khóa luận tốt nghiệp bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Giả thuyết khoa học 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc luận văn 2
NỘI DUNG 4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Ngôn ngữ toán học 4
1.2. Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học 11
1.3. Nội dung chương trình hình học 10 13
Chương 2. BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH LỚP 10 KHẢ NĂNG SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC NỘI
DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ 17
2.1. Giúp học sinh nắm vững cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học về
vectơ – tọa độ 17
2.2. Dạy học các nội dung vectơ và tọa độ cho học sinh lớp 10 theo hướng tiếp
cận ngôn ngữ toán học 20
KẾT LUẬN 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO 30
PHỤ LỤC 31

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong dạy học môn Toán sử dụng đồng thời hai loại ngôn ngữ: ngôn ngữ
tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Không có một ranh giới rõ ràng giữa ngôn ngữ
tự nhiên và ngôn ngữ toán học mà chúng có sự “hòa quyện” với nhau. Do đó

trong dạy học môn Toán, giáo viên không chỉ truyền đạt tri thức toán học mà
còn giúp hình thành, phát triển ngôn ngữ toán học, đồng thời rèn luyện và phát
triển ngôn ngữ tự nhiên cho học sinh. Bên cạnh đó thì “Ngôn ngữ như đã được
thừa nhận có vị trí cực kì quan trọng trong vốn văn hóa của con người. Toán học
nhà trường có điều kiện để góp phần phát triển ngôn ngữ thông qua phát triển
ngôn ngữ toán”.
Ngôn ngữ toán học là phương tiện giao tiếp giữa giáo viên và học sinh
trong lớp học Toán. Vì vậy, ngôn ngữ toán học có ảnh hưởng không nhỏ đến
chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Trong thực tiễn dạy học,
nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm, tạo ra môi trường học tập mà ở đó học
sinh được tập luyện sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học. giáo viên chưa có
những biện pháp giúp học sinh sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học trong học
tập môn Toán.
Qua nghiên cứu chủ đề vectơ, tọa độ ở hình học 10 theo hướng tiếp cận
ngôn ngữ toán học chúng tôi thấy vectơ, tọa độ đã tạo nên bước phát triển đáng
kể trong toán học. Nhờ các công cụ này mà nhiều sự kiện toán học đặc biệt là
hình học đã được trình bày và chứng minh gọn gàng hơn. Hơn nữa học sinh còn
có thêm hai phương pháp giải toán quan trọng và chủ yếu là phương pháp vectơ
và phương pháp tọa độ. Những bài toán hình học từng được diễn đạt bằng ngôn
ngữ hình học tổng hợp, sau khi “phiên dịch” sang ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ tọa
độ sẽ chuyển thành bài toán đại số thuần túy, tận dụng được những công cụ của
đại số để giải toán. Nghĩa là trong khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học
sinh đã nâng lên một bước so với trước đó. Điều này đòi hỏi trong dạy học hình
học 10, giáo viên phải có những nguyên tắc và biện pháp sư phạm hợp lí để phát
triển ngôn ngữ toán học cho học sinh.

2
Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Bồi
dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua
dạy học các nội dung vectơ và tọa độ”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn
ngữ toán học thông qua dạy học giải bai tập các nội dung vectơ và tọa độ, từ đó
góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp dạy học các chủ đề này ở hình
học THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học chủ đề vectơ và tọa độ ở hình học 10 nếu có tăng cường
hợp lí các hoạt động để phát triển ngôn ngữ toán học thì sẽ góp phần nâng cao
kết quả học tập của học sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số nội dung sau.
- Ngôn ngữ toán học.
- Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.
- Nội dung chương trình hình học 10.
- Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học
thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận.
- Điều tra – quan sát.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của đề
tài gồm có hai chương.
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Bồi dưỡng cho học sinh lớp 10 khả năng sử dụng ngôn ngữ
toán học thông qua dạy học các nội dung vectơ và tọa độ.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, mặc dù bản thân đã hết sức cố
gắng, tuy nhiên chắc khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các giáo viên, các bạn học sinh và sinh viên cũng như
các bạn đọc để đề tài này ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn.

3
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên – Tiến sĩ Phan Anh đã hướng dẫn,
giúp đỡ cho chúng tôi trong quá trình thực hiện đề tài này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 5 năm 2014
Tác giả


Phan Thị Minh Thư

4
NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Ngôn ngữ toán học
1.1.1. Sơ lược về ngôn ngữ
a. Quan niệm
Theo Từ điển Tiếng Việt “Ngôn ngữ là hệ thống những âm, những từ và
những quy tắc kết hợp chúng, làm phương tiện để giao tiếp chung cho một cộng
đồng” hoặc “Ngôn ngữ là hệ thống các kí hiệu dùng làm phương tiện để diễn
đạt, thông báo”. Có tài liệu thì ngôn ngữ còn được hiểu “là hệ thống hữu hạn của
các kí hiệu tùy ý kết hợp theo quy tắc ngữ pháp để làm phương tiện giao tiếp”.
Các quan niệm trên cho phép hiểu ngôn ngữ là hệ thống các kí hiệu và các quy
tắc kết hợp chúng làm phương tiện giao tiếp chung cho một cộng đồng.
b. Chức năng cơ bản của ngôn ngữ
Ngôn ngữ có hai chức năng cơ bản sau:
- Ngôn ngữ có chức năng là phương tiện của giao tiếp Giao tiếp được hiểu
là sự truyền đạt thông tin từ người này đến người khác nhằm thực hiện một mục
đích nhất định. Trong số các hình thức giao tiếp mà con người sử dụng thì hình
thức giao tiếp bằng ngôn ngữ là phổ biến và quan trọng nhất. Nói như Lênin
“Ngôn ngữ là phương tiện giao tiếp quan trọng nhất của con người”.

- Ngôn ngữ có chức năng là công cụ của tư duy Chức năng tư duy của
ngôn ngữ biểu hiện ở cả hai khía cạnh: Ngôn ngữ là hiện thực trực tiếp của tư
tưởng. Không có từ nào, câu nào mà lại không biểu hiện khái niệm hay tư tưởng.
Ngược lại, không có ý nghĩ, tư tưởng nào lại không tồn tại dưới dạng ngôn ngữ.
Ngôn ngữ trực tiếp tham gia vào quá trình hình thành tư tưởng. Mọi ý
nghĩ, tư tưởng chỉ trở nên rõ ràng khi được biểu hiện bằng ngôn ngữ.
c. Thuật ngữ khoa học
Thuật ngữ khoa học bao gồm những từ và cụm từ cố định là tên gọi chính
xác của những khái niệm và những đối tượng thuộc các lĩnh vực chuyên môn
của con người.
Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau:
- Thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa.

