rằng U
ij
là một hạng tử trực tiếp của U và U
là một CS - môđun (vì U có chiều đều hữu hạn và U là môđun (1 - C
1
), suy ra U là CS -
môđun), chúng ta suy ra U
ij
cũng là CS - môđun, và do đó U
ij
là một môđun tựa liên tục. Theo
[26], U là môđun tựa liên tục. Sử dụng Định lý 2.1.5, U là môđun (C
2
). Vậy U là môđun liên
tục. Ta có (i).

2.1.7. Hệ quả. Cho M có chiều đều hữu hạn thì các khẳng định sau tương đương:
(i). M là môđun liên tục;
(ii). M là môđun
1 - liên tục mạnh;
(iii). M là môđun
1 - liên tục.
Chứng minh.
(i) ⇒ (iii). Điều này là hiển nhiên.
(iii)
⇒
(i). Giả sử M là môđun 1 - liên tục chúng ta chứng minh M là môđun liên tục.
Vì M là môđun (1 - C
1
) và có chiều đều hữu hạn nên

1

=
⊕⊕
n
M
UU trong đó
12
, , ,
n
UU U
là môđun đều. Theo Định lý 2.1.6 chúng ta có M là môđun liên tục.
(ii)
⇔
(iii).Theo Mệnh đề 2.1.3. 
II. ĐẶC TRƯNG V-VÀNH BỞI ĐIỀU KIỆN (1 - C
2
)
Trong mục này chúng tôi sẽ sử dụng lớp các môđun thỏa mãn điều kiện (1 - C
2
) để đặc
trưng các lớp vành. Cụ thể chúng tôi quan tâm đến điều kiện để một vành nửa Artin là
V vành
phải. Dĩ nhiên các kết quả mục này đều sử dụng lớp môđun thỏa mãn điều kiện (1 -
C
2
) để đặc
trưng vành.
Định lý 2.2.1. Đối với một vành nửa Artin R, các khẳng định sau là tương đương:
(i). R là V vành phải;

17
(ii). Mọi R - môđun phải hữu hạn sinh CS là nội xạ;
(iii). Mọi R - môđun phải hữu hạn sinh CS là
1- liên tục mạnh.
Chứng minh.
(i)
⇒
(ii). Theo [21, Theorem 1].
(ii)
⇒
(iii). Vì môđun nội xạ là môđun 1 - liên tục mạnh nên chúng ta có (iii).
(iii)
⇒
(i). Gọi S là R - môđun phải đơn với bao nội xạ
*
().=SES
Chúng ta sẽ chứng
minh S = S
*
. Giả sử ngược lại
*
.
≠
SS Bởi vì R là vành nửa Artin phải cho nên tồn tại môđun
con X của S
*
với ⊆SX sao cho /XS là môđun đơn. Từ dãy hợp thành 0⊃⊃XS chúng ta
suy ra
()2.=lX Chúng ta sẽ chứng minh X là môđun đều.

Giả sử X là môđun phân tích được chúng ta đặt
=
⊕XABtrong đó A, B là các môđun
đơn. Xét
1
=∩SAS và
2
=∩SBS chúng ta có S
1
, S
2
hoặc bằng S hoặc bằng 0 vì S là môđun
đơn. Nếu
12
==SSS
thì
12
===
A
SS B
suy ra 0,
∩
≠AB đây là điều mâu thuẫn với tính
chất của A và B. Do đó ít nhất một trong hai môđun con S
1
, S
2
phải bằng 0. Không mất tính
tổng quát giả sử rằng S
1

= 0 suy ra 0.
∩
=SA Nhận xét rằng S là môđun cốt yếu của S
*
chúng
ta suy ra
0,∩≠AS
điều này mâu thuẫn với chứng minh trên. Điều này dẫn đến X là môđun
không phân tích được. Giả sử X không là môđun đều khi đó tồn tại hai môđun khác không
của X là C và D sao cho
0.
∩
=CD Chúng ta có một dãy lồng nhau như sau
0⊃⊕⊃⊃XCDC và 0,≠⊕≠≠XCDC suy ra ()2.>lX Điều này mâu thuẫn với tính
chất của X do đó chúng ta có X là môđun đều.
Đặt
=⊕YSX suy ra u - dim (Y) = 2 chúng ta sẽ chứng minh Y là CS - môđun. Xét W
là một môđun con đóng của Y, chúng ta sẽ chứng minh W là hạng tử trực tiếp của Y. Nếu u -
dim (W) = 2 thì W = Y (suy từ tính chất cốt yếu tối đại của môđun con đóng W). Xét trường
hợp u - dim (W) = 1, suy ra W là môđun con đóng đều của Y. Nếu
W(0 )0,∩⊕ =X
xét tính
chất về độ dài nhận thấy 3 (W ) ( ) 3,
≤
⊕≤ =lXlY suy ra W.
=
⊕YX Xét trường hợp
W(0 )0,
∩⊕ ≠X chúng ta quan tâm độ dài l(W) của môđun W. Từ tính chất
3()(W),