5
Thuật ngữ toán học lệ thuộc chặt chẽ vào các khái niệm toán học nên có
tính xác định về nghĩa. Chẳng hạn khi nói đến từ “cạnh” trong thuật ngữ toán
học ta nghĩ ngay đến đoạn thẳng làm thành phần của một hình đa giác. Nội dung
của thuật ngữ chỉ thay đổi khi xuất hiện những quan niệm mới, chỉ thay đổi khi
các khái niệm mà thuật ngữ đó biểu thị được xác lập lại. Nội dung của thuật ngữ
là toàn bộ định nghĩa lôgic của khái niệm dành cho thuật ngữ đó.
- Thuật ngữ khoa học có tính hệ thống.
Chẳng hạn, từ “tích” trong toán học có nghĩa là “kết quả của phép nhân”
nhưng khi tách nó ra khỏi hệ thống thuật ngữ toán học và sử dụng như một từ
trong ngôn ngữ tự nhiên thì nó lại có nghĩa là “dồn, góp từng ít cho thành số
lượng đáng kể”. Một ví dụ khác, từ “thương” khi đặt vào trong hệ thống thuật
ngữ toán học thì có nghĩa là “kết quả của phép chia” nhưng khi đưa ra khỏi hệ
thống này và sử dụng trong ngôn ngữ tự nhiên thì lại có nghĩa “có tình cảm gắn
bó và thường tỏ ra quan tâm săn sóc một cách chu đáo”.
- Thuật ngữ khoa học có xu hướng một nghĩa.
Mỗi thuật ngữ có thể xuất hiện trong nhiều ngành khoa học khác nhau,

nhưng trong cùng một hệ thống thì mỗi thuật ngữ khoa học thường chỉ có một
nghĩa. Chẳng hạn từ “độ”, khi nằm trong hệ thống thuật ngữ toán học có nghĩa
là “đơn vị đo cung, đo góc, bằng
1
360
của đường tròn, hoặc
1
180
của góc bẹt”,
nhưng khi nằm trong hệ thống các thuật ngữ triết học có nghĩa là “phạm trù triết
học chỉ sự thống nhất giữa hai mặt chất và lượng của sự vật, khi lượng thay đổi
đến một giới hạn nào đó thì chất thay đổi”, hay trong các ngành khoa học khác
thì có nghĩa là “đơn vị đo trong thang nhiệt độ, nồng độ”. Đây là hiện tượng mà
trong ngôn ngữ gọi là từ đồng âm.
- Thuật ngữ khoa học có tính quốc tế.
Tính quốc tế của thuật ngữ khoa học thể hiện rõ nét ở mặt nội dung. Thật
vậy, thuật ngữ khoa học là vỏ ngôn ngữ của khái niệm. Do đó nội dung khái
niệm của một ngành khoa học của các nước trên thế giới là không lệch nhau. Đó
là sự thống nhất khoa học trên con đường nhận thức chân lí.

6
Về hình thức cấu tạo thì tính quốc tế của thuật ngữ khoa học chỉ mang
tính tương đối, có những thuật ngữ thống nhất trên một phạm vi rộng nhưng có
thuật ngữ chỉ thống nhất ở phạm vi hẹp.
1.1.2. Ngôn ngữ toán học.
a. Quan niệm về ngôn ngữ toán học.
Một số nhà nghiên cứu quan niệm về ngôn ngữ toán học như sau:
Theo Raymond Duval và cộng sự (2005), ngôn ngữ toán học bao gồm
ngôn ngữ, các kí hiệu tượng trưng, hình ảnh trực quan. Theo tác giả Hà Sĩ Hồ
(1990), ngôn ngữ toán học là một hệ thống các thuật ngữ, kí hiệu toán học chủ

yếu ở dạng ngôn ngữ viết. Các kí hiệu này có tính chất quy ước để diễn đạt nội
dung toán học đảm bảo tính lôgic, chính xác và ngắn gọn. Hai quan điểm trên
đều cho rằng trong ngôn ngữ toán học có hệ thống các kí hiệu.
Bên cạnh hệ thống thuật ngữ, kí hiệu thì Toán học còn sử dụng các hình
ảnh, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, … làm phương tiện để biểu thị nội dung toán học.
Khi đó, hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, … được coi là các “phương tiện trực
quan tượng trưng”. Theo tác giả Hoàng Chúng (1997) thì “mỗi phương tiện trực
quan tượng trưng là một loại ngôn ngữ”.
Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống
các kí hiệu toán học. Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa rộng) bao gồm ngôn ngữ
toán học theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ
thị…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác,
logic và ngắn gọn.
b. Chức năng của ngôn ngữ toán học.
Ngôn ngữ được sử dụng làm phương tiện để giao tiếp, truyền đạt những
suy nghĩ, ý tưởng của con người với nhau. Haliday (1985) cho rằng ngôn ngữ
giúp con người xây dựng hình ảnh tinh thần của thực tại, trao đổi kinh nghiệm
của những gì đang diễn ra xung quanh và bên trong mỗi chúng ta. Còn Mercer
(2000) nhận xét, ngôn ngữ là phương tiện để con người cùng nhau suy nghĩ,
cùng nhau tạo ra kiến thức và sự hiểu biết, làm cho mọi người trên thế giới hiểu
nhau hơn. Giao tiếp là một chức năng quan trọng trong học tập, giảng dạy và
nghiên cứu toán học. Ở lớp học toán có rất nhiều thông tin được trao đổi giữa
giáo viên với tập thể học sinh, giữa giáo viên với cá nhân học sinh, giữa cá nhân

7
học sinh với tập thể học sinh, giữa cá nhân học sinh với cá nhân học sinh. Các
hình thức giao tiếp diễn ra trong lớp học toán đều nhằm mục đích giải quyết các
vấn đề toán học đặt ra, giúp học sinh hiểu khái niệm toán học, nâng cao khả
năng hiểu, sử dụng ngôn ngữ toán học.
Sullivan, P.Clarke (1991) đã chứng tỏ rằng chất lượng học tập của học

sinh có liên quan đến chất lượng giao tiếp với giáo viên. Còn Dean (1982) kết
luận, giao tiếp là một phương tiện để đạt tới sự hiểu biết về toán học. Tương tự
như vậy, Torble, M.Shuard (1992) cho rằng, không có ngôn ngữ thì không thể
có quá trình giao tiếp và không có giao tiếp, không có thông tin trao đổi trong
lớp học toán thì toán học không thể diễn ra [dẫn theo 70]. Một lần nữa Dean
(1982) lại khẳng định, thật khó để diễn đạt các ý tưởng toán học hoàn toàn bằng
ngôn ngữ tự nhiên, vì vậy học sinh thường xuyên phải giao tiếp bằng ngôn ngữ
toán học. Điều này khẳng định chức năng giao tiếp là vô cùng quan trọng trong
học tập và nghiên cứu toán học.
Trong giảng dạy, giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề, tổ chức cho
học sinh giải quyết vấn đề. Khi đó học sinh phải tranh luận, thuyết phục chính
mình và những người khác bằng cách đưa ra phương án giải quyết vấn đề một
cách lôgic, chính xác. Muốn thực hiện được điều này thì học sinh phải có kiến
thức toán học tốt và sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học để giải thích, chứng
minh một vấn đề toán học. Bên cạnh việc học sinh giao tiếp với nhau trong giờ
học thì giáo viên cũng phải thực hiện giao tiếp với học sinh. Quá trình giao tiếp
của giáo viên với học sinh có sự đóng góp không nhỏ của hệ thống câu hỏi. Một
vấn đề toán học đặt ra, giáo viên phải xây dựng hệ thống câu hỏi giúp học sinh
hiểu và giải quyết vấn đề. giáo viên có thể đặt nhiều câu hỏi khác nhau vào cùng
một vấn đề để giúp học sinh phát triển sự hiểu biết về khái niệm toán học thông
qua các thuật ngữ, kí hiệu, ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học. Trong cùng một
vấn đề giáo viên có thể cho học sinh phát biểu theo nhiều cách khác nhau để từ
đó không những giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn khái niệm toán học mà còn làm
phong phú vốn từ trong ngôn ngữ toán học cho học sinh. Chẳng hạn, phát biểu
“tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau” có thể phát biểu theo cách khác
“tam giác đều là tam giác có ba góc bằng nhau”.

8
Chức năng giao tiếp của ngôn ngữ toán học còn thể hiện rõ trong nghiên
cứu toán học. ngôn ngữ toán học là phương tiện để các nhà khoa học trên thế

giới có thể giao tiếp được với nhau mà không có sự trở ngại về mặt không gian,
thời gian và ngôn ngữ. Ngày nay, phạm vi giao tiếp của ngôn ngữ nói chung và
ngôn ngữ toán học nói riêng rất rộng, mang tính toàn cầu. Không chỉ mở rộng về
không gian mà hình thức giao tiếp cũng ngày càng phong phú, đa dạng hơn nhờ
sự phát triển của khoa học kĩ thuật. Con người không chỉ giao tiếp bằng miệng,
bằng chữ viết thông thường như trước đây mà còn có sự góp mặt của điện thoại,
email, Sky, voice chat, ….
Như vậy, chức năng giao tiếp của ngôn ngữ toán học đã giúp con người
có thêm hiểu biết về toán học, cùng nhau tạo ra và giải quyết các vấn đề toán
học mà không có sự trở ngại nào về ngôn ngữ, không gian, hình thức giao tiếp.
Giống như ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ toán học cũng có chức năng tư
duy. Trong ngôn ngữ toán học không có những kí hiệu, thuật ngữ toán học nào
mà lại không biểu hiện khái niệm hoặc tư tưởng toán học. Ngược lại, không có ý
nghĩ, tư tưởng nào lại không được thể hiện nhờ ngôn ngữ toán học. Chẳng hạn,
biểu thức 64 : 4 + 2 – 4 × 3 bao gồm các kí hiệu toán học liên kết lại với nhau
theo một quy tắc nhất định và chứa đựng một vấn đề toán học cần được giải
quyết. Để tính được giá trị biểu thức này thì người học phải tư duy, phải tuân
theo quy tắc tính giá trị biểu thức để thực hiện. Quá trình tư duy để tìm kết quả
của phép tính được thực hiện nhờ ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ toán học còn
là phương tiện để biểu đạt kết quả của tư duy. Do đó có thể khẳng định rằng tư
duy là cái được biểu hiện còn ngôn ngữ toán học là cái để biểu hiện kết quả của
tư duy.
Bên cạnh đó, ngôn ngữ toán học tham gia vào quá trình suy nghĩ giải
quyết một vấn đề toán học hay nói cách khác, ngôn ngữ toán học tham gia vào
quá trình hình thành tư tưởng toán học. Mọi ý nghĩ, tư tưởng toán học chỉ trở
nên rõ ràng, chính xác nhờ được biểu đạt bằng ngôn ngữ toán học. Nếu một ý
tưởng toán học chưa biểu hiện ra được bằng ngôn ngữ toán học thì ý tưởng toán
học đó còn mù mờ, chưa sáng tỏ.
Khi tiến hành các hoạt động tư duy giải quyết một vấn đề toán học thì
người làm toán cần phải có một vốn tri thức, sự hiểu biết liên quan đến vấn đề

9
cần giải quyết. Vốn tri thức đó có được là nhờ các hoạt động khám phá, tìm tòi,
nghiên cứu và tích lũy trong quá trình làm toán. Vốn tri thức này được lưu giữ,
tàng trữ trong bộ não của con người chủ yếu là nhờ ngôn ngữ toán học. Thông
qua ngôn ngữ toán học loài người có thể truyền thụ những tri thức toán học từ
người này sang người khác, từ thế hệ này sang thế hệ khác.
1.1.3. Khái quát về lịch sử phát triển ngôn ngữ toán học liên quan đến
Toán học phổ thông.
a. Khái quát.
“Ngôn ngữ toán học chủ yếu là ngôn ngữ sử dụng kí hiệu”. Do đó sự phát
triển của ngôn ngữ toán học gắn liền với sự phát triển của kí hiệu toán học.
Những giai đoạn chính phát triển kí hiệu toán học là:
- Giai đoạn hình thành hệ thống số tự nhiên và phân số. Đây là giai đoạn
đưa vào hệ thống số đếm theo thứ tự và ý nghĩa đặc biệt của số 0. Người ta so
sánh một cách tương đối việc ghi lại các số trong hệ thống số La Mã không có
thứ tự và hệ thống số đếm có thứ tự.
Việc thành lập hệ thống số đếm có thứ tự cho phép việc ghi chép những
phép toán trong số học ngắn gọn hơn như +, – , ×, :.
- Giai đoạn phát triển các hệ thống kí hiệu của đại số. Việc phát triển của
hệ thống này cho phép thể hiện các biến đổi và các quy tắc giải phương trình
một cách trực quan hơn.
- Việc phát triển hệ thống kí hiệu trong Giải tích có liên quan đến sự xuất
hiện của phép tính vi tích phân.
- Giai đoạn phát triển kí hiệu trong Lý thuyết tập hợp và lôgic toán. Đặc
biệt, kí hiệu toán học có ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của máy tính điện
tử. Trong hệ thống kí hiệu của máy tính điện tử, có những kí hiệu không sử dụng
kí hiệu gốc trong toán học mà sử dụng bằng cách mã hóa để phù hợp với ngôn
ngữ lập trình. Chẳng hạn, trong ngôn ngữ lập trình Pascal không có kí hiệu số
mũ hay kí hiệu căn nên x