=>lY l suy ra (W) 1=l hoặc (W) 2.
=
l
Nếu
(W) 1=l thì (0 ),=⊕W Soc X suy ra W là môđun con thực sự 0 ⊕ X và W cốt yếu
trong
0.⊕ X Điều này mâu thuẫn với tính chất W là môđun con đóng trong Y. Do đó
(W) 2.=l
Vì S là môđun đơn nên
(0) 0
∩
⊕=⊕WS S
hoặc
(0)0.∩⊕=WS
Nếu
(0) 0∩⊕=⊕WS S
thì
(0)W.
⊕
⊂S
Từ tính chất W là môđun đều, suy ra
0 ( 0) (0 ) ( 0) (0 ) 0,≠ ⊕∩⊕ ⊆ ⊕∩⊕ =SXSX
đây là điều mâu thuẫn. Từ đó chúng ta có

18
(0)0,∩⊕=WS suy ra (W)()3⊕= =lS lY và được W.
⊕
=SY Tất cả những điều trên
chứng minh W là hạng tử trực tiếp của Y, suy ra Y là CS - môđun. Chú ý rằng Y là môđun
sinh bởi 3 phần tử, do đó Y là môđun 1 - liên tục mạnh theo giả thiết (iii).

Nhận xét rằng,
0 ⊕ S
là môđun con đều của Y,
00
⊕
≅⊕SS
và
0⊕S
là một hạng tử
trực tiếp của Y, chúng ta có
0 S
⊕
cũng là hạng tử trực tiếp của Y. Đặt (0 ) .=⊕⊕YSL Sử
dụng luật Môđula suy ra

0(0)(0)⊕=⊕⊕⊕XS K
trong đó
0(0),⊕=⊕ ∩
K
XL tức là .
=
⊕XSK
Chú ý rằng
0,≠≠
K
X
suy ra X không là môđun đều, điều này mâu thuẫn với tính chất
của X. Chúng ta phải có
S = S
*

, suy ra R là V vành phải. 


19
CHƯƠNG 3. MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER

Lý thuyết vành là một trong những trọng tâm của Đại số kết hợp và vấn đề đặc trưng các
lớp vành là bài toán quan trọng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Có hai
hướng chính để đặc trưng cho các lớp vành. Hướng thứ nhất là đặc trưng vành thông qua tính
chất nội tại của nó như tính chất của các phần tử hoặc các iđêan. Hướng thứ hai là đặc trưng
vành thông qua tính chất của các lớ
p môđun trên vành đó. Hướng thứ nhất ra đời sớm hơn và
hiện tại vẫn được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Chúng ta biết rằng đối với vành
R bất kỳ theo định lý đồng cấu
R/l(a) Ra, a R
≅
∀∈
trong đó l(a) là linh hóa tử trái của phần
tử a. Tuy nhiên tính chất
R/Ra l(a)
≅
không phải bao giờ cũng đúng chẳng hạn /2
không đẳng cấu với l(2) 0.
= Năm 1976 G. Erlich đã đưa ra lớp vành cấu xạ là lớp vành thỏa
mãn điều kiện
R/Ra l(a)≅
, tuy nhiên việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều kiện này tỏ ra
không thật sự hiệu quả. Năm 2004, W. K. Nicholson và E. Sanchez - Campos đã đưa ra điều
kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hóa tử của các phần tử. Nhờ sử dụng
điều kiện mới này việc nghiên cứu lớp vành cấu xạ tỏ ra có hiệu quả hơn và đạt được nhiều

kết quả thú vị. Đặc biệt năm 2007, V. Camillo và W. K. Nicholson đã mở rộng điều kiện trên
và đưa ra lớp vành tựa cấu xạ và đã đạt được một số kết quả. Trước đó năm 2005, W. K.
Nicholson và E. Sanchez - Campos mở rộng khái niệm cấu xạ sang cấu trúc môđun và đưa ra
lớp môđun cấu xạ. Trong chương này, dựa vào ý tưởng của V. Camillo và W. K. Nicholson
chúng tôi mở rộng lớp môđun cấu x
ạ và đưa ra lớp môđun tựa cấu xạ. Chúng tôi cũng sử dụng
điều kiện cấu xạ để đặc trưng QF vành. Phần cuối chương là các kết quả về lớp vành thỏa
mãn điều kiện cấu xạ và điều kiện Baer.