2
được viết là SQR(x),
x
viết là SQRT(x).
Sự phát triển của hệ thống kí hiệu làm phong phú ngôn ngữ toán học, giúp
các ngành toán học thông suốt với nhau. Chỉ sử dụng kí hiệu đại số và các phép
toán chuyển qua giới hạn có thể hiểu được nhiều khái niệm trong Giải tích toán

10

học. Mỗi một chuyên ngành toán học mới xuất hiện đều kèm theo hệ thống kí
hiệu riêng của lĩnh vực đó.
b. Một số kí hiệu toán học thường dùng.
* Kí hiệu các chữ số, chữ cái Latinh và Lamã.
Các chữ số 0, 1, 2,…, các chữ cái Latinh a, b, c,…, x, y, z, và các chữ cái
Lamã
, , ,
  
được sử dụng phổ biến và thống nhất trong toán học.
Bằng 10 chữ số 0,1,…,9 chúng ta có thể viết được bất kì số tự nhiên nào.
Các chữ cái a, b, c,…, x, y, z dùng để viết các biểu thức đại số, biểu thức chứa
biến, hàm số… Còn các chữ
, , ,
  
được dùng để gọi tên đường thẳng, mặt
phẳng, kí hiệu góc,…
* Kí hiệu cho các phép toán và quan hệ.
Bao gồm các kí hiệu phép toán cộng +, trừ – , nhân x hoặc . và chia :, tích
phân


; các dấu quan hệ như
, , , ,
    
. Khi kết hợp các kí hiệu này với nhau
và với các chữ số, chữ cái theo một trật tự nhất định ta sẽ có những câu, mệnh đề
mang ý nghĩa toán học.
* Kí hiệu chỉ dấu ngắt câu, dấu ngoặc.
Đó là các dấu “( )”, “[ ]”, “{ }”, “\”… Chúng dùng để diễn đạt một mệnh
đề toán học theo một cấu trúc chặt chẽ xác định.
* Kí hiệu là hình vẽ, biểu tượng, mô hình.
Loại kí hiệu này chủ yếu là các biểu tượng hình học, sơ đồ, bảng biểu, đồ
thị (ví dụ sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ Ven, đồ thị hàm số…). Ở đây, các kí hiệu này
thể hiện quan niệm ngôn ngữ toán học theo nghĩa rộng.
1.1.4. Phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ toán học.
Như bất cứ ngôn ngữ nào, ngôn ngữ toán học cũng chứa đựng hai phương
diện cần nghiên cứu là ngữ nghĩa và cú pháp: Trong toán học người ta phân biệt
cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét
phương diện những cái kí hiệu, những cái được biểu diễn, đi sâu vào cấu trúc
hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là
phương diện cú pháp. Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những
cái được biểu diễn tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những kí hiệu, nghĩa
của những cái biểu diễn đó là phương diện ngữ nghĩa.

11

+ Phương diện ngữ nghĩa của toán học là xem xét nội dung của các mệnh
đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học.
+ Phương diện cú pháp của toán học là xem xét cấu trúc hình thức và sự
biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác
định nói riêng là sự làm việc theo thuật giải.

1.2. Vectơ, tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.
1.2.1. Vectơ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.
Hiện nay trong chương trình toán học ở trường phổ thông của hầu hết các
nước đều có những kiến thức về vectơ với những lí do như sau:
- Vectơ có nhiều ứng dụng không những trong toán mà còn trong vật lý,
kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện tốt mối quan hệ liên môn ở
trường phổ phông.
- Vectơ cho phép diễn đạt những kiến thức toán học phổ thông một cách
gọn gàng, sáng sủa (chẳng hạn cách chứng minh định lý Talet, định lý Pytago,
định lý Côsin, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn….). Đồng thời
phương pháp vectơ còn là phương pháp giải toán nhanh chóng, tổng quát, đôi
khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tuy duy
trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp.
- Từ phương pháp vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp
toạn độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học
cung cấp công cụ giải toán hiệu quả cho phép đại số hóa hình học và hình học
hóa đại số.
-Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhãn quan toán học cho học
sinh chẳng hạn như tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán ở
trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự. Điều đó
dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số, cấu
trúc đại số, đặc biệt là nhóm không gian vectơ – khái niệm trong số những khái
niệm quan trọng của toán học hiện đại.
Trong chương trình hình học ở trường phổ thông nước ta, bắt đầu từ lớp
10 học sinh được học về vectơ, tọa độ, các phép toán về tọa độ và dùng vectơ
làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những
mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và

12

quan hệ đại số. Chẳng hạn, hai đường thẳng AB, CD vuông góc với nhau
1 2 1 2
AB.CD 0 x x y y 0
    
 
(trong đó




1 1 2 2
x ;y , x ;y
lần lượt là tọa độ
của hai vectơ
AB,CD
 
). Nhờ vậy, việc trình bày và chứng minh nhiều nội dung
toán học phổ thông được đơn giản, gọn gàng, tổng quát hơn.
- Hiện nay, nhiều phân môn toán ở bậc Cao đẳng và Đại học nước ta được
xây dựng trên cơ sở vectơ như hình học giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi
phân, hình học xạ ảnh… Vì thế, nắm vững khái niệm vectơ ở trường phổ thông
sẽ tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tiết tục một cách không đột ngột chương
trình toán ở các trường Cao đẳng, Đại học hoặc tiếp xúc không khó khăn với
một số thông tin khoa học, kĩ thuật hiện đại.
Như vậy, chúng ta có thể nói rằng, vectơ đã đem lại cho toán học một
hình thức diễn đạt mới: ngôn ngữ vectơ, hơn nữa nhờ phương pháp vectơ, học
sinh có thêm một công cụ mới để nghiên cứu hình học: công cụ vectơ
1.2.2. Tọa độ như là ngôn ngữ để nghiên cứu hình học
Ngay từ lớp 7, sau đó là lớp 9, học sinh đã có thể dùng phương pháp tọa
độ như một công cụ khi học đại số (hình học hóa bộ môn đại số). Ví dụ: qua

khảo sát, vẽ đồ thị hàm số trong tọa độ Descartes vuông góc để minh họa trực
quan thêm về chiều biến thiên, điểm uốn, tính đối xứng, tính chẵn lẻ của hàm số,
hay giải phương trình (hệ phương trình) bằng phương pháp đồ thị,…
Nhờ có phương pháp tọa độ, chúng ta có thể chuyển một sự kiện hình học
sang đại số theo những quy tắc nhất định. Chẳng hạn: trên mặt phẳng, mỗi điểm
được đặc trưng bởi một bộ hai số sắp thứ tự, còn trong không gian ba chiều mỗi
điểm được đặc trưng bởi một bộ ba chữ số sắp thứ tự. Ngược lại, mỗi bộ số sắp
thứ tự ấy xác định duy nhất một điểm trong mặt phẳng hay trong không gian.
Còn đường và mặt biến thành tập hợp các bố số thứ tự kết hợp với nhau bởi
những phương trình đại số mà mỗi đường hoặc mỗi mặt ứng với một phương
trình hoặc một hệ phương trình. Và chỉ có các điểm thuộc đường hoặc mặt đó
mới có tọa độ thỏa mãn phương trình hoặc hệ phương trình đã cho, đồng thời ta
có thể rút ra được những tính chất của đường và mặt bằng cách xử lý các
phương trình, hệ phương trình đó theo phương pháp đại số. Bằng cách này ta đã
“biến” không gian thành những “chữ số” (hằng hoặc biến) và đặc biệt là mối

13

tương quan giữa những “chữ số” ấy để xử lý chúng một cách gọn gàng, hợp lý
hơn.
Như vậy, ngoài cách tiếp cận hình học bằng phương pháp hình học tổng
hợp (tức học sinh xem xét các thực thể hình học chỉ dưới phương diện hình dạng
và độ đo, không quan tâm đến sự định hướng của nó trong không gian) và
phương pháp vectơ còn có một cách thứ ba là phương pháp tọa độ. Với phương
pháp này, các đối tượng và các mối liên hệ đại số, thông qua trung gian là một
hệ tọa độ. Nói cách khác, người ta dịch những tính chất hình học thành những
biểu thức và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số
và làm việc thuần túy trong lĩnh vực đại số.
Nhờ có những ứng dụng đó của tọa độ và phương pháp tọa độ, có thể nói
rằng tọa độ như là một ngôn ngữ để nghiên cứu hình học.

1.3. Nội dung chương trình hình học 10
1.3.1. Nhiệm vụ của hình học 10
Môn toán THPT có nhiệm vụ cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ
năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực, góp phần quan trọng
vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của
toán học, cần thiết cho cuộc sống, góp phần hình thành và phát triển các phẩm
chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen
tự học thường xuyên. Môn toán tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học lên đại học,
cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động
theo định hướng của Ban khoa học tự nhiên.
Chương trình hình học 10 đảm nhận các nhiệm vụ cơ bản sau:
1/ Bổ sung thêm một số kiến thức về hình học phẳng và đặc biệt bổ sung
thêm hai phương pháp mới: đó là phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ.
- Vectơ là một khái niệm quan trọng, học sinh cần nắm vững để có thể
học tiếp toàn bộ chương trình hình học ở bậc THPT. Nó cũng là cơ sở để trình
bày phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Ngoài ra các kiến thức về vectơ sẽ
được áp dụng trong vật lí như: vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo hai
thành phần, công sinh ra bởi một lực
- Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng được trình bày dựa trên các kiến
thức về vectơ và các phép toán vectơ. Phương pháp này giúp cho học sinh “đại

14

số hóa” các kiến thức đã có về hình học, và từ đó có thể giải quyết các bài toán
hình học bằng thuần túy tính toán.
Phương pháp tọa độ còn được sử dụng để bước đầu tìm hiểu các tính chất
của ba đường Côníc.
2/ Tiếp tục rèn luyện và phát triển tư duy logíc, trí tưởng tượng không
gian, và kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào việc giải toán, vào hoạt động
thực tiễn, vào việc học tập các bộ môn khác.

1.3.2. Những kiến thức cơ bản về vectơ, tọa độ trong chương trình hình
học 10
a. Vectơ và các phép toán vectơ.
1. Vectơ và là một đoạn thẳng có hướng trong đó đã chỉ rõ điểm đầu và
điểm cuối.
Vectơ
AB

có điểm đầu là A, điểm cuối là B có hướng từ A đến B, có độ
dài là độ dài đoạn thẳng AB, được kí hiệu là
AB

, và có giá là đường thẳng AB.
Người ta còn kí hiệu vectơ bằng các chữ thường như
, , ,
a b x y
   

2. Hai vectơ
,
a b
 
được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song
hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoăc
ngược hướng. Hai vectơ
a

và
b


được gọi là bằng nhau, kí hiệu là
a b

 
nếu
chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
3. Với mỗi điểm A, ta gọi
AA

là vectơ không. Vectơ không được kí hiệu
là
0

. Ta qui ước vectơ
0

cùng phương, cùng hướng với bất kì vectơ nào và
0 0


.
4. Cho hai vectơ
a

và
b

. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ ,
AB a BC b
 

   
. Khi
đó vectơ
AC

được gọi là tổng của hai vectơ
a

và
b

. Phép toán tìm tổng của hai
vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ.
5. Cho hai vectơ
a

và
b

. Ta gọi hiệu của hai vectơ
a

và
b

là vectơ
( )
a b
 
 

được kí hiệu là
a b

 
. Phép toán tìm hiệu của hai vectơ
a

và
b

còn
được gọi là phép trừ hai vectơ
a

và
b

.