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
3.1.1. Định nghĩa.
a) Phần tử
e
của vành
R
được gọi là lũy đẳng (idempotent) nếu
2
.ee=

b
) Cho vành R và e là một phần tử lũy đẳng của nó, khi đó
{
}
() : 0
R
lI r RrI=∈ =
được
gọi là
linh hóa tử trái (left annihilator) của I trong
.R

c) Vành R được gọi là
vành Baer (Baer ring) nếu với mỗi tập con I của R, tồn tại lũy
đẳng e của R sao cho l
R
(I) = Re.

3.1.2. Định nghĩa. Cho vành R và a là một phần tử của R.
a) Phần tử a được gọi là
phần tử cấu xạ trái (left morphic element) trong R nếu
R/Ra l(a).≅


20
b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm
phần tử cấu xạ phải.
c) Vành R được gọi là
vành cấu xạ trái (left morphic ring) nếu mọi phần tử của nó đều
là phần tử cấu xạ trái.
d) Định nghĩa tương tự cho
khái niệm vành cấu xạ phải.
e) Vành R được gọi là
vành cấu xạ (morphic ring) nếu nó là vành cấu xạ trái và phải.
3.1.3. Định nghĩa.
Cho vành R và a là một phần tử của R.
a) Phần tử a được gọi là
phần tử tựa cấu xạ trái (left quasi - morphic element) trong R
nếu tồn tại các phần tử b, c của R sao cho
Ra l(b); Rc l(a).
=

=

b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm
phần tử tựa cấu xạ phải.
c) Vành R được gọi là
vành tựa cấu xạ trái (left quasi - morphic ring) nếu mọi phần tử
của nó đều là phần tử tựa cấu xạ trái.
d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm
vành tựa cấu xạ phải.
e) Vành R được gọi là
vành tựa cấu xạ (quasi - morphic ring) nếu nó là vành tựa cấu xạ
trái và phải.
3.1.4. Định nghĩa.
Cho vành R và a là một phần tử của R.
a) Phần tử a được gọi là
cấu xạ tổng quát trái (left generalized morphic element) trong R
nếu tồn tại các phần tử b của R sao cho R/Rb
≅
l(a).

b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm
phần tử cấu xạ tổng quát phải.
c) Vành R được gọi là
vành cấu xạ tổng quát trái (left
generalized morphic
ring) nếu
mọi phần tử của nó đều là phần tử cấu xạ tổng quát trái.
d) Định nghĩa tương tự cho khái niệm
vành cấu xạ tổng quát phải.
e) Vành R được gọi là

vành cấu xạ tổng quát (generalized morphic ring) nếu nó là vành
cấu xạ tổng quát trái và phải.
3.1.5. Định nghĩa.
Cho vành R và a là một phần tử của R.
a) Phần tử a của vành R được gọi là
phần tử
π
- cấu xạ trái (left
π
- morphic element)
nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho R/Ra
n

≅
l(a
n
).
b) Định nghĩa tương tự cho khái niệm
phần tử
π
- cấu xạ phải.
c) Vành R được gọi là vành
π
- cấu xạ trái (left
π
- morphic ring) nếu mọi phần tử của
nó là
π - cấu xạ trái.
d)
Định nghĩa tương tự cho khái niệm

vành
π
- cấu xạ
phải
.
e) Vành R được gọi là
vành
π
- cấu xạ

(
π
- morphic ring
) nếu nó là vành
π - cấu xạ trái
và phải.

21
3.1.6. Định nghĩa. Cho R - môđun trái M. Môđun M được gọi là cấu xạ (morphic
module
) nếu
(
)
(
)
M/Im Kerα≅ α
với mọi đồng cấu
End(M).
α
∈

3.1.7. Định nghĩa. Cho môđun M, ký hiệu
(A)
i
iA
MM
∈
=
⊕
với M
i
= M. Khi đó:
a) M được gọi là
môđun
(
)
1
1C−−
∑
(tương ứng đếm được
(
)
1
1C−−
∑
) nếu M
(A)

(tương ứng
()

M

) là môđun (1 - C
1
).
b) M được gọi là môđun
−
∑
tựa nội xạ (tương ứng đếm được
−
∑
tựa nội xạ) nếu
M
(A)
(tương ứng
()
M

) là môđun tựa nội xạ.
3.1.8. Định nghĩa. Vành R được gọi là QF vành nếu nó là vành Artin hai phía và tựa
nội xạ hai phía.
3.1.9. Bổ đề. (xem [25]) Vành R là QF khi và chỉ khi R
R
là môđun
−
∑
tựa nội xạ (đếm
được
−
∑

tựa nội xạ) khi và chỉ khi
R
R là môđun
−
∑
tựa nội xạ (đếm được
−
∑
tựa nội xạ).