15

6. Tích của vectơ
0
a

 
với số
0
k


là một vectơ kí hiệu là
ka

cùng
hướng với
a

nếu
0
k

, ngược hướng với
a

nếu
0
k

và có độ dài bằng
.
k a

.
Ta qui ước
0. 0, 0 0
a k
 
  
.
7. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

a) Định nghĩa: cho 2 vectơ
a

và
b

không cùng phương. Nếu vectơ
c


được viết dưới dạng
c ha kb
 
  
với h, k là số thực nào đó thì ta nói rằng vectơ
c

phân tích được theo 2 vectơ
a

và
b

không cùng phương.
b) Định lí: Cho hai vectơ
a

và
b


không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
x

đều có thể phân tích được (hoặc biểu thị được) một cách duy nhất qua 2 vectơ
a

và
b

, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho
x ha kb
 
  

8. Các quy tắc cần nhớ khi thực
hiện thực các phép toán về vectơ.
a) Quy tắc hình bình hành.
Nếu ABCD là hình bình hành thì:
AB AD AC
 
  

b) Qui tắc ba điểm
*
AC AB BC
 
  
(qui tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ)
*
AB CB CA

 
  
(qui tắc về hiệu vectơ)
Vận dụng qui tắc này có thể biểu thị một vectơ bất kì thành hiệu của hai
vectơ có chung điểm đầu.
b. Tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa: Cho hai vectơ
a

và
b

đều khác vectơ
0

.Tích vô hướng
của hai vectơ
a

và
b

là một số, kí hiệu là
.
a b
 
được xác định bởi công thức


. . .cos ,

a b a b a b

     
.
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ
a

và
b

bằng vectơ
0

ta qui ước
. 0
a b

 
.
Nếu
a

và
b

đều khác vectơ
0

ta có . 0
a b a b

  
   
.
D
C
B
A

16

Khi
a b

 
ta có
2
.
a a a

  
là bình phương vô hướng của vectơ
a

. Ta có
2
2
a a




2. Công thức hình chiếu.
Cho hai vectơ
,
OA OB
 
.Giả sử B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng
OA. Ta gọi vectơ
'
OB

là hình chiếu của vectơ
OB

trên đường thẳng OA. Khi
đó, ta có công thức hình chiếu sau đây:
. . '
OAOB OAOB

   
.

c. Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trên mặt phẳng.
1. Tọa độ của vectơ và của điểm.
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ
a

tùy ý.
Nếu
a xi y j

 
  
thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ
a

đối với hệ
tọa độ Oxy, kí hiệu là
( ; )
a x y


hay là
( ; )
a x y

.
Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ
OM

.
Với 2 điểm
( ; )
M M
M x y
và
( ; )
N N
N x y
thì
( ; )

N M N M
MN x x y y
  


2. Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
;
2 2
A B A B
I I
x x y y
x y
 
 
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
;
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
   
 
3. Khoảng cách giữa hai điểm
( , ), ( , ),
A A B B
A x y B x y
được tính theo công
thức:
   

2 2
B A B A
AB AB x x y y
    


4. Góc giữa hai vectơ. Cho hai vectơ
( , )
a x y

và
'( ', ')
a x y

khác
0


 
2 2 2 2
. ' ' '
cos ; '
. '
. ' '
a a xx yy
a a
a a
x y x y

 

 
 
 
 


17

Chương 2. BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH LỚP 10 KHẢ NĂNG SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC NỘI
DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
2.1. Giúp học sinh nắm vững cú pháp và ngữ nghĩa của ngôn ngữ
toán học về vectơ – tọa độ
Trong dạy học toán ở trường phổ thông, cả hai cách tiếp cận để nghiên
cứu ngôn ngữ toán học là theo phương diện ngữ nghĩa và phương diện cú pháp
đều quan trọng và có ý nghĩa riêng.
+ Nếu chỉ giới hạn ở phương diện ngữ nghĩa thì học sinh không học được
những công cụ toán học hình thức và do đó không giải được bài toán bằng công
cụ toán học.
+ Nếu chỉ giới hạn ở phương diện cú pháp thì học sinh sẽ không hiểu ý
nghĩa của biểu thức của ngôn ngữ toán học và không thể phiên dịch được bài
toán nảy sinh từ bên ngoài toán học thành bài toán trong toán học và do đó kiến
thức của học sinh sẽ hình thức và không có ích.
2.1.1. Những vấn đề còn mắc phải khi tiếp cận ngữ nghĩa và cú pháp
của ngôn ngữ toán học của học sinh.
- Học sinh khó khăn khi phiên dịch các bài toán trong ngôn ngữ tự nhiên
hoặc khoa học khác sang ngôn ngữ toán học và ngược lại.
Ví dụ:
Cho hai lực
1

F

và
2
F

có cùng điểm đặt tại O. Tìm cường độ lực tổng hợp
của chúng trong trường hợp
1
F

và
2
F

đều có cường độ là 100N, góc hợp bởi
1
F


và
2
F

là 120
0
.

1
F


100N



2
F


Bài toán này nếu phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ chỉ đơn giản là: “Cho hai
vectơ có độ dài bằng nhau và bằng 100 (đơn vị độ dài), tạo với nhau một góc
120
0
(như hình vẽ). Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ đó.
O 100N
120
0


18

- Học sinh chưa nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp, phương diện
ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học
Ví dụ:
Khi biến đổi, học sinh thường sử dụng các phép biến đổi

hoặc


một
cách tùy tiện; dùng những kí hiệu toán học để viết tắt những câu trong ngôn ngữ
thông thường…
Ngoài những nguyên nhân từ phía học sinh như: thiếu tập trung trong giờ
học; không tích cực, tự giác, chủ động học tập để tích lũy tri thức, rèn luyện kĩ
năng… Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh còn hạn chế vì một
số lí do sau:
- Do sự kết hợp không đúng đắn các cách tiếp cận theo phương diện ngữ
nghĩa và theo phương diện cú pháp trong truyền thống dạy toán dẫn tới học sinh
chỉ hiểu tri thức toán học một cách hình thức.
- Chú ý không đầy đủ trong dạy học ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học nên
đôi khi giáo viên đã tách rời hình thức với nội dung, hay tách rời công thức và kí
hiệu của ngôn ngữ toán học với nội dung toán học nằm ngoài ngôn ngữ
- Nhiều giáo viên quá chú trọng khâu vận dụng kiến thức trong khi học
sinh chưa hiểu đầy đủ bản chất kiến thức đó. Do đó khi được đặt trong một tình
huống cần sáng tạo, hoặc thêm một thuật toán, công thức, học sinh không biết
làm thế nào để xây dựng lại thuật toán, công thức đó. Chẳng hạn, công thức tính
độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,… ở
hình học 10 có thể dễ dàng xây dựng nhờ kiến thức về vectơ, tọa độ kết hợp với
các quy tắc đại số.
2.1.2. Một số biện pháp bồi dưỡng khả năng phối hợp hai phương diện
ngữ nghĩa và cú pháp cho học sinh
Để phần nào khắc phục những tồn tại trên, đòi hỏi người giáo viên trước
hết phải dạy tốt ngôn ngữ toán học. Khi cung cấp một tri thức mới cho học sinh,
kể cả khi xây dựng nội dung lí thuyết cũng như trong lúc giải bài tập, chúng ta
cần chú ý:
- Giáo viên sử dụng ngôn ngữ, kể cả ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
toán học chính xác và đúng lúc. Khi diễn đạt nội dung toán học, dẫn dắt để

19

học sinh tiếp cận khái niệm hay trình bày bài, giáo viên không được sử dụng
thuật ngữ, kí hiệu.
Ví dụ.
Khi mở đầu bài toán chứng minh
AB CD

ta có thể trình bày như sau:
“Yêu cầu bài toán trở thành chứng minh
AB.CD 0

 
. Thật vậy…”
- Giáo viên cần sử dụng hợp lý hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học.
Ví dụ.
Khi dạy khái niệm vectơ cần phân biệt rõ cho học sinh kí hiệu “
AB

” và
kí hiệu “
x

” theo phương diện ngữ nghĩa va cú pháp.
Với phương diện cú pháp:
Ngay khi nhìn vào kí hiệu chúng ta đã thấy khác nhau.
Với phương diện ngữ nghĩa:
“
AB


”: chỉ đoạn thẳng định hướng, xác định A là điểm đầu, B là điểm cuối;
“
x

”: là biểu thị cho một vectơ tự do, khi cho
x

ta ngầm hiểu đây là một lớp
vectơ bằng nhau không chú ý đến điểm đầu, điểm cuối.
- Giáo viên tổ chức cho học sinh dùng các hình thức ngôn ngữ khác nhau
trong học tập toán.
Ví dụ.
Có thể mô tả quan hệ giữa nội dung “Điểm O là trung điểm của đoạn AB”
theo sáu hình thức sau:
1. A, B, O thẳng hàng và OA=OB
O là 2.Đ
o
: A

B (B là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O
trung 3.
OA OB
 
 

điểm 4.
1
o
V


: A

B (phép vị tự
1
o
V

biến A thành B)
đoạn 5. O là tâm hình bình hanh AMBN
AB 6. MO là đường trung bình của

ACB. M là trung điểm AC
Ngược lại từ đẳng thức
OA OB
 
 
có thể liên tưởng tới các nội dung: O
là trung điểm đoạn AB; hai vectơ
OA

và
OB

đối nhau; A là ảnh qua B qua
phép vị tự
1
o
V


.

20

2.2. Dạy học các nội dung vectơ và tọa độ cho học sinh lớp 10 theo
hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học.
2.2.1. Dạy học khái niệm vectơ – tọa độ.
a. Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học khái niệm vectơ – tọa độ.
Dạy học khái niệm chiếm vị trí quan trọng hàng đầu trong dạy học môn
toán. Việc hình thành một hệ thống khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ
kiến thức toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức
đã học đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới
quan duy vật biện chứng cho học sinh.
Các khái niệm toán học thường liên quan mật thiết với thuật ngữ và kí
hiệu toán học. Để dạy học khái niệm toán, ngoài hoạt động định nghĩa, hoạt
động củng cố bắt buộc, người giáo viên cần tăng cường hợp lý các hoạt động
ngôn ngữ giúp học sinh nhanh chóng làm quen và tiếp tục vận dụng kiến thức
mới vào nghiên cứu toán học.
Như vậy các hoạt động ngôn ngữ thường dùng khi dạy học khái niệm là:
- Học sinh phát biểu, giải thích định nghĩa, mệnh đề toán học.
- Biến đổi định nghĩa, mệnh đề từ dạng này sang dạng khác.
b. Những lưu ý khi dạy học khái niệm vectơ – tọa độ.
- Làm cho học sinh biết mô tả chính xác nội dung toán học liên quan đến
vectơ và dùng những kiến thức đó diễn đạt các sự kiện toán học đã biết khác.
- Giáo viên cần sử dụng hợp lý hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học.
- Trong định nghĩa phép toán, cần cho học sinh thấy phép cộng hai vectơ,
phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số xuất phát từ định nghĩa có tình
chất kiến thiết, nên cần phải lưu ý tới bản chất của các kí hiệu.
- Cũng như dạy học các khái niệm khác, để có thể bồi dưỡng khả năng sử

dụng ngôn ngữ toán học cho học sinh thì giáo viên nên tổ chức cho học sinh sử
dụng các hình thức ngôn ngữ khác nhau trong quá trình học tập.
- Ngoài ra việc lựa chọn và cung cấp các bài tập rèn luyện khả năng sử
dụng ngôn ngữ toán học cũng là một phương pháp giúp học sinh nắm vững hơn
về khái niệm vectơ – tọa độ.

21

Khi dạy học các khái niệm vectơ - tọa độ cho học sinh, nhằm giúp học
sinh hiểu đúng (mặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ
toán học, có thể cho học sinh lập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn đạt
dưới những hình thức ngôn ngữ khác nhau.
Chẳng hạn:

Ngôn ngữ hình
học tổng hợp
Ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ tọa độ
Điểm M Điểm M


x;y

Đoạn thẳng AB,
A là điểm đầu, B
là điểm cuối
AB





x;y
ở đó
B A
B A
x x x
y y y

 


 







A A B B
x ;y , x ;y
lần lượt là
tọa độ của A, B
Đường thẳng AB

Giá của vectơ
AB





 
A B A
A B A
x x x x t
y y y y t

  


  







A A B B
x ;y , x ;y
lần lượt là
tọa độ của A, B. Hoặc
ax by c 0
  

Trung điểm I của
đoạn thẳng AB
hoặc điểm I sao
cho
IA IB
IA IB AB




 


Điểm I sao cho
IA IB 0
 
  

Hoặc:


1
OI OA OB
2
 
  

với O bất kì
A B A B
x x y y
;
2 2
 
 
 
 





A A B B
x ;y , x ;y
lần lượt là
tọa độ của A, B.
Trọng tâm G của
tam giác ABC
hoặc điểm đông
quy của ba
đường trung
tuyến của tam
giác ABC
GA GB GC 0
  
   

Hoặc với O bất kì:


1
GO OA OB OC
3
  
   

A B C A B C
x x x y y y

;
3 3
 
   
 
 







A A B B C C
x ;y , x ;y , x ;y

lần lượt là tọa độ của A, B.

22

2.2.2. Dạy học tính chất vectơ – tọa độ
a. Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học tính chất vectơ – tọa độ
Những tính chất quan trọng thường được thể hiện dưới dạng định lý. Dạy
học các tính chất toán học là để cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức
cơ bản của bộ môn, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy
luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Trong dạy học định lý, tính chất, các hoạt động ngôn ngữ thường dùng là
giáo viên cho học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý trong khi củng
cố định lý, qua đó các em được khắc sâu định lý đó. Cao hơn nữa là giáo viên
cho học sinh phát biểu định lý bằng hình thức khác nhằm phát triển năng lực

diễn đạt độc lập ý nghĩ của các em.
Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lý là.
- Học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý.
- Thay đổi hình thức phát biểu định lý.
b. Những lưu ý khi dạy học tính chất vectơ – tọa độ.
- Các tính chất của vectơ – tọa độ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa
và phép toán về vectơ – tọa độ. Muốn dạy tốt tính chất vectơ – tọa độ trước hết
phải dạy tốt các khái niệm, trên cơ sở khái niệm hình thành tính chất.
- Giáo viên cần sử dụng hợp lý hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp của
ngôn ngữ toán học trong quá trình dạy học.
- Các tính chất vectơ được sử dụng khi cần tính toán, biến đổi các biểu
thức vectơ đó là: tính chất cùa phép cộng vectơ, phép nhân vectơ, tích vô
hướng,…
- Các tính chất về vectơ chỉ nhằm mục đích xây dựng phương pháp vectơ
sau này, không nhằm xây dựng tường minh không gian vectơ. Do đó trong các
chứng minh không cần chính xác, chỉ cần tăng cường các hình vẽ để học sinh
dùng “trực giác” kiểm tra các tính chất. Quan trọng là phải cho học sinh củng
cố, luyện tập tính chất trong các bài tập.
- Các tính chất quan trọng, có vai trò như những chiếc chìa khóa để giải
toán và hơn nữa được sử dụng trong phương pháp tọa độ sau này: biểu thức
tọa độ của các phép toán vectơ, biểu thức tọa độ của tích vô hướng,… cần
được chú ý.

23

- Các hoạt động ngôn ngữ như “đọc” phương trình để tìm đặc điểm hình
học, “đọc” hình vẽ để thấy tính chất,… rất hay được sử dụng khi xây dựng và
củng cố tính chất, do đó giáo viên cần chú ý khai thác hợp lí các hoạt động này
trong dạy học.
2.2.3. Hình thành phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ trong giải

toán hình học 10 theo hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học.
a. Hình thành phương pháp vectơ trong giải toán hình học 10.
Khi có công cụ vectơ, khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh
đã có thể phát triển hơn. Học sinh không chỉ làm các phép toán trên vectơ, mà
còn diễn tả nhiều sự kiện hình học đã biết dưới hình thức ngôn ngữ vectơ thông
qua phương pháp giải toán: phương pháp vectơ.
Giải một bài tập toán bằng phương pháp vectơ, cần có những kĩ năng cơ
bản sau:
- Chuyển ngôn ngữ bài toán sang ngôn ngữ vectơ.
- Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ.
- Kỹ năng ghép một số vectơ trong 1 tổ hợp vectơ.
- Khái quát hóa một số những kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát
hơn.
Đây là những khâu mấu chốt trong phương pháp giải toán bằng công cụ
vectơ, trong đó kĩ năng đầu tiên rất cần thiết đến ngôn ngữ vectơ.
* Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ
Bước 1: Chuyển bài toán hình học ban đầu sang ngôn ngữ vectơ, bằng
cách lựa chọn một số vectơ gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên dịch” các giả thiết, kết
luận của bài toán hình học đã cho sang ngôn ngữ vectơ.
Bước 2: Giải bài toán bằng phương pháp vectơ.
Bước 3: Kết luận, đánh giá kết quả.
Giáo viên cần tận dụng các cơ hội để rèn luyện cho học sinh khả năng sử
dụng ngôn ngữ toán học thông qua các bài tập.
Để chuẩn bị cho bước 1: “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán
hình học đã cho sang ngôn ngữ vectơ, ngay trong mỗi bài học chúng ta cho học
sinh làm các bài tập nhằm xây dựng cho học sinh bảng chuyển đổi ngôn ngữ. Ở
đó, mỗi “từ” được chuyển đổi đểu biểu diễn mối liên hệ giữa các sự kiện hình

24

học và các hệ thức vectơ. Các “từ” đó phải được hình thành một cách chặt chẽ,
có cả điều kiện cần và đủ.
Ví dụ.
Khi hình thành “từ” trung điểm của đoạn thẳng. Ta cho học sinh làm hai
bài toán sau.
1. Gọi O là trung điểm của đoạn AB, chứng minh rằng:
OA OB 0
 
  

2. Cho đoạn thẳng AB và điểm O thỏa mãn đẳng thức:
OA OB 0
 
  

Chứng minh rằng: O là trung điểm của đoạn AB.
Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm
đoạn AB là
OA OB 0
 
  
” nghĩa là “O là trung điểm cạnh AB” đã “dịch” thành
“
OA OB 0
 
  
” trong ngôn ngữ vectơ.
* Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ.
- Để có thể diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ vectơ cần rèn
luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ hình học tổng

hợp sang ngôn ngữ vectơ, trong quá trình học tập dần hình thành cho học sinh
bảng chuyển đổi ngôn ngữ sau:
Quan hệ hình học Kiến thức vectơ
- Ba điểm A, B, C thẳng hàng



AB kAC

 
hay
AC kBC

 
hoặc
OC kOA mOB
 
  

với O tùy ý và
k m 1
 

Hai điểm B, C trùng nhau
AB AC

 
với A bất kì
BC 0


 

Hai đường thẳng song song AB//CD
AB kCD

 

Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ
số k,
k 0


MA kMB

 

Điểm M là trung điểm đoạn AB
MA MB 0
 
  

AM là trung tuyến của tam giác ABC
AB AC 2AM
 
  